Модели источников теплоты для прогнозирования тепловых полей при сварке плавлением Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

струирования трехмерных объектов // 6-я междунар. науч.-прак. конф. «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности». Санкт-Петербург. Изд-во: СПбГТУ. 2008. С. 115-119.

O. Kovalev and A. Zaitsev

Modelling of thermodynamics and transport of particles at laser cladding with coaxial injection of the powder.

The model of gas-powder streams is developed for laser cladding with coaxial injection of a powder. The model is intended for calculation and the analysis of features of heating, melting and transport of particles at laser direct deposition of powder materials and prototyping of three dimensional metal-objects.

Key words: coaxial injection of a powder, gas-powder streams

Получено 28.12.10 г.

УДК 621.791.052

B.А.Кархин, д-р техн. наук, проф.,

П.Н. Хомич, асп.,

C.Ю.Иванов, асп.

(Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет)

МОДЕЛИ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛОТЫ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ ПРИ СВАРКЕ ПЛАВЛЕНИЕМ

Предложены модели ограниченных объемных источников теплоты с различными распределениями плотности мощности, а именно нормальным в плоскости пластины и линейным, экспоненциальным или нормальным по толщине пластины. Источники моделируют температурное поле от сварочной дуги, лазерного луча, электронного луча, плазменной струи, газового пламени и других, а также конвекцию в сварочной ванне и скрытую теплоту плавления/кристаллизации. Неизвестные параметры распределения могут быть найдены по средствам решения обратной задачи теплопроводности. Разработана функционально-аналитическая методика для определения трехмерных температурных полей при стыковой сварке пластин. Предложенная методика позволяет значительно снизить суммарное время решения задачи, что продемонстрировано на примере дуговой сварки стали.

Ключевые слова: объемные источники теплоты, функционально-аналитическая методика, стыковая сварка пластин.

Введение. В настоящее время для расчета температурных полей, а также размеров сварочной ванны и зоны термического влияния используются различные модели тепловых источников. Компьютерные программы для расчета тепловых полей и поведения сварочной ванны при сварке плавлением до сих пор в большей степени используются в исследовательских целях. Существующие модели включают большое количество вход-

241

ных параметров, некоторые из которых достаточно сложно определить исходя из фундаментальных подходов, например, такие параметры как коэффициент полезного действия дуги/луча, вязкость и поверхностное натяжение, которые зависят от режима сварки. Определение этих зависимостей возможно путем решения оптимизационной (обратной) задачи с использованием соответствующих экспериментальных данных. Такие расчеты требуют больших временных затрат и высокой квалификации исследователей.

Выбор метода решения задачи теплопроводности определяется требуемой точностью решения, которая в свою очередь зависит от дальнейшего использования результатов расчета. Если требуется определить остаточные напряжения и деформации или микроструктуру и свойства сварного соединения после сварки, то только температурное поле в твердой части представляет интерес, что существенно упрощает постановку задачи. Конвекция в сварочной ванне может быть описана такой системой фиктивных источников теплоты, которые позволяют получить требуемую форму сварочной ванны и ее размеры и, следовательно, адекватное температурное поле вне сварочной ванны. Этот подход имеет сходство с концепцией «эквивалентный источник теплоты» [1]. Математическая структура моделей тепловых источников должна, по крайней мере, приближенно отражать явления, протекающие в сварочной ванне (распределение плотности мощности реального источника, конвекция и т.д.). Неизвестные параметры источников могут быть установлены при использовании экспериментальных данных и многомерной оптимизации.

На данный момент известно большое количество моделей объемных источников, например, сферический [2], двойной эллипсоидный [3-5] и их модификации [6, 7], конический [8], и другие источники теплоты [9]. Однако эти модели не учитывают более сложного распределения мощности и ограниченности размеров источника тепла. Отметим, что подход, при котором объемный источник теплоты действует вне сварочной ванны, не реалистичен.

