CC BY
27
УДК 004.4
МОДЕЛЬ ЦИКЛОГРАММЫ УПРАВЛЕНИЯ МОБИЛЬНЫМ РОБОТОМ КАК ПОЛУМАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Е.В. Ларкин, К. А. Гришин, М.А. Антонов
Определён полумарковский процесс и рассмотрен метод моделирования циклограмм управления мобильными роботами на основе полумарковских процессов.
Ключевые слова: обратная связь, циклограмма, мобильный робот, полумарковский процесс.
Любой МР представляет собой сложный комплекс, в который входят технические средства, обеспечивающие:
перемещение платформы в пространстве (энергетическая установка, трансмиссия, движители;
наблюдение за окружающей обстановкой в видимом и/или инфракрасном диапазоне;
решение целевых задач;
управление бортовым оборудованием (бортовая ЭВМ или сеть контроллеров);
связь с пунктом управления и с другими мобильными роботами;
Каждая из названных функций сводится к выполнению последовательность действий, которые разворачиваются во времени. Каждое действие может быть охарактеризовано случайным временным интервалом, измеряемым от начала действия до его окончания, а также случайным переходом к выполнению другого действия последовательности, если имеется альтернатива продолжения. Целью моделирования может быть определение временных и вероятностных характеристик выполнения последовательности действий. В силу перечисленных особенностей функционирования бортового оборудования для его моделирования использовать теорию полумарковских процессов [1].
1. Определение полумарковского процесса. Как следует из вышеизложенного, полумарковский процесс полностью определяется как [2]
| = {A, Г, h(t)}, (1)
где A - множество состояний, совпадающее с множеством состояний МР; г - матрица смежности, определяющая множество связей между состояниями; h(t) - полумарковская матрица h(t), представляющая собой прямое (поэлементное) произведение матрицы вероятностей р и матрицы f(t) плотностей распределения
h(t) = [hj(a)n(a)(t)] = Р ® At) = [Pj(a)n(a) ' f (a)n(a)(t)], (2)
р = \Pj(a),n(a)]; (3)
At) = f (a),n(a)(t)]; (4)
188
A =
4l(a)'""' aj(a)'"'' °J(а).
r = [?j(a),n(a)];
X when pj(a),и(а)* 0; 0, otherwise.
В контексте решаемой задачи элемент hj(a-)n(ai)(f) полумарковской матрицы представляет собой взвешенную плотность распределения пребывания МР в состоянии aj (a) с последующим переключением в состояние an(a)'
Следует отметить, что если переключение s)(a)n(a) = [а^), ап(а)] является невозможным событием, то
I.
rj (a),n(a )
(5)
(6)
(7)
pk (a), j (a)
P
S [ci ,a+): Sj (a ),n(a ) = [aj (a )> an(a ) fj(a),n(a)(t) = lim d(t -t)
G S
= 0;
(8)
Из выражения (2) следует, что матрицы стохастическая и плотностей распределения могут быть получены в соответствии со следующими выражениями:
p = j h(t )dt ;
f (t ) =
hj (a ), n(a )(t У
(9)
(10)
Pj (a ), n(a )
Полумарковский процесс кроме стохастической матрицы может быть охарактеризован следующие числовыми характеристиками, наиболее часто используемыми в теории вероятностей:
математическими ожиданиями времени пребывания в состояниях множества А:
¥
t = j tf (t)dt=j), n(a) ]; (11)
0
дисперсиями времени пребывания в состояниях множества А
¥
D = j t2 f(t)dt - T ® T = [Dj(a),n(a) J- (12)
0
2. Представление полумарковского процесса в виде взвешенного
графа. Наглядно процесс (1) может быть изображен в виде ориентированного графа, показанного на рис. 1.
Множество А состояний полумарковского процесса разделено на два непересекающихся подмножества: подмножества непоглощающих состояний E и подмножество поглощающих состояний Е. Для удобства состоя-
оо
0
ния подмножества Е имеют индексы, начиная с первого и оканчивая (/(а)-/(е))-м. Состояния подмножества Е имеют индексы, начиная с (/(а)-/(е) + 1)-го и оканчивая /(а)-м, т.е.
Рис. 1. Полумарковский процесс, моделирующий алгоритм
с оператором «конец»
Множество А состояний полумарковского процесса разделено на два непересекающихся подмножества: подмножества непоглощающих состояний Е и подмножество поглощающих состояний Е. Для удобства состояния подмножества Е имеют индексы, начиная с первого и оканчивая (/(а)-/(е))-м. Состояния подмножества Е имеют индексы, начиная с (/(а)-/(е) +1)-го и оканчивая /(а)-м, т.е.
Е = {а1(а> аха^ а/(а)- /(е)};
Е = {а/(a)-/(е)+1, ЦХе^ а/(а)}. (13)
Вследствие подобного разделения матрица смежности г, полумарковская матрица Н(?) и стохастическая матрица р имеют структуру, в которой строки с (/(а)-/(е) +1)-й по /(а)-ю являются нулевыми.
