CC BY
76
Коптев Ю. Н., Кутахов В. П., УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЁМОМ ВЫПУСКАЕМОЙ ПРЕДПРИЯТИЕМ
Филиппов П. Г., Корнеенко В. П. ПРОДУКЦИИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ЦЕНЫ РЕАЛИЗАЦИИ
11.4. МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЁМОМ ВЫПУСКАЕМОЙ ПРЕДПРИЯТИЕМ ПРОДУКЦИИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ЦЕНЫ РЕАЛИЗАЦИИ
Коптев Юрий Николаевич, д-р техн. наук, проф. Председатель научно-технического совета Место работы: Государственная корпорация «Ростех»
Кутахов Владимир Павлович, д-р техн. наук, проф. Гпавный инженер
Место работы: Государственная корпорация «Ростех»
Филиппов Павел Геннадьевич, д-р физ.-мат. наук, проф. Ведущий эксперт отдела инновационного развития и новых проектов Научно-технического совета
Место работы: Государственная корпорация «Ростех»
Корнеенко Виктор Павлович, канд. техн. наук, доц. Доцент базовой кафедры «Прикладная экономика»
Место работы: Российский университет дружбы народов. Институт прикладных технико-
экономических исследований и экспертиз
Аннотация: В данной статье рассмотрена проблема управления объёмом выпускаемой предприятием продукции при изменении цены ее реализации. Представлена математическая модель, формализующая обозначенную проблему, определены ограничения на использование этой модели. На основе средств математического анализа определены механизмы определения значений объемов производимой продукции, которые бы являлись минимальными для обеспечения безубыточности производства или оптимальными с точки зрения получения максимальной прибыли.
Ключевые слова: математическая модель, управление производством, ценообразование, оптимизация, безубыточность
THE MANAGING MODEL OF VOLUME OF THE PRODUCTS MANUFACTURED BY AN ENTERPRISE WHEN CHANGING SALES PRICE
Koptev Yuriy N., PhD in Technical Sciences, Professor, Chairman of the Science and Engineering Council
Work place: Rostec Corporation
Kutakhov Vladimir P., PhD in Technical Sciences, Professor,
The chief engineer
Work place: Rostec Corporation
Filippov Pavel G., PhD in Physical and Mathematical sciences, Professor, Leading expert of innovative development and new projects Department in Scientific and Technical Council Work place: Rostec Corporation
Korneenko Viktor P., PhD in Technical Sciences, Associated professor, Associated professor of the base department «Applied Economics»
Work place: Peoples’ Friendship University of Russia/ Institute of Applied Technical And Economic Researches and Examinations
Annotation: The article is devoted to the problem of managing the volume of manufactured production in the conditions of its sales price change. The mathematical model formalizing the problem is presented. The mechanisms determining the value of production, which would be the minimum to ensure break-even production or optimal from the point of view of obtaining the maximum profit are determined on the basis of mathematical analysis
Keywords: mathematical model, production management, pricing optimization, the break-even point.
В настоящее время в существующих условиях рыночной экономики и жесткой конкуренции между производителями одним из основных средств ведения конкурентной борьбы является ценовое регулирование. С помощью изменения цены реализации продукции можно добиваться таких результатов как увеличение денежного оборота и прибыли, рост объемов продаж продукции. При этом обязательным условием ценового регулирования является сохранение безубыточности производства, более того, должна соблюдаться некоторая норма прибыльности реализации продукции, позволяющая предприятию развиваться, поддерживая свою конкурентоспособность на фоне конкурирующих организаций. Принимая в расчет эффект масштабности производства продукции можно утверждать что существует зависимость себестоимости изделия от объема производимой продукции, которая в свою очередь зависит от объемов продаж, а следовательно и от цены. То есть возникает необходимость исследования такой зависимости и расчета таких значений объемов производимой продукции, которые бы являлись минимальными для обеспечения безубыточности производства или оптимальными с точки зрения получения максимальной прибыли. Также стоит отметить, что в линейке производимой предприятием продукции разные изделия могут иметь разные возможности к ценовому регулированию, а это значит что для каждого из них можно определить свои точки безубыточности и оптимальный объем производства.
Традиционно при определении оптимального объёма производства и определении точки безубыточности исходят из следующих допущений:
1. Неизменность цен реализации и цен на потребляемые производственные ресурсы.
2. Разделение затрат предприятия на постоянные, которые остаются неизменными при значительных изменениях объёма, и переменные, которые изменяются пропорционально объему.
