CC BY
33
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 531.19
С.В. Сёмкин1 В.П. Смагин2
Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Владивосток. Россия
Модель Поттса на решетке Бете во внешнем поле*
Получено решение для модели Поттса с произвольным числом состояний на решетке Бете в ненулевом внешнем поле. Построена линия фазовых переходов первого рода на плоскости «температура - внешнее поле», заканчивающаяся точкой фазового перехода второго рода. Найдена величина скачка «намагниченности» на линии фазовых переходов.
Ключевые слова и словосочетания: фазовые переходы, модель Поттса, решетка Бете.
S.V. Semkin V.P. Smagin
Vladivostok State University of Economics and Service Vladivostok. Russia
Potts model on a Bethe lattice in the external field
The solution for the Potts model with an arbitrary number of states on the Bethe lattice in a non-zero external field is obtained. The line of phase transitions of the first order on the plane "temperature - external field" is found. This line has the ends point of a phase transition of the second order. The "magnetization" jump on the line of phase transitions is found.
Keywords: phase transitions, Potts model, Bethe lattice. Введение
Модель Поттса [1] - одна из наиболее часто используемых моделей в статистической физике, является теоретическим инструментом, применяемым для изучения широкого класса явлений в физике конденсированных сред [2, 3]. Кроме того, модель Поттса используется в задачах, возникающих в ядерной физике [4-6]. Точных результатов для модели Поттса существует немного. Известно, что если число спиновых состояний в модели Поттса больше некоторого критического
1 Сёмкин Сергей Викторович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры информационных технологий и систем; е-тай: [email protected].
2 Смагин Виктор Павлович - д-р физ.-мат. наук, зав. лабораторией геофизических полей.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по заданию № 2014/292 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой части государственного задания.
значения (зависящего от размерности решетки), то в отсутствии внешнего поля наблюдается фазовый переход первого рода, а если меньше - второго рода [1, 3, 4]. Фазовый переход в модели Поттса в отсутствии внешнего поля неоднократно рассматривался как для чистого магнетика [1-4], так и для магнетика с немагнитными примесями [7, 8].
Однако несомненный интерес представляет и критическое поведение модели Поттса в присутствии внешнего поля [5, 6]. Поэтому в настоящей работе мы рассмотрим модель Поттса с произвольным числом состояний на решетке Бете во внешнем поле. И хотя решетка Бете лишь условно сопоставима с реальными кристаллическими решетками, она обладает тем преимуществом, что модель Поттса во внешнем поле может быть решена на этой решетке точно.
Фазовые переходы в модели Поттса во внешнем поле
Модель Поттса [1] формулируется следующим образом. Рассмотрим некоторую регулярную решетку. Каждому узлу поставим в соответствие величину оу («спин»), которая может принимать 5 различных значений, скажем 1,2,... 5. Два соседних спина оу и оу взаимодействуют с энергией - ]р8 (оу, оу), где
1 10, £Т[ Ф <7у
Пусть есть внешнее поле Н > 0, которое действует на состояние 1. Тогда полная энергия равна
Е = ~]Р й{ри оу) -НТ.18(ои 1). (1)
Решение задачи с гамильтонианом (1) заключается, в частности, в определении величин p¿ - доли спинов, находящихся при тепловом равновесии, в состоянии I. Эту задачу сравнительно просто можно решить для решетки Бете - дерева без замкнутых путей, воспользовавшись методом, описанным в [1]. Решетку Бете с произвольным координационным числом ц построим следующим образом. Рассмотрим «центральный» узел решетки со спином сг0. ^ соседей этого узла образуют первую оболочку, <7 — 1 «внешних» (кроме центрального) соседей каждого узла первой оболочки образуют вторую оболочку и так далее до 1-й оболочки. Тогда
