CC BY
16
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вольсков Д. Г. Сертификация компонентов воздушных судов в методологии САЬ8-технологий // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2014. -Т. 16, №6-2. - С. 406-411.
2. Маркова Е. В. Инновационный потенциал наукоёмкого предприятия авиационного космического комплекса // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2014. - Т. 16, №6-2. - С. 501-504.
3. Вольсков Д. Г. Автоматизация технологичности в САЬ8-методологии при изготовлении деталей самолёта механической обработкой // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2016. - №3 (75). -С. 53-57.
4. Вольсков Д. Г. Интегральные конструкции из полимерных композиционных материалов газотурбинных двигателей // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2015. - №2 (70). - С. 50-55.
5. Вольсков Д. Г. Проектирование современного летательного аппарата на основе информационных технологий и кооперации // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2015. - №3 (71). - С. 29-33.
6. Вольсков Д. Г. Эскизное проектирование летательного аппарата с авиационным комплексом в САБ-системе // Вестник Ульяновского го-
сударственного технического университета. -2015. - №4 (72). - С. 53-56.
7. Вольсков Д. Г. Исследование обратимости акустической эмиссии // Космос - дом человека будущего // Молодёжные научно-технические чтения, посвящённые 40-летию первого полёта человека в космос : Сборник материалов областной научно-практической конференции (8 апреля 2001 года). - Ульяновск : УлГТУ, 2001. - 80 с.
8. Вольсков Д. Г. Современные подходы к проектированию технологических процессов : Практикум. - Ульяновск : УлГТУ, 2016. - 69 с.
9. Вольсков Д. Г. Проектирование летательных аппаратов. Современные подходы : Практикум. - Ульяновск : УлГТУ, 2016. - 78 с.
10. Кобелев С. А., Вольсков Д. Г., Щеклеина О. В. Исследование акустической эмиссии стальных заготовок // Тезисы докладов XXXV научно-технической конференции. Часть 1. -Ульяновск, 2001. - 69 с.
Вольсков Дмитрий Геннадьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Самолётостроение» ИАТУ УлГТУ. Имеет монографию, научные статьи в журналах ВАК, учебные пособия.
Поступила 22.03.2017 г.
УДК 531.1; 531.8 В. К. МАНЖОСОВ
МОДЕЛЬ ВРАЩАТЕЛЬНОГО УДАРА ТВЁРДОГО ТЕЛА ПО СТЕРЖНЮ
Рассмотрена волновая модель вращательного удара твёрдого тела по стержню, закрепленному в жёсткое основание. Для решения волнового уравнения используется метод бегущих волн. Угловая скорость, угловое ускорение и относительный угол закручивания поперечных сечений стержня определяются с использованием функций прямых и обратных волн.
Ключевые слова: удар, вращательный удар, стержень, волновое уравнение, метод бегущих волн, волна деформации, скорость поперечных сечений стержня, деформация в поперечных сечениях стержня.
Продольный удар жёсткого твёрдого тела по стержню с использованием волновой модели рассматривается в работах [1-6]. Однако исследования вращательного удара твёрдого тела по стержню с применением волновой модели не столь распространены, хотя есть много общего с волновой моделью продольного удара [7, 8, 9].
В данной работе рассмотрена волновая модель вращательного удара твёрдого тела по стержню, закреплённому в жёсткое основание. Твёрдое недеформируемое тело 1 (рис. 1) с осевым моментом инерции вращающееся со скоростью а>0, наносит крутильный удар в сечении х = 0 по защемлённому в сечении х = I однородному стержню 2.
© Манжосов В. К., 2017
2
у_
Рис. 1. Схема ударной системы
До нанесения удара стержень 2 находился в покое, деформации в стержне отсутствовали. Процесс удара продолжается до тех пор, пока в ударном сечении х = 0 относительный угол закручивания др(0, ?)/ д х не станет равным нулю. Движение поперечных сечений стержня при ударе описывается волновым уравнением вида
_ 1 д р ^) = 0, 0 < х < I, (1)
дх ад?
где р( х, ?) - угол поворота поперечного стержня, положение которого определяется координатой х; ? - время; а - скорость распространения волны деформации в материале стержня.
Начальные условия: при ? = 0
(2)
р(x,0) = 0, =К x = 0 = 0, 0 < x<l.