Цель данной работы - продемонстрировать математические модели эффективных объемных источников теплоты, описывающих реальные тепловые источники и учитывающих конвекцию в сварочной ванне, и функционально-аналитическую методику расчета температурных полей. Предложенные модели включают неизвестные параметры, которые могут быть установлены при использовании экспериментальных данных и многомерной оптимизации. Методика продемонстрирована на примере дуговой сварки стали.

Модели объемных источников теплоты. Модели эффективных источников теплоты должны учитывать распределения мощности реальных источников теплоты, а также конвекцию в сварочной ванне (рис. 1). Распределение теплового потока на поверхности действия реального источника теплоты (сварочная дуга, лазерный луч, электронный луч, плаз-

менная струя, газовой пламя и т.д.) может быть описано Гауссовым (нормальным) распределением [1, 2, 10]. Согласно опубликованным экспериментальным данным и расчетам конвективный перенос теплоты может быть аппроксимирован непрерывной гладкой функцией с нулевым значением на границе сварочной ванны.

Рис. 1. Схема эффективного объемного источника теплоты

Рассмотрим три наиболее важные модели тепловых источников со следующими распределениями мощности:

- нормальное по оси х, нормальное по оси у и линейное по оси г (модель ННЛ, рис. 2, а,б);

- нормальное по оси х, нормальное по оси у и экспоненциальное по оси г (модель ННЭ, рис. 2, а,в);

- нормальное по оси х, нормальное по оси у и нормальное по оси г (модель ННН, рис. 2 а,г).

Пусть каждый объемный источник ограничен областью, представляющей собой параллелепипед [х, х ] х [у, у ] х [г, г ] (рис. 2,а). Распределение мощности описывается четырьмя параметрами: мощностью д и геометрическими параметрами хе, уе и ге, соответствующими расстояниям от начала координат до точки, где плотность мощности снижается до д3 (0,0,0)/е.

Таким образом, каждый источник теплоты описывается десятью параметрами: д, хе, уе, ге, х, х , у, у , г и г . Закон сохранения энергии требует выполнения следующего равенства:

м м

х у г

III дз ( х, у, г ) dxdydг = д. х у г

Модель ННЛ. Распределение плотности мощности объемного источника описывается следующей формулой:

qз(x, y, z) = — 4 *

Ф (x / xe) -Ф (x / xe) \e [ф (y / Уе) -Ф (y / Уе

( , N 2 /

1

(z - z )[l - k(z + z )/2

exp

( ( 2 / \ 2 Л

- (- 1 - X

V J V Уе у

v

) ]

(1 - kz) ,

(1)

где

e -1 2 u

k = e—; Ф(и) = -= eze VP

- x2 dx.

"e V " 0

Поверхность q3 (x, y, z) = const может быть записана (в том случае, если она находится в области действия источника тепла) следующим образом:

exp

2

x

V xe J

У_

V Уе J

(1 - kz) = A,

где A - константа, полученная из (1). Следовательно

1 - A exp — +

1

z = — k

V xe J

_У_

V Уе J

*

Рис. 2. Объемное распределение плотности мощности эффективного источника теплоты в плоскости (а) и по толщине (б, в и г) толстой

пластины

Видно, что сечения в плоскости z = const представляют собой эллипсы, сечения в вертикальных плоскостях - экспоненты (рис. 3,а). Следовательно, данный источник может быть назван эллиптически -экспоненциальным.

Модель ННЭ. Распределение плотности мощности объемного источника описывается следующей формулой:

4q

q3( x у, z) =

x

F(x 1 xe )-F(x/ xe )\Ує ф( У 1 Ує ) -Ф( У 1 Ує ) І

x

22

x

exp(-z I ze) - exp(-z I ze)

exp

V xe J

y_

V Ує j

z

ze

(2)

Поверхность q3 (x, у, z) = const может быть записана следующим об-

разом:

V xe J

+

f \ У V Уе J

2

+ — = A

ze

или

z = zc

Ґ Л 2 Ґ Л 2 "

A - x - X

V xe J V Уе J

Сечения в плоскости z = const - эллипсы, сечения, параллельные оси z, - параболы. Эта поверхность и, следовательно, и источник теплоты называются эллиптически-параболоидными (рис. 3,б).

