Моделирование деформации и разрушения материалов на основе совмещенного дискретно-континуального подхода Текст научной статьи по специальности «Физика»

Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 535-537

УДК 539.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ СОВМЕЩЕННОГО ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО

ПОДХОДА

© 2011 г. А.Ю. Смолин12, Н.В. Роман2

'Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск 2Томский госуниверситет

[email protected]

Поступила в редакцию 16.06.2011

Совмещенный дискретно-континуальный подход позволяет объединить преимущества обоих методов за счет использования сеточного метода для областей с малыми деформациями и метода частиц в области сильных деформаций. В качестве дискретного метода предлагается использовать метод подвижных клеточных автоматов. В качестве сеточного метода может использоваться как метод конечных элементов, так и конечных разностей, при этом важно, чтобы конечно-разностный аналог уравнений движения сеточного метода можно было записать в терминах сил, действующих на узлы сетки со стороны окружающих ячеек. Граница совмещения методов полагается плоской и задается на этапе формулировки задачи. Центры частиц на границе совмещения жестко связаны с соответствующими гранями сетки. Обмен информацией между методами осуществляется путем передачи координат и скоростей из сеточной части образца автоматам на границе, а также использования сил, действующих на эти автоматы со стороны дискретной части, для вычисления ускорения соответствующих узлов. Рассмотрено применение предложенного подхода для изучения процессов в пятне контакта при трении скольжения.

Ключевые слова: континуальное и дискретное описание среды, методы моделирования, совмещение методов.

Для численного моделирования материалов и сред широко используются методы континуальной механики. Однако в последнее время стали интенсивно развиваться методы, основанные на дискретном подходе, в котором не используется гипотеза сплошности. В первую очередь, это вызвано возможностями, которые эти методы дают при явном описании интенсивной деформации материалов, процессов разрушения и перемешивания вещества. Методы дискретного моделирования можно условно разделить на два класса: 1) метод частиц, в ко -тором рассматривается движение взаимодействующих частиц в пространстве [1]; 2) метод клеточных автоматов [2], в котором изучается изменение во времени свойств элементов неподвижной сетки в зависимости от состояния окружающих элементов. Перспективным является объединение возможностей указанных классов в рамках метода подвижных клеточных автоматов (МСА) [3]. Его использование позволило получить ряд новых научных результатов при моделировании наноматериалов, керамик, высокопористых материалов, геологических сред и др. [4, 5].

При стремлении размера подвижных клеточ-

ных автоматов к нулю модельная среда будет описывать некий континуум. Анализ соответствующих соотношений показал, что в случае линейных функций отклика этот континуум описывается законом Гука [6]. Это дает основание для совместного использования метода МСА и численных методов континуальной механики. Такой комбинированный подход позволяет объединить преимущества каждого из методов для задач, в которых можно априори выделить области локализованных деформаций с перемешиванием вещества, описываемые методом МСА, а также протяженные области малых упругих деформаций, где численно решаются уравнения континуума.

Сущность совмещенного дискретно-континуального подхода представлена на рис. 1. Центры автоматов, лежащих на границе совмещения, предполагаются жестко связанными с граничными ребрами сетки. В ходе расчета со стороны сеточного метода (главной программы) в дискретный передаются скорости и положения узлов-автоматов, а возвращаются силы, действующие со стороны МСА-области на узлы сетки, лежащие на границе совмещения. Двумерная МСА-программа объединялась с программой, реализующей метод конеч-

ных разностей (метод Уилкинса) [7], а трехмерная - метод конечных элементов (модификация Джонсона) [8].

Анализ частотного спектра регистраций компонент скорости (ух, Уу), давления (Р) и интенсивности напряжений (I) в определенных точках

дискретным метод

граница совмещения

континуальным метод

Рис. 1

Для тестирования разработанных алгоритмов решались задачи о распространении упругих волн от точечного источника на свободной поверхности «совмещенной» среды.

