CC BY
159
бзоры
УДК 519.83 + 519.86
МОДЕЛИ КОРРУПЦИИ 0 ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
О.И. Горбанева, Г.А. Угольницкий, А.Б. Усов
Представлена концепция математического моделирования коррупции в иерархических системах управления. Сформулированы основные положения концепции, даны определения основных используемых при моделировании понятий. Построены и исследованы ряды последовательно усложняемых моделей административной и экономической коррупции в статическом и динамическом случаях. Выявлены зависимости коррупционного поведения и описаны возможности борьбы с коррупцией при различных значениях параметров моделей.
Ключевые слова: иерархическая система управления, коррупция, оптимизационные и теоретико-игровые модели.
ВВЕДЕНИЕ
Пионерской работой по математическому моделированию коррупции считается статья С. Ро-уз-Аккерман [1]. Указанная работа является адаптацией идей Г. Беккера, относящихся к моделированию абстрактного рода преступлений и методике выбора соответствующих наказаний [2]. Согласно Беккеру, борьба с преступностью целесообразна, если в ее результате сокращение ущерба от преступности превысит затраты на борьбу. Эти идеи развиты в монографиях Роуз-Аккерман [3, 4].
Подробный обзор и анализ статических моделей коррупции в иерархических организациях дан в работе А. Мишры [5], где имеется обширная библиография. Детальный разбор моделей этого класса приводится также в учебном пособии [6]. Среди работ российских авторов отметим работы [7—11].
Количество публикаций по динамическим моделям коррупции в иерархических системах управления не слишком велико. В основном такие модели являются многошаговыми теоретико-игровыми, в которых динамика управляемой системы явно не описывается. В одной из первых работ этого направления [12] рассматривается рекурсивная постановка задачи, в которой учитывается, что если контролер вступает в сделку с проверяемым, то он сам может быть пойман и ему, в свою очередь, придется включиться в коррупционную це-
почку уже в качестве дающей стороны. Авторы показали, что при определенных условиях повышение вероятности наказания имеет больший эффект в борьбе с коррупцией, чем увеличение штрафа. В статье [13] рассматривается двухшаговая модель «принципал — контролер — агент», в которой принципал использует нелегальный характер сделок контролера и исполнителя и может благодаря этому в долгосрочном периоде получить больший выигрыш, чем в краткосрочном. В статье [14] показано, что при правильном определении значений переговорной силы институциональные особенности китайской системы лицензирования делают коррупцию структурно устойчивым исходом, а некоторые действия по контролю могут привести к контринтуитивным последствиям. В качестве адекватной меры борьбы с коррупцией предлагается введение конкуренции среди лицензирующих органов. В работе [15] изучается «цепочка» бюрократических органов, которую должен пройти предприниматель для одобрения своего проекта. Детально характеризуются равновесия в «триг-герных» стратегиях, позволяющих минимизировать социальные потери от коррупции. В статье [16] изучается влияние природных ресурсов на коррупцию и его зависимость от качества демократических институтов. На основе теоретико-игровой модели показано, что природная рента увеличивает коррупцию только при слабых институтах. В работе [17] исследуется роль «несклонности
к вине» у чиновников на основе модели повторяющейся психологической игры. Изучается зависимость поведения чиновников и лоббирующих структур от общественных ожиданий, которые могут быть постоянными или меняться со временем. Отдельно отметим статьи [18, 19], в которых исследуются модели экономического роста с учетом коррупции.
Авторская концепция моделирования коррупции в иерархических системах управления [20—37] основывается на положениях, сформулированных в § 1. В основном настоящая статья представляет собой реферативное изложение авторского подхода к моделированию коррупции, подробно изложенного в монографии [38].
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
• Базовой схемой моделирования служит иерархическая система «принципал — супервайзер — агент-объект» в различных модификациях и ее теоретико-игровое исследование. В динамических моделях состояние объекта описывается явно, в статических рассматривается только воздействие агента на объект. Коррупции подвержен средний уровень управления (супервайзер), верхний уровень управления (принципал) считается некоррумпированным и выполняет функции борьбы с коррупцией.
• Предполагаются известными определенные требования устойчивого развития управляемой системы (объекта). В динамических моделях они формулируются в терминах состояния объекта, а в статических — в терминах воздействия агента на объект. Если требования устойчивого развития выполняются, то задача принципала считается решенной даже при наличии коррупции.
• Пары «принципал — супервайзер» и «супервайзер — агент» состоят в отношениях «ведущий — ведомый». Ведущий игрок (принципал или су-первайзер соответственно) для достижения своих целей применяет методы принуждения (преимущественно административно-законодательные воздействия) и побуждения (преимущественно экономические воздействия); при математической формализации принуждение означает воздействие ведущего на множество допустимых стратегий ведомого (как правило, без обратной связи), а побуждение — на функцию выигрыша ведомого (как правило, с обратной связью).
