Модель распределенного освоения капиталовложений в предприятия аэрокосмического кластера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сараев А. Л., Сараев Л.А.

Модель распределенного освоения капиталовложений в предприятия аэрокосмического кластера //

Вестник Самарского госуда])ственного уеиверситета. Серия «Экоеомика и управеение». 201и. № 9/2 (131). С. 301-308 301

УДК 330.101.54

А.Л. Сараев, Л.А. Сараев *

МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ОСВОЕНИЯ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ В ПРЕДПРИЯТИЯ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО КЛАСТЕРА**

В публикуемой статье предложена математическая модель динамики распределенного освоения капиталовложений в предприятия аэрокосмического кластера. Построены связанные нелинейные дифференциальные уравнения баланса для предприятий кластера, которые учитывают эффекты непрерывного распределенного ввода в производство внутренних и внешних инвестиций.

Ключевые слова: кластер, предприятие, технологии, факторы производства, производственная функция, производственные фонды, ресурсы.

Пусть m производственных предприятий образуют кластер, выпускающий готовую продукцию. Каждое такое предприятие затрачивает n определенных типов

ресурсов в виде некоторых объемов факторов производства Qj. Эти объемы представляют собой основные производственные фонды и являются функциями времени Qj = Qij (t). Переменная времени t предполагается непрерывной, единицей ее измерения служит так называемый производственный период (месяц, квартал, год), а сами функции Qij = Qij (t) — непрерывными, непрерывно дифференцируемыми и ограниченными на числовой полуоси (0 < t < да) [1—3].

Qii <Qij(t)<Qj. lim Qij (t ) = Qj,

lim Qij (t ) = Qj.

ti¥ J J

Объемы факторов производства Qij представляют собой компоненты тензора второго ранга Q, первый индекс i соответствует номеру предприятия кластера, второй индекс j — номеру ресурса этого предприятия.

* © Сараев А.Л., Сараев Л.А., 2015

Сараев Александр Леонидович ([email protected]), Сараев Леонид Александрович ([email protected]), кафедра математики и бизнес-информатики, Самарский государственный университет, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

** Работа выполнена в рамка« реализации программы повышения конкурентоспособности федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)» среди ведущих мировых научно-образовательных центров.

Грант на научно-исследовательскую работу по теме: «Моделирование и оценка динамики факторов и показателей производства структурно-модернизируемых промышленных предприятий (на примере аэрокосмического кластера)».

Части выпуска продукции производств предприятий кластера TR,, соответствующие объемам факторов производства Q,, обеспечиваются производственными функциями Кобба-Дугласа [4]

TRls = P,-(в„) . (1)

Здесь степенные показатели производственных функций a, , (0 < a, < l) представляют собой эластичности выпуска, P, — стоимости продукций, произведенных на единичные объемы ресурсов.

С помощью значений величин TRis в начальной точке t = 0

TR0 = pIs -Q)% (2)

можно записать производственные функции (1) в виде

^ ^ \ais

TRis = TRi

о

Q

V Qis 0

В целом выпуск продукции предприятия TRj определяется выражением

(3)

TRi =П TRi, =П TR

s=1 s=1

Qй

v QiS 0

П I Q

TR? П Q0

s=1 V Qis 0

(4)

Здесь TR0 =П TR,.

s=1

Значения изменений объемов факторов производств DQj за некоторый малый

промежуток времени Dt определяются их частичными амортизациями в процессе производства

Aij (t) = ~aij - Qij (t)-Dt, (5)

их частичными восстановлениями за счет внутренних эндогенных инвестиций

t

Uij(t)= jRij(t’z)!ij(t)-dt ,

(6)

и их частичными восстановлениями за счет внешней экзогенной поддержки в виде либо государственных инвестиций, либо инвестиций частных инвесторов в производства предприятий

t

Vij (t)= j Sij (t ’ТУ Jij (t)-dt’

(7)

Здесь Uj — доли выбывших за единицу времени объемов факторов производ-

ства Qij; Uj (t) — объемы эндогенных инвестиций, накопленных предприятиями в моменту времени t; Rj (t, t) — функции распределений постепенных и непрерывных вводов эндогенных инвестиций за весь период работы предприятий, Ij (t) — эндогенные инвестиции, сделанные в момент времени t; Vj (t) — объемы экзогенных инвестиций, накопленных предприятиями в моменту времени t; Sj (t, t) — функции распределения постепенного и непрерывного ввода экзогенных инвестиций за весь период работы предприятий; J j (t) — экзогенные инвестиции, сделанные в момент времени t.