а

б

в

2

Рис. 3 Поверхности равных плотностей мощности для: а - эллиптически-экспоненциального (модель ННЛ); б - эллиптически-параболоидного (модель ННЭ); в - эллипсоидного (модель ННН) источников теплоты.

Модель ННН. Распределение плотности мощности объемного источника описывается следующей формулой:

q3( х y, z) =

Sq

p

3I2

x

x

x

z

F(x I xe ) -Ф(x I xe )\Уе Ф(У I Уе ) - Ф(У I Уе )

ґ , ^ О , _ о , ^ о\

exp

І

F(z Ize)-F(z Ize)

2

x

2

У

V xe J

V Уе J

2

z

V ze J

(3)

Поверхность q3 (x, y, z) = const может быть записана следующим об-

разом:

2

x

+

V xe J

2

V Уе J

+

2

z

V ze J

= A.

Это уравнение соответствует эллипсоиду (рис. 3,в), следовательно, такой источник также называется эллипсоидным [3]. Если xe = ye = ze = Re, то поверхность q3 (x, y, z) = const описывается сферой:

x2 + y2 + z2 = AR2.

Этот источник называется сферическим [4, 5].

Представленные модели включают как частные случаи такие известные источники, как точечный, линейный, плоский и объемный источники теплоты. Некоторые примеры представлены ниже.

Источник теплоты, равномерно распределенный по одной, двум или трем осям, может быть легко описан с использованием одной из предложенных моделей. Для этого необходимо взять достаточно большие величины xe, ye и/или ze. Высококонцентрированный по осям источник тепла получается за счет уменьшения области действия источника: x ® x , y ® у и/или z ® z .

Поверхностный нормально полосовой источник [10], имитирующий дугу при наплавке ленточным электродом, может быть представлен одним из предложенных источников при ye ® ¥, ze > 0, x ® -¥, x ® ¥, y = - W, y = W, z = 0, z ® 0 (Рис. 4а). Если ye = xe, y ® -¥, y ® ¥, тогда источник становится поверхностным нормально круговым источником [10].

Путем комбинации ННЛ источников может быть получен концентрированный кусочно-линейный источник, имитирующий электронный луч (рис. 4,б) [11]. Каждый ННЛ источник должен быть определен следующим образом: xe > 0, ye > 0, x ® -0, x ® 0, y ® -0, y ® 0.

Пусть модель двойного эллипсоидного источника состоит из эллипсоидов (модель ННН) передней (x > 0, индекс f) и задней (x < 0, индекс г) координатных четвертей, которые отличаются только параметрами распределения xef и xer (рис. 4,в). Для выполнения условия непрерывности

распределения мощности я3 (х, у, 2) в плоскости х = 0 полная мощность Я ( Я = Я/ + Яг) должна быть разделена следующим образом:

Я/ = я

Хе/ Ф(х// х/)

Хе/ ф/ Хе/

Яг = Я —

■ хег ф(хг / хег)

хег ф(хг / хег

хе/ ф(х / / хе/ ) хегф(х^ / хег )

а

б

в

Рис. 4. Распределение плотности мощности: а - поверхностного нормально-полосового источника; б- концентрированного кусочно-линейного распределенного источника; в - двойного эллипсоидного источника.

Если двойной эллипсоидный источник не ограничен по оси х

(х/ ® ¥, хг ® -¥), то

хе/ х.

