Модель волноводного распространения поверхностной волны вдоль ребра клина Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://ta.org.ru/

2GG5, 32

Х. Б. Толипов

Южно-Уральский Государственный Университет,

ЮУрГУ, 454080, Россия, Челябинск, пр. Ленина, 76, e-mail: [email protected]

В настоящее время во многих известных волноводных устройствах используются поверхностные волны. Однако, такие существенные

недостатки, как уширение пучка, неэффективное использование площади подложки, сложность искривления звукопровода резко ограничивают их широкое применение в технике. Более перспективными являются волноводы, в которых волна ограничена в поперечном направлении. Таким требованиям удовлетворяют клиновые волноводы. Энергия волн в таких волноводах сконцентрирована в окрестности ребра клина, а их скорости существенно ниже скорости рэлеевской волны на плоской поверхности.

Единственным средством анализа этих волн до настоящего времени являются либо численные расчеты, либо эмпирические зависимости. В данной работе предложена модель, которая описывает пространственно локализованные волновые пучки, являющиеся основной формой движения вдоль ребра.

Выполнены расчеты волновых полей, образующихся вблизи окрестности ребра, которые удовлетворяют уравнениям движения и граничным условиям. Получено дисперсионное соотношение для волноводных мод. Модельные расчеты структуры волнового пучка согласуются с экспериментальными наблюдениями.

Преимущества клиновых волноводов, использующих поверхностные волны, перед традиционными достаточно очевидны. Уширение пучка, приводящее к перекрытию соседних пучков, при использовании этих волноводов, автоматически устраняется, поскольку волновая структура в поперечном направлении в процессе распространения волны остается неизменной. Также ограниченная волноводом волна легко следует любым его изгибам. Ширина поперечного сечения канала получается равной нескольким длинам волн, в то время как у обычных устройств она составляет 40 - 100 длин волн.

Таким образом, клиновые волноводы позволяют избежать некоторых недостатков широких пучков поверхностных волн. Однако широкое практическое применение сдерживается отсутствием аналитической теории распространения волн в таких волноводах.

Модель волноводного распространения поверхностной волны вдоль ребра клина

Получена 20.09.2005, опубликована 29.09.2005

В рамках известных представлений объяснить характер поведения этой волны не представляется возможным. Так, например, траектория кромочной волны вследствие рефракции должна сдвигаться к ребру клина, обеспечивая неизменность скорости этой волны от угла клина, что противоречит известным экспериментальным данным.

В данной работе предложена модель распространения акустической волны вдоль ребра клина, объясняющая особенности ее движения.

Согласно предлагаемой модели, механизм распространения клиновых волн можно объяснить следующим образом. Как было показано в [1], вблизи ребра клина образуется область («пробка»), в которой отсутствуют продольные колебания.

Траектория кромочной поверхностной волны сдвигается до границы этой «пробки», так как продольная составляющая этой волны не пропустит ее до кромки ребра. С увеличением угла клина изменяется протяженность этой «пробки», и траектория волны отодвигается от ребра клина. Локальная толщина клина (т.е. толщина клина в области траектории волны) при этом увеличивается, что ведет к возрастанию скорости волны.

Смещения частиц среды в кромочной волне также вызывают дополнительно движение колебаний по направлению к ребру клина. Наложение с отраженной от кромки ребра волной ведет к возникновению пульсирующего поля. Важно отметить, что в направлении ребра энергия в этом случае не переносится.

Таким образом, клиновую волну можно представить в виде суммы двух волн: перпендикулярной, направленной к ребру клина и создающей пространственное распределение амплитуды, и параллельной, бегущей вдоль кромки клина [2]. В силу независимости движения рассмотрим эти две плоские задачи раздельно.

Решение первой задачи получим, воспользовавшись результатами, полученными в работе [3]. На рис. 1 для момента времени, соответствующего максимуму колебаний, представлена рассчитанная зависимость амплитуды смещений в стоячей волне для углов клина а1 = 6° (сплошная линия) и а2 = 3° (пунктирная линия) от расстояния до ребра клина.

