Модель согласования планов в иерархической организационной структуре Текст научной статьи по специальности «Математика»

Модель согласования планов в иерархической организационной

структуре.

Coordination model of plans in hierarchical organizational structure

Кондрашов Юрий Николаевич

доктор технических наук, профессор Финансовый Университет при Правительстве РФ кафедра «Информатика и программирование»

e-mail: [email protected]

Чашин Михаил Олегович

аспирант

Финансовый Университет при Правительстве РФ кафедра «Информатика и программирование»

e-mail: [email protected]

Аннотация: В данной статье рассматривается алгоритм согласования плановый решений в элементах иерархической организационной структуры. Базовой моделью для построения алгоритмов согласования является модифицированная ресурсная сетевая модель (модель календарного планирования). Задача согласования сводится к совокупности задач в типовой двухуровневой оргструктуре. Приводится алгоритм согласования на основе метода итеративного агрегирования, позволяющий получить оптимальное и согласованное решение.

Summary: In this article the coordination algorithm planned decisions in elements of hierarchical organizational structure is considered. Basic model for creation of coordination algorithms is the modified resource network model (scheduling model). The task of coordination is reduced to set of tasks in standard two-level organizational structure. The coordination algorithm on the basis of a

method of iterative aggregating allowing to receive an optimum and agreed decision is given

Ключевые слова: алгоритм согласования, двухуровневая структура, ресурсная сетевая модель, итеративное агрегирование, оптимизация, MicrosoftProject.

Keywords: coordination algorithm , two-level structure, resource network model, iterative aggregating, optimization, MicrosoftProject.

Введение

Государство, отрасль, корпорация, предприятие представляют собой иерархические организационные системы. Одной из основных и актуальных задач управления в таких системах является согласование плановых решений в элементах организационной структуры. В рамках общей теории функционирования иерархических систем предлагаются различные способы решения таких задач и разрабатываются процедуры оптимального планирования и управления на базе различных моделей и методов [6,7].

Ресурсная сетевая модель (модель календарного планирования) широко используется для планирования работ (процессов) в различных отраслях. Однако, существующие алгоритмы планирования на сетевых моделях (использование эвристических алгоритмов) плохо сочетаются с методами согласования решений в иерархических организационных системах, которые, как правило, используют канонические задачи и алгоритмы оптимизации.

Таким образом, возникают задачи модификации существующих алгоритмов планирования на сетевых моделях (в направлении использования методов оптимизации с гибко формируемыми критериями и аргументами планового решения), анализа и выбора методов согласования плановых решений в иерархической системе (наиболее соответствующих содержательным задачам и используемой базовой модели), реализации алгоритмов согласования.

Решение этих задач рассматривается в настоящей статье.

Содержание задач согласования плановых решений в иерархическойоргструктуре

Рассмотрим структуру задач формирования согласованных планов на сетевой модели в типовой двухуровневой оргсистеме.

В общем случае, элементы нижнего уровня являются более специализируемыми по видам работ и используемым ресурсам. Формирование согласованных плановых решений в типовой двухуровневой организационной системе реализуется на таких информационных структурах, как структура работ сетевого графика, структура ресурсов, временная структура.

Операции агрегирования и дезагрегирования информационных структур и параметров плановых решений позволяют построить задачу планирования на согласованной информационной структуре, соответствующей уровню рассматриваемого элемента организационной системы. Информационные элементы нижнего уровня структур содержат наиболее подробные данные, а информационные элементы, принадлежащие верхнему уровню, содержат преобразованную информацию относительно агрегируемых элементов нижнего уровня.

Преобразование информации для каждой из информационных структур и параметров плановых решений задается матрицами агрегирования.

Если информационные элементы нижнего уровня имеют размерность п и образуют вектор ^ с компонентами ^(' = 1,2, ...,те) а агрегированные информационные элементы образуют вектор Р с компонентами = -..-тя.) и т < те х0 векторы Р и X связаны соотношением Р = СХ ^

где ^ матрица агрегирования.

На основе матриц агрегирования строятся операторы агрегирования и дезагрегирования.

В элементе верхнего уровня формируются варианты проектов (программ) и структур процессов их реализации (сетевые графики), которые будут детализироваться в элементах нижнего уровня.

Для решения задач планирования в элементе верхнего уровня имеется информация о подчиненных элементах, их специализации, ресурсных возможностях. Эта информация, представляется в агрегированном виде, обеспечивающем удобство и возможность, с точки зрения размерности, решения задачи планирования в элементе верхнего уровня.

Полученный в агрегированных показателях вариант плана передается в элементы оргструктуры нижнего уровня для детализации. Эти элементы в соответствии с последовательной детализацией планового решения осуществляют его подробную проработку. Исходными данными для проработки в элементах нижнего уровня плановых решений являются распределенные в эти элементы операции сетевого графика и агрегированные параметры плана, полученные в элементе верхнего уровня, относящиеся к данному элементу.

