CC BY
112№2(22) 2011
Г. И. Пеникас
Модели «копула» в задачах хеджирования
ценового риска1
Статья посвящена сравнению эффективности применения моделей «копула» и традиционного метода наименьших квадратов в операциях хеджирования. В работе рассмотрены как параметрический, так и полупараметрический способы оценки копулы. Эффективность приложения моделей «копула» проявляется в том, что полученное на их основе хеджирующее соотношение приводит к более низкой волатилъности стоимости захеджированного портфеля и одновременно к более высокой доходности на периоде ретроспективного прогноза. Данный результат удается получить в задачах прямого хеджирования, тогда как в задачах перекрестного — метод наименьших квадратов дает лучшиерезультаты.
Ключевые слова: копула, хеджирование (прямое и перекрестное), хеджирующее соотношение. JEL classification: С58, D81, G10.
1. Введение
В связи с переходом российской банковской системы на ведение учета в соответствии с международными стандартами финансовой отчетности (МСФО) особую актуальность приобретают вопросы корректного проведения операций хеджирования для их последующего учета. Основными являются следующие три вида операций хеджирования2:
• хеджирование справедливой стоимости актива;
• хеджирование денежных потоков;
• хеджирование инвестиций в зарубежные дочерние компании (также называемое хеджированием капитала).
1 Автор выражает искреннюю благодарность С. А. Айвазяну за научное руководство при подготовке данного исследования, а также признательность Д. Фантаццини и А. В. Кудрову за комментарии, высказанные при обсуждении первых результатов работы на IX Международной конференции «Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества» (Москва, 24-26 августа 2010 г.).
2 См. п. 86 стандарта IAS 39. Согласно МСФО, существует отдельный порядок учета операций хеджирования (подробнее см. пп. 71-102, AG 94-132 в стандарте IAS 39). Одним из принципов подготовки отчетности является представление финансового результата в рамках однородного массива операций. Так, в части операций хеджирования не допускается отдельно показывать полученные доходы (расходы) по базовому активу и расходы (доходы), связанные с форвардным активом, если операция хеджирования признана эффективной. В рамках стандарта эффективным (см. п. AG105 там же) признается хеджирование, если изменение стоимости хеджирующего инструмента составило 80-125% изменения стоимости хеджируемого. Соответственно, часть изменения стоимости, признанная неэффективной, выносится отдельной строкой финансового результата.
№2(22) 2011
Несмотря на разную природу этих операций, их объединяет необходимость выбора оптимального хеджирующего соотношения. Исторически подходы к его определению изменялись от самого простого, когда выбиралось соотношение «один-к-одному», до более сложных, учитывающих распределения доходностей активов. Наиболее распространенным из них является метод наименьших квадратов (МНК), подробно описанный ниже, но он имеет существенный недостаток. Этот метод предполагает наличие линейной зависимости между доходностями двух активов, что, как будет показано далее, не соответствует действительности. Поэтому возникает потребность поиска модели хеджирования, позволяющей учесть негауссовский характер двумерного совместного распределения доходностей активов.
Для решения данной задачи могут быть использованы модели «копула», поскольку на основе теоремы Склара они позволяют разделить этапы моделирования частных распределений и формы их «связки» (самой копулы). Отдельные исследователи (см., например, (Hsu et al., 2007; Lai et al., 2009)) предлагают модель «копула-GARCH», позволяющую повысить эффективность операций хеджирования. В данной же работе модели «копула» будут использованы для восстановления многомерного совместного распределения доходностей в рамках решения задачи поиска оптимального хеджирующего соотношения. Целью работы является анализ эффективности применения моделей «копула» в операциях прямого и перекрестного хеджирования в терминах снижения волатильности и повышения доходности захеджированного портфеля (по сравнению с МНК, где взаимосвязь доходностей активов описывается линейной регрессионной зависимостью).
2. Обзор литературы
Для введения в проблематику хеджирования целесообразно рассмотреть работы, авторы которых существенным образом продвинулись в данной области. Выделим шесть основных работ: (Cecchetti et al., 1988; Myers, Hanson, 1996; Mello, Parsons, 2000; Chang, Wong, s? 2003; Hsu et al., 2007; Lai et al., 2009). Первые три из них носят теоретический характер ¡^ и фокусируют свое внимание на модификации хеджирующего соотношения с целью уче-2 та полезности хеджирующего агента, дисконтирования будущей стоимости хеджируемого о актива и учета издержек ликвидности, а остальные три являются прикладными и связаны J с применением опционов и моделей «копула» в операциях хеджирования. Переходя от од-| ной работы к другой, подробнее рассмотрим, как исторически развивалось исследование о вопросов хеджирования.
^ Отталкиваясь от статьи (Cecchetti et al., 1988), введем базовые понятия теории хеджи-g рования.
£ Допустим, существует позиция CASH в активе, изменение стоимости которой мы хотим за-¡J хеджировать. Такая позиция называется текущей, хеджируемой, а актив — базовым, хеджируемым. Доходность3 цены базового актива будем обозначать RCASH, а ее дисперсию — оCASH. ® Пусть существует другой актив, открытие встречной позиции FWD в котором позволяет Ц захеджировать риск изменения стоимости базового актива. Такой актив называют хеджи-| рующим инструментом. Поскольку, как правило, для цели хеджирования текущей позиции,
s когда на балансе учитывается реальный актив, выбирается сделка с датой исполнения в бу-§ _
§ 3 Под доходностью понимается однодневный логарифмический прирост цены актива.
I №
2(22) 2011
дущем (срочная сделка), которая отражается на внебалансовых счетах, то позицию в хед- | жирующем инструменте принято называть хеджирующей, срочной, форвардной. Причем Ц в случаях, когда хеджирующим инструментом является контракт на базовый актив, такое ^ хеджирование называется прямым', когда на другой актив — перекрестным. Цена хеджи- ^ рующего актива подчинена закону распределения ее доходности RFWD с дисперсией о2FWD.