и/иг

Рис. 1. Структура смещений в стоячей волне вблизи ребра клина

Как показывает анализ полученных результатов, амплитуды смещений, соответствующих максимуму колебаний стоячей волны, сдвигаются от ребра клина с увеличением угла клина.

Рассмотрим движение колебаний частиц среды вдоль кромки клина.

Как показывают экспериментальные данные [4], скорость кромочной волны по всей ширине волнового канала остается неизменной. По всей видимости, эта скорость определится координатой, в которой выполняется условие наилучшего возбуждения волны, соответствующей максимальной амплитуде смещений. Вблизи границы «пробки» вследствие рефракции изменение амплитуды смещений поверхностной волны происходит в течение одного полупериода. Возбуждение частиц среды вдали от ребра клина приводит к увеличению числа полупериодов и скорости волны. Ширина волнового канала определяется количеством этих полупериодов.

На рис. 2 и 3 представлены соответственно зависимости амплитуды смещений второй и шестой мод волн от расстояния до ребра клина для угла клина а = 5,7° (гк соответствует координате волнового канала, определяющей скорость волны).

и/и

и/и

Рис. 2. Зависимость амплитуды смещений Рис. 3. Зависимость амплитуды смещений в шестой волноводной моде от во второй волноводной моде от

координаты г координаты г

Как показывает анализ, с возрастанием номера моды увеличивается ширина волнового канала, а траектория волны приближается к кромке клина.

Решение второй задачи определяем в узкой области в окрестности максимальной амплитуды смещений. В этой области амплитуда смещений по переменной г практически не изменяется. Волновые числа, которые являются целью исследования, согласно экспериментальным наблюдениям не должны зависеть от этой переменной. Для плоского случая параметры движения частиц среды должны зависеть только от двух переменных — г, в , а у векторного потенциала отлична от нуля будет только компонента ^2 [2].

С учетом этих замечаний система уравнений движения частиц среды с граничными условиями в терминах волновых потенциалов принимает следующий вид

1 д 2Ф д 2Ф 72. .

+ —^ + к;Ф = 0.

r2 дв2 dz2 1

(1)

r2 дв2 dz2

2^ 1 Я f d2Y ^

О і "k t л

2-------+ k2 Y2

dz2 t 2j

2 d2Ф 1_д_ r дzдв r дв

= 0, (2)

- — Ф------— +------(-----) = 0, при в = ±в0.

2 dz r дв r dzde

где kt t — волновые числа соответственно продольной и поперечной волн.

Определим пространственно-временную структуру акустического поля волн, движущихся вдоль ребра клина.

Представим искомое решение в следующей форме:

Ф = ( chу1в + C0 sh v10)exp\ipjz - ot)

(3)

^2 = (2 ch v2e + C2 sh v2e)exp[i(pz - ot)],

где Vj = ^p2 - k2 r, ; v2 = -yjp2 - k2t r ; p- волновое число кромочной волны; Vj и v2 —

угловые волновые числа.

В дальнейших выкладках множитель exp (-iot) опускается.

После подстановки этих функций в (2) получим:

V =4pr-kfr = qr,

I------ (4)

V2 = д/p2 - k2r = sr .

Подставляя содержащие четыре постоянные A0, A2, C0, C2, выражения (3) в

граничные условия (2), приходим к алгебраической системе четырех однородных уравнений для определения этих постоянных.

Условием существования нетривиальных решений этой системы уравнений является равенство нулю определителя, который представим в виде произведения As Aas, где

Aas, соответствует антисимметричным, а As — симметричным волнам. Эта система

имеет решения при двух независимых условиях: As = 0 и Aas = 0, где элементы

определителей As = |aik| и As = |bik| (i, k = 1, 2) имеют вид:

Ъп сШУ1в0 = (р2 - 0.5к/)сЬУхв(

ап

I 2у р

а12 = Ь12сїЬУ2в0 = \~у~ §ЬУ2в0

/2 Рі (5)

а21 = Ъ21 сШув = 2 сЬ V-,#,,

21 ^ ^АА ^2^0 2 ^ААК^0

Г

а22 = Ъ22СtЬv2#0 = — Г

У2 Р±у

>

I ,,2 Л

2 ,2 Р +~г

2

У

бЬ у2в0.

