CC BY
23
УДК 532.543
МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ПОТОКА НА ВХОДЕ В РАСШИРЕНИЕ © 2008 г. В.Н. Коханенко, И.В. Папченко, Н.Г. Папченко
Целью настоящей работы является получение аналитического решения одной из актуальных в гидравлике задач для открытых потоков, т.е. задачи расчета параметров потока в русле с расширяющимися стенками. Для решения задачи воспользовались инженерным методом расчета с использованием системы уравнений движения двухмерных в плане открытых водных потоков в плоскости годографа скорости
The subject of our research work is reaching of the analytical decision one of the actual problems in Hydraulics for open stream waters, i.e. the calculation problems of stream parameter in channel expansion. For the decision of the given problem, we used the engineering calculation method with the moving binary measured equations for open water streams on the plane of graph year speed.
Ключевые слова: открытый водный поток, параметры потока, бурный равномерный поток, инженерный метод, двухмерный открытый водный поток, плоскость годографа скорости, интеграл Бернулли, линия сопряжения, крайняя линия тока, линия тока, эквипотенциаль, произвольная линия тока.
Целью настоящей работы является получение аналитического решения одной из актуальных в гидравлике задач для открытых потоков, т.е. задачи расчета параметров потока в русле с расширяющимися стенками (рисунок).
Пусть бурный равномерный поток (F0 > 1) с параметрами У0, h0 и шириной - «Ь» сопрягается с потоком в расширяющемся призматическом русле, имеющем горизонтальное дно и прямолинейные стенки, наклоненные к продольной оси симметрии потока под углом - 8 ст.
Необходимо рассчитать геометрические и кинематические параметры потока внутри и на границе области G.
Для решения задачи воспользуемся инженерным методом расчета с использованием системы уравнений движения двухмерных в плане открытых водных потоков в плоскости годографа скорости в виде [1]:
Зф Зг
h0
1-3г Зу
2H
о г(1 -г)2
Зф _ 2h 0 г Зу
39 = H0 1 -г Зг ;
39
(1)
где ф = ф (т, 8) - потенциальная функция; у = у (т, 8) -функция тока; 8 - угол, характеризующий наклон местной скорости частиц потока к положительному направлению оси симметрии; т - квадрат скоростного
коэффициента - X; г = X2, X = -
V
V - модуль
^/2gH;
скорости; g - ускорение силы тяжести; Н 0 - посто-
V2
янная в интеграле Бернулли, Н0 = —— + h0^, V0,h0 -
2 g
параметры трехмерного потока на входе в расширение.
к-я пиния тока
т-я эквипотенциаль
План течения потока с расширением прямолинейными стенками: V0 - величина скорости потока на входе в расширение; h0 - глубина потока на в ходе в расширение; F0 = V02 /gh0 - критерий Фруда
Система уравнений (1) согласно теории [1,2] имеет ряд регулярных решений. Из этого ряда для решения задачи в настоящей работе воспользуемся решением в виде:
гь т_т-| + Ci0. т 2h L 1
Ф = -
о
2H
ln-
1 _ X 1 _ X
(2)
+ C 20.
Именно решение (2) может удовлетворять модели потока в русле с расширяющимися прямолинейными стенками.
Для решения задачи необходимо в первую очередь, как и в задаче свободного растекания потока, определить форму начальной эквипотенциали, по которой происходит сопряжение пространственного потока с двухмерным в плане. Эта модель сопряжения должна быть непротиворечивой общим в работе положениям, т.е. системе (2) и уравнению постоянства расхода.
Считаем, что сопряжение пространственного и двухмерного в плане потоков происходит по дуге окружности АВС радиуса R. Определим параметры потока в точках А и В при условии, что угол расширения стенки 6 ст не должен превышать угла поворота потока на его выходе в расширение при свободном растекании 6 тах , т.е. должно выполняться условие [3]:
6 <6
= Ci +(V3 _ 1)2,
C1 = arctg
3X 0 1 _V3arctg
1 _ X n
3x о _ 1 _L 1_Xо V3
где x 0 =
V2
2 gH о
Из условия постоянства расхода потока на линии сопряжения потоков АВС, получим равенство:
Vohob = 2hBVBR0 ст
Используя геометрическое соотношение
R = ,
2sin 6 ст
равенство (5) запишем в виде:
6
УЖ« =
(3)
0"0 - 'lBr B ■ р.