• Различаются административная коррупция, при которой за взятку ослабляются административные требования, и экономическая коррупция, при которой взятка позволяет ослабить экономические требования верхнего уровня управления.
При моделировании административная коррупция означает принуждение агента супервайзером с обратной связью по размеру взятки, а экономическая коррупция — побуждение агента супервай-зером с дополнительной обратной связью по размеру взятки.
• Коррупция представляет собой угрозу устойчивому развитию объекта, поскольку взяточнику выгодно в обмен на взятку ослаблять требования устойчивого развития. С другой стороны, коррупция есть специфическая форма обратной связи в иерархических системах управления, в силу которой управляющие воздействия становятся функциями размера взятки.
• Коррупция существует в форме попустительства и вымогательства. При попустительстве законодательно установленный набор услуг гарантируется, а дополнительные послабления предоставляются в обмен на взятку. При вымогательстве взятка требуется уже для предоставления базового уровня услуг, в противном случае требования ужесточаются.
• Поведение взяточника характеризуется сговорчивостью, т. е. готовностью ослабить административные или экономические требования в обмен на взятку, и жадностью, т. е. ценой этих послаблений. Предложен набор количественных показателей сговорчивости и жадности.
• Взятка может представлять собой часть выигрыша, получаемого агентом благодаря административным или экономическим послаблениям («откат»), либо некоторую абсолютную сумму («откуп»). В обоих случаях переменную взятки удобно считать долей от коррупционного выигрыша либо от общего дохода агента соответственно.
• При описании коррупции в иерархических системах управления с учетом требований устойчивого развития применимы дескриптивный и нормативный подходы. В случае дескриптивного подхода функции административной или экономической коррупции считаются известными, и основная задача состоит в идентификации их параметров по статистическим данным. В случае нормативного подхода вид функции взяточничества определяется в результате решения оптимизационной или теоретико-игровой задачи.
• Исследование коррупции в системе «принципал — супервайзер — агент» возможно с трех позиций. Если функция взяточничества известна, то с позиции агента коррупция может быть описана оптимизационной моделью. С позиции супервай-зера возникает иерархическая параметрическая игра. С позиции принципала задача борьбы с коррупцией заключается в нахождении таких значений параметров управления, при которых с учетом
найденной оптимальной стратегии супервайзера удовлетворяются требования устойчивого развития.
• Задача идентификации (выбора класса используемых функций и определения численных значений параметров) здесь отнюдь не тривиальная и требует проведения специальных исследований и экспертиз. Методологический смысл идентификации состоит в том, что каждый набор значений параметров определяет конкретную социально-экономико-политическую систему, подверженную коррупции.
• Целесообразно строить «генетические» ряды последовательно усложняемых моделей, все более точно описывающих реальные феномены коррупции в иерархических системах управления. Основная логическая схема такого усложнения в статике имеет вид «оптимизационные модели — иерархические игры двух лиц — иерархические игры трех лиц», а в динамике — «задачи оптимального управления — иерархические динамические игры двух лиц — иерархические динамические игры трех лиц».
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОРРУПЦИИ В ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
2.1. Статические модели
Последовательность статических моделей коррупции имеет вид «оптимизационная модель — иерархическая игра двух лиц — иерархическая игра трех лиц». В случае экономической коррупции последняя модель в базовой форме может быть записана как
/Р(р, г, Ь) = (1 - р)г ^ тах, 0 < р < р, (1)
JS(p, r, b) = pr + b ^ max, 0 < r < r.
0'
(2)
JA(p, r, b) = -r - b ^ max, 0 < b < 1. (3)
Здесь Jp, JS и JA — функции выигрыша принципала, супервайзера и агента соответственно, p — доля собранных налогов, идущая на поощрение супервайзера, p — максимально возможное для принципала значение p, r — налоговая ставка, r0 — законодательный размер налоговой ставки, b — доля дохода агента, идущая на взятки. Предполагается, что при наличии экономической коррупции r = r (b), т. е. реальный размер налоговой ставки может зависеть от взятки (например, налоговый инспектор может закрыть глаза на налоговую недоимку или исчисление налогов по незаконной льготной схеме).
С позиции агента рассматривается задача оптимизации (3) при заданной функции г (Ь). Например, при г(Ь) = г0 — АЬк, к > 0, оптимальный для агента размер взятки есть
b* =
(kA)1/( 1 - k), 0 < k < 1,
0, k > 1 л 0 < A < 1,
1, k > 1 л 1 < A < 1 + r0.