При запаздывании капиталовложений поток инвестиций во времени перераспределяется, но при этом сумма инвестиций за весь период остается постоянной.

Таким образом, функции распределения ввода инвестиций Rj (t ,t) и Sj (t ,t)

удовлетворяют условиям нормировки ¥ ¥

J Rj (t ,t)-dt = 1, J S j (t ,t)-dt = 1

(8)

Будем считать, что запаздывание в освоении капиталовложений не меняется со временем. В этом случае процессы инвестирования и ввода инвестиций являются стационарным и формулы (6) и (7) принимают вид

Uij(t)= JRij(t-t)hij(t)-dt,

(9)

Vij(t)= JSij(t-t) Jij(t)-dt.

Для экспоненциальных распределений ввода инвестиций R ■ ■ (t - t) = Ij

-lj {t—1)

и

Sij(t -t) = hi

rh •(t-t)

соотношения (9) принимают вид

j )=• J

-1j {t-t)

Iij (t)-dt,

(10)

Vij(t) = hij ■ Je hij (t T)- Jij(t)-dt

-¥

Здесь Ij и hij — параметры распределения, которые описывают степень влияния ранее сделанных инвестиций на капиталовложения текущего момента. Чем больше величины Ij и hij , тем меньше это влияние и наоборот.

С помощью дифференцирования обеих частей интегральных уравнений (10) по времени t легко убедиться, что они эквивалентны дифференциальным уравнениям

= l' j)_ )

-^Т = h,yJ,j(i)-h,j • yy(t),

(11)

или

dUij(t)

dt

dyij (t)

dt

= 1 • mi# ■ TRy(t)-1 ■Uij(t), = hi/ -Vi/ • TR(t)-hij ■ yy(t),

(12)

Здесь mij — нормы накоплений эндогенных инвестиций; V- — нормы бюджетных обеспеченностей от экзогенных инвестиций.

Теперь соотношение для баланса изменений объема фактора производства Qy можно записать в виде [5; 6]

DQij (t) = qij (t) ■ (Aij (t) + Uij (t) + yij (t )\Уу (xij \Dt.

(13)

Здесь xij =

tR- (t) _

TR¥ '

rQv (t)^ fQ*^

Q

TRij =TRij

V ^j 0

Qj

V QlJ 0

предельное значение

выпуска продукции производства. Следует отметить, что предельные величины

TR¥ представляют собой в конечном счете ресурсы и производственные факто-

и

ры для головного предприятия кластера. Они не являются произвольными, а задаются и контролируются руководством всего кластера.

Функции У- (Xij ) изменяются на единичном отрезке (0 £ yij (Х)£ 1) и ограничивают рост фактора производства Qij до своего предельного значения. Функции q (t) изменяются на единичном отрезке (0 £ в„ (t )£ l) и представляют со-

бой удельные скорости изменения ресурсов Q-. Эти функции описывают либо

эволюционное развитие предприятий, либо смену их технологических укладов, либо их кризисных явлений.

В качестве

функций У Ху ) можно выбрать либо степенные функции

yj l - ф. (14)

либо экспоненциальные функции

y(xij )= exp

r-h■ -£-Л

j j

1 - x

(15)

Ч

Здесь параметры hj описывают интенсивности стремления функций yij (Xj) к своему предельному нулевому значению.

Предельный переход в соотношении (13) при Dt ® 0 приводит к нелинейному дифференциальному уравнению

^ = в,( И-aj .Qj(t)+U(t)+V()).yj().

(16)

Уравнения (12) и (16) образуют систему нормальных нелинейных связанных уравнений первого порядка

= e,j(t)■(-aj ■ Qj(t)+Uj(t)+ Vj(t)yj(Xj),

dt ij dj = Ij ■ mj ■ TRj(t)-lj ■ Uj(t), dVj (t)

(17)

dt

= h ij Vij . TRij (t )-h j . V j (t)

j j

Подставляя в уравнения (17) формулу (3), находим

dj = в„ (t )(-a j ■ Qj (t)+Uj (t)+Vj (t j)y j (Xj ),

dt j

dU j ()

dt

dV j (t)

1 ■ mu ■TRI

Quit))

Q() v ^ч

-1 ■Uij(t)

^ = h v- ■ TR0-

'hj vij

dt

j)

Qj

\ aij

-ha ■

ij ij

Vj (t).