Передаваемые нижним элементам типовой двухуровневой оргструктуры параметры плана включают выделенные им ресурсы, распределенные элементом верхнего уровня в агрегированных показателях. Кроме того, передается согласующая информация планового решения (директивные данные или ограничения), позволяющая решать локальную задачу планирования в элементе нижнего уровня без связи с другими элементами.

В элементах нижнего уровня детализируются переданные им операции, формируются соответствующие сетевые графики, определяются ресурсные и временные характеристики операций и решаются локальные задачи формирования планов.

Детализация плановых решений в элементе может привести к изменению прогнозных показателей плана в элементе верхнего уровня. Если эти изменения не нарушают согласующей информации (директивных данных

и ограничений), передаваемой с верхнего уровня, то детализирующее плановое решение элемента нижнего уровня совпадает с решением верхнего уровня. В противном случае необходимо вернуться в элемент верхнего уровня для корректировки общего планового решения типовой двухуровневой оргструктуры.

Решение на верхнем уровне производится в агрегированных показателях, но если на первой итерации использовались прогнозные характеристики плана относительно элементов нижнего уровня, то на последующих итерациях используются агрегированные уточненные характеристики плана, полученные в элементах нижнего уровня.

Решение агрегированной задачи на уточненных данных от всех элементов нижнего уровня позволяет согласовать параметры планов элементов нижнего уровня и получить скорректированный план в агрегированных показателях, характеристики которого передаются элементам нижнего уровня и т.д.

Выполнение во всех элементах нижнего уровня согласующих условий обеспечивает получение согласованного плана для элементов типовой двухуровневой структуры. Характеристики такого согласованного плана могут передаваться для последующей детализации элементам более низких уровней с включением в процесс согласования других типовых двухуровневых организационных структур.

Агрегированным и дезагрегированным информационным структурам соответствуют агрегированные и дезагрегированные сетевые модели, на основе которых в элементах разных уровней принимаются плановые решения. При этом возникает проблема корректного взаимодействия моделей разной степени подробности и принятых на них плановых решений.

Классификация методовагрегирования

Конкретные методы взаимодействия моделей можно классифицировать по характеру приближения решения, получаемого с использованием агрегированной модели, к решению, получаемому на подробной модели [9].

К первой группе относятся методы, которые используют специфические особенности многомерных функций, описывающих подробную модель. Эти методы осуществляют поиск зависимостей, корреляционных связей, блочной структуры во взаимосвязях переменных подробной модели и на этой основе отсеивают малосущественные связи или объединяют близкие связи для получения модели меньшей размерности (агрегированной). Близость решений, получаемых на агрегированной и подробной моделях, зависит от того, насколько сильно были выражены в подробной модели те закономерности, которые были положены в основу метода агрегирования.

Во вторую группу объединяются методы итеративного агрегирования. При итеративном агрегировании объединение переменных и связей в агрегированной модели осуществляется на основе каких-либо предположений относительно структуры решения задачи, поставленной на подробной модели. В общем случае итеративного агрегирования вместо решения подробной задачи используется решение структурно преобразованной задачи. Ошибка агрегирования равна нулю, если постановка задачи соответствует выбранному структурному преобразованию, и увеличивается по мере увеличения этого несоответствия.

Третью группу методов составляют методы нормативного агрегирования. Эти методы обеспечивают нулевую ошибку агрегирования независимо от постановки задачи. Методы нормативного агрегирования основываются на выделении инвариантных преобразований для функций, описывающих подробную модель. Однако структура инвариантных преобразований диктует выбор агрегированных переменных, которые с трудом поддаются содержательной интерпретации.

В четвертую группу объединяются методы, основанные на оптимизационном подходе к проблеме агрегирования. Для оптимизационного подхода характерно наличие некоторой функции потерь, которая измеряет величину ошибки агрегирования. При оптимизационном подходе строится агрегированная модель, которая соответствует минимуму функции потерь для некоторой области изменения аргументов.

Методы итеративного агрегирования можно выделить, как наиболее подходящие для решения задачи согласования планов разработок в иерархической организационной системе.

Оценка вариантов решений в этих методах производится исходя из некоторой опорной ситуации которая и определяет вид используемой

агрегируемой модели Ма через параметры агрегирования Для оценки

некоторого текущего варианта^'0' определяются параметры агрегирования

= и строится агрегированная модель = ^¿тС^О. Выбор

агрегированного решения с помощью оператора F и его дезагрегирование

определяет решение = )) (М)) , которое в указанном

выше смысле предпочтительнее варианта^*0'.

Если обозначить Г оператор ^Р) = ^(^(ЧГеР^'СС^) )) ОЮ) , то каждая точка х е И'1 определяет соответствующую агрегированную модель, а выбор

решения на этой модели порождает другую точку

X1 =

Последовательность ^ ' ^ ~ ■'' ~ ■■■ порождает

итерационный процесс, предел последовательности I /которого, если он существует, принадлежит М. Этот итерационный процесс является методом нахождения допустимого и предпочтительного решения на подробной

модели М Таким образом, суть итеративного агрегирования состоит в итерационном процессе последовательного перерасчета укрупненных показателей, соответствующего их дезагрегирования, уточнения детализированных показателей и т.д. [2].

