CC BY
49
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 621.391.01
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ АВТОГЕНЕРАТОРНОЙ СИСТЕМЫ С АВТОМАТИЧЕСКИМ УПРАВЛЕНИЕМ ЧАСТОТОЙ И АМПЛИТУДОЙ ГЕНЕРИРУЕМЫХ КОЛЕБАНИЙ
© 2012 г. В.П. Пономаренко, Н.И. Зайцев
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Паступила в редакцию 08.09.2011
Приведены результаты качественно-численного исследования нелинейной динамики системы автоматического управления частотой и амплитудой генерируемых колебаний. Показано, что в такой системе при изменении параметров цепей управления и начальной частотной расстройки возможно установление как режима синхронного слежения, так и несинхронных периодических и хаотических режимов различной сложности.
Ключевые слава: системы с фазовым управлением, динамические состояния, устойчивость, бифуркации, аттракторы, фазовые портреты, режим слежения, несинхронные режимы, динамический хаос.
1. В настоящее время продолжает оставаться актуальным исследование сложной нелинейной динамики, включая динамический хаос, в различных автогенераторных системах, использующих принцип фазового управления частотой генерируемых колебаний (принцип фазовой автоподстройки частоты). Такие системы находят широкое применение в ряде приложений, в частности в спутниковых радионавигационных системах, информационно-телекоммуникационных системах передачи и обработки информации [1-4]. С позиции теории колебаний и нелинейной динамики системы с фазовым управлением представляют интерес как объекты, в которых могут возникать различные динамические эффекты (синхронизация, потеря устойчивости синхронного состояния, возникновение периодических и хаотических автомодуляцион-ных колебательных режимов различной сложности, бифуркации динамических режимов и др.).
Данная работа посвящена моделированию динамических процессов в автогенераторной системе с фазовой автоподстройкой частоты (ФАП) и автоматическим регулированием усиления (АРУ) в цепи управления частотой. Обобщенная структура системы ФАП-АРУ содержит следующие элементы: управляемый генератор колебаний; фазовый дискриминатор, который формирует управляющий сигнал, зави-
сящий от рассогласования фаз входного сигнала и колебаний управляемого генератора; петлю автоматической регулировки усиления, компенсирующую влияние изменения амплитуды входного сигнала на качество автоподстройки частоты; фильтры низких частот, придающие цепям управления необходимые динамические свойства; управляющий элемент, реализующий коррекцию частоты колебаний управляемого генератора под воздействием управляющего сигнала. Различные варианты систем с такой структурой интересны тем, что являются схемными реализациями оптимальных алгоритмов следящей оценки изменяющихся параметров радиосигналов с амплитудной модуляцией [5]. В [6, 7] рассмотрена динамика системы ФАП-АРУ, в которой структура цепи АРУ соответствует гауссовской модели изменения амплитуды входного сигнала [5, 8]. В данной работе исследуется динамика системы ФАП-АРУ, в которой цепь АРУ соответствует случаю, когда изменение амплитуды входного сигнала описывается релеевской моделью, используемой в ряде прикладных задач нелинейного синтеза [5, 8].
Уравнения, описывающие динамику рассматриваемой системы, получаем из выведенных в [5] уравнений для оценок А* и у* амплитуды А и фазы у входного сигнала. При этом в связи со сложностью рассматриваемой задачи
Рис.1. Область С0 на плоскости параметров (у, а) при значениях 0<а<р (а) и а>р (б).
будем считать амплитуду А постоянным параметром, принимающим произвольные положительные значения, и не будем учитывать влияние помех. В этом случае, переходя к фазовым переменным ф=у-у* и х=А*/А, уравнения динамики системы ФАП-АРУ в операторной форме (р=ё/&) записываем в виде
рф/к1 =у—К1 (р^тф, х=&2К2(р)[а/х+созф-х+ахзтф]. (1)
В уравнениях (1) у=ру/&1 - относительная начальная расстройка частот входного сигнала и колебаний управляемого генератора, к1 - полоса удержания системы ФАП, а - параметр, обратно пропорциональный величине А2, к2 -коэффициент преобразования петли АРУ, а -степень связи через управляющие сигналы подсистем ФАП и АРУ, К1(р) и К2(р) - операторные коэффициенты передачи фильтров низких частот в цепях управления частотой и амплитудой.
