CC BY
18
УДК 621.396
Ю.Н.КЛИКУШИН К. Т. КОШЕКОВ
Омский государственный технический университет
Северо-Казахстанский государственный университет им. М. Козыбаева
МОДЕЛЬ РОСТА ПОПУЛЯЦИИ В ЗАДАЧЕ АВТОМАТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ СИГНАЛОВ_
Описаны результаты исследования по применению модели роста популяции (модели Ферхюльста) в задаче автоматической классификации сигналов.
В исследованиях, связанных с нелинейной динамикой, процесс Ферхюльста, описывающий рост популяции во времени [1], занимает важное место по ряду причин. Во-первых, этот процесс является хорошим примером для изучения явления, называемого детерминированным хаосом, который порождает фрактальные структуры, присущие многим природным объектам. Во-вторых, процесс Ферхюльста служит наглядной иллюстрацией существования различных нестационарных эффектов, имеющих место в замкнутых системах управления. В-третьих, модель роста популяции достаточно проста, носит итерационный характер и удобна для моделирования на персональном компьютере.
Алгоритмически динамика Ферхюльста описывается соотношением (1):
хп+1=(\ + г)хп-гхл2 (1)
где: х0 - начальная численность популяции, хп - ее численность через п лет, хЛ+1 - численность популяции в л+1 год, г>0 — коэффициент, называемый параметром роста, Этот коэффициент управляет динамикой процесса таким образом, что, если 0<г<2 при х0 >0, то процесс с ростом номера итерации приближается к нужному конечному устойчивому состоянию х = 1. При 2<г<2,570 состояние х= 1 является неустойчивым, в результате чего возникают периодические колебания, форма которых зависит от значения параметра роста. Наконец, при г = 2,570, процесс перестает быть периодическим, и колебания приобретают хаотический характер.
Таким образом, уравнение (1) можно рассматривать как модель некоторого генератора сигналов, характер и форма которых зависят от значения управляющего параметра г.
В связи с этим, рассмотрим обратную задачу, возникающую при анализе, например, сигналов диагностики, когда известными являются дискретные отсчеты [х0,х1,,.,х„,хп+|] входного сигнала. Требуется, используя модель роста популяции (1), оценить эмпирическое значение параметра г роста и установить его логическую связь с диагностическим признаком сигнала. Другими словами, если параметр г роста отображает переменное состояние модели (1), то можно ли его использовать для идентификации состояния любой другой модели?
Для ответа на этот вопрос проведем исследования по следующей методике. Во-первых, сформируем две
базы сигналов, относящихся к 2-м классам: а) случайные сигналы с различными формами распределения вероятности и б) периодические сигналы прямоугольной (меандр), синусоидальной и треугольной формы с различным числом периодов. Во-вторых, для указанных сигналов проведем измерение параметра г роста в соответствии с (1). В-третьих, параметр грос-та сортируем, например, по возрастанию и определяем порядок следования имен (качественных, диагностических признаков) сигналов. В-четвертых, по упорядоченности имен сигналов определяем границы и диапазоны существования отдельных классов сигналов. В-пятых, проверяем условие устойчивости полученной классификации. В-шестых, оцениваем классификационные (разделяющие) свойства системы путем ее тестирования сигналами, не входящими в первоначальные базы.
Моделирование по данной методике было проведено в среде LabVIEW-7.1. На рис.1 представлена структурная схема программного кода соответствующего виртуального прибора (ВП), который содержит элементы, выполняющие следующие функции:
1) исключение постоянной составляющей во входном массиве Input Array сигнала (элементы STD Deviation and Variance и первый вычитатель);
2) определение размерности входного массива (элементы Array Size и второй вычитатель);
3) нормализацию входного массива по размаху (элементы Array Мах & Min, третий вычитатель и первый делитель);
4) организацию итерационной процедуры (цикл типа For i = 0 to N-l...Loop) вычисления параметра роста;
5) вычисление среднего значения параметра роста и вывод его на индикатор (элементы второй делитель, расположенный вне цикла и устройство Out-Num индикации).
Внутри цикла расположены элементы (Index Array* 1 и-2, сумматор, двавычитателя, устройство сравнения с нулем, переключатель Select, делитель, определитель модуля и интегрирующее устройство, выполненное на втором сумматоре и накапливающем регистре), реализующие вычисление суммы вида:
Рис. 1. Структурная схема программного кода виртуального прибора, измеряющего параметр роста популяции.
Выражение (2) представляет собой преобразованную и линеаризованную форму модели (1), аналогичную той, которая была использована при анализе процесса Ферхюльста в работе [1].