Конкретные способы построения агрегированной задачи и модификации итерационного алгоритма согласования подробных локальных и агрегированной задач определяются видом целевой функции и ограничений (линейная или нелинейная задача), наличием блочности и используемыми ограничениями.

Общая схема итеративного агрегирования для решения задач математического программирования состоит в следующем. Имеется задача вида

которая является подробной задачей, соответствующей нижнему уровню типовой двухуровневой системы, в которую входят J блоков. Множество ограничений (3.4) включает ограничения блоков (блочные ограничения) и связывающие (общие) ограничения.

В случае нелинейности задачи предлагается общая схема решения, в которой в соответствии со структурой агрегирования переменных вектор

переменных х разбивается на V подвекторов х = {х:1гх2.....х1") вектор

двойственных переменных У, соответствующий ограничениям, разбиваются

на М подвекторов У = (у -У .....У ), определяющие структуру агрегирования

ограничений. Таким образом, агрегируются переменные и ограничения, входящие в соответствующие подвекторы. Не накладывается ограничений на наличие блочности аргументов и ограничений.

Для получения агрегированных аргументов вводится V векторов

Фи-У = ^где & - индекс итерации, которые будут векторами направления

изменений переменных при решении агрегированной задачи. Векторы Фи, берутся следующим образом:

(1)

(2)

где хк ■■■ переменных подробной модели, агрегируемых в

г - ую переменную.

В агрегированную задачу делается подстановка

V

-1 (4)

X = х° + >

где 217 является переменной агрегированной задачи. Т.е. для группы агрегируемых переменных ищется одно и то же направление изменения при решении агрегированной задачи (корректируются решения задач блоков). При этом количество аргументов агрегированной задачи меньше чем в подробной.

При ъи = О хк = хк ", т.е. решения подробной и агрегируемой задач на двух последующих итерациях совпадают. С учетом (3), формула (4) принимает вид

' (5)

Аналогично строится процесс изменения вектора двойственных переменных^7 который разбивается на М подвекторов. При этом берутся векторы

и для двойственных переменных получается формула аналогичная (9)

м

(6)

в которой определяют направления изменения групп двойственных переменных агрегируемых ограничений при решении агрегированной задачи. Итерационный процесс согласования подробной и агрегированной

задач строится следующим образом. Пусть после а ~1 - ой итерации имеется решение всех задач в блоках (элементах нижнего уровня), т.е. определен

полный вектор 1 и полный вектор оценок ограничений 1. После подстановки (5) решается агрегированная задача вида

5 v

£(г) -С^ 7$ шах у=1

5=1

при агрегированных ограничениях

(7)

I:

(8) В результате решения агрегированной

1,0=1..

задачи находится 3 V • т пронзится дезагрегирование полученного решения по формуле (4), которое дает исходную точку для решения

локальных задач в блоках 11 11

Оценки агрегированных ограничений ¿-т могут быть определены по формуле

'1 =

т-1

а

УГЫ (?

зе£г

(9)

на основе которых по формуле (6) определяются исходные для решения локальных задач оценки подробных ограничений.

Локальные задачи в блоках (элементах нижнего уровня) решаются следующим образом. Каждой локальной задаче в блоке соответствует

подвекторпеременны"^' е .Для каждого подвектора^* ^ е , в / - том блоке (элементе нижнего уровня) решается следующая задача

.....хк-1'ХкДь+1.....хк)~с Х^п —

шах к £ К,-

ПеК

(10)

при ограничениях

-"-1-. н _

§1(х1.....хЕ-1-хк'*Е-и.....£ =

(11)

Т.е. решается J задач оптимизации, в каждой j-ой из которых определяются значения элементов подвектора ^' ^ е при постоянных

значениях остальных элементов вектора, полученных при дезагрегировании

решения агрегированой задачи. Совокупность локальных задач дает значения

всех компонент вектора ^ е

По результатам решения всех локальных задач определяются оценки ограничений и итерация повторяется.

Итерационный процесс заканчивается, если результаты решения задач в блоках на двух последовательных итерациях совпадают с некоторой

заданной точностью 1хк ~ хк 1|-Ер где е - заданная точность

решения). В [6] доказывается, что в пределе такого итерационного процесса получается оптимальное решение задачи (1) - (2). На основе этой общей схемы могут строиться различные прикладные задачи согласования решения в иерархически организационной системе.

Модификация алгоритма формирования плановых решений на

сетевой модели

Календарные модели, на которых реализуется рассмотренный алгоритм согласование плановых решений, характеризуются структуризацией процессов(в частности, процесса разработки) на отдельные операции, между которыми существуют логические взаимосвязи, и позволяют строить расписание выполнения взаимосвязанных операций для заданных функций времени существующих ресурсных ограничений [3].

Математически сеть является ориентированным графом G(X,U), где X -множество вершин (событий), а U -множество дуг (операций), каждая из которых является ориентированной парой (х^ Xj) вершин хi и Xj. Ресурсные сетевые модели основываются на предположении, что каждая операция требует для своего выполнения определенного количества ресурсов.