Я/ = Я

хе/ + хег

; Яг = Я-

ег

хе/ + хег

Модель неограниченного двойного эллипсоидного источника (рис. 4 в) была предложена ранее [3] и в настоящее время широко используется. Ее основной недостаток - нереалистичное предположение о неограниченности источника теплоты, прежде всего по оси 2 (толщине пластины).

Если необходимо, распределение плотности мощности эффективного источника может быть представлено несколькими отдельными источниками теплоты с различными распределениями.

Постановка прямой задачи теплопроводности. Примем следующие допущения:

- тело (плоский слой) с толщиной h однородно, изотропно и неограниченно по длине и ширине;

- теплоотдача с верхней и нижней поверхностей пластины подчиняется закону Ньютона;

- теплофизические свойства материала (теплопроводность Л, температуропроводность a, объемная теплоемкость cp и коэффициент поверхностной теплоотдачи а) не зависят от температуры;

- центр источника и начало прямоугольной системы координат х, у, г движутся по поверхности тела со скоростью v вдоль оси х в течение времени t (Рис. 1);

- температура окружающей среды и начальная температура постоянны, Т¥ = 0.

Тогда уравнение теплопроводности имеет вид [9]:

К = aV2T + v, (4)

dt dx cp

где

" dT dT dT 43app = 43net - cP wx ~dx + wy -dy + wz ~dz

+ q3L = q3net + q3c + q3L ,

q3app, q3net, q3c и q3L - объемная плотность мощности эффективного источника, реального источника, фиктивных источников, учитывающих влияние конвективного теплопереноса и скрытой теплоты соответственно (Вт м- ); wx, wy and wz - компоненты скоростей конвективных потоков в жидкости. Уравнение (4) аналогично хорошо известному уравнению для твердого тела, если под q3app понимать некоторый эквивалентный объемный источник теплоты.

Начальные и граничные условия имеют вид (рис. 5)

T (x, y, z,0) = 0; (5)

dT Л dT Л dT dT

— (-¥, y, z, t) = — (¥, y, z, t) = — (x,-¥, z, t) = — (x, ¥, z, t) = 0 , (6)

dx dx dy dy

. dT(x, y,0, t)

l—4:-------- = a 0T (x, y,0, t) , (7)

dz

=-a hT (x, y, h, t) . (8)

Рис. 5 Граничные условия

Решение прямой задачи теплопроводности. Прямую линейную задачу теплопроводности (4) - (8) для трех предложенных источников можно решить с помощью метода источников. Функция Грина для граничных условий (6)-(8) представлена в [13]. Решения, учитывающие теплоотдачу с верхней и нижней поверхностей пластины, приведены в [14]. В дальнейшем будем предполагать, что теплоотдача с поверхностей пластины отсутствует (а0 = ак = 0).

Модель ННЛ. Температурное поле от эллиптически-

экспоненциального источника (1) описывается следующим выражением:

а t

Т (х у, 2, t) = —1 ф х (х г)ф у (у, г)ф 2 ( ^ (9)

Ф х (x, г) =

3 J тх1

cph о к

2

Ф(х / хе) — Ф(х / хе Ы р(4аг + хе)

ехр

(х + уг)

2

х

с

Ф

и

— (х + уг) хе

х

11 + х2

/4ат(4ат + х2) хе

Ф у(У, г) =

4аг

к

Ф

— (х + уг) хе

х

11 + х2

4аг(4аг + х2) хе

Ф(у / уе) — Ф(у / уе Ж Р(4аг + уе)

ехр

у

2

Ф

ууе

у

4аг(4аг + у2) уе

1 2 ]

1 + уе —Ф

V 4аг

ууе

4аг+ уе

у

4аг

х

Ф2 (2, г) =

1

4аг(4аг + у^Т)

уе

к

х

1 +

уе2

4аг

(г — г )1 — к(г + г )/2 249

X II

П = —¥ ^ = — 1,1

[— ] + к (г — 2пк)]

