CC BY
1
Челябинский физико-математический журнал. 2024■ Т. 9, вып. 2. С. 255-260.
УДК 624.024:539.3 БОТ: 10.47475/2500-0101-2024-9-2-255-260
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ АОРТЫ ПРИ АНЕВРИЗМЕ И РАССЛОЕНИИ СТЕНОК
А. Е. Медведев1'2 ", А. Д. Ерохин1'6
1 Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, Россия
2 Национальный медицинский исследовательский центр им. академика Е. Н. Мешалкина Министерства здравоохранения РФ, Новосибирск, Россия
"[email protected], [email protected]
Исследуются деформации стенок аорты при аневризме (расширении) и расслоении стенок. Проведены численные расчёты нагрузки на стенки аорты при таких деформациях. Показано, что разрыв внутреннего слоя сосуда приводит к увеличению напряжения на внешней стенке сосуда. Увеличение толщины и длины разрыва увеличивает напряжения на внешней стенке сосуда. Наличие аневризмы сосуда увеличивает напряжения по сравнению с сосудом без аневризмы. Расслоение внутренней стенки сосуда приводит к увеличению напряжения на стенке — напряжения падают с ростом ширины разрыва для прямого сосуда и растут для сосуда с аневризмой.
Ключевые слова: 'расслоение аорты, аневризма аорты, математическое моделирование, гемодинамика, напряжение на стенке, биомеханика.
Введение
Расслоение аорты представляет собой крайне тяжёлую патологию [1]. Это достаточно редкое, но потенциально опасное заболевание встречается у 1 из 10000 госпитализированных больных. При отсутствии лечения ранняя смертность при расслоении составляет 1 % в час (один человек из ста умирает каждый час) в первый день, 75 % — в течение двух недель и свыше 90 % — в течение первого года. Однако выживаемость больных в настоящее время может быть значительно увеличена благодаря своевременной диагностике и раннему лечению этого грозного заболевания.
1. Механические свойства аорты
Артерии — это кровеносные сосуды, которые переносят свежую, насыщенную кислородом кровь от сердца по всему телу. Они представляют собой слоистые структуры, внутри которых находится интима, за ней следуют медия и адвентиция. Два наружных слоя в основном отвечают за механическое поведение здоровых артерий. Оба слоя состоят из коллагеновых мягких тканей, которые демонстрируют выраженную деформационную жёсткость. Семейства коллагеновых волокон придают каждому слою анизотропные свойства. Эти структуры, усиленные волокнами, позволяют кровеносным сосудам выдерживать большие упругие деформации. При наличии сосудистого заболевания, например, атеросклероза, механические свойства поражённых слоёв стенки аорты значительно отличаются от механических свойств здоровой аорты.
Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда (проект № 22-15-20005).
L
С точки зрения механики аорта представляет собой многослойную толстостенную оболочку (рис. 1). Здесь можно выделить три основных слоя — интима, медия и адвентиция. Интима почти не влияет на механические свойства стенки аорты [1], поэтому часто в моделях рассматривается двухслойная модель аорты, состоящая из внутреннего (медия) и внешнего (адвентиция) слоёв.
Стенки аорты характеризуются следующими механическими свойствами.
Несжимаемость. Экспериментальные измерения показывают, что артериальная стенка практически несжимаема. Результаты исследований [2] установили, что изменение объёма составляло всего 0.165%, когда артериальный сегмент был растянут in vivo давлением 181 мм рт. ст.
Анизотропия. Механическое поведение артериальной стенки является анизотропным [3].
Нелинейные большие деформации. Стенки аорты подвергаются большим деформациям под воздействием давления крови. Деформация, вызванная изменениями давления во время сердечного цикла, достигает 10-15% первоначального размера аорты [3]. Стенка легко деформируется при низком давлении, при более высоком давлении стенка становится жёсткой.
Вязкоупругость. Напряжённое состояние стенки определяется не только соответствующей деформацией, но и предыдущими деформациями. Компоненты стенки представляют собой вязкоупругий материал [4].