В целом, календарные модели обладают хорошими возможностями для решения современных задач планирования и управления. Однако математический аппарат для формирования и согласования плановых решений на календарных моделях имеет ряд недостатков. В частности можно отметить, что для формирования плановых решений на ресурсной сетевой

модели в настоящее время используются эвристические алгоритмы, неудобные для оптимизации плановых решений.

Предлагается другой способ решения задач планирования на ресурсных сетевых моделях.

Как было сказано, ресурсные сетевые модели основываются на предположении, что каждая операция требует для своего выполнения определенного количества ресурсов.

Множество используемых видов ресурсов ^можно разделить на подмножества, определяющие различные режимы потребления ресурсов операциями. Одни виды ресурсов ^') определяют время выполнения операций (чем больше ресурсов используется в каждый момент времени выполнения операции, тем меньше общая длительность операции). Примером таких видов ресурсов могут быть трудовые ресурсы (при известном значении общего количества необходимых трудовых ресурсов для выполнения операции, увеличение количества участников уменьшает длительность операции). Другие виды ресурсов не определяют

время выполнения операции (в каждый момент времени выполнения операции требуется наличие необходимого количества ресурсов).

В качестве примера можно привести работу с ресурсами в известной и популярной системе MicrosoftProject [3]. В системе определены типы задач, которые определяют режимы потребления ресурсов операциями. Такими типами задач являются:

• задача с фиксированным объемом ресурсов;

• задача с фиксированными трудозатратами;

• задача с фиксированной длительностью.

Для задачи с фиксированным объемом ресурсов задается общее количество необходимых ресурсов для выполнения операции, а количество используемых ресурсов в каждый момент времени определяет время выполнения операции. Количество же используемых ресурсов в каждый момент времени определяется имеющимися ограничениями (ресурсными

ограничениями). Таким образом, время выполнения работы (задачи) и, следовательно, время выполнения всех работ сетевой модели определяется скоростью вложения соответствующего ресурса при имеющихся ресурсных ограничениях. Варьируя скоростью вложения ресурсов в работы при заданных ресурсных ограничениях можно получить некоторый рациональный план проведения работ, определяемый на соответствующей сетевой модели или на нескольких сетевых моделях (формирование рационального пана для множества сетевых моделей). Если имеется некоторый критерий, то поиск рационально плана сводится к задаче оптимизации.

В системе MicrosoftProject обеспечивается корректный механизм изменения взаимозависимых параметров приведенных типов задач.

Как было сказано выше,ресурсные сетевые модели основываются на предположении, что каждая операция требует для своего выполнения определенного количества ресурсов. В общем случае, время выполнения операции сетевого графика ^определяется скоростью вложения ресурсов (принадлежащих Я'), которая характеризует интенсивность выполнения операции. Если обозначить скорость вложения г-го ресурса г е Я, в (,-) -ую операцию кг (г) , то количество затраченного на операцию ресурса определяется выражением

Vг = \кг (г )А г е Я (12)

к

Если кг =const то выражение принимает вид

V- = к- (г - г,) (13)

На величину кг. (г) налагаются ограничения

аГ < кг (г )< рг (14)

Где агиргсоответственно минимальная и максимально допустимая

скорости вложения г-го ресурса.

Операция считается выполненной при V-.

Количество ресурсов r-го типа (pj, r е R, необходимых для выполнения

(i,j)— ойоперации, в общем случае зависит от его характеристик или технологических параметров операции. Для определения конкретных значений prnij используются нормативные данные, экспертно-аналоговые

методы или расчеты по статистическим и вычислительным моделям.

При известных значениях pj и Kj время выполнения (i,j) - ой операции

по r-ному ресурсу будет определяться выражением

r

tj = p (15)

У ттг V / Kj

Если операция (i,j) начинается в момент времени тн и заканчивается в момент времени тк, то требуемые для её проведения ресурсы r-го вида можно записать как функцию времени

Kj(t) = Kj[a(t - Tj)-a(t - Tj)] (16)

/4 Î0, t < 0

где u(t ) = i

w [1, t > 0

Для всех операций, проводимых в момент времени t, должно выполняться условие

^Kj(t)<Фr(t) rеR(17)

где {u'} - множество операций, выполняемых в момент времени t , а Фг(0 - имеющиеся количество ресурса. В данном случае не делается предположение о связанности сети и множество {и'}может включать операции, принадлежащие разным сетевым графикам.

Задача формирования допустимого плана на ресурсной сетевой модели заключается в построении расписания выполнения операций \riJ},

удовлетворяющего технологическим ограничениям на допустимую последовательность выполнения операций, заданную структурой сетевой

модели, и ресурсным ограничениям. В настоящее время для решения таких задач используются эвристические алгоритмы.

Общим недостатком эвристической схемы формирования плана на ресурсной сетевой модели является то, что число возможных вариантов решений ограничивается набором имеющихся способов вычисления приоритетов и имеющиеся приоритеты могут не соответствовать конкретной задаче планирования. Кроме того, рассмотренные выше существующие математические методы согласования решений в иерархических системах базируются на канонических задачах оптимизации.

