CC BY
127
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
УДК 621.791.09:621.785.375
М. Г. МАЛЬГИН1*, К. В. МЕДВЕДЕВ2*
1 MIDAS Information Technology Co., Ltd. MIDAS IT Tower-Pangyo Seven Venture Valley, 633 Sampyeong-dong Bundang-gu, Seongnam-si, Gyeonggi-do, 463-400, Korea, тел. +82 31 789 19 92, e-mail [email protected]
2 Каф. «Мосты и туннели», Национальный транспортный университет, ул. Суворова, 1, Киев, Украина, 01010, тел/факс +38 (044) 280 79 78, эл. почта [email protected]
МОДЕЛЬ РАСЧЕТА МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА УСТАЛОСТЬ ПО ЛОКАЛЬНЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ
Цель. Целью работы является разработка новой модели расчета сварных узлов мостовых конструкций на усталость по локальным напряжениям. Методика. Проведено теоретическое исследование. Дано описание решения основных выполняемых задач расчета на усталость: разработка расчетной модели конструкции для исследования общей и местной нагруженности элементов; назначение расчетных схем нагружения подвижными нагрузками; назначение расчетных характеристик сопротивления усталости; определение расчетного срока службы конструкции. Приводится пример расчета ресурса типового железнодорожного пролетного строения. Результаты. Проанализированы основные недостатки существующей нормативной модели расчета на усталость, обосновано и предложено ее развитие. Научная новизна. Разработана и обоснована новая модель расчета на усталость сварных узлов мостовых конструкций. Практическая значимость. Предложенная модель позволяет повысить точность расчета ресурса мостов, учитывая особенности конструктивного оформления элементов и их местное НДС, а также позволяет оптимизировать конструктивные формы узлов.
Ключевые слова: усталостная долговечность; мостовые конструкции; сварной узел; метод конечных элементов
Введение
Известно, что в сварных узлах конструкций различного назначения, отвечающих техническим условиям на их изготовление (несущие элементы подвижного железнодорожного состава, пролетные строения мостов, промышленные краны и пр.), в процессе назначенных сроков службы возникают трещины усталости [1-4]. Для поддержания их в исправном состоянии разрабатываются правила их ремонта и эксплуатации. На сегодняшний день проблема повышения надежности элементов железнодорожных и автодорожных мостов является одной из наиболее актуальных.
Основной причиной появления преждевременных усталостных трещин в мостовых конструкциях является то, что уже на стадии проектирования не достаточно полно учитывается действительная работа элементов при эксплуатационном нагружении. Многочисленные экспериментальные и численные исследования действительной нагруженности элементов мостов показывают, что в местах наблюдаемых уста-
лостных повреждений может возникать сложное местное нагружение элементов. При прохождении подвижной нагрузки по мосту, в местах наблюдаемых повреждений, на ряду с основными действующими напряжениями, возникают местные дополнительные напряжения. Закономерности изменения местного напряженнодеформированного состояния (НДС) в зонах повреждения обусловлены двумя основными факторами: конструктивным и силовым, а именно особенностями конструктивных форм узла и способом передачи нагрузки на каждый его элемент при прохождении подвижной нагрузки. Наиболее выражена роль местных дополнительных напряжений в тех сварных узлах конструкций, в которых реализовывается пространственный изгиб элементов, стесненное кручение, а так же комбинация действия касательных и нормальных напряжений в плоскости элементов.
В железнодорожных пролетных строениях мостов, наиболее часто, местные дополнительные напряжения проявляются в стенках балок, в местах прикрепления поперечных ребер
© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
89
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
жесткости [1, 2]. Местное нагружение стенки в тех местах характеризуется тем, что помимо ее общего изгиба в плоскости, возникает и местный поперечный выгиб стенки, приводящий к возникновению в ней стеснения деформаций и дополнительных напряжений в зонах сварных соединений (рис. 1). Данный выгиб возникает при прохождении колеса тележки вагона над узлом. Трещины усталости образовываются по линии сплавления шва (см. рис. 1).
Рис. 1. Местная деформация стенки балки и наличие трещины усталости в зоне сварного соединения
В автодорожных мостах наиболее часто местные дополнительные напряжения проявляются в узлах ортотропных плит (ОП) проезжей части [2, 3]. Местное воздействие транспорта на конструкцию ОП приводит к возникновению стесненного кручения продольных ребер жесткости в местах их пересечения со стенкой поперечной балки ОП (рис. 2). В результате возникают местные дополнительные деформации элементов.
Рис. 2. Местная деформация элементов узла ОП
В местах образования трещин (рис. 3), в зонах сварных соединений, возникают местные допол-
нительные напряжения, которые накладываются на основные от общей деформации элементов ОП.
Рис. 3. Наличие трещин усталости в зонах сварных соединений элементов ОП
Фактическое НДС элементов мостов в потенциально опасных зонах (в зонах образования трещин) при прохождении подвижной нагрузки может быть представлено как:
( с X ^
х ху _
X с
V х yJ
f _общ ^х
общ
V ~ху
_общ ^
lxy
общ
су J
/^^.мест
_мест
X
V х
X
мест
(1)
где сх, су, хху - полные напряжения в элементе; <бщ, с°убщ, хХбщ - напряжения в элементе от общей нагруженности конструкции;
мест мест мест
с х , с , х - напряжения в элементе от
местной нагруженности конструкции.
Усталостные повреждения элементов конструкции относятся к предельному состоянию, приводящему к разрушению всего сооружения. Соответственно модель расчета мостов на усталость должна способствовать назначению таких конструктивных решений элементов и узлов, которые не будут подвержены повреждениям за весь проектный срок службы моста. Условием, по которому осуществляется оценка сопротивляемости того или иного элемента конструкции усталости, является неравенство в котором внешние переменные усилия в элементе не должны превышать характеристики сопротивления усталости элемента. Данное условие имеет вид:
сдейств “ сдопуст , (2)
где сдейств являются действующими переменными напряжениями в элементе при нагружении, а сдопуст - предельно допустимой величиной напряжений.