Выходной величиной ВП служит среднее значе-
ние: У = ■
R JV-1
суммы (2), численные оценки которого
для стационарных случайных сигналов, имеющих симметричные распределения (2МОД - двумодаль-ное, АРКС - арксинусное, РАВН - равномерное, СИМП — треугольное, НОРМ — нормальное, ЛАПА — двустороннее экспоненциальное, КОШИ — Коши), представлены в табл.1. Указанные в табл.1 оценки параметра роста получены по 100 реализациям сигналов с объемом выборки N = 100000.
Данные табл. 1 фактически представляют собой одну из форм идентификационных шкал (ИШ) распределений, особенности которых описаны, например, в работе [2]. В графическом виде такая ИШ изображена на рис.2, а ее аналитическое выражение записано в виде уравнения (3).
у = А+В4Х ,
(3)
где А» 1,066; Вя-0,407 — константы, являющиеся параметрами модели ИШ; X — порядковый номер распределения из табл. 1. При упорядочении отметок ИШ по возрастанию связь параметра роста с номером отметки будет описана уравнением (4):
Y = A + Bexi
(4)
где Ая-0,3545; B»0,2967; 05,6959. Указанные аналитические зависимости (№№ моделей 12 и 8002, соответственно) получены с помощью программы TCWin при подборе в классе простейших моделей по критерию минимума среднеквадратического отклонения.
Таким образом, для стационарных случайных сигналов параметр роста может служить числовым идентифицирующим показателем, в том смысле, что с его помощью можно разделять случайные сигналы по форме их распределений вероятности.
Способность параметра роста идентифицировать периодические сигналы отражена результатами моделирования, представленными в табл. 2. При этом можно сделать следующие выводы.
Во-первых, значение параметра роста в определенных пределах линейно зависит от количества периодов сигнала, укладывающихся в интервал наблюдения. Частотные пределы линейной зависимости определяются формой сигнала — наименьший предел (Р = 4999) наблюдается для сигналов пилообразной (SAW) формы. При больших значениях Р (20 отсчетов на периоде и более) имеет место искажение формы сигнала. Подобный эффект имеет место также для периодического сигнала треугольной (TRI) формы.
Во-вторых, при малом (Р< 10) числе периодов значение параметра роста периодических сигналов не превосходит значения параметра роста случайных сигналов, что позволяет использовать этот факт для автоматического разделения сигналов на классы. Такая процедура может быть реализована, например, путем проверки условия:
ЕСЛИ 2,2E-5<.Y<2E-4, ТО «сигнал периодический, с числом периодов не более 10» ИНАЧЕ «сигнал случай-
Таблица 1
Связь между видом распределения случайных сигналов и параметром роста
Вид распределения входного сигнала 2МОД АРКС РАВН СИМП НОРМ ЛАПА КОШИ
Оценка параметра роста 0,6667 0,4757 0,3734 0,2496 0,1428 0,0651 0.0002
Таблица 2
Зависимость параметра роста от формы периодических сигналов и числа периодов
Форма Кол-во периодов (P) сигнала за время наблюдения (N— 100000)
сигнала 1 10 100 1000 5000 10000 25000
Sin 2.2Е-5 2.2Е-4 2.2Е-3 2.2Е-2 0,11 0,22 0,58
Cos 2.2Е-5 2.2Е-4 2.2Е-3 2.2Е-2 0,11 0,22 0,58
Tri 2.2Е-5 2.2Е-4 2.2Е-3 2.2Е-2 0,11 0,196(Р = 9999) -
Squ 2.0Е-5 2.6Е-4 2.7Е-3 2.7Е-2 0,133 0,27 0,67
Saw 3,1Е-5 3.1Е-4 3,1 Е-3 3,1 Е-2 0,14(Р = 4999) - -
Рис. 2. Идентификационная шкала распределений на основе параметра роста.
Таблица 3
Пример классификации объектов диагностики с использованием параметра роста
Исходные номера файлов Имена файлов объектов диагностики Сортированные номера файлов Оценка параметра роста, г"Е-5 Сортированные файлы
1 Со смазкой, без дефекта Э 2,1 Класс-1 «Со смазкой», раковина
2 Без смазки, без дефекта 4 3 Класс-1 «Со смазкой», с дефектом
3 Со смазкой, раковина 1 5,1 Класс-1 «Со смазкой», без дефекта
4 Со смазкой, с дефектом 8 5,4 Класс-2 «Брак буксы», правой
5 Без смазки,раковина 7 7,2 Класс-2 «Брак буксы», левой
6 Без смазки, с дефектом 2 7,8 Класс-3 «Без смазки», без дефекта
7 Брак правой буксы 5 9 Класс-3 «Без смазки», раковина
8 Брак левой буксы 6 14,3 Класс-3 «Без смазки», с дефектом
ный с распределением F(Y)» ИЛИ «сигнал периодический, с числом периодов P(Y)» ИЛИ «сигнал является смесью периодической и случайной компонент».