Предлагается другой способ решения задач планирования на ресурсных сетевых моделях, сводящий такие задачи к задаче оптимизации.

Задачу формирования допустимого плана на ресурсной сетевой модели можно преобразовать. При известном значении фг (количество

ресурса г-говида, г е я необходимого для выполнения у-ой операции) имеет место обратная зависимость времени выполнения операции от скорости вложения ресурса (выражение 15).

Из условия аг < к г < можно получить значения максимального и

минимального технологически допустимого времени выполнения (у) - ой операции по г-ому ресурсу

{г = ф {г = ф (18)

Время выполнения (¡,])-ой операции ?у зависит от технологических

параметров операции. Конкретные значения ? у определяются путем

обработки статистических данных по проведенным аналогичным операциям или оценками экспертов и характеризуют некоторую осредненную (нормальную) скорость вложения потребляемых ресурсов. Если обозначить это время ^ то можно записать условия, вытекающие из

(3)

< ^сРУ < ^сРУ (19)

tr tr. tr У У У

которые определяют область относительных значений интенсивности выполнения (у)-ой операции по г-ому ресурсу. Обозначим относительную интенсивность (коэффициент интенсивности) уг. Область значений

коэффициента интенсивности определяется неравенствами

y.. ■ < y.. < y..

J ij min J ij J ij max

(20)

где

yr . = V- (21)

J ij min .' r \ /

tij

yr = -Zj (22)

J ij max r \ /

tij

При выполнении (ij)-ой операции с нормальной интенсивностью вложения r-горесурса (y rt] = l) ttj = tcp ij.. Увеличение коэффициента интенсивности выполнения операции yr по r-ому ресурсу означает

увеличение интенсивности ее выполнения и приводит к уменьшению длительности. При уменьшении коэффициента интенсивности, длительность операции увеличивается. Время выполнения операции trj по r-ому ресурсу при известном значении коэффициента интенсивности yr определяется

tr = (23)

ij yr. V '

■'У

Далее, с учетом входимости каждой (ij)-ой операции в соответствующий сетевой график, будем обозначать соответственно коэффициенты интенсивности и необходимые для выполнения операции ресурсы yrnij ифгпу, где n - индекс сетевого графика.

Отметим, что введенные коэффициенты интенсивности являются безразмерными величинами, которые удобно использовать в процедурах агрегирования и дезагрегирования (см. далее).

Ресурсные ограничения определяются функцией времени Фг (г). Период планирования [О,т] разбивается на отрезки (этапы планируемого периода) [г,-1, г5 ], ^ = 1,2,..., S, г0 = О, г5 = Т, для которых определены значения Фг5 (г е Я, 5 е Б).

Введем долю (,-)-ой операции п-ого ИП приходящейся на s-ый этап планируемого периода и обозначим ее хп-5, которая является функцией

введенных коэффициентов интенсивности. Если для выполнения (г-)-ой операции, входящей в п-ыйсетевой график, необходимо затратить количество г-ого ресурса рг, то предполагая равномерность потребления ресурса при

выполнении операции, потребление этого ресурса в s-ом этапе планируемого периода пропорционально доле операции, приходящейся на этап (значению xnijs). Значения xrnijs являются функцией введенных коэффициентов

интенсивности (аргументов формирования планового решения).

Если имеется несколько сетевых графиков Gn (Х,и), п е N, то допустимый план определяется системой ограничений ЕЕ (уГ-рг- <Ф„, г е Я, 5 е 5 (24)

nеN {г, -¡еПп

количество которых равно произведению числа видов рассматриваемых ресурсов на число этапов планируемого периода.

Если задана целевая функция (или критерий) F ^ min(max), то задача планирования сводится к задаче оптимизации (виду нелинейности ограничений, к задаче нелинейного программирования), для которой могут использоваться стандартные методы решения и соответствующие пакеты программ оптимизации.

Анализ показывает, что критерии, используемые для формирования планов на календарных моделях, могут быть разделены на две группы: критерии для оптимизации временных параметров и критерии для оптимизации использования ресурсов.

Среди критериев первой группы можно выделить следующие. Критерий минимизации общего времени выполнения проектов

£ tn (Уmin (25)

n

где n e N - множество включенных в критерий проектов, а y - вектор аргументов формирования плана.

Если заданы директивные сроки окончания проектов, то может использоваться критерий минимизации отклонения времени реализации от директивных tndir

£C(tn(У)-tndirЦ min (26)

где

(О,если tn(y)<t

Ся И """ (27)

I1, если tn (У )> tnd,r

Если проекты имеют разные приоритеты, то вводя весовую функцию (рп > 0 в критерии (25) и(26), последние принимают соответственно вид

£(Л(y)^ min (28)

n

Z(Cn(tn(У)- tndirЬ min (29)

n

Максминные критерии для оптимизации временных параметров имеют вид

max tn (y) ^ min

n

(30)

или

maxCn (tn (У)- tnd,r min (31)

n

К критериям оптимизации использования ресурсов относятся следующие. Минимизация отклонения функции потребления ресурса при реализации нескольких проектов Фr (t, y) ,где y - вектор аргументов формирования плана, от заданной функции имеющегося ресурса W (t)

max IWr (t)- Фr (t, y )| ^ min (32)

Критерий можно применять как для допустимых по ресурсам планам разработок (w (t )>ФГ (t, y)), так и для недопустимых (w (t )<ФГ (t, y)).