3. Пропорциональность поступающей выручки объёму реализации.
4. Существование единственной точки критического объема производства (что вытекает из вышеперечисленных условий).
5. Постоянство ассортимента продукции.
6. Равенство объёма производства объёму реализации.
Понятно, что описанная система предпосылок является весьма жесткой и, естественно, не может не ска-
125
Бизнес в законе
6’2014
заться на точности результатов работы с моделью. Поэтому при решении задачи определения оптимального объёма производства и точки безубыточности, при которой объём реализации равен сумме издержек, будем принимать в расчёт:
- несовпадение объёма производства и объёма реализации,
- изменение оптовой цены реализации в зависимости от объёма реализации,
- на оборудовании выпускается однородная продукция, т. е. ассортимент не учитывается (задача выбора плана разнородной продукции легко сводится к задаче линейного программирования и решается симплекс-методом.
1. Математическая постановка задачи расчёта оптимального объёма продукции при изменении
Так как в условиях рыночной экономики отпускная цена продукции (цена реализации) зависит от спроса, то между отпускной ценой продукции и объёмом выпуска существует корреляционно-функциональная зависимость. Практика ведущих производителей показывает, что при переходе производства от небольших партий новой продукции к большим, т. е. с увеличением масштаба производства себестоимость производства падает. Предположим, что в течении данного периода времени t (месяц, квартал, год) с увеличением объёма предложения реализации продукции, произведённом на оборудовании, цена единицы реализации на оптовом рынке падает линейно (товаропроизводитель, как и продавец сырья, предоставляет оптовые скидки), что можно представить в виде линейной строго монотонно убывающей функции отпускной цены:
Р,(Q,, Щ-х) = b, -]&Qt-i -atQt, (1)
где
а, =-
яр
Q’
рМдМ -ртат м
b, -yAQ - = р а tQt , 8р, = р, - р,
pQt
Q=аМ - а,
щ-х=о,-х - qD-x
разность между произведённой q j и реализованной продукции qDi в конце (t — 1 )-го
производственного периода,
Y - заданная положительная величина.
Очевидно, что максимальной цене реализации PtM соответствует минимальный объём реализации ат и
наоборот, минимальной цене реализации Рт соответствует максимальный объём реализации QM. В отношении величины у возможны три случая, которым будет соответствовать и различное изменение Pt (2):
(11) Если AQt-i = 0, то это означает, что произведенный объём продукции реализован полностью в t - 1 периоде и функция Pt (1) не корректируется.
(12) Если AQ j < 0,то это означает, что спрос на продукцию в t - 1 периоде превысил объём произведенной продукции и для его удовлетворения реализовали часть запасов. В этом случае функция отпускной цены Pt (1) корректируется в стороны увеличения, т. е. график функции смещается вправо.
(13) Если AQ,-х > 0,то это означает, что спрос на
продукцию в t - 1 периоде меньше объёма произведенной продукции, что приводит к увеличению запасов продукции. В этом случае функция отпускной цены Pt
(1) корректируется в стороны уменьшения, т. е. график функции смещается влево.
Рассмотрим более подробно случай, когда aq j = 0,
т. е. когда произведенный объём продукции реализован полностью в t-1 периоде и функция Pt (1) не корректируется:
Р (Q,) = bt - а,Q,, (2)
где
Р рМ - рт ь = рМ QM - pmQM
а=Ро,= аМ - ат ’ ' аМ - от '
График функции для этого случая представлен на рис. 1
Рис. 1. Линейная зависимость цены реализации от объёма оптовой продажи товарной продукции при условии aq 1 = 0.
Находим оптовый товарооборот (выручку от продажи):
TR, = рQQ = btQt - aQ. (3)
Общие издержки TCt, включающие постоянные Ct и переменные wQt, зависящие от объёма производства, представим в виде:
TCt = Ct + wQt, (4)
где wt - часть цены единицы товара, покрывающей переменные издержки, включающие стоимость сырья при производстве продукции.
В состав постоянных издержек обычно входят эксплуатационные расходы на оборудование, оплата труда административных работников и единый социальный налог.
Найдём оптимальный объём производства при этих условиях. Для этого в качестве целевой функции возьмём прибыль n(Pt, Qt) производителя, зависящую от единицы цены реализации Pt и от выпуска Qt:
П(Р ’ Qt) = TR, - TC, = р Q )Q - (C, + wQt). (5)
Математическая постановка задачи определения оптимальной величины выпуска товарной продукции Qt сводится к следующему: найти величину выпуска q* в
t-й период времени, обеспечивающего максимальное значение функции прибыли n(Pt, Qt) (5):
п(Р ’0) = max м ж(р ’ Qt).