Определим захеджированный портфель H как линейную комбинацию из двух активов: хеджируемого (CASH) и хеджирующего (FWD). Пусть коэффициент h (хеджирующее соотношение) определяет долю хеджирующего инструмента в портфеле H. Тогда его доходность RH будет определяться формулой
RH ~ RCASH ~ hRFWD ' (!)
а дисперсия о2H портфеля H примет значение
G H ~ & CASH h G FWD ~ 2h@ CASH,FWD '
где: RH, оH — случайная величина (логарифмической) доходности захеджированного портфеля и ее дисперсия; RCASH, оCASH — случайная величина (логарифмической) доходности базового (текущего, хеджируемого) актива и ее дисперсия; RFWD, о2FWD — случайная величина (логарифмической) доходности форвардного (срочного, хеджирующего) актива и ее дисперсия; h — хеджирующее соотношение; aCASH FWD — ковариация случайных величин доходностей RCASH и RFWD.
Само понятие «хеджирование» предполагает нивелирование риска изменения стоимости базового актива, т. е. минимизацию дисперсии доходности захеджированного портфеля И, или до И / дИ = 0. Тогда, если подставить данное условие в формулу (2), получается следующее оптимальное хеджирующее соотношение И * , которое также равно коэффициенту регрессии Яр№В на ЯСАШ, что более подробно описано в Приложении 2.
& CASH ,FWD 2
& FWD
(3)
В статье (Cecchetti et al., 1988) также вводится принцип оптимального хеджирования. Последний отличается от традиционной минимизации дисперсии базового актива (см. формулу (3)) тем, что, исходя из понятия функции полезности инвестора, предлагает выбирать такой хеджирующий коэффициент h{t), который максимизирует следующую функцию:
f f log(1 + Rcash (t) - h(t)Rfwd(t))f (Rcash ,Rfwd Wcash^fwd , (4)
rfwd rash
где f (Rcash , Rfwd) — плотность двумерного гауссовского распределения с ковариационной матрицей, определяемой ARCH-моделью; остальные обозначения аналогичны введенным ранее с учетом момента времени t.
В работе (Myers, Hanson, 1996) модифицирован расчет оптимального хеджирующего соотношения путем корректировки традиционного подхода в двух аспектах. Во-первых,
№2(22) 2011
хеджирующее соотношение (3) домножается на дисконт-фактор, чтобы учесть будущую ожидаемую стоимость позиции (при динамическом подходе ежедневной корректировки срочной позиции). Во-вторых, учитывается коэффициент (лаговый полином) возвращения к среднему — фактически, коэффициент серийной автокорреляции доходности хеджируемой позиции. Его учет позволяет сделать вывод о том, что использование хеджирования целесообразно только в случае, когда инвестор не ожидает возвращения будущей цены к ее ожидаемому (среднему) уровню. Работа строится на основе модели срочного рынка с несмещенными ценами, т. е. в случае, когда цена срочного инструмента удовлетворяет условию мартингальности (Myers, Hanson, 1996, p. 15).
В статье (Mello, Parsons, 2000) рассматривается стоимость хеджирования в привязке к стоимости фондирования и объемам доступной ликвидности. Авторы делают следующие выводы:
а) наличие значительной ликвидности стимулирует поддержание меньшего хеджирующего соотношения с целью максимизации доходности (в случае же ограниченной ликвидности приоритетом становится сохранение текущего размера хеджируемой позиции, поскольку в случае убытков организация будет не в состоянии их компенсировать из-за ограничений ликвидности);
б) хеджирование денежных потоков часто является неоптимальной стратегией в отличие от хеджирования справедливой стоимости, т. к. требует отвлечения существенных денежных потоков.
В работе (Chang, Wong, 2003) рассматривается перекрестное хеджирование на валютном рынке ввиду отсутствия возможностей прямого хеджирования (например, для валютного треугольника стран Тайвань-Япония-США). Для исследования берутся данные о ежедневных котировках фьючерсов и опционов за период 1997-2001 гг. Авторы показывают, что по сравнению с применением только фьючерсов дополнение модели опционами повышает эффективность хеджирования в смысле минимизации дисперсии стоимости захеджирован-ного портфеля, которая определяется по формуле:
§ и
| П, = ShtS2ttXt + (F - Sht)Ht + (p - maxOV! - SM, 0))Zt, (5)
о о
0
J где П, — стоимость захеджированного портфеля на момент t, выраженная в единицах
| третьей валюты; Xt — количество базового актива (число единиц национальной, хеджи-
| руемой, валюты) в момент^; Slt — обменный курс иностранной валюты к третьей валюте
^ в момент t; Slt — обменный курс национальной валюты к иностранной в момент t; Ht —
1 количество проданных фьючерсов на валюту (купленных, если величина отрицательна) £ по цене фьючерсного контракта Ft в момент времени t; Zt — число проданных (купленных, ¡j если величина отрицательна) опционов на валюту с правом на продажу с ценой исполнения
(страйком) S, и размером опционной премии Pt в момент времени t,
о
Ц В (Hsu et al., 2007) авторы исследуют повышение эффективности операций хеджирования
| за счет применения моделей «копула». В работе модели копула сравниваются с моделями
s DCC-, CCC-GARCH (модели условной гетероскедастичности с динамической и постоянной
® условной корреляцией соответственно). Частные распределения моделируются стандартным
§ и нецентральным ¿-распределением. Оценка копул проводится параметрическим способом
№2(22) 2011
Inference For Margins (IFM), когда вначале оцениваются частные распределения, а затем — | копула. В основе исследования лежат дневные данные биржевых индексов и фьючерсов Ц на них за период 02.01.95-31.10.05. Авторы изучают применение копул к моделям прямо- ^ го и перекрестного хеджирования. Так, если для анализа прямого хеджирования анализи- ^ руются данные о динамике цен американского и английского биржевых индексов SP 500 и FTSE 100, то для перекрестного используются данные о ценах фондовой биржи Швейцарии MSCI и котировках швейцарского франка к доллару США. В итоге делается вывод, что копулы оказываются более эффективными при определении оптимального хеджирующего соотношения, причем гауссовская копула эффективна для операций прямого хеджирования, а копула Гумбеля — для перекрестного.