Следующим элементом «генетического ряда» служит модель (2), (3), рассматриваемая как игра Гермейера Г2 [39]. В этом случае Е-оптимальная гарантирующая стратегия супервайзера имеет вид
r* (b) =
0, b
ro - £,
r0, иначе.
Для иерархической игры трех лиц (1)—(3) можно вывести условия выгодности взятки pAr < b < Ar, Ar = r0 - r (b).
В случае административной коррупции иерархическая игра трех лиц в базовой форме может быть записана как
Jp(q, s, u, b) = — M|s — s0| ^ max, 0 < q < s, (4) JS(q, s, u, b) = b/(u) ^ max, q < s < s, (5)
JA(q, s, u, b) = (1 — b)/(u) ^ max,
0 < u < 1 - s, 0 < b < 1. (6)
Здесь Jp, JS и JA — вновь функции выигрыша принципала, супервайзера и агента соответственно; b — доля дохода агента, идущая на взятки; u — усилие агента; /(u) — доход агента как функция его усилия; s — переменная управления супервайзера такая, что величина 1 - s ограничивает сверху усилие агента («квота»); s0 — законодательно установленное значение s; s — максимально возможное значение s; q — переменная управления принципала, ограничивающая величину s снизу; M — коэффициент штрафа, налагаемого на принципала при нарушении условия устойчивого развития s = s0. Предполагается, что при наличии административной коррупции s = s(b), т. е. в обмен на взятку супервайзер может увеличивать квоту (например, разрешать больший вылов рыбы или выдавать разрешительные лицензии недостаточно подготовленным соискателям).
С позиции агента рассматривается задача оптимизации (6) при заданной функции s(b). Поскольку естественно считать, что функция /(u) мо-
нотонно возрастает, то задачу (6) можно переписать в виде
/А(Ь) = (1 - Ь)/(1 - ¡(Ь)) ^ тах, 0 < Ь < 1.
Например, при g(Ь) = (1 — Ь)(50 + АЬ)к оптимальный для агента размер взятки
b* =
0, A < s0/к,
kA - s0 ( 1 - к )A '
иначе.
Следующим элементом «генетического ряда» служит модель (5), (6), рассматриваемая как игра
Гермейера Г2. В этом случае при /(и) = 4и Е-опти-мальная гарантирующая стратегия супервайзера имеет вид
s*(b) =
0,
ь = i - s-УГ~
(7)
s, иначе.
При рассмотрении полной модели (4)—(6) как принципал, так и агент могут применять стратегии принуждения либо побуждения. Если они оба применяют принуждение, то при /(и) = л/и Е-оптималь-ная гарантирующая стратегия супервайзера имеет вид
b = 1 - s -J 1 - s,
5 * (Ь) =
[ 5, иначе,
и тогда выбором q = ¡0 принципал обеспечивает выполнение требований устойчивого развития. В остальных случаях Е-оптимальная гарантирующая стратегия супервайзера имеет вид (7), и принципал не может воздействовать на супервайзера.
2.2. Динамические модели
Последовательность динамических моделей коррупции имеет вид «задача оптимального управления — иерархическая динамическая игра двух лиц — иерархическая динамическая игра трех лиц». Без существенного ограничения общности будем говорить о задачах оптимальной эксплуатации биоресурсов. В этом случае уравнение динамики управляемой системы с начальными условиями можно записать в виде
dx dt
= h(x(t)) — u(t)x(t), x(0) = x0
(8)
Здесь х(?) — биомасса эксплуатируемой (например, рыбной) популяции, и(1) — доля вылова, к — некоторая функция динамики численности одно-
родной популяции; x0 — значение биомассы в начальный момент времени. В качестве примера функции h(x(t)) рассмотрим функцию Мальтуса, т. е. h(x(t)) = sx(t), s = const.
Общий доход от рыболовства равен aux, где а — цена единицы биомассы (зависимость от времени для простоты опускаем). Будем считать, что доля r этой величины (где r можно трактовать как налоговую ставку с учетом возможной коррупции) изымается в пользу принципала (государства), а доля 1 — r остается агенту (рыболовному предприятию). Возможны и другие интерпретации переменной экономического воздействия r, например, штраф. В свою очередь, принципал отдает долю p от своей части в качестве зарплаты (или премии) супервайзеру (чиновнику службы рыбного хозяйства), а долю 1 — p оставляет себе. Наконец, агент выделяет долю b своего дополнительного дохода при налоговой ставке, которая в результате коррупции фактически оказывается меньше законодательно установленной r0, на взятку супервайзеру. Таким образом, целевой функционал агента можно записать в виде
JA(r(-), u(-), b(-)) = J(a(1 - r(t))u(t) -
- ab(t)(r0 - r(t))u(t) - cu2(t))x(t)dt ^ max. (9)
Здесь cu2(t) — затраты агента на вылов доли биомассы u(t); T — период рассмотрения; a(r0 — r(t))u(t)x(t) — налоговая недоимка (экономия агента на недоплате налогов, на которую супервайзер «закрывает глаза» за взятку); ab(t)(r0 — r(t))u(t)x(t) — «откат» агента супервайзеру с этой суммы.