Действующий нормативный подход к расчету мостовых конструкций железнодорожных и автодорожных мостов ДБН В.2.3-26:2010 [5] не позволяет учесть влияние местных дополни© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
90
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
тельных напряжений на долговечность конструкции. Согласно нормам проектирования расчет сдейств в левой части выражения (2) сво-
дится к определению в потенциально опасных местах конструкции номинальных напряжений, действующих в расчетных сечениях несущего элемента конструкции (рис. 4). В выражении (1) такие напряжения характеризуются как общие в сечении собщ. Местные напряжения
мест
с игнорируются.
а) б)
Рис. 4. Пример распределения номинальных напряжений в расчетных сечениях элементов мостов:
а - в главной балке пролетного строения; б - в продольном ребре жесткости ОП
В свою очередь общие напряжения в сечениях назначаются нормами исходя из требования рассмотрения общей нагруженности элементов при условных схемах загружения мостов подвижными нагрузками. Характерной особенностью схемы нормативной нагрузки железнодорожного подвижного состава (СК) является то, что группу сосредоточенных сил от локомотива и вагонов заменяют на эквивалентную равномерно распределенную нагрузку. В рамках определения местной нагруженности узлов железнодорожных мостов такая постановка нагружений не является приемлемой, так как возникает необходимость в анализе закономерностей изменения местного НДС элементов при различном положения колесной нагрузки на конструкции. То есть важно учитывать в модели прохождение схемы сосредоточенных сил от колес локомотива и вагонов.
В правой части выражения (2), согласно нормам проектирования, допустимые напряжения сдопуст определяются путем умножения
расчетного сопротивления стали на понижающий коэффициент у w:
сдопуст ■Ry ■m , (3)
где Ry - расчетное сопротивление стали; m -коэффициент условий работы; уw - коэффициент понижения расчетного сопротивления стали за счет усталости, который определяется по следующей зависимости:
У =------------1-----------< 1 (4)
1w £.3-[(ар±5)-(аРт 5)р] ’ 1 '
где а, 5 - коэффициенты, учитывающие марку стали и не стационарность нагружения; Р - эффективный коэффициент концентрации напряжений; р - коэффициент асимметрии цикла при переменных нагружениях; ^ - коэффициент, равный 1,0 для железнодорожных мостов; Я - коэффициент, зависящий от длины загружения линии влияния при определении переменных напряжений.
В выражении (4) основным параметром отвечающим за снижение расчетного сопротивления стали Ry , из-за наличия различных конструктивных форм сварных элементов, является коэффициент Р. Он определяется экспериментальным
путем в лабораторных условиях. Образцы, используемые для получения значений этого коэффициента имели обобщенные формы конструктивных элементов и они испытывались при простых видах нагружения, а именно при осевом растяжении-сжатии или изгибе [6-8]. В рамках нормативного расчета допускается, что все элементы мостов, испытывающие переменные воздействия, будут подвержены простому виду нагружения, исключая возможность возникновения местных дополнительных силовых факторов.
Нормативная модель расчета на усталость автодорожных мостов так же основывается на анализе общей нагруженности элементов. Согласно условию (2) действующие размахи переменных номинальных напряжений Асг- в элементе не должны превышать ограниченный размах переменных напряжений AcD при заданном числе циклов нагружения. При этом размахи AcD назначаются исходя из расчетных кривых усталости выраженных в тех же номинальных напряжениях.
Постановка расчета мостов в условиях общей нагруженности элементов по номинальным
© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
91
________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
напряжениям вполне удовлетворяет требованиям обеспечения несущей способности элементов конструкций по прочности и устойчивости. Однако не во всех случаях обеспечивает сопротивление усталости элементов сварных узлов. Трещины усталости зарождаются в локальных зонах узлов, где возникают переменные местные дополнительные напряжения от сосредоточенной передачи нагрузок или из-за относительных перемещений (деформаций) отдельных элементов. Поэтому, расчет на усталость должен выполняться не по номинальным напряжениям, а локальным, которые учитывают особенности местного нагружения элементов во взаимосвязи с принятыми формами сварных узлов.
Таким образом, представляется актуальным совершенствование модели расчета на усталость сварных узлов мостовых конструкций с более полным учетом компонентов напряженно-деформированного состояния его элементов в условиях переменных эксплуатационных воздействий. В основу совершенствования модели должен быть положен расчетный анализ с использованием метода конечных элементов.
Цель
Целью данной работы является разработка и обоснование новой модели расчета на усталость сварных узлов мостовых конструкций по локальным напряжениям на основе использования метода конечных элементов.
Методика
Современное развитие модели расчета сварных узлов, как железнодорожных, так и автодорожных мостов на усталость, должно основываться на едином подходе. В связи с тем, что наиболее точный расчет должен выполняться с учетом действительной переменной нагружен-ности элементов, следует учитывать два типа напряжений - номинальные и локальные. Номинальные напряжения следует рассматривать, когда элемент подвержен только лишь общей нагруженности. Локальные напряжения в зоне сварного соединения, рассматриваются в случае когда элемент, помимо общей нагруженно-сти, подвержен местным дополнительным факторам, приводящим к появлению местных дополнительных напряжений.
Для нахождения значений левого и правого условия (2) должны решаться четыре задачи:
1. Разработка расчетной модели мостовой конструкции для исследования общей и местной нагруженности элементов сварного узла;
2. Назначение расчетных схем нагружения конструкции подвижными нагрузками и определение величины и повторяемости переменных напряжений в потенциально опасных зонах (левая часть условия (2));
3. Назначение расчетных характеристик сопротивления усталости, ограничивающих действия возможных переменных напряжений в период эксплуатации конструкции (правая часть условия (2));
4. Выполнение сравнения левой и правой части условия (2) и определение расчетного срока службы конструкции.