В-третьих, появляется возможность построения оригинальных преобразователей типа ФОРМА — ЧАСТОТА, использующих то свойство периодического сигнала прямоугольной формы (SQU) типа МЕАНДР, при котором его параметр роста по диапазону
значений перекрывает шкалы периодических и случайных сигналов (2-я строка снизу, табл.2). В этом случае параметр роста служит эквивалентом сравнения двух разнородных сигналов, а число Р периодов — выходной величиной. Таким образом, любой сложный сигнал, например, представляющий собой аддитивную смесь периодического колебания и шума, может быть заменен элементарным сигналом типа МЕ-
АНДР с определенной частотой. В подобном преобразовании сравниваемые сигналы являются эквивалентными в смысле равенства их параметров роста.
В-четвертых, поскольку, в соответствии с данными табл.2, максимальное значение параметра роста для случайных и периодических сигналов не превышает 0,67, а фрактальные свойства модели (1) начинают проявляться лишь при г>2,570, то между этими границами должен лежать некоторый, пока непонятно какой, класс сигналов. Что это за сигналы, и каковы их свойства, предстоит выяснить в дальнейших исследованиях.
В качестве примера в табл.3 представлены результаты автоматической классификации объектов диагностики. Исходная информация содержится в 8 файлах, имена которых содержат диагностические признаки. Измерение параметра роста популяции и сортировка номеров исходных файлов позволила выделить из общего списка три класса объектов: а) подшипники со смазкой; в) дефектные буксы и в) подшипники без смазки.
Таким образом, подтверждается выдвинутое авторами предположение о возможности применения модели Ферхюльста для количественной оценки качественного состояния объектов и процессов, атак-же построения на этой основе систем автоматической классификации.
Материалы исследования используются на кафедре «Информационно-измерительная техника» ОмГТУ как в учебном процессе - при проведении занятий по дисциплинам «Интеллектуальные системы», «Статистические измерительные системы», так и для решения научно-технических задач диагностики состояния сложных объектов.
Библиографический список
1. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем: Пер. с англ. — М.:Мир, 1993. — 176с.
2. Кликушин Ю,Н. Классификационные шкалы для распределений вероятности //Интернет-журнал «Журнал радиоэлектроники» - М.:ИРЭ РАН, 2000, №11 (ноябрь).
КЛИКУШИН Юрий Николаевич, доктор технических наук, доцент, заместитель заведующего кафедрой информационно-измерительной техники Омского государственного технического университета. КОШЕКОВ Кайрат Темирбаевич, кандидат технических наук, доцент, декан машиностроительного факультета Северо-Казахстанского государственного университета им. М. Козыбаева, г. Петропавловск, Республика Казахстан,
УДК «1.372 54 В.А.АРЖАНОВ
Омский государственный технический университет
АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК ГРУППОВОГО ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ПРИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНОГО ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Проведен анализ частотных характеристик группового времени запаздывания при полиномиальной аппроксимации передаточной функции четырехполюсника. Рассчитаны характеристики, позволяющие по заданным требованиям определить необходимый полином Гурвица.
Для выделения сигналов с минимальными фазовыми искажениями в приемных устройствах фазовых радионавигационных систем, а также для передачи сигналов с ограниченным спектром необходимы электрические фильтры, фазочастотная характеристика (ФЧХ) которых в заданной полосе частот должна быть линейной.
Требования к фазовым характеристикам удовлетворяются синтезом фильтров либо с заданной линейностью фазочастотной характеристики в полосе пропускания, либо с требуемым групповым временем запаздывания (ГВЗ).
Возможность получения фазочастотных характеристик, близких к линейным (постоянное время за-
паздывания), зависит от типа применяемых электрических цепей. Существуют минимально-фазовые и неминимально-фазовые цепи. Неминимально-фазовые позволяют получать фильтры с высокой линейностью фазочастотных характеристик. Однако их практическая реализация предусматривает применение кварцевых резонаторов, дифференциальных трансформаторов, что приводит к ухудшению массо-габаритных параметров изделия.
Для минимально-фазовых цепей рабочий коэффициент передачи представляет собой рациональную функцию