При экономической коррупции налоговая ставка представляет собой функцию доли взятки, определяющей размер отката. Если рассмотрение ведется с позиции агента, то эта функция считается заданной. Например, можно использовать нелинейную функцию попустительства вида
r (b(t)) = r0(1 - bk(t)), к = const.
(10)
Здесь в левой части стоит фактическая ставка налога, первое слагаемое правой части г0 — ее законодательное значение, а второе слагаемое — его послабление в обмен на взятку. В частности, г (0) = г0, г (1) = 0. Подставляя значение (10) в целевой функционал (9), получаем
JA(r(-), u(-), b(-)) = J(a(1 - r0 + ^bk(t) -
r0bk + l(t))u(t) - cu2(t))x(t)dt.
(11)
0
Добавляя ограничения на управления 0 < b(t) < 1; 0 < u(t) < 1,
(12)
получаем задачу оптимального управления (8), (11), (12). Конечно, наряду с функцией (10) можно использовать и другие функции экономической коррупции. Большой интерес представляет идентификация функции г(Ь) на основе фактических данных о коррупции. Мы оставляем эту непростую задачу для дальнейших исследований.
Если рассмотрение ведется с позиции супер-
вайзера, то функция ? (?) = г (Ь(?)) ищется как решение игры типа Г2/ между супервайзером и агентом [39]. Целевой функционал супервайзера можно записать в виде
т 0
Js (•) = 1 ([p(t)r (t) + b(t)(ro - K0)]au(i)x(i) -
Кц(г0 — r(i)))di ^ max. (13)
Он рассматривается с ограничениями на управления
0 < r(t) < r.
(14)
Второе слагаемое в подынтегральной функции в выражении (13) представляет собой штраф, налагаемый на супервайзера при обнаружении налоговой недоимки, где K — размер штрафа, ц — вероятность поимки. Значения K и ц характеризуют возможности принципала по борьбе с коррупцией (т. е. обеспечению условия r(t) = r0) путем побуждения. В целом, соотношения (8), (9) и (12)—(14) определяют дифференциальную иерархическую игру двух лиц вида r2t.
Наконец, целевой функционал принципала можно записать как
т
Jp(p(-), r(-), «(•), b(-)) = 1 [au(t)x(t)(1 — p (t))r(t) —
0
— M(x(t) — x )2]dt ^ max. (15)
Здесь x — значение биомассы, оптимальное для устойчивого состояния популяции; M — коэффициент штрафа, налагаемого на принципала при отклонении текущего значения биомассы от оптимального. Предполагается, что принципал применяет метод побуждения, которому соответствует управляющая переменная
0 < p(t) < 1.
(16)
Первое слагаемое в подынтегральной функции в выражении (15) означает доход принципала, второе — штраф, налагаемый на него при наруше-
нии требований устойчивого развития. В целом соотношения (8), (9) и (12)—(16) определяют дифференциальную иерархическую игру трех лиц. Ее регламент зависит от применяемых принципалом методов управления. Если принципал применяет побуждение — то игра rit или r2t в зависимости от того, считается ли функция p(t) зависящей только от времени или также от управления супервайзера. Игра между супервайзером и агентом всегда имеет вид r2t [35], поскольку при описании коррупции принципиально наличие обратной связи по размеру взятки.
Задача оптимального управления (8), (11), (12) решается аналитически (вид решения опустим в силу громоздкости). Для решения динамических иерархических игр двух и трех лиц предлагаются алгоритмы, основанные на изложенных в работе [40] идеях.
Последовательность динамических моделей административной коррупции структурно аналогична представленной выше. Различие заключается в том, что теперь квота на долю вылова представляет собой функцию взятки, что приводит к задаче оптимального управления со связанными ограничениями. Для решения таких задач и динамических иерархических игр на их основе построены соответствующие алгоритмы.
3. ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ КОРРУПЦИИ В ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
Разработаны прикладные модели коррупции при управлении производственными системами и инвестиционно-строительными проектами, модели борьбы с хищениями электроэнергии, модели распределения ресурсов с учетом коррупции, динамические модели эксплуатации биоресурсов и контроля качества водных ресурсов. Ввиду ограниченного объема статьи рассмотрим только два примера.