Sin 0 с
(4)
Рассматривая равенство (4) как уравнение для определения параметров потока hB, Ув с учетом интеграла Бернулли:
^ + ^т=Н 0,
приходим к условию: hв = h0, Ув = У0,
справедливому при малых углах поворота стенки 6 т.е. при выполнении условий: 6ст < 6о;
0
: sin 0 с
В случае углов 6 ст < 6 для определения параметров потока hв, Ув необходимо решить систему уравнений:
6„„
hoVo = hBVB
sin 6,
H о = hB +
2g
(5)
и в качестве решения выбрать такие корни системы, чтобы Ув было больше У0 и ближайшее к нему.
Система уравнений (5) сводится к приведенному кубическому уравнению:
V3 -2ёИоУ + 2Я = 0.
6 ст
Определив, таким образом, параметры потока на линии сопряжения АВС, решим далее задачу определения параметров потока в произвольной точке D, пересечения Ъй линии тока и т-й эквипотенциали. Заметим, что крайняя линия тока должна удовлетворять условию отсечения от оси симметрии 50 % расхода.
Согласно условию (2) и условию [4] =
& ^
для крайней линии тока, омывающей боковую стенку, получим уравнение:
У кр = С10 ст +
С 2 H о 2h п
Vb
[ln X_x] = ^f.
2
Так как параметр т изменяется вдоль стенки, необходимо потребовать выполнения условия: С 2 = 0.
Следовательно, у кр = С16 ст = , где
С1 = УЬ.
1 26 ст
Тогда произвольная плиния тока определится уравнением
У k = кС16 ст = С16 k ,
где 6к = k6ст, 0 < k < 1 .
k = 1 соответствует крайней линии тока, проходящей вдоль стенки;
k = 0 соответствует оси симметрии потока. В таком случае произвольная точка D в области течения потока определяется ^й линией тока и т-й эквипотенциалью.
В плоскости годографа скорости по параметрам 6 k и т м фиксируется линия тока и эквипотенциаль:
2
х
0
у k = ci0 k;
Ф M =
C1h0
2Hn
ln-
1 -Т.
1 -Т.
Для перехода в физическую плоскость течения потока используем комплексную дифференциальную связь между физической плоскостью и плоскостью годографа скорости [5]:
d ( x + iy) = ^ d ф + i-^0- d yj 1 e
(6)
Полагая в формуле (6) d у = 0, т.е., идя вдоль линии тока, получим систему дифференциальных уравнений вдоль произвольной линии тока:
dx = -
cos 8
V2gH0
dy = -
sin 8
V2gH0
-d ф;
-d ф,
(7)
где т = -
V2
2 ёН о
Для фиксации произвольной линии тока в системе уравнений (7) полагаем 6 = 6 к. В результате из системы (7) следует система дифференциальных уравнений:
dx = -
cos 6,
■у d ф;
dy = -
sin 6,
(8)
V2gH0
-yT dф.
Учитывая, что
dф = -
C1h0 2H
ln-
1 — Т 1 — Т
C1h0 1 — 3т 'щ0 т(1 — т) 2
d т ,
и, интегрируя систему (8), получим в квадратурах:
x n x Ь —
yD — Ук =
C1h0 Т M cos 6 k J Т В 3т —1
2H 0 Т 32 (1 — Т)
C1h0 Т M sin6 k J Т В 3т —1
2H 0 Т 32 (1 — т)
-d т;
(9)
-d т,
где хм - значение параметра в точке D на пересечении к-й линии тока и ьй эквипотенциали; 6 к - значение параметра 6 в точке D; хЕ,, уЕ1 - координаты точки D; хк, ук - координаты точки К на начальной эквипотенциали.
