CC BY
0
L Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 17 (3) 2024
St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Physics and Mathematics. 2024. Vol. 17. No. 3 -►
Научная статья УДК 539.3
DOI: https://doi.org/10.18721/JPM.17306
МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МЕХАНОДИФФУЗИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ ТИМОШЕНКО СО СМЕШАННЫМ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ ПО КРАЯМ А. В. Земсков 12 н, А. В. Вестяк \ Д. В. Тарлаковский 21
1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
Москва, Россия;
2 Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Аннотация. В работе анализируются связанные упругие и диффузионные процессы, возникающие в результате нестационарных изгибных колебаний ортотропной пластины, имеющей консольное закрепление с одной стороны и шарнирное опирание по сторонам, примыкающим к консоли. Для математического описания физико-механических процессов используется модель пластины Тимошенко, дополненная уравнениями массопереноса с учетом конечной скорости распространения диффузионных потоков. Алгоритм решения основан на использовании метода эквивалентных граничных условий, позволяющего выразить решение поставленной задачи через известное решение некоторой вспомогательной задачи данного класса. На примере изгибаемой трехкомпонентной пластины промоделирован характер взаимодействия в ней механического и диффузионного полей.
Ключевые слова: упругая диффузия, консольно-закрепленная пластина, метод эквивалентных граничных условий, пластина Тимошенко
Финансирование: Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 20-19-00217, https://rscf.ru/project/20-19-00217/).
Для цитирования: Земсков А. В., Вестяк А. В., Тарлаковский Д. В. Модель нестационарных механодиффузионных колебаний прямоугольной ортотропной пластины Тимошенко со смешанным закреплением по краям // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2024. Т. 17. № 3. С. 57—75. DOI: https://doi.org/10.18721/ JPM.17306
Статья открытого доступа, распространяемая по лицензии CC BY-NC 4.0 (https:// creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/)
Original article
DOI: https://doi.org/10.18721/JPM.17306
A MODEL OF UNSTEADY MECHANODIFFUSION VIBRATIONS OF A RECTANGULAR ORTHOTROPIC TIMOSHENKO PLATE WITH MIXED EDGE FIXING A. V. Zemskov 12 A. V. Vestyak 1, D. V. Tarlakovskii 21
1 Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russia;
2 Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia
Abstract. In the paper, the coupled elastic-diffusion processes arising as a result of unsteady bending vibrations of an orthotropic plate that has a cantilever fastening on one side and hinged support on the sides adjacent to the cantilever have been analyzed. For a mathematical
© Земсков А. В., Вестяк А. В., Тарлаковский Д. В., 2024. Издатель: Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого.
description of physical and mechanical processes, the Timoshenko plate model supplemented with mass transfer equations taking into account the finite speed of propagation of diffusion flows was used. The solution algorithm was based on the use of the equivalent boundary conditions method allowing to express the solution to the problem posed through a known solution to some auxiliary problem of a given class. The nature of the interaction between mechanical and diffusion fields was simulated using the example of a bendable three-component plate.
Keywords: elastic diffusion, cantilever plate, method of equivalent boundary conditions, Timoshenko plate
Funding: The reported study was funded by Russian Science Foundation (Grant No. 20-1900217, https://rscf.ru/project/20-19-00217/).
For citation: Zemskov A. V., Vestyak A. V., Tarlakovskii D. V., A model of unsteady mech-anodiffusion vibrations of a rectangular orthotropic Timoshenko plate with mixed edge fixing, St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Physics and Mathematics. 17 (3) (2024) 57-75. DOI: https://doi.org/10.18721/JPM.17306
This is an open access article under the CC BY-NC 4.0 license (https://creativecommons. org/licenses/by-nc/4.0/)
Введение
В работе рассматривается вопрос о взаимодействии механического и диффузионного полей, возникающий при расчетах тонкостенных элементов конструкций (балок, пластин или оболочек), которые эксплуатируются в условиях нестационарных внешних воздействий, при наличии агрессивных сред и высокой температуры (нефте- и газопроводы, системы отопления и пр.).
Известно, что механодиффузионные процессы проявляются особенно ярко в высокоэластичных полимерах. Однако взаимодействие механических и диффузионных полей в таких материалах носит существенно нелинейный характер, и для их описания требуются модели, основанные на соотношениях, позволяющих рассматривать процессы массо-переноса для произвольных упругих деформаций с учетом геометрической и физической нелинейности свойств материала [1].
