CC BY
31
Труды Карельского научного центра РАН № 4. 2014. С. 116-120
УДК 519.83
МОДЕЛЬ ПРОВЕДЕНИЯ КОНКУРСА С ОЦЕНКОЙ ОТДЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРОЕКТОВ
Ю. С. Токарева
Забайкальский государственный университет
Рассматривается теоретико-игровая модель проведения конкурса с оценкой отдельных параметров проектов. Для выбора победителя приглашается арбитражный комитет, руководствующийся правилами арбитражной процедуры по последнему предложению. В некооперативной игре п лиц с ненулевой суммой представлен общий вид ожидаемого выигрыша и значение игры. Найдены оптимальные стратегии игроков в одношаговой и многошаговой играх с двумя игроками с правилом консенсуса.
Ключевые слова: модель конкурса, арбитр, оптимальные стратегии, выигрыш, дисконтирование.
Yu. S. Tokareva. TENDER MODEL WITH ESTIMATION OF DIFFERENT PARAMETERS OF THE PROJECT
We consider the game-theoretic model of a competition estimations of individual project parameters. To select the winner the Arbitration Committee, guided by the rules of the Final-Offer arbitration, is invited. A perspective view of the expected payoff and the value of the game is presented in a noncooperative non-zero sum game with n players. The optimal strategies for the players in the one-step and multi-step two-player games with the consensus rule are identified.
Key words: tender model, the arbitrator, the optimal strategy, win, discounting.
Введение
Рассматривается теоретико-игровая модель проведения конкурса. Участники конкурса - игроки - представляют свои проекты, характеризующиеся несколькими различными параметрами. Например, проект может включать описание его стоимости, времени выполнения, числа работников и т. д. Для определения проекта-победителя будет использована арбитражная схема. В этом случае к процедуре проведения конкурса приглашается еще один или несколько независимых игроков (арбитр/жюри или арбитражный комитет), которые по определенным правилам позволяют выявить победителя.
В данном исследовании независимая сторона представлена арбитражным комитетом, руководствующимся правилами арбитражной процедуры по последнему предложению (Final-offer arbitration). Согласно данной процедуре выигрывает проект, который оказался ближе к мнению арбитра. В случае нескольких арбитров полагаем, что проект победил, если за него проголосовало определенное число членов из арбитражного комитета. Например, можно использовать правила простого большинства (более 50 % членов арбитражного комитета), квалифицированного большинства (2/3 от всех членов комитета) или единогласия (все арбитры проголосовали
за проект). Если ни один из проектов не был выбран победителем, то игра или заканчивается, или переходит на следующий шаг.
В статьях [3-6] были найдены равновесия в игре, связанной с переговорами о заработной плате, с участием одного арбитра, а в работе [7] - с участием арбитражного комитета. В статье [1] рассмотрена двух- и трехмерная модель конкурса, в которой каждый из арбитров оценивает полностью весь проект. В [2] предложена методика построения двухуровневой теоретико-игровой модели конкурса с использованием комплексного критерия, включающего рейтинг заявки и вероятность выполнения контракта. В данной работе исследуется модель конкурса с несколькими арбитрами, каждый из которых оценивает только один параметр проекта.
Теоретико-игровая модель конкурса
Рассматривается некоопертивная игра п лиц с ненулевой суммой, интерпретируемая как модель проведения конкурса. Игроки г € N = 1,2, ...,п - участники конкурса - представляют на конкурс свои проекты, которые характеризуются набором т параметров
хг = (х\,...,хгт).
Для определения проекта-победителя приглашается арбитражный комитет, состоящий из т членов. Каждый арбитр оценивает только ]-Ъ. параметр проекта каждого из игроков и выбирает один из проектов, используя стохастическую процедуру с распределением вероятностей, которое известно участникам конкурса. Для оценки параметра проекта арбитр ] использует арбитражную процедуру по последнему предложению. В этом случае им выбирается проект с параметром оказавшийся ближайшим к его мнению.
Таким образом, каждому арбитру ] представлен набор j-x параметров из всех проектов
{*}> ■■■>*"}■
Генерируется случайная величина с некоторым распределением вероятностей Fj(x), которое известно участникам конкурса. Данную величину а^- назовем мнением или решением арбитра. Тогда для каждого ,7-го параметра проекта к можно поставить в соответствие величину ак, характеризующую голос члена арбитражного комитета за него:
Будем считать, что к-й проект победил, если он получил число голосов не меньше, чем некоторый порог р
Е
3=1
0<>Р-
Например, в случае единогласия мы имеем р = т. Если используется правило простого большинства, то р = а если правило квалифицированного большинства - р =
В зависимости от ситуации можно рассматривать различные значения р, которые будут определять возможное количество проектов-побе дител ей. При этом проект - победитель конкурса к получает выигрыш Ьк(хк), зависящий от параметров его проекта. Если ни один из проектов не был выбран арбитражным комитетом, то игра переходит на следующий шаг или заканчивается. Переход игры на следующий этап осуществляется с некоторым коэффициентом дисконтирования 6 (например, сокращение времени на выполнение проекта или инфляция), где
О ^ 6 ^ 1.