д t у 0, 0 < x < l, д х Здесь др(x,0) / дt - угловая скорость поперечных сечений стержня при t = 0. Граничные условия: если для x = 0 значение др(0, t) / дx Ф 0, то
() = G мад, (Ц р_ d 1)ш (3)
д t д x д t
при x = l р( l, t ) = 0, = 0, (4)
если др(0, t)/д x = 0, то с = с, = const, рм =рм (t„) + ®, (t -t„), (5)
где G - модуль упругости 2-го рода материала стержня; Jp - полярный момент инерции поперечного сечения; рм - угол поворота твердого тела 1; с - скорость вращения твёрдого тела 1; t„ - время, когда произойдёт отрыв твёрдого тела от ударного сечения; со, - скорость вращения твёрдого тела в момент отрыва.
Заметим, что граничные условия учитывают наличие неудерживающей связи между ударником и сечением x = 0 стержня.
Решение волнового уравнения (1) по методу бегущих волн представляется как
p(x, t) = f (at - x) + x(at + x), 0 < x < l, (6)
где f (at — x) - функция, описывающая параметры прямой волны, распространяющейся в стержне в направлении оси x; x(at + x) - функция, описывающая параметры обратной волны, распространяющейся в стержне в противоположном направлении.
Из решения (6) волнового уравнения следует, что угловая скорость др(x, t) / дt, угловое ускорение д2p(x, t)/ дt2 и относительный угол закручивания др(х,t) / дx поперечных сечений стержня определяются как
= af'(at - x) + ax'(at + x), ^^A = a2 f" (at - x) + a2f(at + x), (7)
ч2р
д t " v 7 v ^ 512 др(x, t)
дх =-/_ х) + %'(а( + х). (8)
С учётом этого начальные условия (2) примут вид
/(0 _ х) + ^(0 + х) = 0, 0 < х < I,
_/'(0 _ х) + /(0 + х) = 0, /'(0 _ х) + /(0 + х) = 0, 0 < х < I, откуда следует, что
/'(0 _х) = /(0 + х) = 0, 0 < х < I; /(0_х) = %(0 + х) = 0, 0 < х < I. (9)
Граничные условия (3) - (5) примут вид:
если др( 0, t) / д x ф О, то
Jxa2 [ f''(at - 0) + X"(at + 0)] = GJp [-/' (at - 0) + X'( at + 0)], , Рм = P(0, t) , (10)
если др( 0, t) / д x = 0, то
-/'(at - 0) + /(at + 0) = 0, a = a* = const, рм = рм (t,) + a„ (t -t,); (11)
при x = l /(at -1) + %(at +1) = 0, /'(at - l) + X'(at +l) = 0. (12)
Формируемая в ударном сечении x = 0 прямая волна, описываемая функцией f (at - 0) , для произвольного сечения x преобразуется как
f (at - 0 + x - x) = f
x - 0 ,
a | t +--| - x
a
(13)
т. е. имеет тот же вид, что и для сечения х = 0, но только с запаздыванием по времени на величину (х - 0) / а , равной времени распространения прямой волны от ударного сечения до сечения х.
Падающая на границу х = I прямая волна / (аХ -1) в соответствии с граничным условием (14) в сечении х = I формирует обратную волну, описываемую функцией
Х(аХ +1) = -/(аХ -/). (14)
Для произвольного сечения х обратная волна %(аХ +1) преобразуется как
x(at +1 + x - x ) = z
a | t + -—- | + x a
(15)
и будет иметь тот же вид, что и в сечении х = I, но запаздыванием по времени на величину (I - х) / а , равной времени распространения обратной волны от сечения х = I до сечения х.