В статье (Lai et al., 2009) также рассматриваются возможности применения копул к стратегиям хеджирования. Но, в отличие от (Hsu et al., 2007), моделирование частных распределений основано на моделях T-GARCH, позволяющих улавливать разное влияние на во-латильность повышательных и понижательных движений исследуемой переменной. Основываясь на ежедневных данных о котировках пяти индексов стран Юго-Восточной Азии и фьючерсов на них за период с 01.01.98 по 10.06.05, авторы делают вывод о преимуществе использования копул в хеджировании, поскольку это позволяет повысить среднюю доходность инвестиционного портфеля и снизить его вариацию по сравнению с традиционными методами определения оптимального хеджирующего соотношения. Подобно (Hsu et al., 2007), в работе (Lai et al., 2009) отмечается, что особенно эффективной в части моделирования прямого хеджирования оказалась гауссовская копула и копула Стьюдента. Также указано, что использование копул целесообразно на высоковолатильных рынках (Корея, Тайвань), тогда как на стабильных (Япония, Сингапур) традиционные стратегии, основанные на методе наименьших квадратов, оказываются достаточными.
3. Методология исследования
Для цели проведения динамического хеджирования на каждый будущий момент времени t определяется хеджирующее соотношение на основе данных , доступных до момента времени t — 1 включительно. Данные Qt4 включают совместное распределение случайных величин доходностей базового актива RCASH и срочного RFWD-
Затем на момент времени t — 1 извлекаются частные функции распределения случайных величин Rcash и Rfwd и по ним оценивается копула. На основе полученной оценки параметра копулы проводится имитационное моделирование с 10000 генераций копулы. По сгенерированным данным копулы и функциям распределения восстанавливается совместное двумерное распределение. Оптимальное хеджирующее соотношение определяется коэффициентом h* (t), дающим минимальный убыток от портфеля с (купленной/проданной) позицией в базовом активе и встречной (проданной/купленной) — в хеджирующем активе, взятом в доле h* (t) при заданном уровне значимости, т. е.:
hh (t) = arg min { quantilea (Rcash (t) - h(t)Rfwd (t)) } , (6)
h (t)
где quantilea (x) — квантиль уровня а распределения случайной величины x (%).
I 7
№2(22) 2011
В рамках исследования будут рассмотрены 1% и 5%-ный уровни значимости.
В момент времени V фиксируется доходность Я*н (V) захеджированного портфеля, рассчитываемая по формуле:
К (О = (О - к* №^ (О, (7)
где звездочка (* )у случайных величин доходно стей обозначает их реализацию в момент^.
Тогда сумма доходностей Ян захеджированного портфеля есть общий финансовый результат (далее РЬ — прибыль, если величина положительна, и убыток в противном случае) от захеджированного портфеля:
Я н =2 ЯН (О- (8)
г
Хотя в (Клт е1 а1., 2007) отмечается, что стоит отдавать предпочтение полупараметрическим методам оценки (когда берутся частные эмпирические функции распределения и по ним параметрически оценивается копула), чем полностью параметрическим в ситуациях, когда параметрически оцениваются частные распределения и копула, и нет априорной информации о виде частных распределений, в данной работе сравниваются оба метода. При параметрическом подходе оцениваются параметры распределения Стьюдента для частных распределений.
В рамках исследования рассматриваются десять копул4 из основных семейств: эллипсо-образные (гауссовская и Стьюдента с 5 и 10 степенями свободы), архимедовы (Клэйтона, Гумбеля, Франка), экстремальные (Коши, Галамбоса, Хайслера-Райса) и другие (Плаке). Наилучшей копулой для конкретной задачи хеджирования (прямого или перекрестного) признается та, которая дает наименьшее стандартное отклонение при проведении ретроспек-§ тивного прогноза. При стандартном отклонении, меньшем, чем в случае применения МНК, ¡^ наилучшей будет копула, приводящая к наибольшему финансовому результату. В таблице 1 ¡2 приводятся аналитические формы записи, используемые в исследовании копул.
о
о »
Результат, полученный на основе копул, сопоставляется с расчетами в предположении | многомерной нормальности. Причем используются два подхода. С одной стороны, анали-| зируется результат при применении формулы (3), обозначаемый далее как МНК1. С другой ^ стороны, следуя вышеописанному алгоритму параметрической оценки копулы, реализуется §: второй подход, когда генерируется гауссовская копула, а частные распределения оценива-£ ются не в рамках распределения Стьюдента, а в рамках предположения о гауссовском рас-| пределении. Результат применения данного подхода далее обозначается как МНК2.
В качестве критериев эффективности рассматриваются (на периоде ретроспективного ° прогноза):
Ц 1) минимизация волатильности в терминах стандартного отклонения случайной вели-
§ чины Ян (V);
^ 2) при выполнении первого критерия — максимизация суммарной доходности РЬ. § _
^ -
§ 4 Подробнее о понятии копулы см. (7ое, 1997; СЬегиЫт е1 а1., 2004; Ыекеп, 2006).
ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА Г №2(22) 2011
Таблица. 1. Основные функциональные формы двумерных моделей «копула»
Наименование копулы Формула двумерной копулы С(и<г>, и<2)); а — параметр копулы;
Эллипсообразные копулы
Гауссовская5 Я г-exp ( 2az1z2^ ¿Л 2 W1-«2 l 2(1-a2 ) ) 1 2 (9)
Стьюдента6 v+2 "<2> '(r 1 L + z22 - 2«z1z2 V~ J J 1 1 -, exp 11H—1-2-^^ I dz1dz2, ¿Л 2W1-«2 4 v(1-a2) ) 1 где v — число степеней свободы копулы (10)
Архимедовы копулы
Франка
Клэйтона
Гумбеля
-Iln
а
1 +
(e~a"m -1)(e-au'22 -1)
(е^-ГГ1
[(и (V + (и (2))-"-1]_1' * exp|-((-ln и (1))а + (-ln и (2))а)1'
(11)
(12) (13)
I
С
s с
Экстремальные копулы
Галамбоса7 Хаслера-Райса8
и (1)и(2) exp|[ (-ln и <V + (-ln и (Т>уаУ "}
i nJ 1 a, lnи(1) \ m( 1 a, lnи(2) exp \ —и I — + — In:—~ | - и | —h—ln
а 2 ln и
а 2 ln и{
(14)
(15)
Прочие копулы
Плаке9 1 + (а- 1)(и(1) + и(2))-^(1 + (а- 1)(и(1) + и(2)))2 -4и(1)и(2)a(a-1) 2(«-1) (16)
Альтернативными подходами к поиску оптимального хеджирующего соотношения являются модели коинтеграции (подробнее см. (Ghosh, 1993; Lien, 2004)), когда множитель, корректирующий краткосрочную динамику временных рядов в модели коррекции ошибок
5 (СЬегиЫт ег а1., 2004, р. 63; СесЬ, 2006, р. 21).
6 Экстремальная копула Кошн — это копула Стьюдента с одной степенью свободы.
7 (ОЬоиШ еИ а1., 1998, р. 190).
8 (Воиуеега1.,2000,р.49).
9 В случае, когда параметр а равен единице, копула Плаке принимает форму независимой копулы (см. (Кекеп, 2006, р. 91)).
№2(22) 2011
(ЕСМ), соответствует искомому значению оптимального хеджирующего соотношения. Сравнение результатов применения моделей «копула» с коинтеграционными моделями не являлось предметом настоящего исследования.
4. Описание первичныхданных
Для исследования использовались данные биржи «Российская Торговая Система» (РТС). В качестве базового актива были взяты обыкновенные акции компании ЛУКОЙЛ (ЬКОН). Для цели прямого хеджирования были отобраны фьючерсные10 контракты на обыкновенные акции ЛУКОЙЛ (ЬКОНБ), для перекрестного — на акции компании Сургутнефтегаз (8М08Р), как компании с аналогичным профилем деятельности, что находит отражение в сонаправленном движении цен акций ЛУКОЙЛа и Сургутнефтегаза. В качестве периода исследования был выбран период с 28 апреля 2007 г. по 9 апреля 2010 г. (всего 693 наблюдения11), поскольку в более ранний период активных торгов рассматриваемыми фьючерсными контрактами не наблюдалось. Динамика цен выбранных активов приводится на рис. 1.
*
о
о о
0
1
ф
а
I
та о
0
1
*
120
100
80 +" '
60
40
20
14
12
10
--,+8 §
ькоы
ЬКОЫБ
Рис. 1. Динамика цен выбранных активов (долл. за 1 акцию)
I §
Необходимо прокомментировать порядок построения временных рядов котировок срочных (фьючерсных) контрактов. Отдельный фьючерсный контракт имеет дату исполнения, после которой он официально не торгуется (это отличает его от акций, которые теорети-
10 Источник: http://www.rts.ru/ru/forts/contractresults.html.
11 В случае наличия пропущенных значений в котировках проводилась линейная интерполяция между двумя ближайшими доступными значениями.
6
4
0
2
№2(22) 2011
чески могут торговаться бесконечно). Такой контракт также не торгуется (т. е. отсутствуют | спрос и предложение) уже за две недели до даты исполнения. При этом до даты его погаше- 1 ния на рынке появляется контракт с более дальней датой исполнения. Учитывая, что инве- ^ сторов привлекает более ликвидный контракт (более близкий к дате исполнения), то такой ^ контракт и будет использован для цели хеджирования. Поэтому временной ряд срочного контракта был построен как котировка торгуемого контракта с наиболее близкой датой исполнения. Такой тип временных рядов мы бы назвали составным (в англоязычном оригинале — generic).
Поскольку фьючерсы на РТС торгуются в рублях, а акции — в долларах, то для приведения данных к единому базису в долларах были использованы данные об обменных курсах с сайта ЦБ РФ. Так как фьючерс — это биржевой контракт на несколько лотов (штук) базового актива, при построении временного ряда цен хеджирующего инструмента необходимо было скорректировать цену контракта на количество входящих в него лотов (10 — для фьючерсов на акции ЛУКОЙЛа, 1000 — для Сургутнефтегаза).
В качестве обучающей выборки был взят период с 28 апреля 2007 г. по 31 декабря 2009 г. (630 точек), а в качестве экзаменующей — с 1 января 2010 г. по 9 апреля 2010 г. (63 точки).
Отметим, что совместное распределение доходностей для задач как прямого, так и перекрестного хеджирования не является гауссовским, прежде всего, в силу того, что частные распределения рядов доходностей акций ЛУКОЙЛа и фьючерсов на акции ЛУКОЙЛа и Сургутнефтегаза не являются гауссовскими. Это подтверждают описательные статистики, приведенные в Приложении 1. Например, для всех распределений коэффициент асимметрии отрицателен, а эксцесс превышает 8 (для гауссовского распределения эти значения равны ОиЗ соответственно).
Совместные распределения рядов доходностей, приведенные на рис. 2а, характеризуются наличием аномальных значений. При этом распределение при прямом хеджировании является более концентрированным (корреляция доходностей составляет 83%), чем при перекрестном (корреляция 53%). Это объясняется тем, что динамика цен фьючерсных контрактов в большей степени характеризуется именно движением цен базового актива, которым для фьючерсов на акции Сургутнефтегаза будут акции Сургутнефтегаза, а не ЛУКОЙЛа.