Ниже, на примере расчета на усталость сварных узлов железнодорожных мостов, описывается методика выполнения описанных выше задач для расчета по локальным напряжениям.
Особенностью решения первой задачи является то, что в процессе деформации элементов узла, в зонах сварных соединений, возникает объемное НДС. Оно характеризуется: деформациями элементов в виде растяжения-сжатия, изгиба и кручения, а так же изменением размеров сечения элементов в результате их поперечной деформации (в соответствии с эффектом Пуассона). Результаты различных исследований [9-11] в которых проводилось сравнение местного НДС конечно-элементных моделей сварных узлов, с аппроксимацией различными типами элементов (оболочечными и трехмерными), с натурными экспериментами, показывают, что наиболее точно выявить локальный характер распределения напряжений удается именно с использованием трехмерных конечных элементов (КЭ). Таким образом, для расчета местного НДС, сварные узлы мостовых конструкций должны быть представлены именно трехмерными КЭ (рис. 5).
Рис. 5. Пример аппроксимации узла конструкции в зоне сварного соединения трехмерными КЭ
© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
92
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
В свою очередь, возникают затруднения при использовании трехмерных КЭ при описании ими всей расчетной модели моста, так как такая подробная аппроксимация конструктивных элементов приводит к значительной длительности вычислений. Выполнять расчеты с такой подробной аппроксимацией всех узлов и элементов не представляется возможным.
В этой связи, применительно к расчету локальных напряжений в сварных узлах мостовых конструкций, была разработана методика построения расчетной модели из разнотипных КЭ с их объединением абсолютно-жесткими телами (АЖТ) в виде плоских сечений [12]. Для анализа действительной работы исследуемого сварного узла, используя стандартную библиотеку КЭ, создается единая пространственная расчетная модель всей конструкции, в которой исследуемый сварной узел аппроксимируется трехмерными КЭ, фрагмент конструкции включающий узел - оболочечными КЭ, а основная часть конструкции пространственными стержневыми КЭ (рис. 6). При этом АЖТ в виде плоских сечений обеспечивает передачу наследственной информации о НДС от одного фрагмента конструкции к другому.
модель
фрагмента конструкции
трнмфтш модель сварного утла
Рис. 6. Схема модели конструкции с АЖТ для расчета локальных напряжений в сварных узлах:
А - фрагмент из стержневых КЭ; Б - фрагмент из оболочечных КЭ; В - фрагменты из трехмерных КЭ
Результаты сопоставительного численного анализа представленной модели с данными расчета моделей с полноразмерной аппроксимацией элементов конструкции трехмерными КЭ, в рамках верификационных тестов, подтверждают возможность применения такой модели при расчете локальных переменных напряжений в сварных узлах конструкций. В расчетной модели АЖТ в виде плоских сечений обеспечивает адекватную передачу внешних силовых воздействий от фрагмента к фрагменту и дает возможность исследовать локальное распределение напряжений в зоне сварных соединений с учетом пространственной работы всей конструкции.
Решение второй задачи, связанное с назначением схем нагружения мостов подвижными нагрузками, заключается в поэтапном исследовании как общей, так и местной нагруженности элементов конструкции.
Известно, что нормативная подвижная нагрузка СК создавалась исходя из конкретных перспективных схем подвижных экипажей на основе прогноза развития подвижного состава [13, 14]. На перспективу, для колеи 1524 мм, были намечены 8-осный электровоз с осевым давлением 33 тс и однородные грузовые 6 и 8осные вагоны с осевым давлением 30 тс (рис. 7), с интенсивностью движения 100 поездов в сутки.
а)
(Ь сЬ сЬ сЬ________сЬ сЬ сЬ (Ь
_20Crt^_^000_^ 2900 ^ _2000^ _2000^ ^2000^
___________________13900_________________
б)
в)
Рис. 7. Схемы экипажей нормативной подвижной нагрузки С-14:
а - 8-осный электровоз; б - 6-осный грузовой вагон; в - 8-осный грузовой вагон
В последующем, для упрощения процедуры загружения, данные схемы были переведены в эквивалентные равномерно распределенные нагрузки. Исходя из этого, не имеется ограничений в применении приведенных схем локомотива и вагонов для расчета на усталость мостов в условиях местного воздействия колес вагонов, при проектировании новых мостов.
В свою очередь, согласно [8], при создании действующего нормативного метода расчета на усталость, предусмотрели то, что мосты рассчитываются на нагрузку подвижного состава с учетом перспективы, а работают они на усталость в течении ряда лет при меньших нагрузках, не достигающих нормативных значений. За это отвечает коэффициент режима нагрузки
© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
93
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
£ и он учитывается при определении коэффициента а в выражении (4).
R
а=-------u----. (5)
2
В выражении (5) кр - коэффициент неоднородности материала, с-1 - амплитуда ограниченных напряжений цикла при симметричном цикле нагружения (р = -1) на базе 2»106 циклов нагружения, £, - коэффициент режима нагрузки, Ru - временное сопротивление стали. Согласно [7, 8], коэффициент £, находится в диапазоне 1,4...1,5 и в нормах проектирования заложена величина 1,42, которая повышает коэффициент уw. Важно отметить, что в выражении (5) все параметры, за исключением £,, относятся к расчетному пределу выносливости сварного соединения. Если принять в рассмотрение сварное соединение из низколегированной стали, тогда в зависимости от коэффициента асимметрии цикла р от -1,0 до 1,0, коэффициент £, повышает расчетный предел выносливости соединения от 1,0 до 1,42, что можно наблюдать на полученном графике рис. 8.
Рис. 8. Повышение коэффициента уw коэффициентом £, в зависимости от различной асимметрии цикла действующих переменных напряжений
Отсюда следует, что коэффициент £, можно отдельно использовать в правой части условия (2) при расчете на усталость элементов мостов.
