Модели хаотической динамики. Часть 2. Нелинейные и неавтономные инварианты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.673

В. Х. Федотов, Н. И. Кольцов

МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ЧАСТЬ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕАВТОНОМНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

Ключевые слова: аттрактор Лоренца, нелинейных и неавтономных инварианты.

Проведено дальнейшее обобщение классической модели Лоренца, описывающей хаотическую динамику, с учетом инвариантных нелинейных и неавтономных преобразований координат.

Keywords: attractor Lorenz, nonlinear and non-autonomous invariants.

Conducted a further generalization of the classical Lorentz model, which describes the chaotic dynamics, taking into account the non-linear and non-autonomous invariant coordinate transformations.

Введение

Вопросы моделирования сложной динамики привлекают внимание многих исследователей (см., например, [1-4]). Ранее в статье [4] нами было проведено обобщение известных моделей Лоренца, Рикитаке и Росслера, способных описывать хаотическое поведение с учетом инвариантных линейных преобразований координат. В продолжение этой статьи в данном сообщении рассматриваются более сложные обобщения модели Лоренца

х ' = -ах+ау, у' = рх-хг-у, г' = ху-уг

при а=10, р>28, у=8/3, (1)

инвариантные относительно линейных

неавтономных и нелинейных автономных преобразований координат.

Результаты и их обсуждение

Автономные нелинейные преобразования. Рассмотрим квадратичную деформацию со сдвигом по всем переменным без поворота осей координат вида (для более сложных преобразований выкладки становятся громоздкими)

х= а1х2+Ь1х+с1, у=э2у2+Ь2у+о2, г=а3г2+Ь3г+с3,

(2)

где Д = det(a1,b1,c1; а2,Ь2,с2; а3,Ь3,с3) ф 0 (условие физичности). Преобразуем классическую модель Лоренца (1) с учетом (2), разрешим ее относительно производных от новых переменных и получим обобщенную модель Лоренца, инвариантную ей по свойствам относительно преобразований (2)

х' = а[(а2у2+Ь2у+с2)-(а1х2+Ь1х+с1)]/(2а1х+Ь1), у' = [(а1Х2+Ь1Х+с1)(р-2)-(а2]У2+Ь2У+с2)]/(2а2У+Ь2), (3)

г' = [(а1х2+Ь1х+с1)(а2у2+Ь2у+с2)-у(а3г2+Ь3Х+с3)]/(2а3Х+Ь3). Варьируя коэффициенты этой модели можно получить бесконечное множество квадратичных модификаций модели Лоренца и провести их классификацию. Например, в частном случае, при а1=а2=а3=0 модель (3) совпадает с моделью (5) статьи [4].

Модель 3.1. При а1=а2=0.01, а3=1, Ь1=Ь2=1, Ь3=0, с1=1, с2=с3=0 получим дробно-нелинейную модификацию модели Лоренца: 3.1)

y=

х =а[(0.01 у2+у)-(0.01 х2+х+1)]/(0.02х+1), [(0.01х2+х+1)(р-г)-(0.01у2+у)]/(0.02у+1), г =[(0.01х2+х+1)(0.01у2+у)-уг2]/2г. Эта

модификация отсутствует среди линейных инвариантов и соответствует замене переменных х^ 0.01х2+х+1, у^ у=0.01у2+у, г^-г2. Она инвариантна по свойствам классической модели Лоренца относительно преобразований

квадратичной деформации по всем осям без поворота (рис. 1).

20 15 10 5

50 60

Рис. 1 - Зависимости х(^), у(1), г(1) для модели 3.1 при а=10, р=28, у=8/3, а1=а2=0.01, а3=1,

Й1=Ь2=1, Ьз=0, С1=1, С2=Сз=0

Модель 3.2. При а1=а2=0, а3=1, Ь1=Ь2=1, Ь3=0, с1 = 1, с2=с3=0 получим более простую дробно-нелинейную модификацию модели Лоренца: 3.2) х =а[у-(х+1)]/(0.02х+1), у '= [(0.01х2+х+1)(р-г)-(0.01/+у)]/(0.02у+1), г =[(0.01х2+х+1)(0.01У2+у)-уг ]/2г. Эта модификация, также отсутствующая среди линейных инвариантов, является частным случаем предыдущей и соответствует замене переменных х^ х+1, у^ у, г^ г2. Она инвариантна по свойствам модели Лоренца относительно сдвига по оси х на единицу и квадратичной деформации по оси г без поворота (рис. 2).