3.1. Модели коррупции при управлении инвестиционно-строительными проектами
Рассмотрим модель экономической коррупции в постановке:
g1(r, b) = (k + b)f(r) — pMb ^ max, 0 < r < 1, g2(r, b) = (1 — b)f(r) ^ max, 0 < b < 1. (17)
Пусть агент участвует в конкурсе, проводимом супервайзером; здесь r — выделяемый при победе на конкурсе ресурс (в долях от единицы), f(r) — доход агента от его использования, k — коэф-
фициент заинтересованности супервайзера в эффективном использовании ресурса (в долях от единицы), Ь — доля взятки, p — вероятность обнаружения взятки, M — штраф супервайзера в
случае обнаружения взятки. Положим /(г) = аТГ
и будем считать, что Г = г (Ь). Применение теории Гермейера дает оптимальную гарантирующую стратегию супервайзера в виде
г (b) =
1, b = b* 0, иначе.
1, a > pM,
0, a <pM, (18)
Стратегия (18) эффективна при a > pM; в этом случае справедливо g1(r*, b*) = a > 0 = gx(0, 0). При a < pM стратегия (18) эффективна лишь формально, так как в любом случае оптимальной стратегией агента является отказ от дачи взятки, при этом gx(0, 0) = g1(rP, 0) = 0. Итак, коррупция экономически невыгодна агенту, если его производственные возможности меньше ущерба супервайзера при обнаружении взятки, в противном случае агенту приходится давать максимальную взятку.
Обобщим модель (17) для случая древовидной структуры управления с супервайзером и несколькими агентами в виде
n n
gs(r, b) = Z (k + b^a^i - pM Z b ^ max,
i = 1
i = 1
Z rt = 1, r{ > 0,
i = 1
Ь) = аг(1 — ^^ ^ max, 0 < Ь. < 1, г = 1, ..., п.
Здесь а}л[г1 — производственная функция г-го агента, а. — тип агента, характеризующий его производственные возможности, г. — выделяемый г-му агенту ресурс в обмен на взятку Ь}. Суммарный доход системы определяется величиной
п
О = £ ; условие О > А можно трактовать как
I = 1
требование устойчивого развития.
В рамках дескриптивного подхода к моделированию рассмотрим сначала бескоррупционный механизм распределения ресурсов пропорционально производственным возможностям агентов вида
г = ri(a1, ..., an) = a./ Z a, b. = 0, i = 1, ..., n. 1 j = 1
В этом случае О0 = £ а^А £ а/, #0 = кО0.
/ =1 'ъ= 1
Теперь рассмотрим коррупционный механизм распределения ресурсов пропорционально размерам взяток
^ = ^ ..., Ьп) = ЬА £ ЬР I = 1, ..., и.
' 1 = 1
На нижнем уровне управления возникает игра агентов в нормальной форме
g{(b1, ..., bn) = at(1 - b;)Д/ JZ bj ^ max,
0 < bt < 1, i = 1, ..., n. (19)
Равновесие по Нэшу в игре (19) имеет вид
b1 = ... = bn = b*, b* = , откуда r{(b*, ..., b*) =
1 n 3n -1 {
= 1/n, i = 1, ..., n. Тогда
n
Gb = 1 Z a;
ЛJn t = 1
gS = i (k + ИЗ Z, ^ - ^^
jn
i = 1
Для сравнения результатов в бескоррупционном и коррупционном случаях положим и = 2 и рассмотрим два характерных варианта.
1) а1 = а2 = а.
О0 = ^ = а 72, = каЛ,
72а
Оь = — 2а = а72 = О0,
72
4 = -1 (к — 1/5)2а = ( 5 к + 1) а Л - 2РМ,
72 5
4 — ¿0 = а72 — 2рМ/5.
Таким образом, при равенстве производственных возможностей агентов суммарные доходы системы в коррупционном и бескоррупционном случаях совпадают. Чтобы сделать коррупционный механизм невыгодным для супервайзера, необходимо обеспечить выполнение условия 2рМ > а 72 .
n
2) a1 = 2a, a2 = a.
^o = 2 a 72a + a 7a = a 73 ( 2 72 + 1 ) gS = ^o 7a + 2 a 3
Gb = J_ 3a = 3 a72 gb = 3 a ( 72) - 4pM 72 2 , 10 ,
G0 — Gb = 2(276 + 73 — 372) « 1,2a > 0,
gS — gS = (5ka(9 72 — 476 — 273) + 9^72 —
— 12pM)/30 » (a(12,7 — 0,25k) — 12pM)/30.