Рис. 1. Схема строения стенок артерии, используемая для расчётов. Здесь Ь — длина артерии, Щ — внутренний радиус артерии, Яа — внешний радиус артерии, На — толщина слоя адвентиции, Нм — толщина слоя медии, Н/ — толщина слоя интимы, в А, вм и в/ — углы наклона армирующих волокон слоёв адвентиции, медии и интимы соответственно
2. Математическое моделирование стенок аорты
Параметры модели ИСО [5]. Внутренний радиус = 0.71 мм, внешний Яа = 1.1 мм, ¡1 — модуль
сдвига, Н — толщина слоя
Свойства материала Медия Адвентиция
д, кПа 3 0.3
kl, кПа 2.3632 0.5620
k2, кПа 0.8393 0.5620
в, град. 29 62
H, мм 0.26 0.13
Моделирование стенок аорты проводилось в рамках двухслойной модели Хольцапфеля — Гассера — Огдена (модель ИСО) для несжимаемого анизотропного материала [5]. Считалось, что аорта состоит из двух слоёв — медии и адвентиции. Каждый из этих слоёв представляет собой гиперупругий материал, армированный двумя семействами пересекающихся волокон (рис.1). В модели ИСО [5] для описания деформации кровеносных сосудов гиперупругость материала рассматривается в рамках модели неогука (нелинейная упругость). При этом армирующие волокна также являются гиперупругим материалом со свойствами, отличными от свойств основного материала сосудистого слоя (таблица). При расчёте также учитывалась вяз-коупругость материала слоя медии.
В таблице приведены параметры материалов, используемых в расчётах артерий по двухслойной модели ИСО.
3. Реакция стенок аорты на пульсовое давление крови
Пульсовое движение крови создаёт нагрузку на аорту. При дефектах аорты (расслоении или аневризме) эта нагрузка приводит к большим напряжениям на стенки аорты в месте дефекта стенки.
Для расчёта деформации и нагрузки на аорту при пульсовом движении крови применялась следующая методика (рис. 2).
0
мм
мм
-1 -1
мм
5 " 4 -32 -1 -0 --1 --2 --3 -4 -5
1=.0_
мм рт. ст. 19
18 16 14 12 10 8 6 4 2
0
-0.334
мм М.52
т 0.14
мм
б)
Рис. 2. Три этапа расчёта нагрузки на артерию: а) построение армированной структуры стенок артерии; б) расчёт течения крови за один цикл пульсации давления; в) расчёт деформации и напряжения в стенках артерии под действием нагрузки, созданной пульсовым течением крови
по сосуду
На первом этапе строилась многослойная (двух- или трёхслойная) армированная структура стенок аорты (рис. 2, а). На втором — рассчитывалось нестационарное течение крови в недеформированной аорте (рис. 2, б). Время расчёта, расход и давление соответствуют одному циклу пульсации крови: максимальный расход крови 4 мл/с, максимальный перепад давления между входом и выходом в артерию 40 мм рт. ст., время одной пульсации 0.4 с. При этом определялись нагрузки на стенку сосуда. На третьем этапе (рис. 2, в) рассчитываются деформации и напряжения в стенках сосуда под действием нагрузки, определённой на втором этапе.
Проведены расчёты напряжений, по результатам которых получены максимальные по Мизесу напряжения на внешней стенке артерии при разрыве внутреннего слоя медии (рис. 3). Максимальное напряжение достигается в момент времени 0.2 с. Расчётные параметры приведены в таблице. Рассматривался участок артерии длиной 10 мм. Высота аневризмы (рис. 3,б) равна Яа/2 . Длина разрыва медии Б варьировалась от 0.2 до 0.8 мм, а толщина разрыва к рассчитана для значений 1/3, 1/2, 2/3 и 5/6 от толщины Нм медии. Приведены результаты расчётов для артерии с разрывом (рис. 3) и для артерии с разрывом и расслоением медии (рис.4). Внутренний радиус расслоения медии Ь = 0.75Я^. На рис.3 и 4 сравниваются максимальные напряжения для прямой аорты (рис. 3, а; 4, а) и аорты с аневризмой (рис. 3, б; 4, б).
Из рис. 3 видно, что увеличение длины Б разрыва стенки аорты приводит к увеличению напряжения на внешней стенке. Наличие аневризмы увеличивает напряжение на внешней стенке артерии почти в два раза (рис. 3, а, б).
мм
5
0
0
2
2
0
2
мм
Рис. 3. Максимальные напряжения по Мизесу ст^опМгяяея на внешней стенке аорты в зависимости от длины Б разрыва медии для прямой аорты (а) и для аорты с аневризмой (б). Толщина разрыва Н равна: 1 — 1/3, 2 — 1/2, 3 — 2/3, 4 — 5/6 и 5 — 1 толщины Нм медии
Для аорты с расслоением (рис. 4) картина напряжений выглядит иначе. Для прямой аорты увеличение длины Б разрыва стенки аорты приводит к уменьшению напряжения на внешней стенке (рис. 4, а), тогда как наличие аневризмы увеличивает напряжение на внешней стенке артерии с ростом длины Б разрыва (рис. 4, б). При этом напряжения в аорте с аневризмой (рис. 4, б) незначительно выше, чем в прямой аорте (рис. 4, а). Наличие расслоения аорты приводит к существенному (почти в полтора раза) росту напряжения на внешней стенке аорты (сравнение рис. 3 и 4).