а,*ют, а,М]
2. Теорема об оптимальном объёме выпуска продукции
Рассмотрим следующую теорему исходя из предположения линейной зависимости отпускной цены реализации продукции от объёма.
Теорема (об оптимальном объёме выпуска продукции). Для того чтобы функция прибыли n(Pt, Qt) (5) достигала максимального значения при цене единицы реализации на оптовом рынке в t-й период времени
126
Коптев Ю. Н., Кутахов В. П., УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЁМОМ ВЫПУСКАЕМОЙ ПРЕДПРИЯТИЕМ
Филиппов П. Г., Корнеенко В. П. ПРОДУКЦИИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ЦЕНЫ РЕАЛИЗАЦИИ
Pt{Qt) (2) необходимо и достаточно, чтобы выпуск q* составлял:
Q = в-щ = (p,u - wt)qM - (pm - wж (6)
Q 2at 2(P,u - pm) '
где
pM qM - pmQm pu - pm
в
l /-\M _Qm
t Qt Qt Qt
l qu - qm
qu - qm
Доказательство. Необходимость. Пусть функция прибыли n(Pt, Qt) (5) достигает максимального значения. Покажем, что в этом случае оптимальная величина выпуска Q*, определяется формулой (6).
Так как по условию теоремы функция прибыли n(Pt, Qt) (5) достигает максимального значения, то в соответствии с теоремой Ферма математического анализа выполняется необходимое условие оптимальности:
П(РЖ = ^^ = 0- (7)
dQt
Далее получаем:
d%Вп Q} = ^Жж + РЖ) - Wt = -atQt + (В - aQ) - Wt = 0.
dQt dQt
Откуда
Qt =
_bt - Wt_ ( pm - Wt )QM - ( pm - щ Ж
m t )Qt
2a,
2(PM - РГ)
что и требовалось доказать. Достаточность. Пусть q• =
b, - w, -
t Wt - оптимальный
2a,
выпуск, на котором выполняется необходимое условие максимума для целевой функции n(Pt, Qt) (5): dn;(Pt, Q,)
dQt
= -atQt + (bt - atQt) - W, = 0'
Вычислим вторую производную n(Pt, Qt) :
n" (p, Qt) = -2at < 0, (8)
так как a = dPt > о Отсюда следует, что в точке Q*
1 О ' Т
(6) функция прибыли достигает максимального значения, что и требовалось доказать. Теорема доказана.
Найдём точку безубыточности при условии, когда соблюдается равенство выручки от продажи общим затратам. По оптимальному выпуску найдём цену реализации:
'' ' (9)
Р* = Р (Ж) = -аЖ + В = bb±W.
С учётом PtMQM -PtmQm имеем:
В = ‘ ‘ж,‘ ‘ ’
• (PM + W, )QM - (Pm + W, Ж
P =
(10)
2(QtM - Qm)
Тогда в точке безубыточности соблюдается равенство выручки от продажи общим затратам:
РЖ = С + wQ,
откуда находим объём производства:
Q0 =
с
Рl - Wt
(11)
(12)
или с учётом (9):
Q о = С = 2С,
Qt Р• - wt В - 3wt ■
Максимальная прибыль будет равна:
п =п(Р, Ж) = ЖР - W,) - Сt = (В^- - с,.
(13)
4а,
Из формулы q0 (12) находим ставив в (13), получим:
п* Сt и, под-
p, - w, = —т
Qt0
nt = С,
Q, - Q0 Q0
(14)
Отсюда можно сделать вывод, что чем меньше значение точки безубыточности Q0 и больше оптимальное значение объёма выпуска, тем большую прибыль получает предприятие.
Вычислим прибыль (чистую) 7Cv(Pt, Qt) производителя с учетом налогов, и зависящую, также, от единицы
* * оптимальной цены реализации Р, и от выпуска Q, :
п (p;, Qt) = [(1 -vtr )TRt - TCt ](1 - v„) = (15)
= [(1 - Vtr )pQ, - (ct + wQt )](1 - Vn), где vtr - налог с оборота (налог на добавленную стоимость),
vn - налог с прибыли.