Полумарковский процесс (1) обладает одним существенным свойством, которое вытекает из свойства реальных систем управления МР, а именно из любого состояния подмножества Е существует хотя бы один путь в одно из состояний подмножества Е.
Справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Безусловная плотность распределения времени пребывания полумарковского процесса в непоглощающих состояниях aj(а)
до его переключения в состояния ап(а) е 0[аj(а) ], где 0[аj(а) ] - выходная функция состояния ап(а), т.е. множество состояний, в которые можно попасть из а j (а), определяется зависимостью
3 (а)
/] (а)С) = I ^ (а), й(а)(*). (14)
п(а)=1(а )
Доказательство, Действительно, переключения из aj(а) в одно из
состояний подмножества 0[а j (а) ] составляет полную группу независимых
несовместных событий, поэтому вероятности указанных переключений суммируются, что и дает зависимость (14) [4].
3. Блуждания по полумарковской цепи. Последовательность смены состояний мобильного робота для внешнего наблюдателя может быть представлена как блуждание по полумарковской цепи (рис. 2).
Рис. 2. Блуждания по полумарковской цепи
При блужданиях процесс пребывает в состоянии aj(а) в течение случайного времени, а затем с вероятностью pj(а) п(а) переключается в состояние ап(а). Элемент hj(а) п(а) ) полумарковской матрицы определяет временные и вероятностные характеристики между двумя переключениями. Время, в течение которого процесс пребывает в состоянии aj(а),
определено с точностью до плотности распределения fj(а) п(а) (^)[2]. Состояния, в которые последовательно попадает процесс при блужданиях, ниже будет называться траекторией блуждания. Очевидно, что для каждой реализации полумарковского процесса траектория блуждания детерминирована и строго определяется логикой управления мобильным роботом. Для внешнего же, по отношению к процессу, наблюдателя каждая конкретная траектория реализации является случайной.
Блуждания по полумарковскому процессу имеют начало. При этом, поскольку не существует никаких ограничений на старт процесса из состояний множества А, целесообразно ввести стохастическую меру начала переключений в полумарковском процессе. Начало процесса определяется вектором вероятностей
ч = Ы. (15)
191
где
J (a)
Z qj(a) = q j(a) = 0 при a j(a) G E • (16)
j (a)=1(a)
Введение вектора q означает, что в процессе появляется «нулевое», или стартовое состояние a0(fiy При этом формируется полумарковский процесс (рис.1, штрихпунктирные линии)
m = {A, r, h(t)}® m' = {A', r\ h\t)}• (17)
В полумарковском процессе m':
А' = {a0(a> a1(a> •••, aj(a), •••, aJ(a)}; (18)
' 0 0
r (t) = Vj (a ), n(a ) ] =
r0(a ),1(a) r1(a),1(a)
aj(a), •••, aJ(a)} ■
r0(a), n(a) • r1(a), n(a) •
r0(a ), J (a ) r1(a), J (a)
0 rj (a ),1(a )
0
rJ (a ),1(a)
rj (a ), n(a )
rJ (a), n(a)
rj (a ), J (a )
rJ (a), J (a )
(19)
r
0(a ),n(a)
0, если q^a) = 0;
1, если qn(a) * 0
h (t)=
0 q1(a)d(t) ••• qn(a )d(t)
0 h1(a),1(a)(t) ••• h1(a), n(a)(t)
qJ (a) d(t) h1(a ), J (a)(t)
0 hj (a),1(a )(t) ••• hj (a ), n(a )(t) ••• hj (a ), J (a )(t)
0
hJ (a ),1(a)(t) ••• hJ (a), n(a)(t) ••• hJ (a), J (a)(t)
(20)
где 8(?) - 8-функция Дирака.
Очевидно, что в полумарковском процессе определяемом матрицей (3), множество состояний А' = {а0(а), аца), ..., а/(а), ..., ада),} разбивается на три класса:
А' = 5 и Еи Е, (21)
где 5 = {а0(а)}; Е = {аl(a), ..., а/(а> ..., а7(а)- 7(е)}; Е = ^ДаН^+Ь ..., ^(еЬ ..., а^а)} .
Отметим, что вследствие ограничения (16) существует хотя бы один путь из состояния а0(а). в состояния подмножества Е . Потребуем, чтобы из состояния а0(а) существовал хотя бы один путь в любое из состояний подмножества Е. Тогда из состояния а0(а) существует хотя бы один путь, ведущий в одно из состояний подмножества Е через любое состояние подмножества Е = {а1(а), ..., а^а), ..., а,да)_ ^е)}. Это, в свою очередь, означает,
192
что в правильно спроектированном алгоритме отсутствуют операторы или циклы, изолированные от других операторов, а значит, все состояния алгоритма являются актуальными, т.е. вносят свой вклад во временные и вероятностные характеристики циклограммы.