В расчетах на усталость эксплуатируемых железнодорожных мостов, для определения их расчетного ресурса с учетом накопления усталостных повреждений в элементах, следует учитывать фактические схемы поездов, которые проезжают на конкретном железнодорожном участке. Либо же учитывать эталонный поезд с определенной схемой локомотива и грузовых вагонов.
В рамках расчета общей переменной нагру-женности элементов моста составляется упрощенная расчетная модель, с аппроксимацией пространственными стержневыми КЭ основных несущий элементов. Выполняется статическое нагружение назначенной схемой поезда в соответствии с очертаниями линий влияния общих усилий в сечении элемента, либо динамический расчет в котором прокатывается схема поезда вдоль моста, с последующим анализом осциллограмм переменных напряжений. Результаты данного расчета позволят проанализировать какое положение схемы вагонов поезда могут занимать в пределах моста для последующего выявления максимальных и минимальных локальных переменных напряжений.
Для исследования закономерностей изменения местного НДС элементов сварного узла и выявления дополнительных напряжений, осуществляется местное нагружение элементов конструкции. Для этого строятся линии влияния местных деформаций (выгибов) элементов (см. рис. 1 и 2) и локальных напряжений путем прокатывания единичной нагрузки по модели с АЖТ (см. рис. 6). По результатам этого осуществляется местное приложение нагрузки от колес вагонов и определяются локальные максимальные и минимальные переменные напряжения в зоне сварных соединений. О том, в каком именно месте определяются локальные напряжения в сварном узле, пойдет речь далее.
Решение третьей задачи сводится к назначению расчетных характеристик сопротивления усталости (ХСУ) исследуемого сварного узла, то есть назначению адопуст в правой части
условия (2).
Местные дополнительные напряжения оказывают влияние на формирование зоны предразрушения в потенциально опасных местах сварных узлов, поэтому расчет на усталость следует выполнять с их учетом. Для учета местных дополнительных напряжений расчетные переменные напряжения (левая часть условия (2)) и расчетные ХСУ (правая часть условия (2)) должны выражаться в одних и тех же локальных напряжениях. В инженерной практике расчета принято, что «горячей точкой» в зоне предразрушения качественных сварных соединений (где зарождаются макротрещины), является линия перехода от металла шва к основному металлу. Особенностью напряжений в этой точке (локальных напряже-
© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
94
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
ний) является то, что они зависят от разнообразия возможных геометрических и физикомеханических особенностей сварных соединений. Сварной шов может иметь разнообразную форму поверхности (близкая к плоской, выпуклая, вогнутая и др.), различные соотношения катетов шва, различные радиусы закругления в зоне перехода от металла шва к основному металлу [6, 15, 16]. Так же, в зоне линии сплавления шва, имеет место неоднородность механических свойств основного металла, зависящая от режимов сварки, а так же различные уровни остаточных напряжений. Такие факторы относятся к технологическим и их значения имеют определенный разброс, что носит во многом случайный характер. То есть теоретически, или практически, определить фактическое напряженное состояние по линии сплавления шва затруднительно, из-за отмеченных неопределенностей.
В связи с этим были проведены исследования связанные с установлением расстояния от линии сплавления шва удовлетворяющее условиям, при которых геометрические и физикомеханические особенности шва перестают сказываться на величину локальных напряжений. При этом удаление от шва было бы достаточным для учета влияния местных дополнительных напряжений на долговечность. Установление такой точки основывалось на численных исследованиях закономерностей распределения локальных напряжений в сварных соединениях, оформленных в соответствии с техническими условиями на изготовление мостовых конструкций [3, 5]. Результаты исследования закономерностей в наиболее распространенных типах сварных соединений (тавровые, крестообразные и с приваркой продольных ребер) показали, что на удалении от линии сплавления шва более 0,17l (t - толщина основного металла), различные геометрические формы шва практически не влияют на величину локальных напряжений (рис. 9).
Рис. 9. Схема определения локальных напряжений в зоне сварного соединения
Установленное положение позволило назначить теоретические коэффициенты концентрации напряжений a017t, для разных групп сварных соединений, с помощью которых может осуществляться перевод кривых усталости из номинальных напряжений в локальные. Перевод кривых выполняется путем умножения теоретического коэффициента концентрации напряжений a0,17t на ограниченный размах напряжений,
выраженный в номинальных напряжениях AcD при заданном числе циклов нагружения, то есть Сдопуст = a0,17t х Acd . Значения cD для разных
групп элементов могут использоваться по данным действующих норм проектирования мостов. В таком случае уравнение расчетной кривой усталости, выраженной в локальных напряжениях c017t, примет вид:
N = Nd х
Ґ \п
a0,17t AcD
Ac,
0,17й
(6)
где Ni - число циклов до образования трещины усталости в узле при действующем размахе локальных переменных напряжений Ac017ti. В
этом случае кривая усталости только лишь эк-видестантно сместится вверх (рис. 10), так как углы наклонов кривой в логарифмической шкале остаются неизменными. В расчете на усталость локальные переменные напряжения c0,17t учитывают концентрацию напряжений,
вызванную различными формами сварных узлов, а кривые усталости учитывают, отмеченные выше, неопределенности связанные с формой сварного шва и физико-механической неоднородностью материала.
Рис. 10. Смещение кривой усталости вверх при переводе ее из номинальных напряжений в
локальные c0,17t
© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
95
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
Значения предлагаемых коэффициентов a017t для тавровых (крестообразных) и с приваркой продольных ребер сварных соединений приведены в табл. 1.