С учётом равенства (14) обратная волна в сечении х = 0 соответствует параметрам прямой волны, сформированной в сечении х = 0 ранее по времени на 21/а:
Х{ ах + 0 ) = - / [(аХ - 21)- 0] , х\аХ + 0) = - /' [(аХ - 21)- 0], Х"( аХ + 0 ) = -/ "[(аХ -21 )-0]. (16) Из граничных условий (10) и (11):
/ха2 [/"(аХ - 0) + Х"(аХ + 0)] = О/р [-/ '(аХ - 0) + Х'(аХ + 0)], если д м(0,Х) / дх Ф 0, -/' (аХ - 0) + Х' (аХ + 0) = 0, если др(0, Х) / д х = 0, функция, определяющая параметры формируемой в ударном сечении прямой волны, определяется либо из решения дифференциального уравнения:
/"(аХ - 0)+ 3 /' (аХ - 0)= 3 х'(аХ + 0)-Х"(аХ + 0), если ММ ф 0, (17)
/'а 3 х.а д х
либо из равенства
/'(аХ - 0) = Х'(аХ + 0), если др(0,Х) / дх = 0. (18)
Уравнения, определяющие параметры формируемой в ударном сечении прямой волны, с учётом (16) примут вид:
/''(аХ) + //' (аХ) = -//' (аХ - 21) + /''(аХ - 21), если ММ ф 0, (19)
/ х.а / х~а д х
/'(ах) = -/'(аХ - 21), если др(0,х) / дх = 0. (20)
Учитывая, что О = а2р (где р - плотность материала стержня), полярный момент инерции поперечного сечения / = /32, имеем:
ж!.! ж!2 !2 !2 1 !2
пр _ прпр л пр 1. пр
/ 3 =рг=2 =з =а (21)
/ха2 / / / / / / '
где а = А/ / /х - отношение момента инерции единицы длины стержня А/ относительно продольной оси х к приведённому моменту инерции /х ударяющего тела; Атпр = рАпр/ /1 - масса единицы длины стержня; рАпр/ - масса стержня длиной I; А^ = /4 - приведённая площадь поперечного сечения стержня; !пр - приведённый диаметр стержня. Обозначим переменную аХ = £ . Тогда уравнение (19) примет вид:
f"(Ç) + af' (t) = —af'(¿ — 2l ) + f\Ç — 2l), (i — l)2l <£< i • 2l, i = 1, 2, 3,..., i*, (22)
где i - номер интервала времени продолжительностью 2l; i* - номер интервала времени, на котором произойдёт разрыв контакта.
Решение дифференциального уравнения (22) относительно первой производной f и функцию обратной волны %'(£) из равенства (1б) на i-м интервале движения (i — l)2l < ^ < i • 2l представим как f'(#) = Cie~°a + eaf eaq f\Ç — 2l) — af'(£ — 2l)]d#, *'(£) = —f'(¿ — 2l), i = 1, 2, 3,., i*, (23)
где Сi - постоянная интегрирования на i-м интервале движения.
Значение Сi на первом интервале движения определяем из начальных условий (2):
I х=0 = af ' (0) + a/(0) = с. (24)
д t
Так как на первом интервале f "(£ — 2l)= 0, f ' (£ — 2l)= 0, то из (23) f '(0) = C1. Учитывая, что z'(0) = — f ' (0 — 2l ) = 0, получим из (24)
аC1 = с0, C1 = с0 / а .
На последующих интервалах движения значение С определяется из условия непрерывности скорости ударного сечения, пока имеет место контакт стержня и ударяющего тела.
Функции f (£) и определим, вычисляя интеграл (23) и используя равенство (1б):
f (#) = J f '(#) + D, *(#) = —f (# — 2l).
Здесь D - постоянная интегрирования при вычислении интеграла.
Построенная модель вращательного удара твёрдого тела по стержню, закрепленному в жёсткое основание, по структуре соответствует моделям продольного удара, описанным в работах [2, 4, б]. Это позволяет использовать имеющиеся подходы при анализе такого класса задач.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алимов О. Д., Манжосов В.К., Еpемьянц В.Э. Распространение волн деформаций в ударных системах. - Фрунзе : Илим, 1978.- 19б с.
2. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еpемьянц В.Э. Удаp. Распpостpанение волн дефоpмаций в удаpных системах. - М. : Наука, 1985. - 354 с.
3. Еремьянц В.Э. Динамика ударных систем. LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH&Co. Saarbrucken, Germany, 2012. - 58б с.
4. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твёрдых тел. Удар. — Киев : Наукова думка, 197б. — 320 с.
5. Zhukov I.A., Dvornikov L.T. New constructive solutions of anvil-blocks of percussion mining machines. North Charleston : Create Space, 2015. 130 p.
6. Манжосов В.К. Продольный удар. - Ульяновск : УлГТУ, 2007. - 358 с.
7. Шевченко Ф. Л., Улитин Г. М. О разновидностях крутильных ударов, возникающих при работе буровых установок, и способах их устранения // Совершенствование техники и технологии бурения скважин на твёрдые полезные ископаемые. - Екатеринбург : УГГА, 2001. - Вып. 24. - С. 132 - 138.
8. Улитин Г. М., Петтик Ю. В. Крутильный удар бурильной колонны при заклинивании режущего инструмента // Науковi пращ ДонНТУ. Серiя «Прничо-геолопчна». - 2008. - №7 (135). - С. 104 - 107.
9. Li Jiyang, Tan Zhuoying, Li Wen. Diamond Drill Crushed Rock Under Impact-Rotational Loading // EJGE, Vol. 20 (2015), Bund. 20. - pp. 11719 - 11732.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, окончил машиностроительный факультет Фрунзенского политехнического института, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика и строительные конструкции» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, моделирования процессов удара. [e-mail: [email protected]].
Поступила 22.06.2017 г.