Обозначим ожидаемый выигрыш к-го игрока на шаге I через (к = 1,2, ...,п, I = 1,2,...). Тогда является значением игры для к-го игрока в игре с функцией выигрыша
НЦх1, ■■■, хп) = <
Ьк(хк)Р(^2сг% >р} + 3=1
> .
к= 1 з=1
Таким образом,
У1 = уа1Н[{х\...,хп),
где = 0.
В данной игре будем искать равновесие по Нэшу, т. е. такой профиль х*, для которого
Н1к(х!\\ук) ^ Н1к{х*1)Уук,к = 1 = 1,2,...
Данная модель исследуется в зависимости от количества игроков, количества параметров проектов и функций распределения мнений арбитров.
к ____
аз -
1 если = пип \х) — аЛ 0 иначе.
©
Одношаговая модель конкурса с двумя ИГРОКАМИ
Рассмотрим теоретико-игровую модель с двумя игроками, проекты которых характеризуются двумя параметрами (х^, у^) (г = 1,2). Например, проекты задаются временем выполнения какой-то работы и суммой средств, необходимой для выполнения этой работы в определенный период. Положим, что игрок I максимизирует величину {2х\ — у{), а игрок II - величину (2у2 — £2). Для определения победителя в конкурсе приглашаются два арбитра. Первый арбитр рассматривает параметры х\ и Х2 из проектов игроков и выбирает тот, который оказался ближе к его мнению. Арбитр голосует за игрока с данным параметром. Второй арбитр аналогичным образом рассматривает параметры игроков у\ и у2 и голосует за проект одного из игроков. Игрок, за которого проголосовали оба арбитра одновременно, побеждает, т. е. р = 2. В противном случае участники конкурса проигрывают и ничего не получают, а игра заканчивается.
В силу постановки такой модели мы полагаем, что параметры игроков соотносятся следующим образом:
XI ^ х2; У2 ^ Уь
В данном случае ожидаемые выигрыши игроков вычисляются по формулам
Н\{Х1,У1,Х2,У2) = (2Ж1 - У1)(1 - ^1(х))Р2(у),
Н2{Х1,У1,Х2,У2) = (2уз -х2)Р1(х)(1 -^г(у)), где X = Х1+Х2 и у = Х1+Х2.
Дифференцируем, приравниваем к нулю
^ = 2(1-^1(х))^2(у)--(2х1-у1)/1(х)^(у),
= (1-^2(у)
-(2ял -у!)/2(
Му)
~{2у2 - х2)Ь{х) - Р1(х)
Пример 1. Пусть арбитры используют равномерное распределение Р\ [О, 1] ^2 ~ [0, 1]. Тогда
4
У1 =
XI
и оптимальные стратегии игроков есть
8
{
дН\ ду1 дН2 8x2
= 2^(х)(1-^(у))-2(2у2-х2)/2(у)^(х).
При заданных функциях распределения мнений арбитра получаем оптимальные стратегии игроков.
Положим, что мнения обоих арбитров распределены по одинаковому закону, тогда решение системы уравнений даст
Р\{х) = Р2(у) =
В силу симметрии рассматриваемой модели х\ = У2, Х2 = Уъ
ХХ =у2 =
* * 4
х2 = У1 = 9-
Таким образом, игрокам рекомендуется предлагать проекты с параметрами (§; §) и (§;§) соответственно. При этом ожидаемый выигрыш участников конкурса равен
Я1 = Я2 и 0,2963.
Пример 2. Пусть мнения арбитров подчинены нормальному закону
^1 ~ЛГ[0,1], ~ ./\Г[0,1].
В этом случае
У1 та 0,87 - XI, и игрокам рекомендуется называть проекты (1.03; 0.87 и (0.87; 1.03) соответственно. Таким образом, в случае нормального распределения мнений арбитра игроки могут увеличить конкурсные параметры проекта. Однако ожидаемый выигрыш игроков в данной игре уменьшился
Н1 = Н2 = 0,26.
Многошаговая модель конкурса с двумя ИГРОКАМИ
В случае многошаговой модели мы полагаем, что если мнения арбитров разделились между игроками, то игра переходит на второй шаг (второй тур конкурса), затем на третий и т. д. Переход игры на следующий этап осуществляется с некоторым коэффициентом дисконтирования 6, где 0 ^ 6 ^ 1. Пусть до конца игры осталось I шагов, тогда для вычисления ожидаемых выигрышей игроков используем формулы
Н11{х1,у1,х2,у2) = {2х1-у1)(1-Р1(х))Р2{у) + + 5У/-1 {(1 - *\(а:))(1 - ВД)) + ^(х)^(у)} , Н12{х1,у1,х2,у2) = (2у2-ж2)-Р1(ж)(1-^2(у)) + + {(1 - Вд)(1 - ВД) + ^(х)^(у)},
где X = Х1+Х2 и у = Х1+Х2 .
