Моделирование дифракции на объёмных телах в среде матлаб Текст научной статьи по специальности «Физика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ НА ОБЪЁМНЫХ ТЕЛАХ В СРЕДЕ МАТЛАБ

Сергей Александрович Шойдин

Сибирская государственная геодезическая академия, Новосибирск, ул. Плахотного, 10, 630108, Россия, кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры наносистем и оптотехники, тел. 291-00-92, е-mail: [email protected]

В докладе представлены модельные эксперименты по дифракции света на 3 -D объектах с использованием преобразования Френеля - Кирхгофа для плоских изображений.

Ключевые слова: Дифракция на объёмных телах, численные методы в голографии, спектры 3 -D объектов.

THE REPORT PRESENTS THE MODEL EXPERIMENTS FOR LIGHT DIFFRACTION ON A 3-D OBJECTS USING A FLAT FRESNEL-KIRHGOFF TRANSFORMATION

Sergey A. Shoydin

Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plahotnogo st., Novosibirsk, 630108, Russian Federation, Ph.D., Prof. of Nanosystems & optical engineering department, tel +7-383-291-00-92

Key words: diffraction by volume solids, numerical methods in holography, spectra of 3D objects.

Задачи дифракции на объёмных телах имеют глубокие исторические корни и по-прежнему актуальны сегодня [1,2]. Так, в [3] показано, что иногда, в специальных случаях, существуют аналитические решения простых трёхмерных задач, например, задачи дифракции на полуплоскости. Там же видно, что, в случае двухмерной задачи, решение может быть найдено через интегралы Френеля, а в случае обобщения на случай дифракции плоской волны на полуплоскости, решения приходится искать уже на более высоком уровне, уже не как решения интеграла Френеля-Кирхгофа, а как решения трёхмерных волновых уравнений в дифференциальной форме. Вместе с тем, уже в самом ходе, представленного в [3, §11.6] решения видна подсказка. Там

рассматривается случай, когда продольная (вдоль оптической оси z) волна несет информацию о третьем измерении только в виде экспоненциального множителя

е~ikzssn®, что и было положено в основу наших расчётов. Следует отметить, похожий подход был предпринят Кривенковым Б.Е. и Чугуем Ю. В. в [1], когда авторы разбили исходный трёхмерный объект на несколько двумерных срезов и далее применили интегралы двумерного преобразования Френеля к каждой плоскости отдельно, получая дополнительную фазовую задержку, при распространении волны от одной плоскости дифракции к другой. Это позволило авторам сделать ряд расчётов для плоских объёмных тел. Однако, реальные эксперименты и в этой модели потребовали численных расчётов.

Наши модельные расчёты сразу проводились в среде MATLAB R2009a Portable, в приближении не очень глубоких (по продольной координате Z) тел,

что, безусловно, вносит некоторые ограничения общности. Однако полученные результаты расчётов имеют более прозрачную интерпретацию и могут быть использованы не только в задачах, решаемых в [1], но и в моделировании ряда голографических процессов.

Использование высокоуровневого программного обеспечения МЛ^ЛВ внесло некоторые ограничения на быстродействие и пространственную дискретизацию изображений. Однако, полученные результаты носят модельный характер и могут быть, в случае необходимости, уточнены в рамках специальных программ, например таких, как С++, FORTRAN, или других.

Основная модельная задача сводилась к вычислению известного интеграла Френеля - Кирхгофа [4]

Щ(*о,Уо) =^И ^і(х1,у1)ехр\^[(х1- х0)2 + (уг-уо)2]}а%1ау1 (1)

где и1(х1,у1) - распределение комплексной амплитуды поля в плоскости объекта;

и0(х0,у0) - распределение комплексной амплитуды поля в плоскости наблюдателя.

Нами использовалось и1(х1,у1)=и' 1(х1,у1)*ехр[]ф(х1,у1У], где и' 1(^,у1)-распределение действительной амплитуды по полю в плоскости объекта, а ф(х1,у1) - фаза волны, определяемая как изменение глубины точек объекта, измеренной в длинах волн с множителем 2п. Таким образом, и1(х1,у1) является функцией, задающей 3-0 форму исследуемого объекта. Нашей целью было определение спектра Френеля (1) по известному и1(х1,у1), а затем получения и2, вычисляемого заменой в выражении (1) иг на Щ и сменой знака перед фазой, что характеризует обратное распространение волны к наблюдателю, как это часто бывает в голографии (восстановленный сигнал). Уже в первых модельных численных экспериментах было показано, что предложенный метод введения третьего измерения хорошо работает в ряде практических задач.

На рис. 1 показаны три изображения А, В и С, Рис 1А соответствует иг, для конуса с шириной у основания 4 мм., высотой 0,2 мм. При расстоянии до плоскости наблюдения спектра 7=1000 мм. и Х=0.53 мкм., был рассчитан спектр и0 На рис. 1В показаны значения его модуля, а на рис. 1С приведена картина распределения и2, что соответствует обратному восстановлению изображения конуса, как простейшего 3-0 объекта.

Рис. 1А Рис. 1В Рис. 1С

Аналогичные вычисления были проведены для полусферы (рис. 2)

Рис. 2А Рис. 2В Рис. 3С

и для модельного изображения рис 3.

Рис. ЗА Рис. 3В Рис. 3С

Во всех трёх случаях восстановленное 3-0 изображение вполне узнаваемо, хотя имеет некоторые искажения по сравнению с исходным, природа которых связана как с дифракционными ограничениями, так и с недостаточным квантованием исходных изображений (пикселей в изображении) и их спектров. Это указывает на адекватность вычисленного спектра.

Также, в процессе работы были получены спектры голограмм, вычисленные, как результат перемножения спектров Щ (Рисунки В) на комплексную функцию наклонного опорного пучка и последующего восстановления тем же пучком. Типичное изображение спектра в плоскости голограммы, при этом, имело вид, приведённый на рис. 4. Здесь левое изображение А - изопроекция фрагмента голограммы, а правое В - её «фотография».

Рис. 4А Рис. 4В

Приведённые выше модельные численные эксперименты показывают возможность применения в расчётах дифракции на 3-0 объектах классического выражения интеграла Френеля -Кирхгофа, связывающего амплитуды световых полей, расположенных в двух плоскостях на расстоянии Ъ друг от друга вдоль

оптической оси с введением третьего измерения исследуемого 3-D объекта в виде фазы. Это облегчает модельные эксперименты с 3-D объектами и при расчёте голограмм.

Автор выражает благодарность магистранту кафедры Нефёдову И.С. за помощь в проведении вычислений в среде MATLAB.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кpивенков Б.Е., Чугуй Ю.В. Fraunhofer diffraction by volumetric bodies constant thickness // Journal of the Optical Society of America. - USA. - 1989. - Vol. A 6. - № 5. - P. 617626.

2. Уфимцев П.Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике // П.Я. Уфимцев М. Основы оптики.- М.: Бином, 2007. - 366 С.

3. Борн, М. Основы оптики // М. Борн, Э. Вольф. - М.: Наука, 1973. - 533 с.

4. Шойдин С.А. Методы оптической обработки информации // С.А. Шойдин. -Новосибирск: СГГА, 2008.- С. 31.

© С.А. Шойдин, 2012