В первом случае обеспечивается наилучшая загрузка r-го ресурса, аво-втором -наилучшее приближение к допустимому по данному ресурсу плану. В частности, оптимизированные по данному критерию недопустимые планы могут использоваться для последующей корректировки под них ресурсного обеспечения.

Трансформируя критерий, получим критерий min|Wr(t)- Фr(t,y) ^ max (33)

который может применяться для допустимых по ресурсу планам, обеспечивая в этом случае максимизацию экономии ресурса. В частности, используя данный критерий для финансовых ресурсов, можно получить план реализации ИП с минимальной стоимостью.

Критерии могут быть обобщены для множества ресурсов. В этом случае критерий примет вид

max

Wr (t )-Фг (t, y ) ^

<P" (t)

^ min (34)

где рг (г) - весовая функция, а Фг (г) - нормирующая величина (используется для ресурсов, имеющих разные единицы измерения). Для рассмотренного задания ресурсных ограничений по этапам планируемого

периода функции * V/ и

Фг (г, У) являются кусочно-постоянными функциями и Ф/ (у), ^ е множеству интервалов планируемого периода. В этом случае приведенные ресурсные критерии будут иметь вид:

max

W -Ф/(yU min (35)

max

r, s

f

9s

V

W -Фsr (y )

r

s

^ min (36)

где r e R - подмножество включенных в критерий ресурсов.

r

Приведенные критерии и их комбинации обеспечивают возможность формирования плановых задач в различных постановках на введенной ресурсной сетевой модели, имеющей хорошо интерпретируемые безразмерные аргументы и позволяющей использовать для оптимизации плановых решений методынелинейного программирования.

Предлагаемая модифицированная сетевая модель и критерии оптимизации планов используются для согласования плановых решений в иерархической системе управления, в рамках рассмотренной выше процедуры согласования в типовой двух уровневой структуре.

Согласование плановых решений Алгоритм согласования плановых решений на основе метода итеративного агрегирования в типовой двухуровневой организационной структуре, включающей управляющий элемент ю™ и подчиненные элементы

нижнего уровня ю™ V = состоит в следующем.

Обозначим множество проектов, ведущихся в элементах нижнего

уровня типовой двухуровневой структуры N . Множество операций каждого

п - го проекта!<= обозначим ?п .Подмножество операций выполняется

в г - ом элементе оргструктуры и У . Каждому подмножеству

операций ?пи> п е Лг ставится в соответствие множество аргументов для формирования плана в г -ом элементе оргструктуры (вектор рассмотренных выше коэффициентов интенсивности, обозначаемых Угаг £ е Лит-*" ей )

Задача формирования плана для совокупности элементов нижнего уровня типовой двухуровневой оргструктуры на подробной сетевой модели может быть записана следующим образом

тг

тахп

(тт) (37)

X X Хш5(Утг)<Рп1 V = 1 .V, Г е Д, Б е Я

- (38)

2 " ^ о Г е Н, 3 е Б

- (39)

< У-, 5 V:; :. £ X, ■ Е Ё Л (40)

где хпй доля * - ой операции сетевого графика п - огопроекта, приходящаяся на-ый этап планируемого периода;Фпг - ресурсная характеристика (г -ый вид ресурса) 1 -ой операции п -огосетевого графика; Ф1гзт е Й - ресурсная характеристика у -го элемента для т -ого вида ресурса и

гь

^ -го этапа планируемого периода; Фгз'Г ^ Я ^ количество общего ресурса т -

го вида в 2 -ом этапе планируемого периода, распределяемого между

V

элементами нижнего уровня управляющим элементом ыо1; " ^иь-тан □ -

технологические ограничения на значения аргументов.

Ресурсные характеристики элемента верхнего уровня о1 обозначим ®дк,8 е е Н - множеству элементов временной структуры ш - го уровня. Структура ресурсов (множество G) включает подмножества

распределяемых ресурсов О и специализированных ресурсов С. ( ).

гь

Значения Фта-Г с 5 определяются в результате дезагрегирования

значений 5 е ^ е ^ . Таким образом, ограничения (38) определяют

ресурсные характеристики каждого Т1 - го элемента оргструктуры нижнего уровня, а ограничения (39) соответствуют распределяемым общим ресурсам, заданным в номенклатуре элементов нижнего уровня.