Рис.4. Максимальные напряжения по Мизесу ст^опМгяяея на внешней стенке аорты с расслоением в зависимости от длины Б разрыва медии для прямой аорты (а) и для аорты с аневризмой (б). Толщина разрыва Н равна: 1 —1/3, 2 — 1/2, 3 — 2/3 и 4 —5/6 толщины Нм медии
Заключение
Рассмотрены вопросы математического моделирования расслоения аорты и крупных артерий. Проведены численные расчёты разрыва и расслоения аорты на основе модели ИСО. При этом кровеносный сосуд подвергается пульсовому давлению крови, протекающему по нему. Показано, что разрыв внутреннего слоя сосуда приводит к увеличению напряжения на внешней стенке сосуда. Увеличение толщины и длины разрыва увеличивает напряжения на внешней стенке сосуда. Наличие аневризмы сосуда увеличивает напряжения почти в два раза по сравнению с сосудом без аневризмы. Расслоение внутренней стенки сосуда приводит к увеличению
напряжения на стенке — напряжения падают с ростом ширины разрыва для прямого сосуда и растут для сосуда с аневризмой.
Список литературы
1. Melissano G. Aortic dissection: Patients true stories and the innovations that saved their lives. Milan : Edi. Ermes, 2016.
2. CarewT.E., Vaishnav R. N., PatelD.J. Compressibility of the arterial wall // Circulation research. 1968. Vol. 23, no. 1. P. 61-68.
3. Peterson L. H., Jensen R. E., ParnellJ. Mechanical properties of arteries in vivo // Circulation Research. 1960. Vol. 8, no. 3. P. 622-639.
4. Meyers M. A., ChawlaK. K. Mechanical Behavior of Materials. Cambridge : Cambridge University Press, 2008.
5. Holzapfel G. A., GasserT. C., OgdenR. W. A new constitutive framework for arterial wall mechanics and a comparative study of material models // Journal of Elasticity and the Physical Science of Solids. 2000. Vol. 61, no. 1. P. 1-48.
Поступила в 'редакцию 11.12.2023. После переработки 31.03.2024.
Сведения об авторах
Медведев Алексей Елизарович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, Институт теоретической и прикладной механики имени С. А. Христиановича СО РАН; научный сотрудник, Национальный медицинский исследовательский центр имени академика Е. Н. Мешалкина Министерства здравоохранения РФ, Новосибирск, Россия; e-mail: [email protected].
Ерохин Александр Дмитриевич, лаборант, Институт теоретической и прикладной механики имени С. А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, Россия; e-mail: [email protected]
260
A.E. MegpegeB, A.fl. EpoxHH
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2024. Vol. 9, iss. 2. P. 255-260.
DOI: 10.47475/2500-0101-2024-9-2-255-260
MODELING OF AORTIC DEFORMATION IN ANEURYSM AND WALL DISSECTION
A.E. Medvedev1'2'", A.D. Erokhin16
1 Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS, Novosibirsk, Russia 2E. Meshalkin National Medical Research Center of the Ministry of Health of the Russian Federation, Novosibirsk, Russia "[email protected], [email protected]
The deformations of aortic walls in case of aortic aneurysm (dilation) and aortic wall dissection are studied. Numerical calculations of the load on the aortic walls at aneurysm and aortic wall dissection are carried out. It is shown that rupture of the inner layer of the vessel leads to an increase in the stress on the outer wall of the vessel. Increasing the thickness and length of the rupture increases the stresses on the outer wall of the vessel. The presence of an aneurysm of the vessel increases the stresses compared to a vessel without an aneurysm. Splitting of the inner wall of the vessel leads to an increase in the stresses on the wall — stresses decrease with increasing rupture width for a straight vessel and increase for a vessel with an aneurysm.
Keywords: aortic dissection, aortic aneurysm, mathematical modeling, hemodynamics, wall stress, biomechanics.
References
1. MelissanoG. Aortic Dissection: Patients True Stories and the Innovations that Saved Their Lives. Milan, Edi. Ermes, 2016.
2. CarewT.E., Vaishnav R.N., PatelD.J. Compressibility of the arterial wall. Circulation research, 1968, vol. 23, no. 1, pp. 61-68.
3. Peterson L.H., Jensen R.E., ParnellJ. Mechanical properties of arteries in vivo // Circulation research, 1960, vol. 8, no. 3, pp. 622-639.
4. Meyers M.A., ChawlaK.K. Mechanical Behavior of Materials. Cambridge, Cambridge University Press, 2008.
5. Holzapfel G.A., GasserT.C., StadlerM. A structural model for the viscoelastic behavior of arterial walls: Continuum formulation and finite element analysis. European Journal of Mechanics, A/Solids, 2002, vol. 21, no. 3, pp. 441-463.
Article received 11.12.2023. Corrections received 31.03.2024.
The research was supported by RSF (project no. 22-15-20005).