20

Г

Очевидно, эти два определителя соответствуют двум независимым совокупностям компонент смещений.

Определители позволяют получить решения для поставленной задачи.

Решение 1:

Ф = А0 сЬу1в,

¥2 = С2

иг = А0гр сЬ ув0 - С2 сЬ у^ (6)

г

У , „ ^ . У2

ив = А0 — бЬ у10 + С2 ір—бЬ у2в.

^........................_2

а0 _ _

Г Г

Решение 2:

Ф = С0 бЬ У1в, у/2 = А2 бЬ У2 в0 ,

иг = С0ір бЬ у1в - А2 -У- бЬ У2в, (7)

Г2

У , ^ „ . У2

ив = А0 — сЬу1в + С2 ір—сЬу2в.

, ....._2

а0

ГГ

Следует отметить, что смещения частиц в решении 1 антисимметричны относительно плоскости, проходящей через биссектрису угла клина, в другом решении — антисимметричны относительно той же плоскости.

Очевидно, что уравнения симметричных и антисимметричных волн получаются приравнением двух соответствующих определителей нулю:

= 0, (8)

4дор2 ^ Ш дгв

где для антисимметричных волн к = 1, для симметричных волн к = -1.

Как показывает анализ этого уравнения, при больших значениях переменных г и в второе слагаемое стремится к единице, и соотношение (8) переходит в известное уравнение Рэлея. Решения дисперсионного уравнения при этих значениях координат образуют непрерывный спектр поля.

Подстановкой в уравнение (8) значений переменных гк, соответствующих максимальным амплитудам смещений, определяются скорости мод кромочных волн. Следовательно, в окрестности ребра решения этого уравнения будут представлять уже дискретный спектр поля.

Скорость антисимметричной волны с возрастанием угла в монотонно растет. Следует заметить, что каждому значению скорости волны соответствует определенное расстояние от ее траектории до ребра клина.

Эта волна распространяется в узком волновом канале. При незначительном изменении траектории от кромки клина скорость волны увеличивается, и вследствие рефракции движение колебаний частиц среды возвращается в сторону ребра.

На рис. 4 представлены сплошными линиями теоретические зависимости скорости второй и шестой мод кромочных волн от угла клина (сг — скорость рэлеевской волны, пунктирными линиями обозначены экспериментальные кривые из работы [4]).

0 15 30 45 60 75 0, град

Рис. 4. Зависимости скорости шестой и второй волноводных мод от угла клина

Как показывает анализ, для каждого угла существует ограниченное количество мод антисимметричных волн. С увеличением номера моды ширина волнового канала изменяется. Также, с увеличением угла клина ширина волновых каналов вблизи его кромки уменьшается, и каналы практически сливаются между собой. Этим объясняется трудность возбуждения высших мод кромочной волны при больших углах клина.

Симметричная волна возникает только при гв> 0,0013 м [1]. Отметим, что эта волна неустойчивая в волновом канале: при небольшом отклонении траектории от ребра скорость волны уменьшается, и вектор волновой скорости поворачивается в обратную от ребра сторону, уходя вглубь среды.

В заключение можно отметить, что удовлетворительное совпадение теоретических зависимостей с экспериментальными кривыми говорит о правомерности предложенной физико-математической модели.

ЛИТЕРАТУРА

1. Толипов Х. Б. Динамическая задача теории упругости для угловых областей с однородными граничными условиями. Прикладная математика и механика. 1993, т. 55, вып. 5, с. 120 - 126.

2. Толипов Х. Б. Математическое моделирование движения волны вдоль кромки упругого клина. Математическое моделирование, 2004, т. 16, №5, с. 35 - 39.

3. Толипов Х. Б. Двумерная задача распространения акустических колебаний в клине. Математическое моделирование, 2003, т. 15, №10, с. 105-108.

4. Moss S. L., Maradudin A. A., Cunningham S. L. Vibrational edge modes for wedges with arbitrary interior angles. Phys. Rev. B., 1973, v. 8, p. 2999.