Таблица 1
Значения коэффициентов концентрации напряжений a017t для пересчета ХСУ из
номинальных напряжений в локальные
Тип
сварного соединения
Значения коэффициентов
a0,17t
1,1
Тавровое и крестообразное соединение
С приваркой продольных ребер
1,4 для l < 100 мм
1,25 для l > 100 мм
Данные типы соединений составляют основу различных сварных узлов мостовых конструкций с угловыми швами, в которых трещины усталости зарождаются наиболее часто. В этой таблице, применительно к тавровым соединениям, коэффициент a017t составляет 1,1.
Для соединений с приваркой продольного ребра, коэффициент a017t составляет 1,4, однако,
в случае, когда длина ребра более 100мм, коэффициент следует снижать на 11 %, в результате чего он составляет 1,25.
В условиях действия сложного характера нагружения элемента, в котором при каждом цикле нагружения одновременно проявляются комбинация действия нормальных и касательных напряжений, в расчете следует оперировать потоками главных напряжений:
_ a0,m,x +a0,m,y —
a0,m,1,2 = ~ —
4^
(7)
a0,17t,x a0,17t,y
)2 + 4 • T2
/ L0,17t ,xy
В инженерной практике принято, что, в случае, когда траектория действия главных напряжений отклоняется от оси перпендикулярной к
линии сплавления шва, в зоне образования трещины, на угол ф=—60° (рис. 11), кривая усталости может приниматься как для соединения испытанного при действии усилий под углом ф = 0° [17].
Л \Аа уТ|Жілл|Мі действии * ммнн* нйП(Мж*иий / Трощити уст мости / /
ШІШПГЇЇШПППШТГ JUUMLUlllLUlUUUllI
ІП111ШП1111 [ІП1ШПП111II1111ШП1IEII1111ІП
Рис. 11. Схема определения кривой усталости для сварного соединения при траектории действия главных напряжений под углом ф = —60°
Проведенный сопоставительный анализ результатов расчета долговечности сварных узлов по локальным напряжениям a017t с результатами лабораторных испытаний образцов-фрагментов различных конструктивных форм в условиях простого и сложного НДС подтвердил возможность применения предлагаемой модели назначения расчетных ХСУ. Локальные напряжения a017t позволяют учесть влияние местных дополнительных напряжений и установить долговечность узлов в приемлемые сроки.
Заключительной (четвертой) задачей методики является сравнение левой и правой части условия (2). Применительно к проектируемым мостовым конструкциям расчет на усталость сварных узлов по локальным напряжениям предлагается выполнять на основе выражения:
. ^-a0,17t -A°D •m
Aa0,rn <---------------
У г
(8)
где уг - коэффициент надежности по ответственности. Коэффициенты m и уг назначаются нормами проектирования. В случае учета накопления усталостных повреждений в сварном узле, следует использовать линейное суммирование повреждений в виде:
«1
N2 N3
= D. N
(9)
где « - число циклов, соответствующее размаху действующих локальных переменных напряже© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
96
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
ний Дс017й при нестационарном нагружении;
N - число циклов до образования трещины усталости при действующем размахе локальных переменных напряжений. Суммарная величина относительных повреждений в правой части выражения (9), для сварных соединений с высоким уровнем остаточных напряжений, может приниматься равной D = 0,5 [17].
Ниже приводится применение предлагаемой модели расчета сварных узлов на усталость по локальным напряжениям на примере железнодорожного болтосварного решетчатого пролетного строения (ТП № 690) пролетом 55 м [18]. В конструкции пролетного строения исследуемым являлся узел прикрепления поперечных ребер жесткости к стенке продольной балки балочной клетки проезжей части в первом участке (рис. 12, а). Данный участок включает в себя две продольные симметричные двутавровые балки длиной 5500 мм с поясами
а)
300x16 мм и стенкой 848x10 мм. К стенкам балок, при помощи сварки, угловыми швами с двух сторон прикрепляются поперечные ребра жесткости толщиной 10 мм, с вырезами на концах. Концы ребер примыкают к верхнему поясу через «сухарики». Продольные балки прикрепляются высокопрочными болтами к поперечным балкам, размеры поясов и стенки которых составляют 320x32 мм и 816x12 мм. Продольные балки объединяются между собой системой поперечных и горизонтальных связей из прокатных уголков 90x90x9 мм. В конструкции балочной клетки рассматриваемый узел расположен примерно в трети пролета продольной балки (см. рис. 12, б). В узле размеры катетов углового шва составляют 10 мм, а соотношение катетов 1:1. Расстояние от края начала выреза в ребре до низа верхнего пояса составляет 164 мм (см. рис. 12, в).
б) в)
Рис. 12. Расположение рассматриваемого участка балочной клетки решетчатого пролетного строения (а), расположение исследуемого сварного узла (б) и его основные размеры (в)
Для нагружения элементов сварного узла эксплуатационной подвижной нагрузкой была принята схема эталонного поезда на основе рекомендаций НИИ мостов, ЛИИЖТ и НИИЖТ [19]. Согласно рекомендациям, эталонный поезд принято назначать состоящим из локомотива серии ВЛ с осевым давлением P = 270 кН и 30 однотипных 4-осных грузовых вагонов с осевым давлением P = 250 кН. Интенсивность движения составляет 100 поездов в сутки.
Для исследования общей нагруженности пролетного строения, при прохождения эталонного поезда, создавалась стержневая конечно-элементная модель. В свою очередь для исследования местной нагруженности сварного узла создавалась модель из разнотипных КЭ с АЖТ согласно схеме на рис. 6. Для этого, в первом участке балочной клетки (см. рис. 12, а), основные несущие элементы ап-
проксимировались оболочечными КЭ (рис. 13, а), при этом исследуемый узел - трехмерными КЭ (см. рис. 13, б). Для учета адекватной передачи давления от колес тележки вагона на элементы, во фрагменте из оболочечных КЭ учитывались деревянные поперечины из трехмерных КЭ.