V ^ч 0

Начальные условия для системы (18) имеют вид

Qj (0) = Qj

ij ij

Uj (о) = Uj

Vj (о)=V

= Q0

t=0 ^Ч ’

= Uj,

t=0 ij .

= V0

t=0 i •

a

j

(18)

Стационарным решением задачи Коши (18) и (19) являются значения

Q = Q¥ >

U = U¥,

у.. = у¥

[ . у •

Здесь

U¥=m - TRj У¥= n i. - TR

/ \ a. .

( \ 4

QJ

Q

\^y J

Q

\ a. j ¥ \ V

Q

\^y J

(20)

В общем случае нелинейная задача Коши (18) и (19) не имеет аналитического решения и может быть решена только численно.

Формы интегральных кривых уравнений (18) определяются уровнем отклонения функций относительной удельной скорости роста факторов производства Q . (t) от единицы. Размеры такого отклонения задают варианты развития процессов динамики рассматриваемых предприятий. Для значений функций 0. (t), близких к

единице, кривые, построенные в соответствии с решениями уравнений (18), описывают монотонные эволюционные процессы работы предприятий. Для близких к

нулю и для отрицательных значений функций 0. (t) интегральные кривые уравнений (18) описывают процессы смены технологий производства и кризисные явления динамики предприятий. Для описания процессов смены технологий производства и кризисные явления динамики предприятия в некоторой окрестности

*

моментов времени t.. могут быть с использованы функции [6]

ч

0 J(t ) = 1 - Wj ■ exp

(' -' * 1

2-s

у

(21)

Здесь W. — максимальные значения глубин падений удельных скоростей роста;

s. — размеры ширины временного интервала перестройки технологий производств или кризисов предприятий.

Выпуск конечной продукции рассматриваемого кластера TR, в свою очередь, тоже обеспечиваются определенной производственной функцией Кобба-Дугласа

TR = TR0П

/ \bs

rTR«

о

V TRs 0

s=1 TR

(22)

Издержки головного предприятия кластера задаются линейной комбинацией

m n

TC = Ц Asp - Qsp + TFC. (23

s=1 p=1

Таким образом, общая прибыль PR = TR — TC выражается соотношением

PR = TR0-П

Отт TRs

s=1 V TR

0

s

b

mn

!! Asp - Qsp — TFC

s=1 p=1

(24)

Библиографический список

1. Дубровина Н.А., Сараев А. Л., Сараев Л.А. К теории нелинейной динамики многофакторных экономических систем // Вестник Самарского государственного университета. 2014. № 2(113). С. 186-191.

2. Дубровина Н. А., Сараев Л. А. Модель экономического развития машиностроения, учитывающая кумулятивную динамику факторов производства // Вестник Самарского государственного университета. 2014. № 4(115). С. 177-183.

3. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Особенности динамики выпуска продукции и производственных факторов модернизируемых предприятий // Вестник Самарского государственного университета. 2014. № 6(117). С. 251-260.

4. Сараев А.Л. Динамическая многофакторная модель модернизации производственного предприятия // Вестник Самарского государственного университета. 2015. № 5(127). С. 224-232.

5. Сараев А.Л. Уравнения нелинейной динамики кризисных явлений для многофакторных экономических систем // Вестник Самарского государственного университета. 2015. № 2(124). С. 262-272.

6. Егорова А.Ю., Сараев А.Л., Сараев Л.А. Вариант динамической модели переоборудования производственного предприятия, учитывающей эффект запаздывания внутренних инвестиций // Вестник Самарского государственного университета. 2015. № 5(127). С. 210-216.

References

1. Dubrovina N.A., Saraev A.L., Saraev L.A. On the theory of nonlinear dynamics of multifactor economic systems. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2014, no. 2(113), pp. 186-191 [in Russian].

2. Dubrovina N.A., Saraev L.A. Model of economic development of mechanical engineering that takes into consideration cumulative dynamics of factors of production. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2014, no. 4(115), pp. 177-183 [in Russian]