CC BY
25
УДК 621.375.125-
МОДЕЛИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИМ СИГНАЛОМ РАДИОИМПУЛЬСА С ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОГИБАЮЩЕЙ
И.Д. Золотарев
Омский государственный технический университет
The defect of presentation of high frequency pulse with rectangular envelope by analytical signal (AS) Is researched. It is shown, that AS leads to paradoxical results, which do not have physical base. The way of obtaining of complex signal, providing determination of physical envelope and phase of radiosignal, is designed.
Любой финитный во времени осциллирующий сигнал можно представить в виде произведения f(t) = A(t) cosCD(t), где A(t) - огибающая, CD(t) - фаза сигнала. Существует неограниченное число пар сомножителей, удовлетворяющих одному и тому же сигналу f (t). Такая неопределенность для огибающей и фазы является недопустимой и известна как проблема Амплитуда, Фаза. Частота (АФЧ). Чтобы избежать неоднозначности, оперируют с комплексными
л
сигналами (КС) f =f(t)+l 't), где сопряженный сигнал
t-(t) связан с исходным некоторым оператором. Тогда для огибающей и фазы колебания имеем соотношения
te по
Доминантное место в современной радиоэлектронике завоевал комплексный аналитический сигнал (АС), введенный Д. Габором в 1944 г. [1]:
¿(t)=f(t) + jfc(t) '
'jj
m,
A(t) =|f(t) |= Vf2+f(t) ■ ф(1) = í(t) = arctg
(1)
ад -«(«■»--i J^f*
Н оператор Гильберта, штрих на значке интеграла означает главное в смысле Коши значение интеграла. Применяя к (1) прямое преобразование Фурье, получим
8а(ш) = 2а(а>)1(а>)' 2((со) спектр исходного, ЭКсо) спектр АС. 1(ш) функция скачка. Таким образом, ми имеет спектр, усеченный на отрицательной полуоси частот относительно спектра исходного сигнала. Существует ряд основных положений, которым в идеале должна удовлетворять комплексная модель сигнала [2-4]: закон причинности (каузальности), который является фундаментальным законом физики; инвариантности огибающей и фазы сигнала; спектр вещественной огибающей при транспозиции спектра вверх и вниз должен сохранять свою комплексно-сопряженную симметрию относительно частоты смещения, т.е. исключается усечение спектра, свойственное АС: обеспечивается соответствующее работе реальных измерителей локальное определение огибающей и фазы радиосигнала (для АС при нахождении
А
функции в каждой точке требуется согласно (1)
интегрирований по всей оси времени).
АС, строго говоря, не удовлетворяет ни одному из этих важных свойств. Другие известные пути построения КС либо также не удовлетворяют данным положениям, либо вводятся без достаточных обоснований [2,5-7]. Нарушения принципов каузальности, инвариантности огибающей и фазы, свойственны АС, явились основой для широкой дискуссии и оспаривания применимости АС [2,6-10 и др.]. Мода на АС привела к тому, что в ряде серьезных работ в попытках фундаментально обосновать АС он рассматривается как универсальный и единственно верный. Другие описания сигнала, отличные от AC, a priori объявляются физически несостоятельными ("наивные" представ-ления. "старая" радиотехника). Корректными, объектив-ными в математическом, физическом и техническом смысле предлагается считать результаты, вытекающие только из приложений АС, а другие определения параметров сигнала считать допустимым, применять лишь поскольку они согласуются с АС [11-13]. В [12,13] авторы предлагают даже энергетическую трактовку предвестника и следа радиоимпульса (обнаружение их с помощью специальных схем), хотя физически отсутствуют и предвестник, и след. Существование предвестника из принципа каузальности должно быть исключено вообще.
Наиболее рельефно дефект АС проявляется при его приложении к колебаниям, модулированным разрывными функциями. Из сигналов этого класса широкое приложение находит радиоимпульс с прямоугольной огибающей. Исследования АС для такого радиоимпульса выполнены А.К. Смолински [14]. В его работе был получен и предвестник, и след. а заодно отмечалось нарушение каузальности АС. Д.Е. Вакман и Л.А. Вайнштейн, являясь апологетами АС. не смогли подойти критически к концепции этого сигнала. Недостаточно требовательное отношение к результатам привело А.К. Смолински к тому, что вместе с их заимствованием из [14] в работы [12,13] перекочевали и заблуждения.