Таким образом, при двукратном различии производственных возможностей агентов суммарный доход системы при коррупции снижается. Чтобы сделать коррупцию невыгодной для супервайзера, следует обеспечить выполнение условия (приближенного) 12pM > a(12,7 — 0,25k).
3.2. Модели борьбы с хищениями электроэнергии
Рассмотрим иерархическую систему вида принципал (энергетическая компания) — супервайзер (работник-контролер) — агент (обслуживаемое предприятие). Обозначим: p — доля от дохода компании, идущая на премию работнику; q — доля выявленных случаев подлога; b — доля «отката»; s — сообщаемое контролером значение энергопотребления, кВт -ч; r — истинное значение энергопотребления, кВт-ч, c — цена 1 кВт-ч электроэнергии, руб.; a — затраты компании на выявление всех случаев подлога, руб.; M — штраф за подлог, руб./кВт-ч.
Тогда имеем: cs — доход компании; pcs — премия работника; c(r — s) — цена скрытого энергопотребления (доход от недоплаты); bc(r — s) — «откат»; aq — затраты компании на контроль; Mq(r — s) — штраф при выявлении подлога в размере r — s.
Модель можно записать в виде
gp(p, q, s) = (1 — p)cs — aq ^ max,
0 < p < 1, 0 < q < 1, (20)
gs (p, q, s, b) = pcs + (bc — Mq)(r — s) ^ max,
0 < s < r, (21)
gA(s, b) = c(1 — b)(r — s) ^ max, 0 < b < 1. (22)
Рассмотрим сначала ситуацию с позиции агента с функцией выигрыша (22). Пусть функция
«информационной коррупции» s = s(b) известна. В простейшем иллюстративном случае будем считать ее линейной функцией размера взятки: s(b) = r (1 — b).
Таким образом, в отсутствие коррупции (b = 0) контролер сообщает принципалу истинное значение потребления s = r, а при максимально возможном «откате» b = 1 не показывает потребление вообще (s = 0). Тогда задача оптимизации агента имеет вид
gA(b) = crb(1 — b) ^ max, 0 < b < 1, ее очевидное решение b* = 1/2, при этом
s* = r/2, gA(b*) = cr/4, cb*(r — s*) = cr/4, gp(p, q, s*) = (1 — p)cr/2 — aq.
Далее, рассматривая задачу оптимизации су-первайзера (20), получаем условие неманипули-руемости механизма передачи информации о потреблении электроэнергии:
Mq > c(b — p).
(23)
В этом случае 5* = г, т. е. супервайзеру выгодно сообщать истинное значение энергопотребления. Заметим, что при нарушении условия (23) супер-вайзеру, напротив, выгодно вообще не показывать энергопотребление (5* = 0).
Теперь рассмотрим иерархическую игру Г2 (21), (22) супервайзера и агента, считая управления принципала р, q параметрами. Тогда оптимальная гарантирующая стратегия супервайзера (т. е. механизм управления, который он сообщает агенту в качестве правила своего поведения) имеет вид
5* (Ь) = |г, М > с(Ь - г), [ 0, иначе.
Это правило побуждает агента выбирать долю отката из условия Ь > г + М^с, чтобы избежать
применения супервайзером стратегии наказания р
г (Ь) = г. Итак, при любом «откате» супервайзеру выгодно сообщать истинную информацию об энергопотреблении, если выполнено условие немани-пулируемости (23), и вообще не показывать (на практике — максимально занижать) его значение, если условие (23) нарушается. Поэтому для борьбы с хищениями принципал должен обеспечить выполнение условия (23) различными методами иерархического управления (принуждением или
побуждением). Решения задач принуждения и побуждения имеют вид соответственно
1, c (b - p) / M > 1, c(b - p)/M, 0 < c(b - p)/M < 1, 0, иначе,
1, b - Mq/c > 1, b - Mq/c, 0 < b - Mq/c < 1, 0, иначе.
Ясно, что чем больше доля «отката», тем значительнее должны быть усилия принципала по борьбе с коррупцией как административными, так и экономическими методами. При некоторых значениях параметров оптимальное решение становится экономически нереальным (принципал должен отдать все средства на премию или контроль).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Сформулируем основные результаты, полученные при моделировании коррупции в иерархических системах управления (ИСУ).
• Разработана концепция моделирования коррупции в ИСУ на основе теории управления устойчивым развитием, ее основные положения апробированы при построении конкретных моделей.
• Построены и исследованы теоретические статические модели административной и экономической коррупции в одно-, двух- и трехуровневых системах управления («генетические ряды» моделей вида «задача оптимизации — иерархическая игра двух лиц — иерархическая игра трех лиц»). Обосновано различие между указанными типами коррупции, а также между попустительством и вымогательством при математической формализации. Предложены показатели сговорчивости и жадности взяточника. Найдены зависимости стратегий поведения взяткодателя от параметров модели.
