Модели Блэка-Шоулса с детерминированным и случайным моментом времени изменения параметров модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛСА С ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМ И СЛУЧАЙНЫМ МОМЕНТОМ ВРЕМЕНИ ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ

© 2010 г. С.С. Сушко

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Рассматриваются 2 обобщения модели Блэка-Шоулса для ценообразования опционов с изменяющимися в момент времени т параметрами волатильности а, тренда ^ и процентной ставки r. В 1-й модели т — марковский момент остановки, во 2-й — P(T = T0) = 1.

Ключевые слова: модель Блэка-Шоулса, винеровский процесс, преобразование Гирсанова, мартингальная мера, опцион, производная Радона-Никодима.

We consider two generalizations of the Black—Scholes model for the computation of option prices in this article. In both of them parameters for volatility a, trend ^ and interest rate r changes at once at a time moment т. In the first model т is Markovian stopping time, in the second one we consider that P(j = r0 ) = 1.

Keywords: Black—Sholes model, Wiener process, Girsanov transformation, martingale measure, option, Radon—Nikodim derivative.

Как известно, наиболее стандартной моделью, используемой финансовыми организациями для ценообразования опционов, является модель Блэка-Шоулса (Б-Ш) [1, 2]. Однако она имеет ряд недостатков и описывает динамику финансовых инструментов не совсем верно. Например, хорошо известные эффекты «улыбки волатильности» и «кластерности волатильности» противоречат предположению постоянства волатильности, которое имеет место в модели Б-Ш [1]. Заметим также, что использование исторической волатильности не всегда дает хорошие результаты при вычислениях, так как она может иметь «дыры» в своей истории. Другое нереалистичное предположение модели Б-Ш - это неизменность процентных ставок, которые в действительности непостоянны [1]. Что же касается нормального распределения, которое является основой для модели Б-Ш, то у него также есть существенный недостаток - отсутствие тяжелых хвостов, высокого пика и других особенностей, характерных для эмпирических распределений логарифмических доходностей 1п(Б / Б^) [3].

В данной работе мы попытаемся рассмотреть более реалистичные модели.

1-я модель является своего рода обобщением модели Б-Ш. В ней предполагается, что параметры /,

г ист изменяются в некоторый случайный момент времени т (марковский момент остановки). Во 2-й модели, являющейся обобщением 1 -й, мы предполагаем, что момент времени т является детерминированной величиной. Экономическим смыслом таких предположений в моделях может быть прогнозируемое событие на рынке ценных бумаг (например, выход хорошей или плохой отчётности компании).

Данная работа состоит из 3 частей. В 1-й описывается обобщение модели Б-Ш со случайным моментом изменения параметров модели, во 2-й - с детерминированным. В 3-й части приводятся численные результаты.

Модель со случайным временем изменения параметров

Пусть Ж - винеровский процесс на некотором фильтрованном вероятностном пространстве с фильтрацией, удовлетворяющей обычным условиям. Цена базового актива в модели Б-Ш задаётся с помощью геометрического броуновского движения

Б = Б0ехр((/—+ ), где / - снос; ст - во-

латильность, ст > 0; Б0 - начальное значение цены базового актива (акции) Б ; г - безрисковая банков-

ская процентная ставка; В0 - начальное количество денег на банковском счёте.

Цена стандартного колл-опциона европейского

* I

типа С(£г, К) = ехр(-гТ)Е - К) + = = N(d1) - К ехр(-гТ)Ы{ё2), пут-опциона Г(БТ, К) = = ехр(-гТ)Е* (К - 8Т)+ = К ехр(-гТ)Ы(-ё2) - Б0),

где Е - математическое ожидание относительно

*

эквивалентной мартингальной меры Р •

d1 =

ln(S0 / K) + (r + a / 2)T

a2T

d 2 =

ln(S0/K) + (r-a /2)T

a2T

St =•

S0 exp((—1 - a2 / 2)t + CTj^t), 0 < t < z, ST exp((—2 - a22 / 2)(t - z) + a2 (Wt - Wz)), z < t < T;

Bt =

B0 exp(r1t),0 < t <z,

dP¿ dP

(1)

exp(-——— Wt - i(——^)21), 0 < t <z, a1 2 a1

exp((Wt - Wz) - 1(—2-r2)2(t - z)), z < t < T; a 2 a9

где Ж - винеровский процесс относительно Р .