В данной работе мы рассмотрим особенности динамики системы ФАП-АРУ, описываемой уравнениями (1), в следующих случаях: 1) К1(р)= =1, К2(р)=1/(1+Г]_р) - без фильтра в цепи фазового управления и при применении фильтра первого порядка в цепи регулирования амплитуды; 2) К1(р)=1/[(1+Т2р)(1+Тзр)], К(р)=1/(1+Т,р) -с применением фильтра второго порядка в цепи фазового управления и фильтра первого порядка в цепи регулирования амплитуды (Т1,Т2 и Т3 - постоянные времени). Такие фильтры интересны тем, что они соответствуют моделям изменения параметров у(£) и А(^), используемым в ряде прикладных задач приема и обработки сигналов [5, 8].
Нелокальное исследование получаемых в этих случаях динамических моделей сопряжено с существенными трудностями, в связи с чем в качестве основного метода их исследования мы привлекаем компьютерное моделирование, которое базируется на качественных и численных методах нелинейной динамики [2, 9-11] и использовании программного комплекса «ДНС» [12].
2. Полагая в уравнениях (1) К1(р)=1, К2(р)= =1/(1+Т1р), получим следующую систему уравнений
^ф/^т=у—xsinф, ^х/^т=А,(а/х—рх+созф+ахзтф), (2)
где т= к1г, р=1+1/к2, А,= к2/(к1Т1). Система (2) в силу периодичности правых частей по ф с периодом 2л является динамической системой с цилиндрическим фазовым пространством и1= =(ф(mod2л), х). Она отражает свойства поведения системы ФАП-АРУ, обусловленные нелинейностью и связью через управляющие сигналы. Движения системы (2) будем исследовать на развертке фазового цилиндра и1 на часть плоскости (ф, х) в полосе —л<ф<л, х>0.
Состояния равновесия системы (2) определяются уравнениями
у—xsinф=0, а/x—px+cosф+аxsmф=0. (3)
Исследуя уравнения (3), получаем, что при значениях параметров 0<а<р и у, а, р, аеС0, где С0={а>тах(а—(у,р,а),0,а+(у,р,а))}, система (2) имеет в области х>0 фазового цилиндра два состояния равновесия А1(ф1, х1) и А2(ф2, х2). Значения а=а— и а=а+ соответствуют слиянию А1 и А 2 и определяются равенствами
у 2(Р - а sin ф,)-у sin Ф; cos ф
sin ф
а =
у2(р - а sin фт) - у sin фт cos Ф„
• 2 -^П ф m
(4)
в которых координаты фm и фт (фm є(0,л/2), Фm є (-л/2,0)) находятся из уравнения
у(2р-asinф)cosф-sinф=0.
(5)
На рис. 1а приведен качественный вид бифуркационных кривых а=а- и а=а+, определяемых (4), (5), и области С0 на плоскости параметров (у,а). Когда а=0, то а+(у,Р,а)=а-(-у,Р,а). При увеличении параметра а кривые а- и а+ смещаются в направлении возрастания расстройки у. При значениях а>р область С0= ={а>тах(а-(у,р,а),0)} (рис. 1б). При значениях параметров вне области С0 система (2) не имеет состояний равновесия.
а=
ских режимов модели (2)
Исследуя характеристические уравнения системы (2) для состояний равновесия А^ф^ *1) и А2(ф2 х2), составленные в соответствии с [9], устанавливаем, что А1 является устойчивым, а А2 неустойчивым типа седло. Состояние равновесия А1 соответствует режиму слежения системы ФАП-АРУ [6,7]. Реализация этого режима в системе позволяет осуществить следящую оценку параметров у(0 и А(0 входного сигнала. Область значений параметров С0 является областью существования режима слежения. Величины ф1 и Х1, определяемые из уравнений (3), характеризуют точность оценивания параметров входного сигнала. Из уравнений (3) следует, что при значениях с=а0=р-а-(1-у)1/2 в режиме слежения осуществляется точная оценка амплитуды А (т.к. х1=1) с величиной фазового рассогласования ф^штату; при значениях ос0 (с<с0) величина х1>1 (х1<1).