Ф

г — ]1 — 2пк

лДОт

Ф

г — ]1 — 2пк л/4ат

+

к

■\l4at

ехр

или

2

^ '' 2 Л

(г — — 2пк)

4аг

к

ехр

^ ' 2 Л

(г — — 2пк)

4аг

(10)

р

(г — г )[1 — к(г + г )/2 (1 — кг )Бт

-х I

п =1

(1 — кг )Бт

л ' л рпг

к

у

кк

рп

Г "Л рпг

СОБ

X ООБ

^рпгл

к

ехр

У п У

к

у J

Г 2 2 агл п Р —

у к2 J

ООБ

Л I л

рпг

~Й у у

/ "Л

пт

~к

у J

X

(11)

Здесь предполагается, что мощность а постоянна. Если а изменяется со временем, то она должна быть помещена под знак интеграла. Уравнение (10) получено методом отражений, уравнение (12) получено разложением в ряд Фурье. Для небольших значений безразмерного времени ¥а = а Гк ряды (10) сходятся быстрее, чем ряды (11).

Модель ННЭ. Температурное поле от эллиптически-параболоидного источника (2) описывается выражением (9) со следующей подынтегральной функцией:

к

2

X I I ехр

п =—¥ ^ = — 1,1

ехр(—г/ге) — ехр(—г /ге) г —

]

ехр

( \ аг

X

у ге J

г,

X

X

Ф

г — ] (г — 2пк) + 4а | ф| г — ] (г — 2пк) + -\l~at

или

Фг (^ t) = 2 I

п=1

1 +

рте у к J

-1

ООБ

^рпгл

к

У у

{ + л

2 2 at ехр — р п —

У а2 J

X

сю

сю

сю

сю

X

ехр(г / ге ) -1

Г

Б1П

-(ехр(г / ) -\[

ппг

И

Б1И

ппг

~И~

СОБ

- ООБ

'\Л

пт

И

уу

пт

И

уу

Модель ННН. Температурное поле от эллипсоидного источника (3) описывается выражением (9) со следующей подынтегральной функцией:

И

Ф

—Л +

Ф(г / ге ) -Ф(г / ге )] д/п(4ат + г^) п--° (г - 2пИ)ге

Е ехр

(г - 2пИ)2

4ат + г,

X

е У

г

4ат

4ат(4ат + ге)

Ф

— л 11 +

ге

г

(г - 2пИ)ге

4ат

4ат(4ат + ге)

Подынтегральная функция в выражении (9) представляет собой приращение температуры от мгновенного источника. Заметим, что функция фг может быть найдена и для других распределений д3(г) путем разложения в ряд Фурье [15].

Многие решения, широко используемые при расчетах температурных полей при сварке, могут быть получены из (9), например, решения [2, 10, 11, 16, 17]. Однако, интегралы (9) выражаются через известные функции в редких частных случаях, поэтому их часто определяют численно.

Следует заметить, что влияние ограниченности длины и ширины твердого тела с теплоизолированными кромками несложно учесть с помощью метода отражения [1, 2, 10, 13, 15]. Влияние скрытой теплоты плавления и затвердевания можно более точно учесть отдельно [18]. Функция Г рина (температура от мгновенного точечного источника единичной энергии) применима только к линейной задаче, ее нельзя использовать при решении нелинейных задач, когда теплофизические свойства (а, 1, ср и а) зависят от температуры, как это сделано в [9, 19, 20]. Это можно показать на примере, когда температурные зависимости теплофизических свойств терпят разрыв. Тогда применение метода функций Грина приводит к нарушению закона сохранения и, как следствие, разрывности температурного поля. Приближенные решение для определения температурных полей от объемных источников теплоты для углового соединения, цилиндра, сферы и конуса могут быть получены при введении некоторых допущений [4].

Определение неизвестных параметров объемных источников (решение обратной задачи теплопроводности). Обратное моделирование позволяет определить неизвестные параметры тепловых источников (вектор р = [д, хе, уе, ге, ...}) по замеренным характеристикам сварного соеди-

сю

е

нения (температурное поле, глубина проплавления, длина сварочной ванны и т.д.).