• Построены и исследованы теоретические динамические модели административной и экономической коррупции в одно-, двух- и трехуровневых системах управления («генетические ряды» моделей вида «задача оптимального управления — динамическая иерархическая игра двух лиц — динамическая иерархическая игра трех лиц»). Даны определения равновесий принуждения и побуждения с учетом требований устойчивого развития при коррупции, предложены алгоритмы их нахождения.
• Построены и исследованы статические оптимизационные и теоретико-игровые модели управ-
ления инвестиционно-строительными проектами в условиях коррупции, реализован и апробирован соответствующий программный комплекс.
• Построены и исследованы модели управления качеством производственных систем различной структуры в условиях коррупции.
• Построены и исследованы динамические ряды моделей управления качеством водных ресурсов и эксплуатации биологических ресурсов в условиях коррупции.
• Построены и исследованы модели распределения ресурсов в ИСУ с учетом коррупции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rose-Ackerman S. The Economics of Corruption // Journal of Public Economics. - 1975. - N 4. - Р. 187-203.
2. Becker G. Crime and Punishment: An Economic Approach // Journal of Political Economy. - 1968. - N 76. - P. 169-218.
3. Rose-Ackerman S. Corruption: A Study in Political Economy. -N.-Y.: Academic Press, 1978. - 258 p.
4. Rose-Ackerman S. Corruption and Government: Causes, Consequences and Reform. - Cambridge University Press, 1999. -266 p.
5. Mishra A. Corruption, hierarchies and bureaucratic structure. In International Handbook on the Economics of Corruption / Ed. S. Rose-Ackerman. - Edward Elgar. - 2006. - P. 189-215.
6. Лекции по экономике коррупции / М.И. Левин, Е.А. Левина, Е.В. Покатович. - М.: Изд. дом Высшей школы экономики, 2011. - 360 с.
7. Васин А.А., Картунова П.А., Уразов А.С. Модели организации государственных инспекций и борьбы с коррупцией // Математическое моделирование. - 2010. - Т. 22, № 4. -С. 67-89.
8. Васин А.А., Николаев П.В., Уразов А.С. Механизмы подавления коррупции // Журнал новой экономической ассоциации. - 2011. - № 10. - С. 10-30.
9. Левин М.И., Цирик М.Л. Коррупция как объект математического моделирования // Экономика и математические методы. - 1998. - Т. 34, № 3. - C. 40-62.
10. Полтерович В.М. Факторы коррупции // Экономика и математические методы. - 1998. - Т. 34, № 3. - С. 30-39.
11. Выборнов Р.А. Модели и методы управления организационными системами с коррупционным поведением участников. - М.: ИПУ РАН, 2006. - 110 с.
12. Basu K., Bhattacharya S., Mishra A. Notes on bribery and the control of corruption // Journal of Public Economics. - 1992. -N 48. - P. 349-359.
13. Olsen T.E., Torsvik G. Collusion and Renegotiations in Hierarchies: A Case of Beneficial Corruption // International Economic Review. - 1998. - Vol. 39, N 2. - P. 143-157.
14. Yang D. Corruption by monopoly: Bribery in Chinese enterprise licensing as a repeated bargaining game // China Economic Review. - 2005. - N 16. - P. 171-188.
15. Lambert-Mogiliansky A., Majumdar M., Radner R. Strategic analysis of petty corruption: Entrepreneurs and bureaucrats // Journal of Development Economics. - 2007. - N 83. -P. 351-367.
16. Bhattacharya S., Hodler R. Natural resources, bureaucracy and corruption // European Economic Review. - 2010. - N 54. -P. 608-21.
17. Balafoutas L. Public beliefs and corruption in a repeated psychological game // Journal of Economic Behavior and Organization. - 2011. - N 78. - P. 51-59.
q
*
18. Blackburn K., Forgues-Puccio G.F. Financial liberalization, bureaucratic corruption and economic development // Journal of International Money and Finance. — 2010. — N 29. — P. 1321—1339.
19. Cerqueti R., Coppier R. Economic growth, corruption and tax evasion // Economic Modeling. — 2011. — N 28. — P. 489—500.
20. Рыбасов Е.А., Угольницкий Г.А. Математическое моделирование иерархического управления эколого-экономически-ми системами с учетом коррупции // Компьютерное моделирование. Экология. — 2004. — Вып. 2. — С. 46—65.
21. Угольницкий Г.А., Горбанева О.И. Задача распределения ресурсов в организационной системе с учетом коррупции и ее экологические приложения // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. — 2007. — № 1. — С. 43—47.