Качественно-численное исследование системы (2), проведенное с использованием результатов [6], позволило выяснить существование бифуркаций, связанных с образованием петель П0+ (при значениях у>0) и П0- (при значениях у<0) сепаратрис седла А2 и двойного предельного цикла, охватывающих фазовый цилиндр и1. На рис. 2 представлено качественное расположение в области С0 соответствующих бифуркационных кривых на плоскости параметров (у,с), полученное при значениях параметров Р=1.1, а=1, А,=0.02. Линии с- и с^ соответствуют петлям сепаратрис П- и Щ . Анализируя вычисленную в соответствии с [9] сед-ловую величину
5о=-Х2(у,с,р,а)^ф2(у,с,р,а)-
2
-А,(а/х2 (у,с,р,а)+р-аsinф2(у,с,р,а)), устанавливаем, что петля П0- является устойчивой (седловая величина 50<0), а петля Щ является устойчивой для части кривой с^ ниже точки N (где 50<0) и неустойчивой для части
кривой с^ выше точки N (где 50>0). Точка N на рис. 2 соответствует значению с=с*(у,р,а,А,), которое определяется из уравнения 50(у,с,р, а,А,)=0.
При пересечении с уменьшением у кривой с- и при переходе с увеличением у через часть кривой с*, соответствующей значениям с<с*
(ниже точки N1, из петель сепаратрис П- и Щ на фазовом цилиндре рождаются устойчивые вращательные (2л-периодические по ф) предельные циклы 1Г0 и Ь+0. Эти циклы соответствуют [6] асинхронному режиму системы ФАП-АРУ, в котором рассогласование фаз ф неограниченно нарастает (когда у>0) или неограниченно убывает (когда у<0), а отношение амплитуд х периодически изменяется относительно некоторого среднего значения. При переходе с уменьшением у через часть кривой с* , соответствующей значениям с>с* (выше точки Ы), на фазовом цилиндре появляется неустойчивый вращательный предельный цикл Г0. Линия сс, исходящая из точки N соответствует образованию на фазовом цилиндре двойного предельного цикла системы (2). При пересечении линии сс с увеличением у на фазовом цилиндре появляются два вращательных предельных цикла: устойчивый Ь+0 и неустойчивый Г0. При пересечении линии сс с уменьшением у предельные циклы Ь+0 и Г0 сливаются и исчезают.
Бифуркационные кривые с-, с -, с* ,сс и с+, приведенные на рис. 2, выделяют области параметров, соответствующие качественно различным динамическим состояниям системы (2). На рис. 3 даны фазовые портреты системы для областей, выделенных на рис. 2, при значениях у>0. Для значений параметров из области В;= ={с>тах( с - ,0,тах( с* ,сс))} система (2) не имеет предельных циклов, фазовые траектории с ростом времени х идут к состоянию равновесия А1 независимо от начального состояния системы (рис. 3 а). Следовательно, при значениях параметров из области В.; в системе ФАП-АРУ режим слежения реализуется при любых начальных условиях.
Для значений параметров из областей Вр~={тах(а,0)<а<с-} и В^+={тах(0,а+)<а< <тт( с* ,сс)} на фазовом цилиндре одновременно существуют устойчивое состояние равновесия А1 и устойчивый предельный цикл Ь+0 (рис. 3б). В зависимости от начальных условий траектории системы (2) идут или к состоянию
равновесия Л1 или к предельному циклу L0. Следовательно, в зависимости от начальных условий в системе ФАП-АРУ устанавливается режим слежения или периодический асинхронный режим. Области притяжения аттракторов Л\ и L+ на фазовом цилиндре Ц ограничены сепаратрисами седла Лъ Для значений параметров из области Ба={ а+ <а<ас} на фазовом цилиндре Ц одновременно существуют устойчивое состояние равновесия Л1, устойчивый L+ и неустойчивый Го предельные циклы (рис. 3в). Область притяжения состояния равновесия Л1 теперь ограничена неустойчивым предельным циклом Го. Следовательно, режим слежения в системе ФАП-АРУ реализуется при условии, если начальные значения фазовых переменных заданы в области фазового цилиндра выше цикла Го.
3. Рассмотрим особенности динамики системы ФАП-АРУ в случае применения в цепях управления фильтров с коэффициентами передачи ВД=1/[(1+ Тр)(1+ Тзр)], Къ(р)=1/(1+Т1р). В этом случае математическую модель системы на основании (1) записываем в виде
¿ф/йх=у, ¿у/йх-х, ЦйЪ/^т^у-хзтф-у-е^,
S2dX/dт=а/x-px+cosф+axsinф, (6)
где 81=(Тъ+Тз)^1, еъ-Т^^ъ, ^ТТ^2. Модель (6) является динамической системой с четырехмерным цилиндрическим фазовым пространством U2={ф(mod2x),y,z,x}, х>0.
