CC BY
26
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 84-92
= Механика =
УДК 539.375
Модель упругого деформирования трещины в концепции слоя взаимодействия при продольном сдвиге
Н. Д. Кунашов
Аннотация. Поставлена задача о нагружении берегов трещины антисимметричными нагрузками. Трещина моделируется физическим разрезом с характерной толщиной 6о и слоем, лежащим на ее продолжении. Получена система интегрального и интегродифференциального уравнений.
Ключевые слова: трещина, слой взаимодействия, продольный сдвиг, фундаментальное решение, характерный размер.
1. Постановка задачи
Рассмотрим нагружение берегов трещины в бесконечной линейно упругой плоскости системой сосредоточенных сил согласно схеме (рис. 1).
Рис. 1. Схема нагружения
Трещиноподобный дефект представим в виде физического разреза с характерной толщиной 6. Подобный подход использовался в [1]. В модель
трещины включим наряду с вырезом бесконечную полосу, лежащую на его продолжении и называемую слоем взаимодействия [2, 3].
Воспользуемся следующими обозначениями для напряжений на границе слоя:
0+12 Х) = 012 ^ 60 ,Х2^ , 0- 12 (Х2) = 012 ^- у ,Х2^ ,
0+11 (Х2) = 011 ^ 60 ,Х2^ , 0-11 (Х2) = 0ц ^- 60 ,Х^ .
При дальнейшем изложении положим Х2 = х, все величины, имеющие размерность длины, отнесем к толщине слоя 60, а напряжений — к параметру в = 2(1—V2), для функций, соответствующих полуплоскостям на границе со слоем, будем использовать верхний индекс «р».
2. Решение поставленной задачи
Считаем, что векторы напряжений на границах слоя равны и противоположны векторам напряжений сопряженных границ полуплоскостей. Отсюда компоненты тензора напряжений удовлетворяют условию:
р± ± р± ± /1\
°12 = °12, °11 = °11‘ (1)
Полагаем непрерывность функции перемещения по границе слоя:
ир± = и±. (2)
Рассмотрим связь между напряжениями и деформациями в виде закона Гука для случая плоского деформирования [4]:
еп = А011 - В022,
622 = А022 - В011, (3)
О12 = Сб12,
где А = 2; В = 2(V-v); С = -; V — коэффициент Пуассона.
Средние напряжения и деформации в слое определяем через их граничные значения следующим образом:
021 (х) = 012 (х) = 0.5 (о-12 (х) + 0+12 (х)) , (4)
011 (х) = 0.5 (а-и (х) + 0+11 (х)) , (5)
611 (х) = 0.5 (и+1 (х) — и-1 (х)) , (6)
/ 9и+2 9и-2
ди1 (х) (ди+1 ди 1
дх
Считаем, что в рамках слоя распределение перемещений и2 (х) линейно по координате х1. В этом случае
диХХ)= и+2 (х) - и-2 (х) . (9)
Из (8) и (9) приходим к выражению
- , ч „ (ди2 ди1 \ „ „ ( + , ^ - , (ди+1 ди-1
621 (Х) = 0Ч дХГ + ~дх) =0-5 Г+2 (Х) - “"2 (Х) + 0Ч +
Запишем условия равновесия в проекциях на ось х
(10)
д022 + д°12 =о (11)
дх дх1
и ось х1
3Х + ^ =0. (12)
дх дх1
Проинтегрируем уравнения (11) и (12) по толщине слоя и получим с
3022 (Х)
учетом 0+12 = 0 12:
дх
да 21 (х) дх
где
= -20+12 (х) , (13)
= -20+11 (х) , (14)
1 1 *2 Г 2
021 (х) = 021 (х,Х1 ) йХ1, 022 (х) = 022 (х,Х1) йХ1.