Из геометрических соотношений можно определить координаты хк, ук , если известен радиус эквипотенциали R и угол линии тока 6к по формулам:
(xk = R cos 8 k - R cos 8 ст = R (cos 8 к - cos 8 ст j;
Ut = R sin 8 k.
Беря интегралы в системе (9) и пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, окончательно получим выражения для определения координат точки D:
x п = хь +
C1h0 2H
cos 8
C\h0 ■ p. yD = yk +T1rsm6к
2Hn
Значения параметра х м определяем из формулы h
хм = 1 —м, где hм - глубина потока в точке М на
Н о
оси симметрии потока. Параметры 6 к и hм задаем произвольно в долях угла 6 ст и глубины hB.
Из системы (10) в частном случае 6 к = 0, т.е. на оси симметрии потока следует:
у D = 0;
C1h с
2H
2
2
LM
(1 —ТM ) ТВ2 (1 — ТB ).
(11)
Уравнение (11) представляет собой закон распределения глубин и скоростей потока вдоль его оси симметрии, так как, задаваясь х м , определяются
глубина hм и скорость Vм по формулам:
Vм =х ;
hм = Н0 (!"хм)•
Из системы уравнений (10) следует, что:
- в случае бурного растекания потока глубины падают, скорости увеличиваются вдоль течения потока;
параметр х ^ 1, h ^ 0, V ^ Vmax = ^2ёН0 ;
- при малых углах расширения 6 ст < 6 0 параметры потока на линии сопряжения потоков АВС равны V0, h0, т.е. поток деформируется без изменения скоростей и глубин; таким образом, образуется мостооб-разный участок АВСО, ограниченный прямой линией и дугой окружности;
- степень падения глубин вдоль оси симметрии потока зависит от параметра х 0, равно как и от числа
V 2
Фруда Fe = -О- = gh с
2т О 1 —ТГ
- при х м ^ 1, хм, Ум . Вдоль граничной линии тока, как для частного случая, из системы (10) следует:
2
т
х
х
x
Т
х
2
х
d
2
2
x г, _ x и +
C1h о 2Hn
cos 8,
(!"тм) тв (1 "тв).
yD = Ук +
C1h0 2Hn
sin 8,
(! "тM) тв2 (1 "тв).
ГДе Хк = 0 Ук = R Sin 8 ст = "2.
Результаты экспериментов, проведенных на экспериментальной установке в НГМА, показывают достаточную для практики расчета гидротехнических сооружений адекватность модели реальному течению потока.
Настоящая работа имеет важное теоретическое и прикладное значение. Решение задачи увеличивает спектр задач, решаемых аналитическим методом с использованием системы уравнений в плоскости годографа скорости.
Метод, используемый в работе, позволяет вместо применяемых численных методов и полученных ре-
зультатов в виде таблиц, массивов, получать удобные для пользователей формулы для расчета любых параметров потока и для анализа процесса течения потока в целом.
В последующих работах покажем, как трансформируется решение задачи в случае учета сил трения потоку и уклона дна русла с расширением.
Литература
1. Коханенко В.Н., Волосухин Я.В., Ширяев В.В., Коханенко Н.В. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков / Под общ. ред. д-ра техн. наук, профессора В.Н. Коханенко. Ростов н/Д., 2007.
2. Ширяев В.В., Мицик М.Ф., Дуванская Е.В. Развитие теории двухмерных открытых водных потоков / Под общей ред. В.В. Ширяева. Шахты, 2007.
3. Емцев Б.Т. Двухмерные бурные потоки. М., 1967.
4. Высоцкий Л.И. Управление бурными потоками на водо-
сбросах. М., 1977.
6 июня 2008 г.
Коханенко Виктор Николаевич - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой Донского государственного аграрного университета, пос. Персияновский. Тел. 3-55-21.
Папченко Игорь Владимирович
пос. Персияновский
ассистент Донского государственного аграрного университета,
Папченко Наталья Геннадиевна - ассистент Донского государственного аграрного университета, пос. Персияновский
2
2
т
2
2
т