Задача (37)-(40) не соответствует информационной структуре, на которой решаются задачи формирования планов в элементе верхнего уровня. Агрегируя аргументы и ограничения, ее можно структурно преобразовать таким образом, что она будет соответствовать элементу верхнего уровня оргструктуры. Аргументы агрегированной задачи определяются детализацией сетевого графика на операции в управляющем элементе и ресурсными характеристиками операций, а ограничения соответствуют номенклатуре ресурсов управляющего элемента.

Декомпозируя задачу (37)-(40) на блоки (соответствуют элементам оргструктуры нижнего уровня), можно получить автономные задачи формирования планов разработок в элементах нижнего уровня, значения показателей планов которых могут отличаться от параметров плана агрегированной задачи, если при этом обеспечивается согласование времен свершения согласующих событий сетевых графиков во всех элементах нижнего уровня. Размерность блочных задач меньше за счет меньшего количества аргументов (в каждом элементе оргсистемы рассматривается подмножество аргументов{Ушг)и меньшего количества ограничений).

Агрегированная задача обеспечивает согласование блочных задач. Таким образом, на основе общей задачи нижнего уровня можно построить агрегированную задачу и автономные блочные задачи, соответствующие структуре содержательных задач планирования на разных уровнях и имеющие приемлемую размерность по аргументам и ограничениям. Определенная последовательность задач и структура передаваемой информации, соответствующие рассмотренной выше обшей схеме итеративного агрегирования, обеспечивают получение оптимального и согласованного решения.

Для формирования аргументов агрегированной задачи переменные подробной задачи разбиваются на блоки У = ■

соответствующие структуре агрегирования (количество аргументов

агрегированной задачи равно Вводится векторов Фы> № = 1, УК где & - индекс итерации, которые будут векторами направления изменения переменных при решении легированной задачи. Количество элементов

каждого из векторов равно 1^1 ^ 1Лг1 ^ т.е. количеству аргументов

подробной задачи. Векторы Фи,' берутся следующим образом

Ненулевые элементы каждого - го вектора соответствуют

аргументам подробной задачи, агрегируемым в - ую переменную в

(41)

/vC-'i VC -i ,

элементе верхнего уровня Vntr .....• —> ^mj ) - группа переменных

подробной модели, агрегируемых в w - ую переменную).

В соответствии с рассмотренной общей схемой агрегирования

нелинейных задач в агрегированную задачу делается подстановка

W

' 4 (42)

где zw является переменной агрегированной задачи. Это означает, что если подмножество операций подробной модели п - го проекта ( 7 •■■•] -индексы операций) и их ресурсные характеристики [Г... ,'Р - индексы ресурсов операций) агрегируются в одну операцию и ее ресурсную характеристику (w -ая агрегированная переменная), то для всей группы переменных Ушг>™'Уп]р> Уnit ищется общее корректирующее воздействие при решении агрегированной задачи (корректируются решение задач в элементах нижнего уровня по результатам решения координирующей задачи

в управляющем элементе). При zit-- = Упгг = Упа^ и решение подробной и агрегированной задач на двух последующих итерациях совпадают. Агрегирование аргументов подробной задачи производится по подмножествам операций, входящих в один проект. При таком агрегировании задача не является блочной и множества переменных элементов нижнего уровня (блоков) и агрегатов не совпадает.

В элементе верхнего уровня агрегированный аргумент одинаков для всех входящих агрегируемых операций. В этом случае переменными

подробной задачи являются Унт? и векторы количество элементов

которых равно 1^1 X '^т?', имеют вид

■xri = 1 о. . .. О. у.1л 1.. .. у.%1 . .0.. ..Of (43)

а выражение (42) записывается N

j, =у<7-1 + у

При решении агрегированной задачи, количество аргументов которой равно количеству сетевых графиков будут корректироваться

коэффициенты интенсивностей проведения работ в элементах нижнего уровня. Для каждого -го сетевого графика коэффициенты интенсивности

группы работ = полученные при решении блочных задач,

изменяются пропорционально соответствующему значению решения агрегированной задачи .

В общем случае итерационный процесс согласования подробных и

агрегированной задач строится следующим образом. Пусть после & ~1 -ой итерации имеются результаты решения задач формирования планов во всех V элементах нижнего уровня в соответствии с заданным критерием (37).

Результаты решения для каждого - го элемента нижнего уровня включают

Уп^гА гс. е Л, г е/п„ _ множеству операций и- госетевого графика,

выполняющихся в Т1 - элементе, г е оценки ограничений (38)

РГБ и оценки ограничений (39), определяемые по

результатам решения задач во всех элементах нижнего уровня оргструктуры

и обозначаемые РЛш1>г е И, з £ 5 _

При решении агрегированной задачи используются известные ресурсные отграничения элементов нижнего уровня и агрегированные общие ограничения. Для введенных обозначений, решаемая в элементе верхнего уровня агрегированная задача имеет вид

в которой агрегирование общих ограничений производится с оценками, полученными на предыдущей итерации.

В результате решения агрегированной задачи определяются значения

аргументов ^ иг = 1/ М7, вычисляются оценки агрегированных ограничений ё : 1. ё |.г на распределяемые ресурсы по формуле

К* =

/ у ^ТБ ^ ^ I" У У У X

а.