Экспериментальные исследования в области механодиффузии широко проводятся с середины XX века. Из работ, наиболее близких к рассматриваемой теме, следует отметить статью [2], где анализируется влияние деформаций на массоперенос в пластине из поликристаллического никеля, покрытой медью, к краям которой приложена растягивающая нагрузка. В результате экспериментов было выявлено значительное различие (до 53 %) средних концентраций по толщине пластины при наличии и в отсутствие нагрузок.
Несмотря на стойкий интерес к задачам упругости с учетом диффузии (а также с учетом температурных и прочих полей), отмеченный со второй половины XX века, математическому моделированию механодиффузионных процессов в стержнях, пластинах и оболочках посвящено сравнительно небольшое число работ.
Следует выделить публикации [3 — 6], в которых изучается влияние температурных и диффузионных факторов на напряженно-деформированное пологой трансверсально-изотропной оболочки. При этом в работе [6] дается вариационная постановка термодиффузионной задачи для контактирующих гладких слоистых оболочек. Исследование в квазистатическом приближении осесимметричного напряженного состояния нагретой трансверсально-изотропной сферической оболочки с круговым отверстием при диффузионном насыщении предложено в статьях [7, 8]. Публикации [9 — 16] посвящены решению краевых задач, описывающих термомеханодиффузионные явления в балках Бернулли — Эйлера и пластинах Кирхгофа.
Из приведенного краткого обзора можно сделать вывод, что основное внимание уделялось преимущественно анализу квазистатических термомеханодиффузионных процессов. Нестационарные модели, рассмотренные в работах [11, 14], посвящены лишь решениям задач для пластин Кирхгофа [11] и балок Бернулли — Эйлера [14].
© Zemskov A. V., Vestyak A. V., Tarlakovskii D. V., 2024. Published by Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University.
В данной работе предложена модель нестационарных упругодиффузионных колебаний пластины, основанная на гипотезах Тимошенко [17 — 20].
Учитывая известные сложности с решением задач для консольно-закрепленных балок и пластин, предлагается использовать метод эквивалентных граничных условий, основанный на замене рассматриваемой сложной задачи некоторой вспомогательной, которая отличается от исходной только граничными условиями. Эти условия подбираются так, чтобы имелась возможность получить аналитическое решение вспомогательной задачи, которое, в данном случае, находится с помощью рядов Фурье и преобразования Лапласа. Затем строятся соотношения, связывающие между собой правые части граничных условий обеих задач. Решение же исходной задачи выражается через решение вспомогательной.
Предложенный подход ранее применялся при решении задач о нестационарных упругодиффузионных колебаниях консольно-закрепленных балок Бернулли — Эйлера [21, 22] и Тимошенко [23], а также при моделировании механодиффузионных процессов в цилиндрических телах.
В качестве еще одного практического применения следует отметить, что датчики на основе микроконсолей в виде балок и пластинок малого размера (микрокантилеверы) широко используются для физических, химических и биологических измерений [24 — 26]. Принцип их действия основан на том, что форма колебаний этих балок изменяется, когда определенная масса вещества адсорбируется на их поверхности. Такие устройства широко применяются в медицине, в частности для анализа заболеваний, обнаружения точечных мутаций, мониторинга уровня глюкозы в крови и пр.
Постановка основной задачи
Рассматривается задача о нестационарных колебаниях прямоугольной ортотропной многокомпонентной пластины Тимошенко, консольно-закрепленной с одной стороны. Примыкающие к консоли стороны являются шарнирно опертыми. Пластина имеет размеры /1 х12 и толщину к*. Схема нагружения и закрепления краев пластины показана на рис. 1.
Рис. 1. Иллюстрация к постановке основной задачи: к — толщина консольно-закрепленной пластины; 0 — поперечная сила, распределенная по свободному краю
Уравнение поперечных колебаний пластины с учетом диффузии имеет следующий вид [17, 18]:
X1 =
д2Х1 д2Х1 , 12С55к2т
дх
X 2 = С6(
2
дх2
дх?.
\дх1
■11
+ (С12 +С66 )
С
д2Х2 , 12С44к2 [ д^
д2 Х2 дх1дх2
N дН -У а( ',
1 дх
1=1
дх2
дх,
+(С-2+С6« )Йт+У
2
W = С55 кт
д w дх1
чд<
дх
2
дх1дх2
N (. ,дН
=1
дх.