Неавтономные преобразования. Рассмотрим знаменитые преобразования Лоренца для четырехмерной системы «пространство-время», применяемые в теории относительности [5]

прямые х = х, у= у, г = (г-у? )/(1 -

v2/c2)112, t = (t-vz/c2)/(1-vVc2)1/2,

обратные х= х, у= y, z= (z +vt )/(1-vVc2)1/2,

(4)

2ч 1/2

t= (t +vz/c2)/(1-v2/c2)1/2,

(5)

0

10

20

30

40

где c - скорость света, v - скорость объекта. Они являются обобщением вращения системы координат, сохраняют инвариантными форму основных законов физики (образуют группу Лоренца-Пуанкаре) и могут быть записаны в различной (например, гиперболической) форме: прямые х = х, у = y, z = z ch9 - ct she, ct = ct ch9 - z she, (6)

обратные х= х, у = y, z = z che +ct she, ct = ct che + z she, (7)

где e - быстрота (параметр), she=(ee-e-e)/2 и che=(ee+e-e)/2 - гиперболические синус и косинус.

Рис. 2 - Зависимости x(t), y(t), z(t) для модели 3.2 при а=10, ß=28, y=8/3, a1=a2=0, a3=1, Ь1=Ь2=1, Ьз=0, Ci=1, С2=Сз=0

Преобразуем классическую модель Лоренца (1), например, с помощью (7) и разрешим ее относительно производных от новых переменных. Так, для переменной x преобразования выполняются следующим образом dx/dt = dx/dt dt/dt = a(y-x) (ch9 + dz/dt she/c). Выполнив аналогичные преобразования для остальных переменных (опущены), получим обобщенную модель Лоренца, инвариантную ей по свойствам относительно неавтономных преобразований

x' = a(y-x)(che+z ' she/c), y' = [ßx- y-x(z che +ct she)](che+z' she /c),

(8)

z' = [xy-y che (z +ct the-c she)]/[che-thexy/c +yshe(z +ct the)/c].

Варьируя параметры с и e в правых частях модели (8), получим бесконечное множество новых модификаций модели Лоренца, инвариантных относительно неавтономных преобразований (7). Например, при e=0, che=1, she=0 модель (8) совпадает с классической моделью Лоренца (1).

Модель 8.1. При e=1, che=(e+1/e)/2=1.54, she=(e-1/e)/2=1.18 и модель (8) примет вид: 8.1) х '=ch(1)a(y2 -х2), y == ch (1) (ßx-y-xzch(1)), z '=xy/ch(1)-yz. Эта модификация отсутствует среди линейных автономных и нелинейных неавтономных инвариантов. Она соответствует замене переменных х— x, y—y, z— ch(1)z +ctsh(1), t— ch(1)t + zsh(1)/c и инвариантна по свойствам модели Лоренца относительно неавтономных

преобразований (7), рис. 3.

10 5 о -5 -10 -15

о 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Рис. 3 - Зависимости х(*), у(Ц, z(t) для модели 8.1 при а=10, р=28, у=8/3, с=300000, 0=1

Хаос возможен и при других модификациях модели Лоренца, не упомянутых выше. Эти модификации инвариантны относительно каких-то, вообще говоря, неизвестных, нелинейных и неавтономных преобразований. Например, нами экспериментально установлены следующие модификации модели Лоренца.

Модели 9.1-9.5. 9.1) х ' = -ах+ау, у' = рх-хг-у, z' = ху-уг+е, -300<с<7; 9.2) х' = -ах+ау+б, у' = рх-хг-у, г ' = ху-уг, -15<^<16; 9.3) х' = -ах+eу+d, у' = рх-хг-у, г' = ху-уг, -15<е<48; 9.4) х ' = -ах+ау, у' = fiх-xz, г' = ху-уг; 9.5) х ' = -ах+ау, у ' = рх-хг-у, г = ху-е, с>0 (с, й, е -параметры). Для этих моделей с ростом с хаотичность растет. Отметим, что они не следуют из моделей (3) или (8). На рис. 4 в качестве примера приведены результаты численного анализа модели 9.5.

Рис. 4 - Зависимости х(Ц, у(Т), z(t) для модели 9.5 при е=100

Таким образом, нами получены все возможные линейные и нелинейные инварианты аттрактора Лоренца, описывающие хаотическую динамику простыми трехмерными автономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Литература

1. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шильникова. Л., Мир, 1981, 253 с.

2. О.В. Матухина, Вестник Казан. технол. ун-та, 16, 2, 191-194 (2013).

3. Р.Г. Мухарлямов, О.В. Матухина Вестник Казан. технол. ун-та, 15, 12, 220-225 (2012).

4. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник Казан. технол. ун-та, в печати (2013).

5. Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля. М, Наука, 1988, 512 с.

© В. Х. Федотов - канд. хим. наук, доц. каф. информационных систем ЧувГУ, [email protected]; Н. И. Кольцов - д-р хим. наук, проф. каф. физической химии и ВМС ЧувГУ, [email protected].