Если сравнить копулы совместных распределений, то видно, что для прямого хеджирования характерна более высокая концентрация точек в хвостах распределений, чем для перекрестного (см. рис. 26). Такой визуальный анализ позволяет сформулировать гипотезу, что наилучшей копулой для задачи прямого хеджирования будет одна из экстремальных моделей, тогда как для перекрестного — не экстремальная (см. табл. 1 выше). Для обоих же случаев наиболее вероятным будет предпочтение симметричных моделей «копула», т. к. визуально выраженное скопление точек в верхних и нижних хвостах распределений носит симметричный характер.
Перед поиском наилучшей модели «копула» и ее сравнением с использованием МНК был проведен тест на независимость, предложенный Женестом и Ремийярдом (Genest, Re-millard, 2004) и основанный на статистике, измеряющей «расстояние» от эмпирической копулы до копулы, соответствующей совместной независимости анализируемых случайных величин. Тест призван проверить, является ли копула рассматриваемого распределения копулой произведения (product copula), соответствующей распределению независимых случайных величин. Графическим представлением результатов теста является депендограмма
№2(22) 2011
Хеджирование
10
к
о о
-10
Прямое
Л о
00 ° о °
о ° 0 ос
-20 -10 0 10 20 ЬКОН
10
С
й 0
-20
Перекрестное
-20 -10
0 10 20 ЬКОН
а) двумерное эмпирическое распределение логарифмических доходностей
20
1.0
й 0.6 О К
0.4 -
*
О
о о
0
1
ф
а
I
та о
0
1 *
I §
3 <« = °о°£
1.0
£ 0.6
с £
„О® о"«" о о О °
0.4
° «о»««1®0"
ООО
ПЖо оо»
0
0.0
0.2
0.4 0.6 ЬКОН
1.0
0.4 0.6 ЬКОН
б) двумерная копула совместного распределения логарифмических доходностей
Рис. 2. Двумерные распределения доходностей и их копулы
на рис. 3. Статистика фон Мизеса равна 5.633, что соответствует уровню значимости 4.995%. Таким образом, тест показывает, что копулы для задач как прямого, так и перекрестного хеджирования не являются распределениями независимых случайных величин.
После проведения теста на независимость был реализован алгоритм12 поиска момента структурного сдвига в копуле, описанный в работе (Бродский и др., 2009), в рамках решения задач как прямого, так и перекрестного хеджирования. Максимальное значение исследуемая статистика (см. (Бродский и др., 2009, с. 5, формула (5)) принимает в наблюдениях
12 Программный код (для среды Я) поиска структурного сдвига в копуле и решения задач хеджирования ценового риска может быть предоставлен автором по запросу.
№2(22) 2011
4 -,
3 -
2 -
1 -
0 J
I
С
{1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}
Рис. 3. Депендограмма рассматриваемых комбинаций случайных величин
Примечание. Доходности по активам: 1 — ЬКОН, 2 — ЬКОНБ, 3 — 8Ы08К По вертикали в столбцах отложено значение статистики для пар случайных величин. Точками отмечены критические значения статистики, случаи ниже которых соответствуют независимости рассматриваемых случайных величин.
458 и 21 (от 28 апреля 2009 г. и 26 июля 2007 г.) для задач прямого и перекрестного хеджирования соответственно (см. рис. 4).
Хотя для задачи перекрестного хеджирования явно наблюдается доминирование13 копу-лы после структурного сдвига над копулой до сдвига, динамика статистики указывает на то, что более вероятным моментом структурного сдвига будет апрель 2009 г., поскольку значение искомой статистики поступательно возрастает к этому моменту. Тем не менее, в задаче хеджирования сохраняется неопределенность относительно точного момента сдвига.
Хеджирование
Прямое
Перекрестное
70 60 50 40 30 20 10
60 50 40 30 20 10 0
104 204 304 404 504 604 Номер наблюдения в выборке
104 204 304 404 504 604 Номер наблюдения в выборке
Рис. 4. Динамика тестовой статистики для поиска момента структурного сдвига в задачах
хеджирования ценового риска
13 См. (Пеникас, 2010, с. 26, свойство (3)).
13
70
0
4
4
№2(22) 2011
Так, область наблюдений с 420 по 617 (с 4 марта 2009 г. по 11 декабря 2009 г.) характеризуется максимальными значениями исследуемой статистики, статистически незначимо отличными друг от друга. В виду отсутствия возможности точно определить момент структурного сдвига и для сохранения достаточного числа наблюдений в обучающей выборке (при принятии гипотезы о том, что структурный сдвиг имел место в наблюдении 617, для оценки копулы до 630 наблюдения останется только 13 наблюдений), принято решение использовать полный исходный набор данных.
5. Результаты эконометрического исследования
Эконометрическое исследование было проведено в программной среде Я. Результаты исследования представлены в табл. 2 и 3 для полупараметрического и параметрического подходов соответственно.
Таблица 2. Суммарный финансовый результат (РЬ) и стандартное отклонение (8Б) подневных значений при полупараметрическом подходе к оценке копулы (1% и 5%-ные уровни значимости)
Прямое хеджирование Перекрестное хеджирование
1% 5% 1% 5%
РЬ РЬ РЬ РЬ
Гауссовская -0.0036 0.0112 -0.0084 0.0112 -0.0519 0.0144 -0.0474 0.0141
Стьюдента (5 степеней свободы) -0.0073 0.0114 -0.0142 0.0112 -0.0670 0.0140 -0.0686 0.0145
Стьюдента (10 степеней свободы) 0.0041 0.0111 -0.0097 0.0111 -0.0516 0.0141 -0.0614 0.0143
Клэйтона -0.0144 0.0114 -0.0141 0.0112 -0.0501 0.0143 -0.0352 0.0138
Гумбеля -0.0097 0.0112 -0.0069 0.0112 -0.0679 0.0151 -0.0671 0.0145
Франка -0.0104 0.0114 -0.0126 0.0113 -0.0198 0.0138 -0.0405 0.0141
Коши 0.0014 0.0111 -0.0100 0.0112 -0.0471 0.0141 -0.0713 0.0150
Галамбоса -0.0067 0.0112 -0.0159 0.0111 -0.0868 0.0153 -0.0578 0.0145
Хайслера - Райса -0.0098 0.0112 -0.0114 0.0112 -0.0687 0.0149 -0.0623 0.0145
Плаке -0.0014 0.0114 -0.0110 0.0111 -0.0272 0.0136 -0.0272 0.0137
МНК1 -0.0083 0.0111 -0.0083 0.0111 -0.0484 0.0140 -0.0484 0.0140
МНК2 -0.0049 0.0111 -0.0243 0.0116 0.0246 0.0122 -0.0013 0.0121
*
о
о о
0
1
ф
а
I
та о
0
1
&
та
5
«
со Примечание. Данные приведены в процентах от цены актива. Курсивом выделены модели, превосходящие
та по данному параметру МНК в части эффективности операции хеджирования.