Исследуем локальную устойчивость режима слежения. При значениях параметров у,а,р, аеСо система (6) имеет в области x>0 фазового пространств а Ц два состояния равновесия Л^ф^ДО) и Л2(ф2,x2,0,0), координаты фь xь фъ и X2 определяются из уравнений (3). Характер состояний равновесия устанавливаем из анализа коэффициентов характеристического уравнения, которое в соответствии с [13] записываем в виде
Х4+^1Х3+д,2Х2+й,зХ+а4=0, (7)
где
«i=8i |i-1+(a/x/+p-asmq>¿)e2-\ a2=( 1 +ei e2-1(a/x72+p-asin^7)) ц-1, a3=(x7cos^7+e2-1(a/x,2+p-asin^7))^-1, a4=((a/x7+Px,)cos^7-sin ф^^ц)-1, j=1, 2. Состояние равновесия A1 может быть как устойчивым, так и неустойчивым, а состояние равновесия A2 неустойчивое седлового типа. Условия устойчивости A1 находим, применяя критерий Рауса-Гурвица, и записываем в виде aba2,a3,a4>0, aa-a3>0, аз(а1а2-аз)-а1 a4>0. (8) При выполнении условий (8) в системе ФАП-АРУ существует режим слежения, определяемый устойчивым состоянием равновесия ^1(91x1,0,0). Неравенства (8), уравнения (3) и (5) и равенства (4) позволяют определить границы области Сц существования режима слежения. На рис. 4 приведены построенные при значениях параметров a=0.5, p=1.1, a=2, e1=1, e2=2 на плоскости параметров (ц,у) линии у=у- и у=у5, выделяющие область Сц={у-<у<у5}. Линия у-, определяемая из второго равенства (4) и уравнения (5), является границей области Со. Кривая у5 - это граница области устойчивости состояния равновесия ^1(91x1,0,0), определяемая из условий (8) и уравнений (3).
Численное исследование модели (6) позволило выяснить существование на плоскости (ц,у) бифуркационной кривой у=ур (см. рис. 4), соответствующей образованию устойчивой петли сепаратрисы Пф седло-фокуса ^2(92,x2, 0,0) (Rex1,2<0, Imx1,2^0, Х3<0, Х4>0, где Х1,2,3,4 -корни характеристического уравнения (7) для состояния равновесия A 2). При пересечении кривой ур с увеличением ц или с уменьшением у из петли Пф появляется устойчивый вращательный (2тс-периодический по ф) предельный цикл Lb т.к. седловая величина [10] S5=X4+ReX/<0, /'=1, 2, 3. Кривая ур разделяет область устойчивости Сц на области Сц1={тах(у-,ур)<у<у5} и Сц2={у<у<тт(ур,у5)} (см. рис. 4). Для значений у и ц из области СЦ1 состояние равновесия A1 является единственным (по результатам чис-
Рис. 4. Бифуркационная диаграмма (ц,у) модели (6) при значениях а=0.5, Р=1.1, а=2, е1=1, в2=2
ленного исследования модели (6)) аттрактором в фазовом пространстве ^ Следовательно, область Cц1 - это область, где система ФАП-АРУ работает в режиме слежения за параметрами входного сигнала. Для значений параметров из области Cц1 режим слежения является устойчивым и реализуется в системе независимо от ее начального состояния.
Рассмотрим качественные изменения в поведении модели (6), которые происходят при переходе с изменением параметров ц и у из области Cц1 в область ^2 через границу у р. В области ^2 в окрестности кривой уp в фазовом пространстве ^ одновременно существуют устойчивое состояние равновесия Л1 и устойчивый предельный цикл Ь1. Численное исследование модели (6) показывает, что при движении в области Cц2 с изменением ц и у в фазовом пространстве наблюдаются следующие явления: исчезновение предельного цикла Ь1 в результате седло-узловой бифуркации и жесткий переход к состоянию равновесия Л1; прямая и обратная бифуркации удвоения периода цикла Ь1 с последующим исчезновением этого цикла в результате седло-узловой бифуркации и жестким переходом к состоянию равновесия Л1. Таким образом, в области Cц2 модель (6) демонстрирует бистабильное поведение, в зависимости от начальных условий в системе ФАП-АРУ реализуется либо режим слежения, либо периодический асинхронный режим.