Важность проблемы АФЧ в радиоэлектронике вообще и выводов, вытекающих из моделирования АС радио импульса с прямоугольной огибающей в частности, обусловила необходимость более тщательного рассмотрения модели АС для такого радиоимпульса. Запишем сигнал в форме
f(t) = А0 COS(CD0t + \|/0)[l(t) - l(t - ти)] = = f,(t)-f2(t)-
(2)
fi(t) - радиоскачок, включаемый при t = 0, Рэ(t) обратный радиоскачок, включаемый при t = Ти. Найдем предвестник и след радиоимпульса, определяемый из АС. Для нахождения предвестника получим из (1) сопряженную по Гильберту функцию относительно fi(t):
L(t)= A0{sin(co0t + vi70) +
+—[cos(co0t + V|/0)ci(cO0t) -f-
7t
+ sin(co0t + v0)ci(G)0t)]} (3)
Для того чтобы определить предвестник, следует учесть, что при t < 0, fi(t)=0. ci(-COot) = ci(COot), si (-(Dot) = K-si(COot). Тогда из (1) и (3) имеем
fal(t) =0 + jf„l(t) , t<0
f„l(0 =^[cOS(iD0t + V|/0)ci(|CD0t|)-n
-sin(co0t + My0)si(|co0t|>] l(-t) И)
Отсюда для огибающей и фазы при t < 0 получим
\ 71 Л
A|(t) =| f„i(t)|l(-t)' ®i(t) = -sgnfHl(t)
Следовательно, fai(t) = Ai(t)cos®i(t) s 0. Это соответствует формальной записи АС для t < 0 (Re fai(t)=0). Определим след AC после выключения радиоимпульса (для t > Ти). Для этого, вводя комплексное представление
сопряженной функции так. что jFHl(t) = Im Ll(t)} преобразуем (3) к виду
?Hl(t) = A0N(co0t)l(t)exp j(co0t + v|/0) = = A0N(<a0t)expj[a)ot+ii">ot) + 4/o]l(t)' (5)
где N'(aj0t) = 1 + | rSic,(a)0t) = N((o0t)expji;((o0t)
fsici(co^t) радиус-вектор, описывающий на комплексной плоскости sici-спираль:
rsrc,(ioot) = si(co0t) + jci(coot) = rsici(w0t)expjp(iD0t)
fsici^oO = [si2(co0t) + ci2(co0t)]l/2 •
p((0Qt) = ai-g rs,c, (o0t) = arctg[ci(co0t) / si(a>0t)]
Модуль rsici(COot) с ростом t быстро затухает и уже к to0t > 471 (t/T0 > 2. ТО = 271/СОо) можно считать, что N(>47t) « 1, <^(>4 Я) « 0. Будем, ради упрощения записи соотношений, считать, что длительность радиоимпульса Ти > 5Т0. Тогда для t > ти в соответствии с (3) и (5)
А
£.i(t) « A0sin((ü0t + Vo) и
1>ти
¿1(0« А0 expj(to0t + V|/0)l(t- ти> ■
Найдем АС для смещенного во времени радиоскачка f?(t). Воспользовавшись (1) и решением для сопряженной по Гильберту функции для 1-го радиоскачка (3). сразу получаем
k(t)= A0{expj(o)0t + v0) +
+ ^[cos(co ()t + V|/0)ci со 0(t - ти) +
+ SÍn(CÜgt + 4*0 )SÍ CÜQ(t - Ти
Суммируя согласно (2) АС для обоих радиоскачков, получим АС для следа радиоимпульса (для t > Ти):
¿(0 =¿l(t) -fa2(0=-j-^[cOS(íOot + V|/0)CÍCD0(t-TH) +
я
+ sin(ü)0t +V0t)SÍCÚ0(t_TH )]Ht-T„) =
= [o+jfH(0 ]Kt-T,,) (6)
Огибающая и фаза для следа радиоимпульса определится из (6) как
A(t) =|fa(t) | l(t ~ ти) =lf"(t) I '(t- Ти )
Ф(1) = -jsgnfH(0 ■
Тогда для t> Ти fa(t) = If„(t)(t)} = A(t)cos<D(t) = 0 и, следовательно, след радиоимпульса отсутствует, что соответствует физической реальности, в то время как АС его дает [12-14].