22. Денин К.И., Угольницкий Г.А. Теоретико-игровая модель коррупции в системах иерархического управления // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2010. — № 1. — С. 192—198.
23. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Управление устойчивым развитием иерархических систем в условиях коррупции // Проблемы управления. — 2010. — № 6. — С. 19—26.
24. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Устойчивое развитие систем управления с учетом коррупции // Математическая теория игр и ее приложения. — 2010. — Т. 2, вып. 4. — С. 106—119.
25. Угольницкий Г.А., Денин К.И. Математические модели коррупции. Теория и приложения — LAP Lambert Academic Publishing, 2011. — 152 c.
26. Розин М.Д., Сущий С.Я., Угольницкий Г.А. Методологические аспекты моделирования борьбы с коррупцией как фактором социальной конфликтности и терроризма // Научная мысль Кавказа. Междисциплинарные и специальные исследования. — 2011. — № 2 (18). — С. 32—51.
27. Antonenko A.A., Ougolnitsky G.A., Usov A.B. Static Models of Corruption in Hierarchical Control Systems // Contributions to game theory and management. Vol. V. Collected papers presented on the Fifth International Conference Game Theory and Management / Eds L. Petrosyan, N. Zenkevich. — SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2012. — P. 20—32.
28. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Статические модели коррупции в системах контроля качества водных ресурсов // Проблемы управления. — 2012. — № 4. — С. 38—44.
29. Антоненко А.В., Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Статические модели борьбы с коррупцией в иерархических системах управления // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2013. — № 4. — С. 165—176.
30. Горбанева О.И., Угольницкий Г.А. Статические модели учета фактора коррупции при распределении ресурсов в трехуровневых системах управления // Управление большими системами. — 2013. — Вып. 42. — С. 195—216.
31. Chernushkin A.A., Ougolnitsky G.A., Usov A.B. Dynamic Models of Corruption in Hierarchical Control Systems // Contributions to game theory and management. Vol. VI. Collected papers presented on the Sixth International Conference Game Theory and Management / Editors L. Petrosyan, N. Zenkevich. — SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2013. — P. 63—74.
32. Antonenko A. V., Ougolnitsky G.A. Static Models of Corruption in Hierarchical Systems // Advances in Systems Science and Application. — 2013. — Vol. 13, N 1. — P. 37—52.
33. Gorbaneva O.I., Ougolnitsky G.A. Purpose and Non-Purpose Resource Use Models in Two-Level Control Systems // Advances in Systems Science and Application. — 2013. — Vol. 13, N 4. — P. 378—390.
34. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Моделирование коррупции в трехуровневых системах управления // Проблемы управления. — 2014. — № 1. — С. 53—62.
35. Горбанева О.И., Угольницкий Г.А. Теоретико-игровые модели распределения ресурсов при управлении качеством речной воды в условиях коррупции. Ч. 1 // Эвристические алгоритмы и распределенные вычисления. — 2014. — Т. 1, вып. 1. — С. 16—24.
36. Горбанева О.И., Угольницкий Г.А. Теоретико-игровые модели распределения ресурсов при управлении качеством речной воды в условиях коррупции. Ч. 2 // Там же, вып. 2. — С. 21—29.
37. Угольницкий Г.А. Усов А.Б. Модели борьбы с административной коррупцией в иерархических системах управления // Математическая теория игр и ее приложения. — 2014. — Т. 6, вып. 1. — С. 73—90.
38. Горбанева О.И., Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Моделирование коррупции в иерархических системах управления. — Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2014. — 412 с.
39. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. — М.: Радио и связь, 1982. — 144 с.
40. Горелик В.А., Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. — М.: Радио и связь, 1991. — 288 с.
Статья представлена к публикации членом редколлегии
В.Н. Бурковым.
Горбанева Ольга Ивановна — канд. физ.-мат. наук, доцент,
Усов Анатолий Борисович — д-р физ.-мат. наук, профессор,
Угольницкий Геннадий Анатольевич — д-р физ.-мат. наук,
зав. кафедрой, S (863) 297-51-14, И [email protected],
Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону.
iößaa книга
Горбанева О.И., Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Моделирование коррупции в иерархических системах управления: монография. — Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2014. — 412 с. (ISBN 978-5-9905703-6-8).
Представлена авторская концепция математического моделирования коррупции в иерархических системах управления. Сформулированы основные положения концепции. Построены и исследованы теоретические модели административной и экономической коррупции в статических и динамических постановках, а также прикладные модели управления организационными и эколого-экономическими системами в условиях коррупции.
Для специалистов по прикладной математике, математической экономике и организационному управлению, аспирантов и студентов соответствующих специальностей, а также сотрудников органов государственного управления.