Когда с увеличением ц или у происходит пересечение границы уц и выход из области Cц1, модель (6) испытывает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа [10], когда в ре-
шении характеристического уравнения (7) появляется пара комплексно-сопряженных корней с положительной реальной частью. В результате этой бифуркации в фазовом пространстве ^ мягко рождается устойчивый предельный цикл 5'1 колебательного типа, охватывающий ставшее неустойчивым состояние равновесия Л1, т.е. происходит переход системы ФАП-АРУ от режима слежения к периодическому квазисин-хронному режиму цикла 5'1. В этом режиме фазовые переменные периодически изменяются в ограниченном диапазоне значений. Квазисин-хронный режим существует в области Cp1, заключенной между частями кривых уs,уp,уd1,уc1, Уc2, Уd2 и Уc3 (см. рис. 4). Кривые у^^ и Уc3 соответствуют седло-узловым бифуркациям, а кривые у^ и у^ - бифуркациям удвоения периода колебательных предельных циклов модели (6). По результатам численного исследования модели (6) колебательный предельный цикл в области Cp1 является глобально устойчивым. Это означает, что квазисинхронный режим, соответствующий этому циклу, реализуется в системе ФАП-АРУ при любых начальных условиях. Таким образом, в области Cp1 система демонстрирует устойчивые периодические автомодуляци-онные колебания без вращения фазы ф.
Интересным представляется существование на диаграмме (у,ц) области Cd, ограниченной частями кривых у^^^ и уd2 (см. рис. 4). Для параметров из этой области в фазовом пространстве U2 одновременно существуют два колебательных предельных цикла 5'1 и S2. Это означает, что фазовая траектория модели (6) может находиться в окрестности одного из этих
-314 ф 3.14 1 ,В2
-3.11 ф 3 01 -3 14 ф 3 14 -3.14 ф 3 14
Рис. 5. Аттракторы несинхронных режимов при значениях у=-0.35, ц=3.0 (а); у=-0.3, ц=3.0 (б); у=-0.35, ц=6.3 (в); у=-0.3, ц=3.8 (г); у=1.2, ц=0.56 (д); у=1.2, ц=2.П5 (е); у=1.2, ц=2Л5 (ж); у=1.2, ц=2.65 (з); у=0.48, ц=2.08 (и); у=0.48, ц=1.84 (к); у=0.48, ц=2.25 (л); у=0.\ ц=2Л (м) (ст=0.5, Р=1.1, а=2, єі=1, є2=2)
циклов в зависимости от того, в какой области притяжения (цикла 51 или цикла 52) заданы начальные значения фазовых переменных. При переходе из области Са в область Ср1 наблюдается исчезновение одного из этих циклов. Таким образом, область значений параметров Ср=Ср\иС - это область периодических квази-синхронных режимов системы ФАП-АРУ.
В области Ср2={ух<у<тіп(ур,уаі)} (см. рис. 4), кроме квазисинхронного режима, в системе наблюдаются периодический асинхронный режим предельного цикла L\, асинхронные режимы, определяемые сложнопериодическими (многооборотными) вращательными предельными циклами, и режимы хаотических аттракторов, которые образуются через бифуркации удвоения периода вращательных предельных циклов, а также через перемежаемость. На рис. 5а-г приведены (ф„у)-проекции фазовых портретов, соответствующие режимам предельных циклов 5\ и L\ и хаотическим режимам колебательного Р\ и вращательного R\ типа, которые развиваются на базе этих циклов в области Ср2.
В области Сс, расположенной на диаграмме (ц,у) (см. рис. 4) справа от области Ср =Ср^Ср2, модель (6) демонстрирует сложную динамику. Для значений параметров из этой области в фазовом пространстве и2 наблюдаются колебательные, вращательные и колебательно-вращательные регулярные и хаотические аттракторы
модели (6). При движении в области Сс с изменением параметров ц и у в модели (6) реализуются прямые и обратные бифуркации удвоения периода предельных циклов, переходы к хаотическим движениям, жесткие переходы между аттракторами, наблюдается чередование предельных циклов и хаотических аттракторов различной сложности.