Относительно меры Р имеем равенство по распределению

(2)

St =

S0 exp((r1 - CT2 / 2)t + a1 W*), 0 < t <z

ч"

[ST exp((r2 -a¡/ 2)(t - z) + a2 (W* - W *)), z< t < T,

d 4 =

ln(Sp / K) + (ri - aj / 2)z + (r2 - a22 / 2)T - z) ■\ja2z + &l(T -z)

Рассмотрим обобщенную модель Б-Ш, в которой параметры г, ^ и стх меняются на г2, ¡л2 и а2 в определённый детерминированный или случайный момент z . Если это случайный момент, то предполагается, что г - момент остановки. В этом случае цена рискового актива задаётся по формуле

N () - функция распределения стандартной нормальной величины; Е - математическое ожидание отно-

*

сительно меры Р .

Доказательство. Пусть процесс 2 = (2{ имеет вид правой части выражения (1).

Докажем, что 2 является мартингалом. Рассмотрим

2 случая: А = {а : г < г(ю)} и Ас = {а : г > т(ю)} . Оба измеримы относительно а -алгебры /. Процесс 2 имеет представление: на множестве А

Z\ = exp(-a1Wt -1 a^t), a1 =-

—i - ri .

2

на множестве

AC Z2 = exp(-aiWz -a2(Wt -WT)-

1 2 1 2 ™ « „ — 2 - r2 --a1 z--a2 (T - z)) , a2 = - -

2 1 2

a

|Вг ехр(г2 (г - г)), г < г < Т. Далее для простоты будем полагать В0 = 1. Теорема 1. Предположим, что в обобщённой модели Б-Ш т - марковский момент остановки, {г < г} е , в который параметры г1, /л1 и а1 меняются на г2, ¿и2 и а2. Тогда существует эквивалент-

*

ная мартингальная мера Р* такая, что производная Радона-Никодима

Таким образом, Z может быть определено как Zt = Z]l{A}{rn) + Z2I{AC }(®).

Используя независимость г от Z1, Z 2 , зададим математическое ожидание процесса Z

E[Zt ] = £[Z1]£[I{A}(®)] + £[Z2]£[I{Ac }(©)] = = E[Z]]P(A) + E[Z]]P(AC) . (5)

Вычислив прямым подсчётом математические ожидания E[Z1 ], E[Zt2 ], получим E[Z1 ] = 1, E[Z 2 ] = 1. Из (5) имеем E[Zt ] = P(A) + P(AC) = 1.

Основываясь на последнем результате, покажем,

что процесс Z является мартингалом Zt = Zs —-.

Z s

Используя строгое марковское свойство, получим

Z Z

E(Zt | Fs) = ZsEZ | Fs) = ZsE(^ | Fo) = ZsEZt_s = Zs.

Zs Z 0

То есть показано, что процесс Z может быть вы*

бран в качестве плотности мартингальной меры P относительно физической меры P .

Таким образом, представив процесс S / B как

St /Bt = S0 exp(aWt -—t)I{A} + ST exp(a2 (Wt - W*) -

2

2

где Ж - винеровский процесс относительно меры Р*. Формула рациональной цены для колл/пут-опцио-нов принимает вид

С(8т , К) = 5о Е*^ (¿з(0)] -- КЕ* [ехр(-Г1 г - г2(Т - г))N(й4 (г))], (3)

Р^Т,К) = КЕ*[ехр(-г1 г - г2(Т - г))N(-й4( г))] -- 5оЕ* [N(-йз (г))], (4)

а с

—— (г - г)) 1{А }, путём прямого подсчёта математического ожидания Е[^ / В I / ] можно показать, что он является мартингалом.