¡^ МНК1 — решение задачи на минимум ошибки отклонения; МНК2 — решение оптимизационной задачи в пред-
§ положении гауссовской копулы и гауссовских частных распределений.
® В рамках полупараметрического подхода для задачи прямого хеджирования на 1%-ном
§ уровне значимости однозначно наилучшей является копула Коши, поскольку она не только
№2(22) 2011
позволяет уменьшить волатильность доходности захеджированного портфеля до 0.01106%, | но и приводит к более высокому доходу +0.00139% (при МНК доходы равны 0.00829% 1 и -0.00489%, т.е. имеют место убытки). На 5%-ном уровне лучшими по критерию мини- ^ мизации стандартного отклонения оказываются копулы Галамбоса и Плаке, которые позво- ^ ляют моделировать нестандартные (экстремальные) зависимости.
Для задачи перекрестного хеджирования наилучшей (относительно МНК1) как на 1%-ном, так и на 5%-ном уровнях значимости является копула Плаке, которая приводит к финансовому результату в -0.02716%, что выше, чем при МНК1 (-0.04844%) при снижении волатильности в терминах стандартного отклонения до 0.1363%. Тем не менее, МНК2 оказывается предпочтительнее при перекрестном хеджировании, что объясняется меньшей степенью взаимосвязи между переменными.
В рамках параметрического подхода на 1%-ном уровне наилучшей по обоим критериям оказывается копула Хайслера-Райса. При этом по критерию максимизации доходности лучшими оказываются копулы Гумбеля и Галамбоса (на 1%-ном уровне), Гумбеля и Франка (на 5%-ном), что, однако, сопровождается ростом волатильности. Для задачи же перекрестного хеджирования наблюдается аналогичная ситуация, когда методы МНК оказываются предпочтительнее.
Таблица 3. Суммарный финансовый результат (РЬ) и стандартное отклонение (8Б) его подневных значений при параметрическом подходе к оценке копулы (1% и 5% уровни значимости)
Прямое хеджирование Перекрестное хеджирование
1% 5% 1% 5%
РЬ РЬ РЬ РЬ
Гауссовская -0.0158 0.0124 -0.0103 0.0112 -0.0136 0.0150 -0.0232 0.0146
Стьюдента (5 степеней свободы) -0.0078 0.0120 -0.0131 0.0112 -0.0417 0.0136 -0.0555 0.0146
Стьюдента (10 степеней свободы) 0.0273 0.0115 -0.0127 0.0116 -0.0283 0.0144 -0.0345 0.0142
Клэйтона -0.0258 0.0119 -0.0115 0.0112 -0.0154 0.0141 -0.0306 0.0146
Гумбеля 0.0051 0.0114 0.0021 0.0113 -0.0456 0.0145 -0.0270 0.0138
Франка -0.0099 0.0150 0.0063 0.0130 0.0015 0.0155 -0.0200 0.0154
Коши -0.0124 0.0112 -0.0088 0.0113 -0.0796 0.0147 -0.0675 0.0148
Галамбоса 0.0028 0.0114 -0.0192 0.0113 -0.0528 0.0149 -0.0266 0.0141
Хайслера-Райса 0.0005 0.0110 -0.0029 0.0113 -0.0343 0.0143 -0.0298 0.0139
Плаке -0.0264 0.0141 -0.0285 0.0125 -0.0100 0.0152 -0.0142 0.0147
МНК1 -0.0083 0.0111 -0.0083 0.0111 -0.0484 0.0140 -0.0484 0.0140
МНК2 -0.0049 0.0111 -0.0243 0.0116 0.0246 0.0122 -0.0013 0.0121
Примечание. См. примечание к табл. 2.
Интересно отметить, что если рассматривать 1%-ный уровень значимости, то параметрический подход для одних и тех же копул, отобранных лучшими в рамках данного подхода,
№2(22) 2011
позволяет получить суммарный финансовый результат больше, чем в рамках полупараметрического подхода. Например, для копулы Стьюдента с 10 степенями свободы: +0.027% при параметрическом против +0.004% при полупараметрическом; для Гумбеля: +0.005% против -0.009%; для Галамбоса: +0.002% против -0.006%; для Хайслера-Райса: +0.0005% против -0.009%.
Более высокий результат (в смысле эффективности хеджирования) достигается за счет гибкости модели «копула» по сравнению с предположением о многомерной нормальности. Как показывает рис. 5а, это проявляется в большей изменчивости хеджирующего соотношения, выбранного как решение оптимизационной задачи на сгенерированном по копуле совместном распределении, чем по МНК (ОЬБ).