В том случае когда параметры модели (6) заданы в области С и начальным состоянием
системы ФАП-АРУ является квазисинхронный режим, характер перестройки поведения системы, которые происходят при переходе из области С в область Сс, оказывается различным в зависимости от того, через какую из границ области С осуществляется этот переход. Когда
переход из области С*р в область Сс происходит
через границу ус3 (см. рис. 4), квазисинхронный режим жестко сменяется периодическим асинхронным режимом колебательно-вращательного предельного цикла Ь2 (рис. 5д), а далее с увеличением ц наблюдается чередование периодических и хаотических асинхронных режимов (рис. 5д-з). При переходе через границу у^ в системе наблюдаются два следующих сценария развития квазисинхронного режима при увеличении ц в зависимости от величины у. Первый сценарий характеризуется прямыми и обратными бифуркациями удвоения периода колеба-
1 .1 3
1 .09
-3.1 4
3.1 4
1 .1 1
-3.1 4
3.1 4
Рис. 6. Несинхронные режимы, развивающиеся на базе колебательного предельного цикла S3 при изменении параметра связи а: а=1.0 (а); 1.2 (б, в); 1.32 (г, д); 1.39 (е); 1.45 (ж, з); 1.52 (и) (у=0.1, р= 1.1, ст=1.5, ц=5, 81=1.95, 82=150)
тельного предельного цикла без хаотизации квазисинхронного режима, жестким переходом к асинхронному режиму предельного цикла ¿2 и возникновением хаотического аттрактора на базе цикла ¿2 через бифуркации удвоения периода. Второй сценарий, который реализуется также при пересечении границы уд области С
и удалении от этой границы с увеличением ц, отличается мягким переходом системы к хаотическому квазисинхронному режиму (рис. 5и, к) через бифуркации удвоения периода колебательного предельного цикла; этот режим далее сменяется асинхронным режимом предельного цикла ¿2, на базе которого затем возникает хаотический асинхронный режим (рис. 5л, м).
Из представленных выше результатов исследования модели (6) следует, что система ФАП-АРУ с фильтром второго порядка в цепи фазового управления может функционировать как в режиме синхронного слежения, так и в различных периодических и хаотических квазисин-хронных и асинхронных режимах. Кроме этих результатов, при численном исследовании модели (6) обнаружены явления сложной динамики, связанные с существованием в фазовом пространстве и2 притягивающих двумерных торов колебательного и вращательного типа, которым соответствуют несинхронные двухчастотные режимы системы ФАП-АРУ. Обсудим особенности возникновения и развития таких режимов.
Рассмотрим случай, когда значения параметров модели (6) у=0.1, ст=1.5, Р=1.1, ц=5, 81=1.95, е2=150, а параметр связи а является варьируемым. На рис. 6 приведены (ф, х)-проекции фазовых портретов и (у, х)-проекции сечения Пуанкаре, соответствующие аттракто-
рам модели (6). Начальным состоянием модели при а=1 является квазисинхронный режим предельного цикла Sз (рис. 6а). С увеличением параметра а вначале цикл Sз теряет устойчивость (пара комплексно-сопряженных мультипликаторов цикла пересекает единичную окружность) и происходит рождение притягивающего двумерного тора Т колебательного типа (рис. 6б), которому в отображении Пуанкаре соответствует замкнутая инвариантная кривая Г\ (рис. 6в). Тору Т соответствует двухчастотный квазисинхронный режим системы ФАП-АРУ. Далее при увеличении а имеет место чередование режима тора Т и режимов резонансных многооборотных колебательных предельных циклов. Рисунки 6г, д соответствуют девятиоборотному циклу 5е. Затем наблюдается искажение формы замкнутой инвариантной кривой Г\ (рис. 6е), которое свидетельствует о преобразовании тора Т в хаотический аттрактор Р3 (рис. 6ж, з) типа тор-хаос [14]. При продолжении увеличения параметра а в структуре аттрактора Р3 появляются витки вращательных фазовых траекторий, т.е. колебательный хаотический аттрактор Р3 преобразуется в колебательно-вращательный хаотический аттрактор R2 (рис. 6и).