На 2-м шаге необходимо проверить выражение (2)

для процесса S относительно вероятностной меры Р*. Если она определяется с помощью процесса плотности 2 в качестве производной Радона-Никодима, то, согласно теореме Гирсанова [1], для диффузионных про-

цессов Wt = W* - \——— ds = W* 1—üt, где W* - ви-a a

—1- r1

0 a1

где d3 =

ln(^ / K) + (r + a? / 2) z + (r2 + a\ / 2)(T - z) неровский процесс относительно меры P*. Отсюда по-

^a2 z + a\(T - z)

2 2 _

лучаем (—1 - a^)t + aW = (—1 - ^)t + a1 W - ) =

2 2 a

а

2

ст 1 *

= (г1 + , 0 < / <т. Аналогично для />т.

Б =

Б0 ехр((г1 -ст\/2)г + ст1Ж*), 0</<т, |Бт ехр(( г2 - ст22 / 2)(/ -т) + ст2 (Ж* - ЖТ*)), т</< Т.

Рассчитаем цену опциона для модели Б-Ш с параметрами, изменяющимися в марковский момент оста* (Бт — К) * новки. Цена опциона колл С(БГ, К) = Е [—-], где E -

Вт

математическое ожидание мартингальной меры P (1). ЕК] = е-К)1{Бт > К}] = (6)

Br

BT

.-St

= E [—I{ST > K}] - KE [-I{ST > K}] = E1 - KE2.

B.

BT

т Вт

Найдем математическое ожидание Е2 (напомним, что во всех наших вычислениях мы берём В0 = 1). Е2 = Е*[ехр(-г* -г2(т - т)) 1{Бт > К}] = = Е [ехр(-г* - г2(т - т)) х

х Е* (1{Б0 ехр(й(т) + ст! Ж* + ст2 Ж - Ж* )) > К} | т)], где

й(т) = (г! - ст? / 2)т + (г2 - ст22 / 2)(т - т) . (7) Сначала рассчитаем внутреннее условное математическое ожидание

Е2 = Е* [ОД ехр(й(т) + ст1 Ж* + ст2 (Ж* - Ж*)) > К} | т].

От Р * и Ж * можно перейти к Р и Ж , но математическое ожидание не изменится

Е2 = Р(стЖ + ст2 (Жт -Жт ) > 1п(К / Б 0 ) - й (т)) . Нетрудно доказать, что результатом прямого вычисления математического ожидания Е2 будет N (й 4 (т)), где N () - функция распределения стандартной нормальной случайной величины, и а4 задаётся соотношением

А =

ln(S0 / K) + (r - Ст!2 / 2)г + (т2 - ст\ / 2)(T - г)

I

ст^ г + ct\(T - г)

Отсюда

Е2 = Е*[ехр(-гт - т2(т - т))N(йА(т))] = Е*[/(т)]. Найдём математическое ожидание Е1

Е = Е*[^1{Бт > К}] = Вт

= Е*[ехр( —г1т - г2(т - т))Е*(Бт/{Бт > К} | т)].

*

Для упрощения обозначений перейдём от Р* и Ж * к Р и Ж, тогда, используя й(т) из (7), найдём внутреннее условное математическое ожидание Е[ = Е*[БГ/{БГ > К} | т] = = Б0 ехр(й(т))Е[ехр(стЖ + ст2(Жт - Жт)) х х1 {Б0 ехр(й(т)) ехр(стЖт + ст2 (Жт - Жт)) > К} | т]. Используя определение математического ожидания, после прямого подсчёта получаем Е{ = ехр(г1т + г2 (т - т)) N (й3 (т)). Тогда

E = S0E [exp(тхт + r2(T - г))N(d3 (г))], где

ln(S0 / K) + (т1 + CTj2 / 2)г + (r2 + ст| / 2)(T - г)

d3 =

7ст2г + СТ22(Т -г)

В результате получен конечный результат теоремы

(1) - (3).