С учётом р* и Q* получим:
nvt =nv (Pt , Q, ) = [(1 - VTR )Q, (Pt - W,) - CtЬ - vn) =
(1 - vtr )(B - Wt XB - 3wt)
Vn) = (16)
= Ct (1 - Vn)
4a
(1 - vtr )(b, - Wt )
2aQ
- c,
(1 - Vn) =
-1
Отсюда находим точку безубыточности из условия:
п = о, т. е.
[(1 - vtr)Ж(p - Wt) - ct](1 - Vn) = 0.
Откуда
q0 _ ct(1 - VTR ) _ 2ct(1 - VTR )
(17)
P, - w,
В - 3wt
Если в качестве целевой функции взять оптовый товарооборот TRt (3), то легко показать, что решением задачи максимизации оптового товарооборота:
pt (Q, Ж = BQt - аЖ ^ max, (18)
Ql
будет объём выпуска, определяемый по формуле:
г,М глМ
Q* = В
QtTR =
=pmqu - рж
2а,
(19)
2(pM - рт )
Вывод. Чтобы получить максимальную прибыль, которая коррелирует с максимальным товарооборотом (проданной продукции) необходимо, чтобы планируемый объём выпуска соответствовал формуле (19). Таким образом, при соблюдении ограничений предлагаемой модели можно получить значения объемов производимой продукции, которые бы являлись минимальными для обеспечения безубыточности производства или оптимальными с точки зрения получения максимальной прибыли. Данные величины имеют важное значение для управления объёмом выпускае-
127
Бизнес в законе
6’2014
мой предприятием продукции при изменении цены реализации.
Список литературы:
1. Данилюк А.Ю., Чурсин Р.А., Островская А.А. К вопросу о некоторых аспектах оценки эффективности проектов, реализуемых в наукоемких отраслях промышленности //Бизнес в законе. Экономико-юридический журнал. 2014. № 4. С. 148-151.
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, 1979.
3. Ковков Д.В., Чурсин А.А., Шамин Р.В. Подходы по оценке влияния внешних и внутренних факторов на конкурентоспособность продукции ракетно-космической промышленности // Бизнес в законе. Экономико-юридический журнал. 2013. №1
4. Корнеенко В.П., Шевченко С.Г. Методы эффективного управления крупномасштабными проектами развития регионов. - М.: иПЦ Маска 2007. - 252 с.
5. Корнеенко В.П. Методы оптимизации: Учебник. - М.: Высш. шк., 2007. - 664 с.
6. Чурсин А.А. Теоретические основы управления конкурентоспособностью. Теория и практика: монография / А.А. Чурсин. - М.: Спектр, 2012. - 521 с
7. Чурсин А.А., Мечар М. Внешнеэкономическая деятельность организации. Практические и теоретические аспекты. М.: ФГУП "НТЦ Информтехника"; Словакия: Меркурий. -2009.
РЕЦЕНЗИЯ
на статью «Модель управления объёмом выпускаемой предприятием продукции при изменении цены реализации» д-ра техн. наук, проф. Коптева Ю. Н., д-ра техн. наук, профессора Кутахова В.П., д-ра физ.- мат. наук, проф. Филиппова П.Г. и канд. техн. наук, доц. Корнеенко В.П.
Статья посвящена актуальному на сегодняшний день вопросу управления объёмом выпускаемой предприятием продукции при изменении цены ее реализации. Авторами представлена математическая модель, формализующая обозначенную проблему, определены ограничения на использование этой модели. На базе средств математического анализа определены механизмы вычисления значений объемов производимой продукции, которые бы являлись минимальными для обеспечения безубыточности производства или оптимальными с точки зрения получения максимальной прибыли. В заключении авторы приходят к выводу, что при соблюдении ограничений предлагаемой модели можно получить значения объемов производимой продукции, которые бы являлись минимальными для обеспечения безубыточности производства или оптимальными с точки зрения получения максимальной прибыли. Данные величины имеют особое значение для управления объёмом выпускаемой предприятием продукции при изменении цены реализации.
Статья д-ра техн. наук, проф. Коптева Ю. Н., д-ра техн. наук, профессора Кутахова В.П., д-ра физ.- мат. наук, проф. Филиппова П.Г. и канд. техн. наук, доц. Корнеенко В.П. «Модель управления объёмом выпускаемой предприятием продукции при изменении цены реализации» обладает научной новизной, практической значимостью и актуальностью, соответствует всем требованиям, предъявляемым к публикациям в журналах, включенных в перечень ВАК, и рекомендована к печати в одном из таких журналов.
Профессор кафедры социологии управления Института государственной службы и управления персоналом Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ, д.фил.н.
Э.Н. Ожиганов
128