Д.?"1

^ ■ ■] (47)

где -оценки агрегированных ограничений на предыдущей итерации, и вычисляются исходные значения аргументов задач в элементах нижнего уровня (выражение 44).

Результаты решения агрегированной задачи (вектор переменных 3;£Г) передаются в элементы оргструктуры нижнего уровня (^ -ый блок), в каждом из которых решается задача

2

СУи ->У?) - <? (С^Ш - )>4) тахп

п

(48)

2 2 ХШзШ&г - Фге ^ 0 ,ГеЬе5

(49)

У ^ - .' I:': (50)

где У-в- вектор аргументовУшг1:7 - го блока, - множество

согласующих событий п -го сетевого графика71 е . Элементами векторов

являются аргументы плановых решений в других элементах нижнего уровня и их значения при решении задачи в - ом блоке определяются решением агрегированной задачи.

По результатам решения локальной задачи (48) - (50) в элементе нижнего уровня вычисляются оценки ограничений (49). Вычисление для

каждого вида ресурсов т % производится по следующей формуле, в

которой используются решения, полученные в г - ом элементе нижнего уровня (значения I элементов вектора Уг:).

Г5

■а _

VI (7 — 1 [

Р '

' Г5

у + а

,Т £ Н.,5£ 5

(51)

Оценки ограничений на общие ресурсы определяются по результатам решения локальных задач во всех элементах нижнего уровня. В формуле для вычисления используются полный вектор решений локальных задач

Уъ?,т = 1, V и оценка агрегированного ограничения ^з

рсг _

* ГЗ -

:

/

Р-Я'1 + «

(у*) Кг ~

,Т £ Н,5Е 5

(52)

На основе полученных оценок общих ограничений РЛ производится

дезагрегрегирование общих ресурсов £ С?, Л Е Н ^ которые заданы в

номенклатуре элемента верхнего уровня. Для каждого из видов ресурсов д Е интервала планируемого периода л £ Я решается следующая задача

Р£Ф?3 тах;

(53)

я с

Ад

(54)

Ф?11П < Ф& <

г е ^ в е 5

■ , ■ ------ = _■ (55)

где и $ * подмножества агрегируемых элементов ресурсной и временной структур нижнего уровня. При этом обеспечивается дезагрегирование общих ресурсов соответственно значениям их оценок по результатам решения задач формирования планов в элементах нижнего уровня. Итерация повторяется при новых значениях дезагрегирования общих

ресурсов Ф е е 5

Итерационный процесс заканчивается при наличии допустимых решений во всех цементах нижнего уровня и равенстве с некоторой заданной точностью компонент вектора аргументов плановой задачи.

В результате итерационного процесса получаются согласованные плановые решения в элементах нижнего уровня типовой двухуровневой оргструктуры и агрегированные значения распределения общих ресурсов. Эти решения получаются на подробных сетевых моделях элементов нижнего уровня, которые согласуются в агрегированной задаче.

В настоящее время алгоритмы оптимизации и согласования решений в двухуровневой системе реализованы и апробированы для модельных примеров сетевых графиков и показали свою работоспособность и эффективность.

Заключение

Предложенная модификация решения задач планирования на сетевых моделях позволили гибко формировать и решать плановую задач (гибкое задание целевой функции и ограничений соответственно плановой ситуации и использование регулярных алгоритмов оптимизации) и использовать метод итеративного агрегирования для согласования плановых решений в элементах иерархической оргструктуры.

Предполагается встраивание рассмотренных алгоритмов в виде надстройки в систему MS Project, что позволит добавить функциональность в широко используемую систему управления проектами.

Список литературы:

1. Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. М.: Наука, 1981.

2. Итеративное агрегирование и его применение в планировании/ под редакцией Дудкина Л.М. М. Экономика, 1979.

3. Кондрашов Ю.Н. Система MS PROJECT 2000 (учебное пособие). Академия Бюджета и казначейства МФ РФ. М.: 2001

4. Кондрашов Ю.Н., Чашин М.О. Недостатки современных систем управления проектами (тезисы доклада Материалы конференции «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применения высоких технологий в экономике, управлении проектам, педагогике, праве, культурологии, языкознании, природопользовании, биологии химии, политологии, психологии, медицине, филологии, философии, социологии, математике, технике, физике, информатике».г. Санкт-Петербург. 2014.

5. Кондрашов Ю.Н., Чашин М.О. Оптимизация планов в системах управления проектами (тезисы доклада). Материалы конференции: «Современная математика и концепции инновационного математического образования», Издательский дом МФО, М. 2014.

6. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973.

7. Методы и модели согласования иерархических решений. Под редакцией Макарова А.А. Новосибирск, Наука. Сибирское отделение, 1979.

8. Рассел Д. Арчибальд. Управление высокотехнологичными программами и проектами — М.: Академия Ай-ти, 2004.

9. Теория и практика использования методов агрегирования в планировании и управлении: Материалы совещания АН Армянской ССР. Ереван, 1983.