а) б)
Рис. 13. Расчетная модель пролетного строения с АЖТ:
а - фрагмент из оболочечных КЭ; б - сварной узел из трехмерных КЭ
© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
97
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
Практика эксплуатации данного типа пролетных строений в условиях интенсивного движения грузового железнодорожного транспорта показывает, что трещины усталости в сварных узлах зарождаются в первые десятилетия после начала эксплуатации [1]. Анализ мест образования трещин показывает, что они зарождаются по линии сплавления шва, практически в пределах начала и конца его скругления (рис. 14, а).
Поэтому локальные переменные напряжения Ac017t рассчитывались на расстоянии
0,17t от линии сплавления шва с двух сторон стенки, согласно схеме на рис. 14, б.
а)
б)
Рис. 14. Линия потенциального образования трещины усталости в узле (а) и схема измерения локальных напряжений по линии на расстоянии 0,171 от линии сплавления шва с обеих сторон стенки балки
Результаты численного анализа нагруженно-сти пролетного строения при прохождении эталонного поезда показали, что характер изменения величины и повторяемости общих и местных переменных напряжений имеет существенное различие. На рис. 15 приведена осциллограмма продольных номинальных напряжений в верхнем и нижнем поясе балки при прохождении эталонного поезда.
Рис. 15. Осциллограммы переменных номинальных напряжений в поясах продольной балки при прохождении эталонного поезда
Максимальные напряжения в исследуемом сечении балки от общей нагруженности возникают при положении колеса тележки вагона, как показано на рис. 16, а. При этом минимальные напряжения возникают при положении средины вагона поезда над срединой продольной балки (см. рис. 16, б).
а)
Рис. 16. Положение схемы подвижной нагрузки для получения:
а - максимальных переменных напряжений в узле; б - минимальных переменных напряжений в узле
Результаты численных исследований местной переменной нагруженности сварного узла в продольной балке показывают, что положение колеса тележки вблизи поперечного ребра приводит к местному выгибу стенки у выреза и появлению дополнительных напряжений.
Данный выгиб возникает от местного кручения пояса балки, что вызывается поперечным изгибом мостового бруса [1]. Максимальный поперечный выгиб стенки возникает при положении колеса на расстоянии около 200 мм от оси поперечного ребра в сторону середины поперечной балки. На рис. 17 представлены максимальные поперечные деформации стенки балки у выреза в поперечных ребрах жесткости.
Рис. 17. Поперечные перемещения стенки балки у выреза в поперечных ребрах жесткости
© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
98
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
На рис. 18 приведен характер распределения местных поперечных напряжений с наружной и внутренней стороны стеки балки у выреза в ребрах, вызванных ее максимальным местным выгибом из плоскости. Из данных закономерностей напряжений видно, что характер распределения напряжений по высоте существенно различается.
Рлсстояние їм липни сплавления шил, мм
Рис. 18. Характер распределения местных поперечных напряжений в сварном узле
С наружной стороны стенки, вблизи линии сплавления шва, возникают сжимающие напряжения, а при удалении от сварного шва возникают растягивающие напряжения. С внутренней стороны стенки поперечные напряжения так же имеют разные знаки по высоте, при этом вблизи линии сплавления шва возникают растягивающие напряжения, которые примерно в два раза превышают напряжения с наружной стороны стенки по модулю.
Также существенное расхождение наблюдается и в закономерностях распределения местных продольных напряжений в зоне сварного шва (рис. 19
Рис. 19. Характер распределения местных продольных напряжений в сварном узле
). С наружной стороны стенки возникают максимальные сжимающие напряжения, которые на удалении от шва постепенно снижаются. При этом с внутренней стороны стенки, у линии
сплавления шва, возникают незначительные растягивающие напряжения и с удалением от сварного шва проявляются сжимающие напряжения с постепенным их увеличением.
Представленное выше наглядно демонстрирует, что местная нагруженность сварного узла существенно зависит от положения колеса тележки вагона в пределах пролетного строения. По результатам анализа локальных напряжений с0т (согласно схеме на рис. 14, б) были выявлены потенциально опасные места образования трещины в сварном узле. Первая точка располагается с наружной стороны балки, в месте действия максимальных продольных сжимающих напряжений. Вторая точка располагается с внутренней стороны стенки балки, в месте действия максимальных поперечных растягивающих напряжений. Результаты расчета долговечности сварного узла в установленных точках показали, что к возможному зарождению трещин усталости приводят именно сжимающие напряжения. На рис. 20 приведена кривая усталости выраженная в локальных напряжениях для сварного соединения с приваркой поперечных ребер и полным проплавлением сварного шва (Aa017D = 88 МПа при 2*10б
циклов нагружения). На кривой усталости представлен размах действующих главных сжимающих напряжений, который составляет Ас017t = 82,6 МПа.
1ХЮ£*05 LO0E+06 1.00Ё+0? 1.00Е+0В l.OOEtOS
Ч не .ю циклов. N
Рис. 20. Кривая усталости сварного узла выраженная в локальных напряжениях с017t для
потенциально опасной зоны с наружной стороны стенки балки
При данном уровне расчетных переменных напряжений число циклов, до образования трещины усталости, составляет примерно 2.4*10б. С учетом того, что максимальный размах переменных напряжений в узле возникает
© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
99
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
при прохождении каждой пары смежных тележек вагона, и рассмотрении прохода по пролетному строению 100 эталонных поездов в сутки, каждые 365 дней в году, появление трещины усталости ожидается примерно через 2 года эксплуатации.
На рис. 21 приведена кривая усталости выраженная в локальных напряжениях для сварного соединения с приваркой продольных ребер и полным проплавлением сварного шва (Ас017tD = 100 МПа при 2*106 циклов нагружения).
з
ъ
10
l,Q0E*Q5 1.00E+Q6 l-OOE-tO? 1,Q0E*Q3 1.Q0E+09
Число шклов. N
Рис. 21. Кривая усталости сварного узла выраженная в локальных напряжениях с017t для
потенциально опасной зоны с внутренней стороны стенки балки
На кривой усталости представлен размах действующих главных растягивающих напряжений, который составляет Ac017t = 37 МПа.