Рг =---, (2)
где г = Р({<7}), Р({<7}) = ехр (К 2а.Л 8{оь оу) + /г ^ 8{аь 1)),
К — ]р/кТ, /г = Н/кТ, к - постоянная Больцмана, Т - температура. Представим Р({о"}) в виде:
Р({а}) = е^Д) Пч]=1 ехр(К6(а0, а™) + К £(г,п) 8 (а™, о*0) + Л 8(о{*\ 1)), где <7^ - совокупность спинов -ой ветви. Тогда
СмШ = Е^ехрСКбСао,^) + К^бЦа^.а^) + ЛХ^С^Д)). ( )
Используя эти выражения в (2) и обозначив xNk = GNQi)/GN(V), (к = 2,3,...S),
получим ^
а представив (3) в виде
GN(a0) = Sffl (GN_1(a1))q~1,
получим рекуррентное соотношение для величин Х^^
_ eft +eKxN-l,k+^j*k xN-l,j i+Y-x4'1
Рассмотрим теперь предельный переход N —* оо. Как известно, такой переход на решетке Бете осложняется тем, что число граничных узлов решетки пропорционально при больших полному числу узлов [1]. Поэтому следует различать задачи для полной решетки Бете вместе с граничными узлами (дереве Кейли) и внутренней части решетки - собственно решетки Бете. Мы рассмотрим решение для внутренней части и в связи с этим будем полагать, что
limjv^oo = ИгПдг^оо = хк-
Кроме того, будем искать такое решение, когда все pj при ¡ > i равны между собой. Согласно (4) это значит, что хк = х для всех к. Тогда из (4) и (5) получим
_ eh
Pl - eh+(s—í)x4' (6)
eh +(eK+s—2)x(,~1
Таким образом, значение Pi определяется корнем уравнения (7) х(К, К). Поскольку уравнение (7) получено предельным переходом из рекуррентного уравнения (5), его решение должно быть устойчивым в том смысле, что рекуррентная процедура хп = F{K,h,xn_{) должна сходиться к решению. Иначе говоря, при X = х(К, К) должно выполняться условие —^ ' ' ^ < 1. Если у уравнения (7) существует несколько устойчивых решений, следует выбрать то из них, которое ближе к единице, поскольку Xq^ = 1. Анализ (7) показывает, что этот критерий выбора корня дает функцию х(К, К), непрерывную на плоскости (К, К) всюду, кроме точек некоторой кривой h = hc(K). Эта кривая и является линией фазовых переходов
первого рода, поскольку Р\ — — zf-, где f - свободная энергия на один узел решетки, * / \ „ " а скачок х(К, К) означает, согласно (6), скачок р^ Она начинается в точке (К0,0),
где К0 - точка фазового перехода для модели Поттса на решетке Бете без внешнего
магнитного поля [2], и заканчивается в точке {Ке, Ле), в которой фазовый переход
является переходом второго рода.
В соответствии со сказанным выше для точек линии h = hc(K) должны выполняться условия
х = F(K,h,x), W*> = 1.
Используя (7), получим
eh + (e/f + (S _ 2))х«~1 = xeK+h + (s - l)xч, (iq - l)(eJf + (s - 2))xi~2 - (q - l)(s - l)*«"1 = eK+h + (s - l)«'"1.
_ c ~rc ^N-l.k N-1J (5)
XN,k ~ pK+h _i_v. 1 У '
(7)
Отсюда
„2 _ {(4-2) (е*+5-2) А
* V*-! 5-1 +Ч-16 )Х
+ = о
5-1
-1
1-хе
к
(8)
(9)
Начальная точка линии (К0, Л0) определяется условием Н0 = 0. Это приводит к х0 = 1 и
(10)
что совпадает с известным результатом [2] для модели Поттса на решетке Бете в отсутствии внешнего поля. Конечная точка линии определяется условием исчезновения вещественных корней у квадратного уравнения (8). Это условие приводит к
к 1 ее = -
1
(5-2) +1(5-2)2 +
4д2(>-1)
(Ч-2)2
еке = (5 - 1) (■
(д-2)(еуе+5-2) 4(5-1)
(11) (12)
а из (6) следует, что в точке (Ке, /ге) Рх = 1/2. 0.12
0.08
0.06
0.04
0.02
Рис. 1. Линии фазовых переходов первого рода для модели Поттса с 5 состояниями на решетке Бете с координационным числом ц = 6. Кривая 1 - 5 = 3, кривая 2 - 5 = 4 и кривая 3 - 5 = 5. По горизонтальной оси температура Т = 1 /К, по вертикальной -
внешнее поле И.