Рассмотрим теперь АС для радиоимпульса в интервале 0 < t < Ти. При этом по аналогии будем считать следом затухающий колебательный процесс, накладываемый на моделируемый сигнал после включения радиоимпульса, и предвестником - накладываемый нарастающий колебательный процесс, предшествующий заднему фронту радиоимпульса.
Из (1) и (5) АС (след) для 1-го радиоскачка
fn(t) = A0{cos(co0t + +
+jN(ü>0t)sin[co0t +¿;(to0t) + y0]} l(t) откуда для огибающей и фазы АС получим
A,(t) = A0{cos2(ü)0t + vo) + + N2(a)0t)sin2[(ü0t + a«ot)+vi>o]}1/2Kt) '
(8)
Ф,(1) = arctg{N(cú0t)[tg(cú0t + vy0) х Ж cos¿;(aj0t) + sin ¿;(co0t)]}
Как уже отмечалось, функция N (со0О • характеризующая отклонение АФЧ, определяемых из АС, относительно АФЧ исходного сигнала, быстро стремится к своему пределу (при { > 2То N(£001) « 1, £(<Вс|) « 0) [8,9]. Однако вблизи фронта радиоимпульса для АС огибающая в соответствии с поведением ¡-^(со,^) имеет логарифмическую сингулярность, а фаза - существенный выбег колебательного характера.
Соотношения для предвестника получим, введя новую переменную и = I - Ти. Процесс будем рассматривать в окрестности И = 0. В соответствии с (2) АС определится суммой двух составляющих от включения 1-го и 2-го радиоскачков:
¿1(1) = [¿1(11) -^2(0] 1И,)'
Ь(ф = [0 + #н2(-11)]1Н1)' (10)
Полагая, что при подходе к заднему фронту колебательный след от переднего фронта радиоимпульса практически затухнет (при Ти > То), можем записать
¿1(й) = А0 ехр^соо^ +Ут) К-^)
Для ^(й) получаем выражение, аналогичное (3), которое после перехода к отрицательному аргументу приводится к виду, подобному (4):
¡н2(й) =^-[сО8(ш01| + М/т)с1(|ш01||)-
-ИП(£О01,+Ч/т)8К|(О01]|)]1(-11)- (12)
Подставляя в (10) формулы (11) и (12). приходим к выражению
т=
х8т[со011+Ст(|шоЧ1) + чМ} 1Н|)'
1^т(|о)011|) = Ыт(|о)0Т11)ехр^(|о)01||) =
= 1-^г5'1Ы(|ш01,|)- (13)
■¿«(КМ!) =
р'(|со011|) = я-р(|соо11|)'
Однотипность выражений (7) и (13) для следа и предвестника на интервале 0 < I < Ти приводит к соотношениям для огибающей и фазы предвестника, аналогичным формулам (8) и (9) для следа:
АО|) = А0{со82((о01| + чО + ^О^оЫ)* хзт2[ш011+Ст(К1|1) + Ут]}1/21(-1|)'
<D(t,) = arctg{NT (|co0t,|)[tg(cD0ti + 4>т)*
X cos¿¡T (Ito0T! I) + sin(Iсо0T, I)] } ■ Таким образом, имеем предвестник заднего фронта. Это. если, абсолютизируя АС, искать физическую содержательность в предвестнике, приведет к противоречию с законом каузальности. Чтобы избежать ошибки, следует просто вместо неоправданного офизичивания АС принять что этот сигнал дает один из способов математического описания колебательного процесса в комплексной форме с определенной асимптотикой, как. собственно, оно и есть в действительности [8,9,15].