Как видно из рис. 21, уровень напряжений ниже расчетной кривой усталости, в результате трещины в этом месте не ожидается.
Такая оценка ресурса конструкции предупреждает о зарождении трещины усталости в приемлемые сроки и обосновывает недостаток принятого конструктивного решения сварного узла. При этом расчет на основе понижающего коэффициента уw (4) не отражает исчерпание несущей способности сварного узла по выносливости, даже с учетом нагружения пролетного строения нормативной подвижной нагрузкой С14.
Результаты
1. Нормативный метод расчета мостов на усталость не всегда позволяет учесть действительную работу элементов мостов и установить потенциально опасные места в их узлах. Это связано с тем, что не учитывается влияние местных дополнительных напряжений в эле-
ментах, вызванных особенностями их конструктивных форм во взаимосвязи с местным нагружением.
2. Для учета местных дополнительных силовых факторов в узлах следует выполнять расчет по локальным напряжениям в зонах сварных соединений, так как потенциально опасные зоны сосредотачиваются именно в тех местах.
3. Расчет на усталость по локальным напряжениям предлагается выполнять по главным напряжениям, определяемым на расстоянии 0,17t (t - толщина основного металла) от линии сплавления шва. При этом расчетные характеристики сопротивления усталости следует назначать на основе пересчета кривых усталости из номинальных напряжений в локальные ст017t.
4. Для учета действительной нагруженности узлов в расчете следует оперировать не равномерно распределенными подвижными нагрузками, как принято в нормах, а схемами реальных поездов, отражающих группу сосредоточенных сил от колес локомотива и вагонов. Важно устанавливать закономерность изменения величины и повторяемости напряжений в элементах от местного положения колес поезда на мосту.
5. Расчет локальных напряжений в сварных узлах следует рассчитывать на основе модели узла с аппроксимацией их трехмерными КЭ. Для отражения адекватной нагруженности узла, с учетом пространственной работы всей конструкции, при различных схемах положения подвижной нагрузки, расчетную модель рекомендуется описывать фрагментами из разнотипных КЭ, с их объединением АЖТ в виде плоских сечений.
Научная новизна и практическая значимость
Разработана и обоснована новая модель расчета на усталость сварных узлов мостовых конструкций по локальным напряжениям. Данная модель позволяет повысить точность расчета ресурса мостов учитывая особенности конструктивного оформления элементов во взаимосвязи с их местным НДС. Это позволяет оптимизировать конструктивные формы элементов мостов на основе ранжирования по долговечности сварных узлов при многовариантной проработке, что весьма актуально в целях экономии материалов на стадии проектирования мостов.
© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
100
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
Выводы
Описана методика расчета на усталость сварных узлов мостовых конструкций по локальным напряжениям. Приведены основные задачи методики и их решение. На примере железнодорожного пролетного строения моста выполнен расчет его ресурса.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Мости: конструкції та надійність [Текст] / Й. Й. Лучко, П. М. Коваль, М. М. Корнієв [і ін.]; за ред. В. В. Панасюка і Й.Й. Лучка. -Львів : Каменяр, 2005. - 989 с.
2. Chitoshi, Miki Retrofitting Engineering for Fatigue Damaged Steel Structures [Text] / Miki Chitoshi. -Doc.IIW-XIn-2284r1-09. Version 2010.
3. Корнієв, М. М. Сталеві мости. Теоретичний і практичний посібник з проектування. У двох томах [Текст] / М. М. Корнієв - Київ : Вид-во «Академпрес», 2010. - Т. 1. - 532 с.
4. John, W. Fisher Fatigue Design: Its past, what it is today and it is future [Text] / John W. Fisher. -MCEER . October 4, 2010.
5. ДБН 8.2.3-26:2010. Видання офіційне. Мости і труби сталеві конструкції. Правила проектування. Київ. Міністерство регіонального розвитку, будівництва та житлово-комунального господарства України. - 2011.
6. Труфяков, В. И. Усталость сварных соединений [Текст] / В. И. Труфяков. - Київ : Наук. думка, 1973. - 216 с.
7. Дучинский, Б. Н. Выносливость элементов сварных мостовых конструкций при переменных и знакопеременных напряжения [Текст] / Б. Н. Дубинский // Исследования прочности и долговечности сварных мостовых конструкций : Труды ЦНИИС. - Москва : Трансжелдориздат, 1956. - Вып. 20. - С. 68-162.
8. Евграфов, Г. К. Расчеты мостов по предельным состояниям [Текст] / Г. К. Евграфов, Н. Б. Лялин. - Москва : Трансжелдориздат, 1962. -336 с.
9. Jae-Myung, Lee Comparison of hot spot stress
evaluation methods for welded structures [Text] / Lee Jae-Myung, Jung-Kwan Seo, Myung-Hyun Kim, Sang-Beom Shin, Myung-Soo Han, June-Soo Park, and Mahen Mahendran. - Inter J Nav Archit Oc Engng (2010) 2:200~210. DOI
10.3744/JNA0E.2010.2.4.200.
10. Fricke, Wolfgang Recommended Hot Spot Analysis Procedure for Structural Details of FPSOs and
Ships Based on Round-Robin FE Analyses [Text] / Wolfgang Fricke // Proceedings of the Eleventh (2001) International Offshore and Polar Engineering Conference. Stavanger, Norway, June 17-22, 2001.
11. Pirsic, T. Thermographic Analysis of Stress Distribution in Welded Joints [Text] / T. Pirsic, L. Krstulovic-Opara, Z. Domazet. - EPJ Web of Conferences 6, 07004 (2010).
12. Кирьян, В. И. Расчет локальных напряжений в зонах сварных соединений крупногабаритных пространственных конструкций. Автомат.