Вычисляем частные производные и приравниваем их к нулю
дН[ дН{
дх\
= 0;
ду1
= 0;
дН1?
дхч
= 0;
дЩ
ду2
= 0.
Преобразовывая и упрощая, также получаем р1{х) = Рг{у) = д-
Пример 3. Пусть решение арбитров моделируется равномерным распределением (см. пример 1) и для определения победителя конкурса дается два шага. В этом случае оптимальные стратегии на первом шаге определяются по формулам
' *; = у*2 =! +
<
т* — _ 4 _ 2 гтД
к х2 ~ У1 — 9 3 ‘
В таблице 1 представлены оптимальные стратегии первого игрока (х*, у*) и выигрыши игроков Я на первом шаге игры для раз-
личных значений коэффициента дисконтирования 6.
Таблица 1. Оптимальные стратегии и выигрыш игрока на первом шаге для различных 5 в случае равномерного распределения мнений арбитра
6 (жї;уі) Я1
1 (1,08642; 0,24691) 0;59259
0,9 (1,06667; 0,26667) 0;56296
0,8 (1,04691; 0,28642) 0;53333
0,5 (0,98765; 0,34568) 0;44444
0,3 (0,94815; 0,38519) 0;38519
0 (0,88889; 0,44444) 0;29630
Таблица 2. Оптимальные стратегии и выигрыш игрока на первом и втором шагах для различных 6 в случае нормального распределения мнений арбитра
1-й шаг игры 2-й шаг игры
6 (*ї;уї) Н'г (*ї;уї) Я1
1 (1,52746; -0,65746) 1,24322 (1,20054; -0,33051) 0,75284
0,9 (1,46152; -0,59152) 1,14431 (1,18304; -0,31304) 0,72660
0,8 (1,39908; -0,52908) 1,05065 (1,16554; -0,29555) 0,70035
0,5 (1,23276; -0,36276) 0,80118 (1,11305; -0,24305) 0,62161
0,3 (1,13938; -0,26938) 0,66111 (1,07805; -0,20805) 0,56911
Пример 4. Рассмотрим трехшаговую игру, в которой мнения арбитров подчинены нормальному закону
^1 ~ЛГ[0,1], ^2 ~-^[0,1].
Тогда выигрыш первого игрока на шаге I будет определяться по формуле
а оптимальные предложения
XI та 1,02556+ Ъу1-1;
О
У! та -(0,1556 +
Оптимальные стратегии для первого игрока и ожидаемый выигрыш на первом и втором шагах игры для различных значений коэффициента дисконтирования 6 представлены в таблице 2.
Заключение
В работе рассмотрена прикладная модель переговоров с использованием арбитражных
схем. Результаты исследований могут применяться при проведении различного рода конкурсов, в которых члены жюри рассматривают отдельные параметры конкурсных проектов. Такие ситуации возникают в случае, когда для оценки определенных частей проектов необходимо привлекать узких специалистов. Также рассмотренная модель с привлечением нескольких членов жюри позволяет сделать схему проведения конкурса более независимой.
Модель может быть реализована с помощью компьютерных технологий, что позволит сократить расходы на проведение конкурсной процедуры и сделает ее более открытой.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта Ж- 14-01-31524 мол_а, Государственного задания Минобрнауки РФ ЗабГУ (проект Ж- 8.3641-2011) и гранта РФФИ (проект Ж-13-01-91158-ГФЕН_ а).
Литература
1. Мазалов В. В., Токарева Ю. С. Теоретикоигровые модели проведения конкурсов // Математическая Теория Игр и ее Приложения. 2010. Т. 2, вып. 2. С. 66-78.
@
2. Макаров Ю. Н., Строцев А. А. Методика теоретико-игрового обоснования условий проведения конкурса // Инженерный вестник Дона. 2012. № 3. (21). С. 157-167.
3. De Berg М., Van Kreveld М., Overmars М., Schwarzkopf О. Computational geometry. Algorithms and Application. Springer, 2000. 367 p.
4. Farber H. An analysis of final-offer arbitration // Journal of conflict resolution. 1980. No 4. Vol. 24. P. 683-705.
5. Gibbons R. A Primer in game theory. N.Y.: Prentice Hall, 1992. 273 p.
6. Kilgour D. M. Game-theoretic properties of final-offer arbitration // Group Decision and Negot. 1994. N 3. P. 285-301.
7. Mazalov V., Tokareva J. Arbitration procedures with multiple arbitrators // European Journal of Operational Research. 2012. Vol. 217, Issue 1. P. 198-203.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
Токарева Юлия Сергеевна
доцент, к. ф.-м. н.
Забайкальский государственный университет ул. Александро-Заводская, 30, Чита, Забайкальский край, Россия, 672039 эл. почта: [email protected] тел.: (3022) 355890
Tokareva, Yulia
Transbaikal State University 30 Aleksandro-Zavodskaya St., 672039 Chita, Zabaykalsky Krai, Russia e-mail: [email protected] tel.: (3022) 355890