Соответствующая оптимизационная задача (минимизация целевой функции р с физическими ограничениями представима в виде [12]

р(Р) = /п - /п (Р)] + £ Ч’ (р° - Рк J ® т>п;

п=1 к=1

д £ дтах, 0 £ хе £ хетах, • ”, где N - число измерений, К - число неизвестных параметров, /пт и/п - экспериментально замеренная и расчетная характеристика сварного соединения, и wkp - весовые множители, рк° - начальное приближение к-го параметра рк, дшах -максимально возможная мощность источника д. Глобальный минимум целевой функции может быть найден с помощью методов численной оптимизации.

Отметим, что при решении обратной задачи приходится решать десятки и даже сотни прямых задач. Поэтому проблема скорости решения прямой задачи становится очень важной. Здесь проявляется преимущество аналитического решения трехмерной задачи, которое по времени счета на порядки быстрее численных.

Описанный метод использован при определении температурных полей при дуговой, лазерной и электронной сварке стали, медных и алюминиевых сплавов [12, 21, 22].

Пример. Рассмотрим дуговую сварку низкоуглеродистой высокопрочной стали толщиной 8 мм на следующем режиме: ток 230 А, напряжение дуги 25.6 В, скорость сварки V = 4.53 мм с-1, Т¥ = 293 К. Свойства стали: 1 = =0.025 Вт-мм-1К-1, а = 7 мм2с-1, температура плавления Ть = 1773 К, а = 0. В качестве исходных данных принимали координаты точек границы шва в поперечном сечении. Получили следующее решение обратной задачи для модели ННЭ: 1) д = 2355 Вт, ге = 12 мм, гс = 8 мм для поверхностного источника, моделирующего дугу; 2) д = 1177 Вт, ге = 99 мм, гс = 6.5 мм для заглубленного источника. Расчетный коэффициент использования теплоты дуги равен 0.60. Расчетные и экспериментальные шлифы совпадают удовлетворительно (рис.6).

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Рис. 6. Поле максимальных температур в поперечном сечении сварного шва

Выводы:

1. Предложенные модели ограниченных объемных тепловых источников с различными распределениями мощности позволяют описать реальные источники теплоты и учесть влияние конвекции в сварочной ванне.

2. Pазpаботанная методика, основанная на аналитическом решении прямой задачи теплопроводности и численном решении обратной задачи, позволяет полностью восстановить температурное поле в твердой части сварного соединения по замеренным отдельным характеристикам температурного поля.

3. Предложенный подход позволяет существенно снизить общее время для задания исходных данных и решения задачи.

Список литературы

1. Radaj D.: Welding residual stresses and distortion. Calculation and measurement, DVS-Verlag, Duesseldorf, 2003.

2. Pыкалин H.H.: Тепловые основы сварки. М.; Л.: Изд. АН СССP,

1947.

3. Goldak J., Chakravarti A., Bibby M. A new finite element model for welding heat source//Metallurgical Transactions B. 19S4. 15B. P. 299-305.

4. Nguyen. N.T. Thermal analysis of welds. WIT Press, Southampton,

2004.

5. Nguyen. N.T., Mai Y.-W., Simpson S. and Ohta A.. Analytical approximate solution for double ellipsoidal heat source in finite thick plate//Welding Journal. 2004. No 3. P.S2-s-93-s.

6. Sabapathy P.N., Wahab M.A., Painter M.J.: Numerical methods to predict failure during the in-service welding of gas pipelines//Journal of Strain Analysis. 2001, 36 (6), P. 611-619.