Прямое
Перекрестное
Коши
1.0 -
0.7 -
Copula ---OLS му ф
Плаке
Номер периода наблюдения
а) хеджирующее соотношение
10 20 30 40 50 Номер периода наблюдения
I §
6.15 -
Й 6.10 -
I 6.05-
6.00
20 30 40 50 60 Номер периода наблюдения
б) параметр копулы
20 30 40 50 60 Номер периода наблюдения
Рис. 5. Ретроспективный прогноз наилучшей копулы на 1%-ном уровне значимости
для полупараметрического подхода
16
0
0
№2(22) 2011
При этом степень взаимосвязи переменных в задачах прямого и перекрестного хеджи- | рования носит разный характер (см. рис. 56). Необходимо учесть, что изменение значения Ц параметра копулы является индикатором изменения тесноты взаимосвязи переменных. По- ^ этому можно заключить, что взаимосвязь доходностей акций ЛУКОЙЛа и фьючерсов на них ^ снижается, т. е. уменьшается экстремальный характер их совместного движения. Для доходностей акций ЛУКОЙЛа и фьючерсов на акции Сургутнефтегаза такого однозначного вывода сделать нельзя. Для них было характерно усиление взаимосвязи в феврале 2010 г., что соответствует наблюдениям №20-30 из периода ретроспективного прогноза.
Полученные выводы согласуются с результатами предыдущих исследований в трех аспектах. Во-первых, если в обеих статьях (Hsu et al., 2007; Lai et al., 2009) отдается предпочтение эллипсообразным копулам при решении задач прямого хеджирования, то в настоящем исследовании наилучшей оказывается копула Коши, также принадлежащая тому же семейству (что было выявлено для задач прямого хеджирования на 1%-ном уровне значимости). Во-вторых, в части операций перекрестного хеджирования в (Lai et al., 2009) рекомендуется применение МНК в силу слабой взаимосвязи между случайными величинами доходностей базового и хеджирующего активов. Такой же результат был обнаружен и в данном исследовании при применении к оценке копулы как параметрического, так и полупараметрического подходов. В-третьих, в (Hsu et al., 2007) предпочтение отдается копуле Гумбеля при решении задач хеджирования. В рамках параметрического подхода при решении задачи прямого хеджирования на российских данных копула Гумбеля также дала большую суммарную доходность, чем подходы, основанные на гипотезе о многомерной нормальности, хотя и ценой увеличения стандартного отклонения стоимости захеджированного портфеля.
Таким образом, модели «копула» оказываются эффективнее в решении задач прямого хеджирования, чем модели, основанные на предпосылке многомерного нормального закона, поскольку позволяют одновременно минимизировать стандартное отклонение и повысить суммарную доходность. При этом эффективность применения моделей «копула» растет при снижении уровня значимости с 5% до 1%. При решении задач перекрестного хеджирования подходы, основанные на предпосылке о многомерной нормальности, дают приемлемый результат и оказываются лучше копул, что вызвано более низкой степенью взаимосвязи переменных в задачах перекрестного хеджирования по сравнению с задачами прямого хеджирования.
Проведенное исследование показало, что применение моделей «копула» позволяет повысить эффективность операций прямого хеджирования по сравнению с применением моделей, основанных на предположении о двумерном гауссовском законе распределения доходностей хеджируемого и хеджирующего инструментов. Результатом повышения эффективности является снижение волатильности финансового результата от изменения стоимости захеджированного портфеля и одновременное повышение суммарного финансового результата от хеджирования. Объяснением такого феномена является то, что при использовании МНК предполагается эллипсообразный характер гауссовского распределения доходностей, минимизация степени разброса которого накладывает ограничения на уровень достижимой доходности от операций хеджирования.
6. Заключение
№2(22) 2011
Предложенная модель не является совершенной, поскольку основана на целом ряде допущений и ограничений. Во-первых, предполагается, что возможность хеджирования (прямого и перекрестного) существует бесконечно долго. Во-вторых, операции хеджирования не обременяют инициировавшего их агента издержками ликвидности. В-третьих, контрагент по такой сделке в любой момент может исполнить свои обязательства по срочному контракту. Так, в практической деятельности, с одной стороны, использование фьючерсных (биржевых) контрактов действительно защищает агента от проблемы неплатежеспособности контрагента, т. к. биржа на ежедневной основе использует механизм перечисления вариационной маржи (равной изменению стоимости срочного контракта за торговый день) от контрагента с отрицательной переоценкой срочного контракта к контрагенту с положительной. Тем не менее, именно в данном случае возникают издержки ликвидности, поскольку в отдельные моменты времени агенту, проводящему операции хеджирования, могут потребоваться значительные денежные суммы на перечисление вариационной маржи. С другой стороны, использование форвардных (внебиржевых) контрактов не обременяет контрагентов такими издержками ликвидности. Как правило, в качестве залога по операциям одним из контрагентов вносится залоговый (маржинальный) депозит (аналог вариационной маржи), на который начисляются проценты и который пополняется только при значительном изменении ожидаемых рисков неисполнения обязательства. При этом риск неплатежа (третья обозначенная проблема14) возникает именно в такой момент, когда требуется существенное пополнение маржинального депозита.
Существенным же ограничением модели является предположение о том, что всегда существует возможность захеджировать (минимизировать) риск изменения стоимости актива, переложив его на другого контрагента в результате заключения с ним сделки купли-продажи хеджирующего инструмента. Несмотря на это, при условии эффективности операций хеджирования отдельных экономических агентов существует конечный агент (будь то правительство или налогоплательщики), который несет непередаваемое бремя изменения стоимости активов, поскольку он не имеет возможности данный риск минимизировать, перело-§ жив его еще на кого-либо.
о
¡^ Поэтому в свете имевшей место турбулентности на финансовых рынках особый инте-2 рес сейчас может представлять изучение системного риска, т. е. такого риска, который мо-
0 жет быть передан от одного агента другому, но не может быть выведен из всей экономической системы.