Таким же образом можно доказать аналогичную формулу для цены пут-опциона Р(Бт, К) =

= КЕ*[ехр(-г1т - г2(т - т))N(-¿4(7))] - ^Е>(-йз (т))].

Модель с детерминированным временем изменения параметров

Рассмотрим частный случай предыдущей модели, так как результаты, полученные для этого случая, могут быть применены на практике.

Теорема 2. Предположим, что Р*(т = т0) = 1, т.е. т0 е [0,т] является детерминированным моментом времени изменения параметров г1 , / и ст1 на г2, /2 и ст2 в обобщённой модели Б-Ш. Тогда существует единственная эквивалентная мартингальная *

мера Р * такая, что

dP*_ dPt

(8)

exp(-tlZÜ.wt -1("i-!)2i),0<t<rQ, CT 2 ст

/"2 - T2

1 " 2 - T2 \ 2 /

—- (W - ) - - 2(t ~To)),To <t< T.

CT 2 Сто

Относительно Р * имеем равенство по распределению

St = (9)

_ | Б0 ехр((гх -ст2 /2)/ + ст1Ж*),0 < I < т0, = |бг ехр((г0 - ст22 / 2)(/ - т0) + ст2 (Ж* - Ж*)), ^ < / < т,

где - винеровский процесс относительно P*. В этом случае

С(Бт, К) = Б0Щйз) - К ехр(-г1Г0 - г2{т — Тo))N(dA), (10) Р(Бт,К) = Кехр(-гт0 -г2(т-т^(гй^)-БoN(-dз),

где

d, =

Л =

ln(So / K) + (Ti + CT 12 / 2)го + (Т2 + СТ22 / 2)(T - го ) . -^СТ12го + CT-f (T -го)

ln(Sо / K) + (Ti - ст2 / 2)го + (T2 - СТ22 / 2)(T - го) ,

i

ст\г о +ct\(T -го)

N(0 - функция распределения стандартной нормальной величины.

Доказательство. Данная теорема является очевидным следствием из предыдущей теоремы.

Численные результаты

Для расчётов цен колл-опционов использовались финансовые данные со шведского рынка ценных бумаг для компаний Н&М и Е1ейш1их: рыночные цены акции и опционов, волатильность. На рис. 1, 2 видно, что кривая цен опционов, полученных по мо-

дели Б-Ш с детерминированным временем изменения параметров, находится ближе к «коридору» реальных цен колл-опционов (Бид-Аск корридору), чем полученная по стандартной модели Б-Ш.

°ЗШ 2BÖ ~30Ö 320 з5Г 36D 380 <00 420

Рис. 1. Цены опционов. Горизонтальная ось - цена исполнения опциона Е ; вертикальная - цена опциона колл С компании Н&М на 2-е мая (со следующими параметрами: Т = 50/262 (июль 2008) - время до исполнения опциона; г = 9/262 (10-е мая) - момент изменения параметров; Г = г2 = 0,0465, 1 = 0, Б0 = 365,5, а = 0,278, а2 = 0,238); верхняя сплошная линия - цена Бид; нижняя сплошная -цена Аск; верхняя пунктирная - цена по модели Б-Ш; нижняя пунктирная - цена по обобщенной модели Б-Ш

Поступила в редакцию

Рис. 2. Разница между ценами по модели Б-Ш и по обобщённой модели Б-Ш с изменяющимися в детерминированный момент времени параметрами. Использованы данные по компании Electrolux (июнь 2008)

Это означает, что при использовании модели с детерминированным временем изменения параметров при условии правильного предсказания поведения а получим цены, которые лучше соответствуют реальным на рынке ценных бумаг.

Выражаю благодарность за постановку задачи и помощь в написании статьи Людмиле Юрьевне Вос-триковой.

Литература

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М., 1998. 544 с.

2. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М., 2001. 175 с.

3. Eberlein E., Keller U. Hyperbolic Distributions in Finance // Bernoulli Review. Freiburg, 1995. Vol. 1, № 3. Р. 281-299.

15 июня 2009 г.