■'-2 ^- 2 Представим решение задачи Фламана о распределении перемещений точек границы верхней полуплоскости под действием нагрузок, действующих со стороны слоя, в форме, удобной для последующей численной реализации [4]:
и1 (Х,Х1) | 1 = и+1 (х) = [ 0+11 (С) 1п -Х—I1 (15)
2 Jo Ь -1
и2 (Х,Х1) | 1 = и+2 (Х) = -Р+1п + [ 0+12 (I) 1п 'Ц 11 й(. (16)
2 Ь + а Jo Ь - 1
Здесь а — расстояние от вершины разреза до точки приложения проекций безразмерной силы Р+^ = ^+3 , * = г = 1 2, Р+г — компоненты силы, отнесенные к толщине образца; Ь — удаленная точка с нулевым перемещением (данную точку будем ассоциировать с бесконечно удаленной точкой); Ь — расстояние от начала координат до Ь.
Продифференцируем (15) по х:
ди+1 (х) ГЬ —+11 (() ,г
= I -ХТ=Тё(' ( )
Из (10) с учетом (15) и (17) приходим к интегродифференциальному уравнению относительно средней сдвиговой деформации в слое
021 (х) = 0.25С ^
(-р^ь+а + С -21 «).п (18)
с граничным условием
—21 |ж=0 = Я1- (19)
Подставляя (15) в выражение (6), с учетом (5) и (3) получаем связь между средними напряжениями слоя:
Лап - В—22 = (2 / -11 (С) .п ^Х—I1 ^). (20)
J 0 Ь — 1
Продифференцируем (16) и (18) по х:
ди+2 (Х) = — (-Р+2-) + [Ь —+12 (|) Щ. (21)
дх \х + а1 / ,/0 х — I
Из (21) с учетом (7) и (3) находим:
0+12 (е)
А—22 — В—11 = / . (22)
7о х — I
Принимая во внимание (13), из (22) приходим к следующему интегродифференциальному уравнению:
22 — В—11 = 0.5 ^— I 2р (23)
с граничным условием
—22|ж=0 = Я2- (24)
Таким образом, уравнения (24), (2B) образует систему интегрального и интегродифференциального уравнений относительно средних нормальных напряжений.
В отсутствии нагрузки на торец слоя ql = q2 = 0.
После нахождения средних напряжений из уравнений из уравнений (З), (Б), (1З), (14) определяем граничные напряжений а+12 (x), а+11 (x), а-12 (x), а-11 (x).
Таким образом, напряжения на границе слоя будут определяться интегродифференциальным уравнением (1B) и системой (20) и (2З):
Aan - Ba22 = 2 (/QL ап (С) Ind^ ,
_ (2Б)
Aa22 - Ball = -0-^/0L x—dC)'
Уравнение (1B) и система (2Б) решаются при удовлетворении граничных условий
a22|x=o = 0, (26)
—21|ж=0 = 0- (27)
Для остальных четырех неизвестных —+21 (х), —+11 (х), —-21 (х), —-11(х) приходим к следующей системе:
—11 (х) = —+11 (х) ;
—21 (х) = —+21 (х) ;
д—22(х) + , , (28)
dx да 21 (x) dx
= -2a+2l (x);
= -2a+ll (x).
Решать интегродифференциальное уравнение (18) и систему интегральных уравнений (25) будем численно. Для этого разобьем слой взаимодействия от кончика трещины до точки Ь на N элементов. Соотнесем значения напряжений на каждом интервале со значением в середине этого интервала. Уравнение (18) в дискретном виде примет вид
021 (х) = 0.25С (- £ ) +
N
Ь + а
(29)
а система уравнений (25):
N
Аагц — В(г%22 — 2 I ст111п
о
N
\х — Ц\ Ь — Ц
(30)
Таким образом, решение интегродифференециального и системы интегральных уравнений сведется к решению систем линейных алгебраических уравнений. Для разрешения СЛАУ будем использовать встроенные в МЛТЬЛБ средства библиотеки ЬЛРЛСК.
3. Анализ полученных результатов
Для проверки корректности решения разрешающей системы уравнений необходимо исследовать сходимость. Для рассматриваемой системы уравнений аналитическое выражение сходимости сопряжено с большими сложностями, однако, численное решение задачи позволяет говорить о вычислительной сходимости.