Между тем проблема однозначного определения параметров АФЧ колебательного процесса, соответствующих физическому адеквату их, является одной из фундаментальных проблем современной радиоэлектро-ники. Решение ее в сочетании с методом, упрощающим обратное преобразование Лапласа, было дано еще в 1964 г. в [1618]. Полученный в результате приложения этого метода КС дает однозначное определение АФЧ колебаний, соответствующее их физическому смыслу. Здесь отпадает необходимость искусственного постро-ения сопряженной функции. Однозначность АФЧ обеспечивается единственностью соответствия изображающей функции своему сигналу (в более общем случае - дифференциальному уравнению системы). При этом не требуется введение специальной асимптотики, что обеспечивает корректность получаемых результатов. КС, полученный в результате приложения метода [16-18], удовлетворяет всем четырем указанным выше важным положениям [3-4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Gabor D. Theory of Communication. // J. of IEE. 1946. -V. 93.-26,- P. 429 457.
2. Финк Л.М. Сигналы, помехи ошибки... Заметки о некоторых
неожиданностях, парадоксах и заблуждениях в теории связи. -2-е изд.. перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1984.-256 с.
3. Золотарев И.Д. Проблема "Амплитуда. Фаза, Частота"
при разработке перспективных средств связи // Материалы 1-й междунар. науч. практ. конф,- Омск, 1996. -С. 126.
4. Zolotarev I.D. The New Approach in Determination of the
Problem Amplitude. Phase, Frequency in the Theory of Signals and Systems // 25 General Assembly URSI, Abstracts, Lille, France, 1996. - P. 148.
5. Тихонов В.И. Один из способов определения огибающей
квазигармонических флюктуаций. // Радиотехника и электроника. - 1957.-Т. 2. N 4,- С. 502-506.
6. Варакин Л.Е.. Гусель A.C. Сравнение аналитического и
экспоненциального сигналов // Радиотехника.-1975. -Т.30, N1. - С. 17 20.
7. Агеев Д.В. К вопросу определения понятия амплитуды,
фазы и мгновенной частоты сигнала // Радиотехника и электроника,- 1973.-T.18.N8.-C. 1766-1768.
8. Zolotarev I.D. Analytical Signal tor Time Truncated Functions
// Pros. Of III International Conf. On Electronic Circuits. Praga. 1979,- P. 316-317.
9. Золотарев И.Д. О погрешности определения огибающей
и фазы Гильбертовым сигналом // Электрические и магнитные измерительные устройства: Межвуз, сб. Омск, 1984,-С. 117-122.
10. Вербин Ю.П. Об оценке и скорости распространения сигналов. // Радиотехника и электроника. - 1995.-T.40.N8.-C. 1169-1176.
11. Вакман Д.Е. Старая радиотехника и аналитический
сигнал // Радиотехника.-1977.-Т.32.М5.-С. 20-26.
12. Вакман Д.Е., Вайнштейн Л.А. Амплитуда, фаза, частота - основные понятия теории колебаний // УФН.-1977-Т.123, вып. 4.-С. 657-682,
13. Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории
колебаний и волн. - М.: Наука, ГРФМЛ. 1983,- 288 с.
14. Smolinski A.K, On the Hilbert Envelope of a High Frequency
Pulse. Bull. Acad. Pol. Sciences Techniques,-1971.-V.19,N6-P. 473-484.
15. Золотарев И.Д. Методы исследования переходных процессов в фазово-импульсных измерительных системах. //ОмПИ-Омск, 1983.-150 с, Деп. в ВИНИТИ 23.09.83.N3307-83.
16. Золотарев И.Д. О некоторых формулах, упрощающих выполнение обратного преобразования Лапласа // Изв. СО АН СССР, сер. техн. наук.-1964.-Вып. 3.N10 - С. 166168.
17. Золотарев И.Д. О возможности упрощения обратного преобразования Лапласа (случай кратных полюсов) / / Изв. СО АН СССР. сер. техн. наук.-1964.-Вып. 3.N10-С, 162-166,
18. Золотарев И.Д. Нестационарные процессы в резонансных
усилителях фазово-импульсных измери-тельных систем,-Новосибирск:Наука. 1969.-176 с.