В работе [6] найдена конечная точка линии фазовых переходов первого рода на плоскости (К, К) для модели Поттса с тремя состояниями на трехмерной кубической решетке (Ке,/1е) = (0.54938(2), 0.000775(10)). Вычисление по формулам (11), (12) при 5 = 3 и «7 = 6 дает (Ке, /ге) = (0.51847,0.01514), то есть значение Ке довольно близко к полученному в [6], но значение Не заметно отличается. В более ранней работе [5] положение конечной точки линии фазовых переходов первого рода
и
для модели Поттса с тремя состояниями было найдено в приближении среднего поля. Для кубической решетки было получено Ке — 4/9 и йе = 1п2 — 2/3 ® 0,02648.
Рис. 2. Скачок вероятности р! на линиях фазовых переходов в модели Поттса с 5 состояниями на решетке Бете с координационным числом ц = 6 в зависимости от температуры. Кривая 1 - 5 = 3, кривая 2 - 5 = 4 и кривая 3 - 5 = 5. По горизонтальной оси температура Т = 1 /К, по вертикальной - вероятность р1
На рисунке 1 показаны линии Л. = КС{Т) (Т = 1/К)для ц — 6и 5 = 3,4,5 (кривые 1, 2, 3 соответственно). Видно, что Т0 и Те - температуры начальной и конечной точек линии уменьшаются с ростом б, а величина 1ге растет. (При 5 = 2, когда модель Поттса переходит в модель Изинга, вся кривая Л = ЛС(Г) вырождается в единственную точку фазового перехода второго рода.)
На рисунке 2 показаны значения рг вблизи линии К = ¡гс(Т) при д = 6 и 5 = 3,4,5 (кривые 1, 2, 3 соответственно) в зависимости от Те [Г0,Те\ Каждая из кривых имеет две ветви: нижняя (рх < 1/2) соответствует /г = кс(Т) — 0, а верхняя (р! > 1/2) - Ъ. = КС(Г) + 0. Величина скачка рг падает от максимального значения при Т = Т0 до нуля при Т = Те.
1. Бэкстер, Р. Точно решаемые модели в статистической механике / Р. Бэкстер. - М.: Мир, 1985.
2. Wu, F.Y. The Potts model / F.Y. Wu // Reviews of Modern Physics. - 1982. - Vol. 54, Issue 1. - P. 235.
3. Муртазаев, А.К. Исследование влияния вмороженных немагнитных примесей на фазовые переходы в трехмерной модели Поттса / А.К. Муртазаев, А.Б. Бабаев, Г.Я. Азнаурова // Физика твердого тела. - 2008. - Т. 50(4). - С. 703.
4. Janke, W. Three-dimensional 3-state Potts model revisited / W. Janke, R. Villanova // Nuclear Physics. - 1997. - Vol. 489, Issue 3. - P. 679-696.
5. DeGrand, T.A. Phase structure of QCD at high temperature with massive quarks and finite quark density: A Z(3) paradigm / T.A. DeGrand, C. DeTar // Nuclear Physics. - 1983. - Vol. 225, Issue 4. - P. 590-620.
6. Karsch, F. The three-dimensional, three-state Potts model in an external field / F. Karsch, S. Stickan // Physics Letters. - 2000. - B. 488. - P. 319-325.
7. Сёмкин, C.B. Приближение Бете в модели Изинга с подвижными примесями / C.B. Сёмкин, В.П. Смагин // Физика твердого тела. - 2015. - Т.57 (5). - С. 926.
8. Сёмкин, C.B. Модель Поттса на решетке Бете с немагнитными примесями / C.B. Сёмкин, В.П. Смагин // Журнал экспериментальной и теоретической физики. -2015. - Т. 148, Вып. 4 (10). - С. 729.
© Сёмкин, С.В., 2016 © Смагин, В.П., 2016
для цитирования: Сёмкин, С.В. Модель Поттса на решетке Бете во внешнем поле / С.В. Сёмкин, В.П. Смагин // Территория новых возможностей. Вестник Владивостокского государственного университета экономики и сервиса. - 2016. - № 3. - С. 103-108.
For citation: Semkin, S.V. Potts model on a Bethe lattice in the external field / S.V. Semkin, V.P. Smagin // The Territory Of New Opportunities. The Herald of Vladivostok State University of Economics and Service. - 2016. - № 3. - P. 103-108.
Дата поступления: 20.06.2016.