Построим графики зависимости величины напряжений в кончике трещины от количества разбиений на рис. 2 и 3.
----,----,---,--------,---п----г---,----,------------т==г-“
■■■ ***«■
Б |'Л ЛТі ГО *1І ЯП ГЛ1 ,'ЛІ 4іі «Жі ІГГТІ ІКЇІ Ш ■ КТ
Рис. 2. Зависимость значения ст+ц от количества разбиений
После решения системы уравнений (25), а также выражения граничных напряжений в слое через средние (28) получим следующий график для а+ц и и+21, соотнесенных к значению а+21 на границе трещины (рис. 4).
1 + * Г 1 1
■ м 'ГТрш .д_’- л——■■
- -в 7 «Л ' ' '
■
Я IV ■ ' 1 .1н X пЬ и, А*
Рис. 3. Зависимость значения а+21 от количества разбиений
Рис. 4. Распределение напряжений а+ц и а+21
Сравним полученные результаты с работой [3], где полагалось, что напряжение а 12 однородно по толщине слоя (рис. 5).
Л г / 1 / { 1 1 1 1 Т1
„ 1 1 ^ -4 А :
Рис. 5. Сравнения распределения напряжений с моделью, полагающей однородность а12 по толщине слоя
На рис. 5 графики, относящиеся к модели, рассмотренной в [3], помечены звездочками. Видно, что полученные графики распределения напряжений совпадают с результатами работы [3] начиная с 4-го элемента. Однако, в отличие от рассматриваемой работы мы получили отрицательное значение напряжения а+ц на первом элементе, что является следствием дискретности модели.
Для объяснения этого факта рассмотрим напряжения, действующие на первый единичный элемент слоя взаимодействия (рис. 6).
Рис. 6. Векторы напряжений на первом элементе
Разрешая первое уравнение системы (25), получаем распределение среднего сдвигового напряжения по слою —21. Можно видеть, что это напряжение положительно на первом элементе (в середине элемента) и монотонно убывает с ростом координаты х, < 0, начиная со второго
элемента.
На первом элементе получим, что с левого края в силу граничного условия (27) —21 = 0, а с правого края ввиду положительности среднего значения по элементу полученного из решения первого уравнения системы (25) —21 > 0. Из чего можно сделать вывод, что на первом элементе > 0,
а значит, в силу уравнения (14) а+11 < 0.
Качественное объяснение поведения граничного напряжения а+11 находит подтверждение при численном решении системы (25) и уравнения (18).
Рассматривая в слое средние напряжения, отметим, что для случая хрупкого разрушения предложенная модель и модель [3] эквивалентны.
Список литературы
1. Ентов В.М., Салганик Р.Л. К модели хрупкого разрушения Прандтля // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 6. С. 87-99.
2. Глаголев В.В., Маркин А.А. Об одной постановке задачи упругопластического разеделения // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50, № 4. С. 187-195.
3. Глаголев В.В., Маркин А.А. Упругая плоскость с физическим разрезом, нагруженная антисимметричной системой сил // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2012. № 3. С. 89-92.
4. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
5. Глаголев В.В., Маркин А.А. Определение термомеханических характеристик процесса разделения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2007. № 6. С. 101-112.
6. Партон В.З. Механика разрушения. М.: Физматлит, 1990. 120 с.
Кунашов Никита Дмитриевич ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Modeling of elastic deformation in crack tip region of symmetric shear fracture in framework of conception of an interaction layer
N. D. Kunashov
Abstract. Solved problem about stresses on the edge of interaction layer A crack was represented as physical cut and . The crack is modeled physical cut with characteristic thick layer £0 and lying on its continuation. Derived system of integral and integrodifferential equations. Solve the problem for equally spaced, equal in magnitude and direction antisymmetric loads.
Keywords: crack, interaction layer, fundamental solution, characteristic size.
Kunashov Nikita ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 12.10.2012