4. Полумарковская матрица и структура циклограммы. При реальном управлении узлами и блоками МР реализуется принцип обратной связи [3]. Реализация указанного принципа сводится к периодическому контролю управляющей подсистемой состояния узлов и блоков платформы. Это означает тот факт, что после переключения полумарковского процесса в состояния подмножества Е происходит переключение с вероятностью, равной единице и за время, определяемое вырожденным законом распределения с нулевым математическим ожиданием, в состояние а0(а). Из состояния а0(а) за время, определяемое вырожденным законом распределения с нулевым математическим ожиданием процесс переключается в одно из состояний подмножества Е с вероятностями, определяемыми вектором Таким образом, формируется циклограмма управления. Вид типовой циклограммы приведен на рис. 3.
Рис. 3. Структура типовой циклограммы управления мобильным
роботом
При формировании типовой структуры циклограммы
m = {A, r', h\t)}® m = К, r\ h\t)}, (22)
где A = A ' ;
h ' (t )=]hj{a ), n(a )(t )J, (23)
r\t) = j),n(a) J; (24)
r0 when n(a) = 0,0 < j(a) < J (a) - J (e), or when j(a) = 0, J (a) - J (e) +1 < n(a) < J (a)
or when J W- J (e)+1 < j(a) < J(a), 1(a) < ф) < J(a); (25)
hj (a), n(a ) when 1(a )< j (a )< J (a)-J (e ),1(a )< n(a)< J (a); (25) qn(a) • d(t) when j(a) = 0,1(a) < n(a) < J (a) - J (e); 5(t) when n(a) = 0, J (a) - J (e) + 1(a) < j (a) < J (a).
r0 when n(a) = 0,0 < j (a) < J (a) - J (e), or when j(a ) = 0, J (a)- J (e) +1 < n(a) < J (a)
or when J (a)- J (e) +1 < j(a) < J(a ^ 1(a) < n{a )< J(a). (26)
rj (a), n(a,) when 1(a) < j (a) < J (a) - J (e), 1(a) < n(a) < J (a); (26) r0(a),n(a) when j(a)= 0,1(a) < n(a) < J(a) - J(e); 1 when n(a) = 0, J (a) - J (e) + 1(a) < j (a) < J (a).
Заключение
На основании анализа временных характеристик циклограмм показано, что время пребывания в состояниях циклограмм является случайным, а переключения в сопряженные состояния циклограммы для внешнего наблюдателя носят стохастический характер
Сделан вывод, что адекватным формализмом для аналитического описания последовательностей смены состояний циклограмм является полумарковский процесс
На основании вышесказанного получена структура типовой циклограммы управления мобильным роботом.
Список литературы
1. Абдуллаев Д.А., Амирсаидов У.Б. Моделирование локальных вычислительных сетей с учетом вероятностно-временных характеристик //Автоматика и телемеханика, 1994. N 3. C. 151 - 160.
2. Ивутин А.Н., Ларкин Е.В. Прогнозирование времени выполнения алгоритма // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Вып. 3. С. 301 - 315.
3. Larkin E.V., Privalov A.N. Modeling of dialogue regimes of distance robot control // Proceedings of 5th International Workshop on Mathematical Models and their Applications Krasnoyarsk, Russia, 2016. P. 92 - 103.
4. Larkin E.V., Bogomolov A.V., Privalov A.N. A Method for Estimating the Time Intervals between Transactions in Speech-Compression Algorithms // Automatic Documentation and Mathematical Linguistics. Allerton Press, Inc., 2017. Vol. 51. No. 5. P. 214-219.
hj (a), n(a )(t ) = <
rj (aX n(a)
Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, elar-kin@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский Государственный Университет,
Гришин Константин Анатольевич, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Антонов Максим Александрович, магистрант, elarkin@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
CONCEPT OF CONSTRUCTION OF RECONFIGURABLE FAULTY-DIGITAL DIGITAL SYSTEMS
E. V. Larkin, K.A. Grishin, M.A. Antonov
A semi-Markov process is defined and a method for simulating cyclograms for mobile robots based on semi-Markov processes is considered.
Key words: feedback, cyclogram, mobile robot, semi-Markov process.
Larkin Eugene Vasilyevich, doctor of technical science, professor, head of chair, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Grishin Konstantin Anatolyevich, postgraduate, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Antonov Maxim Aleksandrovich, master student elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 004 932
ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИЛЬТРОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА FPGA
ИА^ Орлова, ДИ Устюков, АИ Ефимов
В статье приводятся особенности реализации пространственных фильтров изображений на программируемых логических интегральных схемах (ПЛИС). Представленные решения позволяют использовать возможности архитектуры кристалла для достижения наибольшего быстродействия алгоритмов фильтрации. Полученные результаты показывают преимущества использования программируемой логики в задачах обработки изображений.
Ключевые слова: матричный оператор, матричная маска, дискретный белый шум, коэффициент подавления шума, изображение, вычислительные затраты.
Системы технического зрения, используемые в авионике, робототехнике, а также в подвижных системах, в задачи которых входит: помощь в условиях плохой видимости при управлении оператором или полная самостоятельная ориентация без участия человека, должны обладать высокой скоростью обработки графической и других видов информации, получаемой от сенсоров, а также иметь малые габариты, вес и энергопотребле-ние^ Удовлетворить поставленным требованиям можно, спроектировав
195