Рассмотрим другой случай, когда значения параметров модели (6) а=5, ст=1.5, Р=1.1, ц=5, 81=1.0, 82=150, а варьируемым параметром является начальная расстройка у. На рис. 7 даны (ф, х)-проекции фазовых портретов и (у, х)-проекции сечения Пуанкаре, соответствующие аттракторам модели (6). Стартовым состоянием модели при у=0.94 является двухоборотный (4л-периодический по ф) вращательный предельный цикл ¿3 (рис. 7а). При уменьшении пара-
-3 14 ф 314 1 44
0.99
-3.14 ф 3.14 -0.29 у 3.29
Рис. 7. Аттракторы асинхронных режимов при значениях у=0.94 (а); 0.858 (б, в); 0.844 (г); 0.837 (д, е); 0.835 (ж, з); (ß=1.1, ст=1.5, а=5, ц=5, 8i=1, s2=150)
метра у в динамике модели (6) наблюдаются следующие явления: образование из цикла ¿3 притягивающего двумерного вращательного тора Т2 (рис. 7б), которому соответствуют замкнутые инвариантные кривые Г2 и Г3 отображения Пуанкаре (рис. 7в); искажение кривых Г2 и Г3 (рис. 7г) и переход к вращательному хаотическому аттрактору R3 (рис. 7д, е) типа тор-хаос, размер которого в фазовом пространстве увеличивается при уменьшении у (рис. 7ж, з).
4. В данной работе приведены результаты моделирования процессов нелинейной динамики в автогенераторной системе с фазовой автоподстройкой частоты и автоматическим регулированием амплитуды. Установлено, что в такой системе могут наблюдаться динамические режимы различной сложности - от стационарного режима слежения до хаотических несинхронных режимов. Выделена область глобальной устойчивости режима слежения, которая представляет основной интерес в задачах следящей оценки параметров входного сигнала. Выявлена достаточно сложная картина перестройки режимов поведения системы при переходе с изменением параметров через границы этой области. Установленные особенности поведения системы ФАП-АРУ вне области глобальной устойчивости режима слежения представляют интерес в плане расширения круга возможного применения системы за счет использования различных несинхронных режимов в качестве основных рабочих процессов.
Сравнительный анализ полученных результатов и результатов работ [6,7] показывает, что многие динамические режимы и явления, наблюдаемые в системе ФАП-АРУ, синтезиро-
ванной для случая релеевской модели изменения амплитуды входного сигнала A(t), свойственны и системе ФАП-АРУ, структура которой соответствует гауссовской модели динамики амплитуды A(t). Это позволяет сделать вывод о более сильном влиянии индивидуальных свойств поведения цепи фазового управления на динамику системы ФАП-АРУ.
Список литературы
1. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972. 448 с.
2. Системы фазовой синхронизации / Под ред. В.В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной. М.: Радио и связь, 1982. 288 с.
3. Сетевые спутниковые радионавигационные системы / Под ред. П.П. Дмитриева, В.С. Шебшаеви-ча. М.: Радио и связь, 1982. 272 с.
4. Дмитриев А.С., Клецов А.В., Кузьмин Л.В. Генерация сверхширокополосного хаоса в дециметровом диапазоне // Радиотехника и электроника. 2009. Т. 54. № 7. С. 709-718.
5. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Сов. радио, 1975. 704 с.
6. Пономаренко В.П. О режимах работы и области захвата системы фазовой синхронизации с цепью автоматического регулирования усиления (АРУ) // Радиотехника и электроника. 1986. Т. 21. № 10. С. 2023-2031.
7. Пономаренко В.П. Бифуркации и колебательные режимы в сложной системе с фазовым управлением // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18. № 3. С. 140-159.
8. Ярлыков М.С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1980. 360 с.
9. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.
10. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. 548 с.
11. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Автоматизация исследований нелинейной динамики систем синхронизации // Вестник Верхне-Волжского отде-
ления АТН РФ. Высокие технологии в радиоэлектронике. Н. Новгород, 1997. Вып. 2(4). С. 15-21.
12. Динамика нелинейных систем. Программный комплекс для исследования нелинейных динамических систем с непрерывным временем: Учебнометодическая разработка / Сост. В.В. Матросов. Н. Новгород: ННГУ, 2002. 54 с.
13. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984. 176 с.
14. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312 с.
SIMULATION OF SELF-OSCILLATING SYSTEM DYNAMIC BEHAVIOUR WITH AUTOMATIC OSCILLATION FREQUENCY AND AMPLITUDE CONTROL
V.P. Ponomarenko, N.I. Zaytsev
We present the results of our qualitative and numerical study of nonlinear dynamics of an automatic system for controlling the frequency and amplitude of oscillations. It is shown that by changing the control circuit and the initial frequency mismatch parameters in such a system, one can establish either the synchronous tracking mode or non-synchronous periodic and chaotic modes of varying complexity.
Keywords: phase control systems, dynamic states, stability, bifurcations, attractors, phase portraits, tracking mode, nonsynchronous modes, dynamic chaos.