На основе предложенного подхода в плоской постановке были исследованы закономерности генерации упругих волн в зоне трибологического контакта при трении стальных образцов. Структура расчетной области и используемая схема нагружения представлены на рис. 2а. Здесь область I моделировалась методом МСА, а область II - сеточным методом (для уменьшения вертикальных размеров рисунка показана только часть сетки). На внешних поверхностях областей задавалась горизонтальная скорость V, постепенно наращиваемая от 0 до 10 м/с. Одновременно на верхнюю поверхность действовало давление, наращиваемое до максимальной величины Рт = 127.5 МПа. Нижняя поверхность была зафиксирована по оси У. На вертикальных границах областей в горизонтальном направлении задавались периодические граничные условия. Диаметр автомата равен 2.5 нм, шаг сетки 10 нм.

ИГ

тт птг и : ” - ,J ,' P '

11 ■ Ч," —l n п п D 0 п . I L II J

жн ьнн +ь Ш ьн н- ьнь

1 1 и 1 II 1 і II 1 1 II і LJ н- ьн- flRP 1 И

жн ьнн

дискретной области модели показал, что наиболее интенсивные пики соответствуют собственным частотам системы. На рис. 2б показаны спектры регистраций вертикальной составляющей скорости в точке, отмеченной черным кружком на рис. 2а, при различных критериях переключения пар в состояние « связанные». Небольшой размытый пик на спектрах вертикальной составляющей скорости и интенсивности напряжений соответствовал среднему времени существования связанных пар автоматов в «квазижидком» слое, в котором наблюдается интенсивное перемешивание автоматов, разделяющем взаимодействующие поверхности. Положение этого пика изменяется при варьировании параметров, отвечающих за переход пар из состояния « несвязанные» в состояние « связанные» (рис. 2 б), что может быть вызвано, например, повышением температуры в области контакта. Соответствующую этому пику частоту можно интерпретировать как характеристику колебательного движения на микроуровне в режиме «stick-slip».

Авторы благодарны С. Г. Псахье за инициацию темы, ценные замечания и обсуждения.

f ГГц

б)

а)

Рис. 2

Работа проведена при финансовой поддержке проекта 13.13.3 Программы фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН 4.13 и интеграционных проектов СО РАН №113 и №127.

Список литературы

1. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987. 640 с.

2. Ilachinski A. Cellular automata. A Discrete Universe, Singapore: World Scientific, 2001. 808 с.

3. Псахье С.Г и др. // Физическая мезомеханика. 2000. Т. 3, №2. С. 5-13.

4. Psakhie S.G. et al. // Theoretical and applied fracture mechanics. 2001. V. 37, №1-3. P 311-334.

5. Псахье С.Г. и др. Механика - от дискретного к сплошному. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. Гл. 2. С. 88-128.

6. Псахье С.Г, Чертов М. А., Шилько Е.В. // Физическая мезомеханика. 2000. Т. 3, №3. С. 93-96.

7. Псахье С.Г. и др. // Физическая мезомеханика. 2003. Т. 6, №6. С. 11-21.

8. Смолин А.Ю., Роман Н.В., Добрынин С.А. // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Матер. VI Всерос. конф. Томск: Изд-во ТГУ, 2008. С. 298-299.

MODELING THE DEFORMATION AND FAILURE OF MATERIALS BASED ON COUPLED DISCRETE-CONTINUAL APPROACH

A. Yu. Smolin, N. V. Roman

Coupled discrete-continua simulation makes it possible to combine the advantages of the both approaches by using the grid method for domains with small deformation and the method of particles in the region of strong deformation. The coupling interface is assumed to be plane and is given at the stage of problem formulation. Centers of particles at the interface are rigidly connected to the corresponding edges of the grid. Information exchange between the methods is performed by passing the positions and velocities of the grid region of the sample to the particles at the interface, as well as by using the forces acting on these particles from the discrete part, to calculate the acceleration of the nodes. The application of the proposed approach for studying the processes in the contact zone in sliding friction is discussed.

Keywords: continual and discrete description of materials, modeling methods, coupling of different methods.