7. Zhang J. and Dong Y. Method for determining a heat source model for a weld. US Patent No 6,324,491 B1. 2001.

S. Goldak J. [et al.] Computer Modeling of heat flow in welds// Metallurgical Transactions B. 19S6. 17B. P. 5S7-600.

9. Ranatowski E., Pocwiardowski A. An analytical-numerical evaluation of the thermal cycle in the HAZ during welding’, Mathematical Modelling of Weld Phenomena 4, H. Cerjak (ed.), IOM Communications Ltd, London, 199S, P. 379-395.

10. Pыкалин H.H. Pасчет тепловых процессов при сварке, М.: Маш-гиз, 1951.

11. Karkhin V.A., Pilipenko A.Y. Modelling thermal cycles in the weld metal and the heat affected zone in beam methods of welding thick plates//Welding International. 1997. Vol.11. N5. P. 401-403.

12. Karkhin V.A. Inverse modelling of fusion welding processes, Mathematical Modelling of Weld Phenomena 6, H. Cerjak and H.K.D.H. Bhadeshia (eds), Maney Publishing. London, 2002. P. 1017-1042.

13. H.S. Carslaw, J.C. Jaeger: Conduction of heat in solids, Oxford University Press, 1973.

14. Karkhin V.A., Homich P.N., Michalov V.G. Models for volume heat sources and functional-analytical technique for calculating the temperature fields in butt welding. In: Mathematical Modelling of Weld Phenomena 8. H. Cerjak, H.K.D.H. Bhadeshia and E. Kozeschnik (eds), Verlag der Technischen Univer-sitaet Gra, 2007. P. 819-834.

15. В.А. Кархин : Тепловые основы сварки, Л: Ленинград. гос. техн. ун-т, 1990.

16. H.A. Wilson. On convection of heat. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Vol. 12. 1904. P. 406-423.

17. D. Rosenthal. Etude theoretique du regime thermique pendant la soudure a l'arc. Congres National des Sciences, Comptes Rendus, Bruxelles. 2. 1935. P. 1277.

18. V.A. Karkhin [cf al]. Effects of latent heat of fusion on thermal processes during welding, Mathematical Modelling of Weld Phenomena; 7, Verlag der Technischen Universitaet Graz. 2005. P. 39-62.

19. Ranatowski E., Pocwiardowski A. An analytic-numerical estimation of the thermal cycle during welding with various heat source models applica-tion// Mathematical Modelling of Weld Phenomena; 5/ IOM Communications Ltd, 2001, P. 379-395.

20. Ranatowski E., Pocwiardowski A. An analytic-numerical assessment of the thermal cycle in HAZ with three dimensional heat source models and pulsed power welding// Mathematical Modelling of Weld Phenomena; 7, H. Cerjak, H.K.D.H. Bhadeshia and E. Kozeschnik (eds), Verlag der Technischen Universitaet Graz, 2005. P. 1111-1128.

21. Rajamaki P., Karkhin V.A., Khomich P.N. Determination of the main characteristics of the temperature field for the evaluation of the type of solidification of weld metal in fusion welding// Welding International. Vol. 21. No

8. 2007. P. 600-604.

22. Karkhin V.A.,[cf al]// Calculation-experimental method for the determination of the temperature field in laser welding// Welding International. Vol. 21. No 5. 2007. P. 391-395.

V. Karkhin, P. Homich, S. Ivanov

Models for bounded volume heat sources with different power density distribution are proposed. The distributions are normal in the plane of plate and linear, exponential or normal over the plate thickness. The sources represent real heat source (welding arc, laser beam, electron beam, plasma jet, gas flame, etc.), convection in the weld pool and the latent heat of fusion and solidification. Unknown parameters of the distributions can be found by solving an inverse heat conduction problem. The functional-analytical technique for calculating 3D temperature fields in butt welding is developed. The proposed technique makes it possible to reduce considerably the total time for data input and solution. It is demonstrated with an example of butt gas metal arc welding of high strength steel plate.

Key words: volume heat sources, functional-analytical technique, butt welding

Получено 28.12.10 г.