1
та
0
^ Список литературы
1
* Бродский Б. Е., Пеникас Г. И., Сафарян И. А. (2009). Обнаружение структурных сдвигов в МОДе-
tn
■т лях копул. Прикладная эконометрика, 16 (4), 3-15.
w Пеникас Г. И. (2010). Модели «копула» в приложении к задачам финансов. Журнал Новой Эконо-
° мическойАссоциации, 7,24-44. w
^ Bouye Е., Durrleman V., Nikeghbali A., RibouletG., RoncalliT. (2000). Copulas for finance. A reading
§ guide and some applications. http://www.ssrn.com/abstract=1032533.
s -
ч
® 14
4 14 Особое внимание рассмотрению данной проблемы, или кредитного риска контрагента, уделено в работе
I (Pykhtin, 2005).
№2(22) 2011
Cecchetti S., Cumby R., Figlewski S. (1988). Estimation of the optimal futures hedge. The Review of 0
Economics andStatistics, 70 (4), 623-630. g
Cech C. (2006). Copula-based top-down approaches in financial risk aggregation, http://www.ssrn.com/ c
abstract=953888. S
Chang E., Wong K.-P. (2003). Cross-hedging with currency options and futures. The Journal ofFinan-cialand Quantitative Analysis, 38 (3), 555-574.
Cherubim U., Luciano E., Vecchiato W. (2004). Copula methods infinance. John Wiley & Sons Ltd.
Hsu Ch.-Ch., Tseng Ch.-P., Wang Y.-H. (2007). Dynamic hedging with futures: A copula-based GARCH model. http://www.ssrn.com/abstract=1083890.
Genest Ch., Remillard B. (2004). Tests of independence and randomness based on the empirical copula process. Test, 13 (2), 335-369.
Ghosh A. (1993). Cointegration and error correction models: Intertemporal causality between index and futuresprices. TheJournalofFuturesMarkets, 13 (2), 193-198.
Ghoudi K., Khoudraji A., Rivest L.-P. (1998). Proprieties statistiques des copules des valeurs extremes bidiminsionnelles. The Canadian Journal ofStatistics, 26 (1), 187-197.
International Accounting Standard 39. Financial Instruments: Recognition and Measurement (2008). IASCF (IAS 39).
Joe H. (1997). Multivariate models and dependence concepts. Monographs on Statistics and Applied Probability 73. Chapman and Hall, London.
Kim G., Silvapulle M., Silvapulle P. (2007). Comparison of semiparametric and parametric methods for estimating copulas. Computational Statistics & Data Analysis, 51, 2836-2850.
Lai Y., Chen C., Gerlach R. (2009). Optimal dynamic hedging via Copula-Threshold-GARCH models. Mathematical Computation and Simulation, 79 (8), 2609-2624.
Lien D. (2004). Cointegration and the optimal hedge ratio: the general case. The Quarterly Review of Economics andFinance, 44, 654-658.
Mello A., Parsons J. (2000). Hedging and liquidity. The Review ofFinancial Studies, 13 (1), 127-153.
Myers R., Hanson S. (1996). Optimal dynamic hedging in unbiased futures markets. American Journal of AgriculturalEconomics, 78 (1), 13-20.
Nelsen R. (2006). An introduction to copulas. 2nd ed. N. Y.: Springer.
Pykhtin M. (2005). Counterparty credit risk modelling: Risk management pricing and regulation. N. Y.:
Risk Books.
№2(22) 2011
Приложение 1
Описательные статистики данных (на всей выборке)
*
о
о о
0
1
ф
а
I
та о
0
1
&
та
5
м со
I §
^РШВ. ПРЯМОЕ ^РШВ. ПЕРЕКРЕСТНОЕ
Вуровнях (руб. /1 ед. актива)
Минимум — — —
1-ая квартиль 44.50 47.55 0.69
Медиана 58.90 59.10 0.88
Среднее 60.62 63.51 0.87
3-ая квартиль 81.40 82.39 1.04
Максимум 113.20 111.29 1.40
Стандартное отклонение 25.42 21.55 0.27
В логарифмических доходностях (в %)
Минимум -0.2223 -0.2299 -0.1978
1-ая квартиль -0.0137 -0.0132 -0.0112
Медиана 0.0000 0.0000 0.0001
Среднее -0.0005 -0.0006 -0.0011
3-ая квартиль 0.0145 0.0135 0.0122
Максимум 0.2438 0.1716 0.1885
Стандартное отклонение 0.0349 0.0335 0.0302
Эксцесс 8.899 9.730 10.699
Асимметрия -0.103 -0.737 -0.593
Статистика Жарке-Бера 2306 2817 3371
АСБ 1 0.0496 0.1244 0.1901
АСБ 5 -0.0036 0.0111 -0.0520
АСБ 20 -0.0139 -0.1079 -0.0419
Корреляция логарифмических доходностей
ЬКОИ 1КОИЕ БМвБЕ
ЬКОИ 1.000 0.835 0.532
ЬКОИЕ 0.835 1.000 0.559
БМвБЕ 0.532 0.559 1.000
20
№2(22) 2011
Приложение 2
21
Вывод оптимального хеджирующего соотношения 1
как коэффициента парной МНК-регрессии с
S
Перепишем формулу (1) в следующем виде:
RCASH = RH + hRFWD + а , (17)
где а — постоянная уровня, которая предполагается равной нулю.
Допустим, что доходность портфеля RH является ошибкой парной модели регрессии (17), которую необходимо минимизировать. Для наглядности обозначим ее как е и перепишем формулу как
RCASH =а + hRFWD +£ • (18)
Предполагая, что ошибка е распределена нормально, решением задачи минимизации квадрата отклонения будет нахождение коэффициента к* методом наименьших квадратов по формуле (19), предполагая, что а равна нулю (что оправдано наличием стилизованного факта распределения доходностей финансовых величин, которое характеризуется нулевым математическим ожиданием)
к _ [rfwd rfwd ] RFWD RCASH ' (19)
где xT обозначает транспонированный вектор.
Или, что также верно, коэффициент к*, минимизирующий ошибку парной регрессии (18) и, соответственно, минимизирующий колебание стоимости захеджированного портфеля, будет определяться по формуле:
° CASH, FWD
к =-^-■ (20)
@ FWD
L.