Сварка [Текст] / В. И. Кирьян, В. И. Дворецкий, М. Г. Мальгин. - 2012. - № 4. - С. 3-7.
13. Вопросы проектирования железнодорожных мостов [Текст] / Под ред. И. И. Казея / Труды ВНИИ трансп. стр-ва. - Москва : Трансжелдо-риздат, 1962. - Вып. 46. - 168 с.
14. Взаимодействие железнодорожных мостов с подвижным составом [Текст] / Н. Г. Бондарь, Ю. Г. Козьмин, З. Г. Ройтбурд [и др.] ; под. ред. Н. Г. Бондаря. - Москва : Транспорт, 1984 -272 с.
15. Сварные конструкции. Механика разрушения и
критерии работоспособности [Текст] /
В. А. Винокуров, С. А. Куркин, Г. А. Николаев ; под. ред. Б. Е. Патона - Москва : Машиностроение 1996. - 576 с.
16. Труфяков, В. И. Прочность сварных соединений при переменных нагрузках [Текст] / В. И. Труфяков. - Київ : Наук. думка, 1990. - 256 с.
17. Hobbacher, A. Recommendations for Fatigue Design of Welded Joints and Components [Text] /
A. Hobbacher. - International Institute of Welding, doc. XIII-1965r14-03/XV-1127r14-03. NY, 2009.
18. Типовой проект № 3.501-30. Металлически пролетные строения с ездой понизу пролетами 33110 м под железную дорогу со сварными элементами и монтажными соединениями на высокопрочных болтах для использования в северных районах. Рабочие чертежи. Пролетное строение l = 55 м [Текст]. - Гипротрансмост, 1968.
19. Разработка методики расчета на усталость сварных соединений и узлов пролетных строений ж. д. мостов на основе вероятностных подходов к установлению расчетных нагрузок и характеристик сопротивления усталости. Научноисследовательская лаборатория мостовых конструкций кафедры «Мосты и тоннели» Института инженеров железнодорожного транспорта [Текст]. - Новосибирск, 1989. - 15 с.
© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
101
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
М. Г. МАЛЬГІН1*, К. В. МЕДВЕДЄВ2*
1 MIDAS Information Technology Co., Ltd. MIDAS IT Tower-Pangyo Seven Venture Valley, 633 Sampyeong-dong Bundang-gu, Seongnam-si, Gyeonggi-do, 463-400, Korea, тел. +82 31 789 1992, e-mail [email protected]
2 Каф. «Мостів та тунелів», Національний транспортний університет, вул. Суворова, 1, Київ, Україна, 01010, тел/факс +38 (044) 280 79 78, ел. пошта [email protected]
МОДЕЛЬ РОЗРАХУНКУ МОСТОВИХ КОНСТРУКЦІЙ НА ВТОМУ ЗА ЛОКАЛЬНИМИ НАПРУЖЕННЯМИ
Мета. Метою роботи є розробка нової моделі розрахунку зварних вузлів мостових конструкцій на втомну довговічність за локальними напруженнями. Методика. Проведено теоретичне дослідження. Дано опис вирішення основних виконуваних задач розрахунку на втому: розробка розрахункової моделі конструкції для дослідження загального та місцевого напружено-деформованого стану елементів; призначення розрахункових схем рухомих навантажень; призначення розрахункових характеристик опору втомі; визначення розрахункового терміну служби конструкції. Наводиться приклад розрахунку ресурсу типової залізничної прогонової будови. Результати. Проаналізовано основні недоліки існуючої нормативної моделі розрахунку на втому, обґрунтовано та запропоновано її розвиток. Наукова новизна. Розроблена та обґрунтована нова модель розрахунку на втому зварних вузлів мостових конструкцій. Практична значимість. Запропонована модель дозволяє підвищити точність розрахунку ресурсу мостів враховуючи особливості конструктивного оформлення елементів у взаємозв’язку з їх місцевим напружено-деформованим станом, а також дозволяє оптимізувати конструктивні форми елементів мостів.
Ключові слова: втомна довговічність; мостові конструкції; зварний вузол; метод скінчених елементів
M. MALGIN1*, K. MEDVEDEV2*
1 MIDAS Information Technology Co., Ltd. MIDAS IT Tower-Pangyo Seven Venture Valley, 633 Sampyeong-dong Bundang-gu, Seongnam-si, Gyeonggi-do, 463-400, Korea, tel. +82 31 789 19 92, e-mail [email protected]
2 Dep. of «Bridges and Tunnels», National Transport University, 1 Suvorova, Str., Kiev, Ukraine, 01010, tel./fax +38 (044) 280 79 78, e-mail [email protected]
FATIGUE ANALYSIS MODEL OF BRIDGE STRUCTURES BASED ON LOACAL STRESS APPROACH
Purpose. The main purpose of this research is developing of the new model for fatigue analysis of welded joints in bridge structures based on local stress calculation. Methodology. Theoretical research was carried out. Solution of the main tasks of fatigue analysis was described: developing of the structure model for the global and local stress analysis in elements; assignment of the moving load schemes; assignment of the fatigue curves; fatigue life calculation. Example of fatigue analysis of railway bridge is described. Findings. The main disadvantages of the current method for fatigue analysis of bridge structures are described and recommendations for improvement of the method are given. Originality. Developed and proved the new model for fatigue analysis of the bridge welded joints. Practical value. Recommended model allow to increase the convergence of fatigue life calculation for bridge welded joints including the local deformed stage of elements and their structural forms. This allow to decrease the volume of materials in steel bridges.
Keywords: fatigue life; bridge structures; welded joint; finite element method
Статья рекомендована к публикации д.т.н, проф. А. И. Лантухом-Лященко (Украина), д.т.н., проф. В. Д. Петренко (Украина).
Поступила в редколлегию 20.08.2014.
Принята к печати 28.09.2014.
© М. Г. Мальгин, К. В. Медведев, 2014
102