+ С к
44 т
1 /
дх2
дх2 дх,
2
I
дЧ = п( 9)д2Н9
(к -1)! дт
к = Б
дх
в(я) дНч дх2
+ Л(, Л(ч) д Х2 . л(ч) д Х1 , л(ч) д X2 дх1 дх1 дх2 дх1дх2 дх2
(1)
Точки означают производную по времени. Все величины в уравнениях (1) и на рис. 1 являются безразмерными. Для них используются следующие обозначения:
х. Щ х. = —, Щ =—
1 Г I
т =
С с = СааРР
"ар
с„
с
с = _ 2323
л л "
с
с
С =1313
55 с ' 111
с
С = 1212
^66 _ с ' 111
, ¡т т
I =—, т. =——
ту* 1
1 С1111
г =-
, С
с
С 2 = М111
Р
И I , Сц С22 С12 + 2С66,
а(') = а
(ч)
С
Б(ч) =
Б
(ч)
л(ч) = тч)4чаУ0ч), д = д СТ
С '
(ч)
рят0а
С
т =■
ч
¡
где I — время; х* — прямоугольные декартовы координаты; — прогиб пластины; X — углы поворота волокна, нормального к срединной поверхности; I — характерный линейный масштаб задачи; Н — плотность приращения концентрации ч-й компоненты вещества в составе (Ы + 91)- компонентной среды; п0ч) — начальная концентрации ч-го вещества; Ск — упругие постоянные; р — плотность вещества пластины; а'ч) — коэффициенты, характеризующие связь механического и диффузионного полей; — коэффициенты диффузии; Я — универсальная газовая постоянная; Т0 — начальная температура среды; 0 — поперечная сила, распределенная по_свободному краю х = ¡1; т(ч)— время релаксации диффузионных потоков [27]; кТ = V5/6 — коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по толщине пластины [19, 28].
Уравнения (1) дополняются нулевыми начальными условиями и краевыми условиями, которые для случая консольного закрепления вдоль края х1 = 0 имеют вид
= 0 х!х=о = 0 Нч1 =0 = 0 х2 ,=о = 0 Х2| = 0
1-4 =0 ---Iх! =о 1 |х
Г Л. Л. N Л
С12 ^ + С22 ^ + 1 а' Н дх^ '=1
= 0,
( (ч)Н +Л(ч)д^ . *(?) д2Х2
хх2 =0
Л
^дХ2 . дХ1 Л У 5х1 5х2 у
= 0,
х1 =¡1
Б
дх.
дх;
■ + Л
дх1дх2 у
= 0,
х1=¡1
дщ '^ Х1
Удх1
х1 =¡1
ИС„
С12 дх1 + С22 дХ2 + Уа(/) Н
12 ^ 22 ^ / у 2
у" ■'V у" ■'V
(') Н
дх
дх,
2 '=1
= 0,
^ + С12 дХ1 + 1 а(') Н
Удх1
2 '=1
= 0,
х =¡1
Х1х =0 = 0, =0 = 0, Н1^ = 0, Х1х = 0, = а Я] = 0.
(2)
Формулировка и решение вспомогательной задачи
Для решения сформулированной задачи используется метод эквивалентных граничных условий [21 — 23], в соответствии с которым вместо задачи (1), (2) вначале рассматривается вспомогательная задача, описываемая теми же уравнениями (1), но с другими граничными условиями (геометрия рассматриваемой области при этом сохраняется). Эти граничные условия имеют следующий вид:
к =1
*
= о, х,| = о, Ч = о, н\ = о, н\ = о, х2 = о,
' Л1 1х =о ' 1х =о ' 1\г„ =0 ' 1\г. =0 ' Л21х =о '
[ С ^ + С ^ + У а(1)Н
12 А^ 22 А^ 2 П 0
У Сх1 Сх2 1=1
дН
«1х2 =о
Л
^ + С12 ^ + у а( 1) Н
\ дх дх^ .=1 х2 =о V 1 2 11
=о,
х=о Л
= /2,
2
^ ^ + Л( • ^ + 1 11 2 12 дх дх
дх1дх2 у
(
= о,
х =/[
дч
Л
Х1
Чдх1 у
х=о
е
3 ИС^'
дх2 +д%1
У дх1 дх2 у
= о,
х =4
С12 ^ + С22 ^ + У а21) Н 12 22 2
У Сх^ (Jл_ 1=1
= /з =
ИС55
Л
1 = о.
2 =12
Х1Ц = ^ Х1 х =* = 0, =, = 0, Н1 =, = 0
(3)
Здесь /1(х2, т), /2(х2, т) — неизвестные функции, в дальнейшем подлежащие определению. Начальные условия остаются нулевыми.
Решение задачи (1), (2) ищется в интегральной форме (г = 1,2):
X, (х1, х2, т) Ч ( *1, ^2, т) Нч (^ х2, т)
23
Я У
о о к=1
( Х1, х2, ^ T-t) О3к ( ^ х2 , ^ T-t) О«+3,к ( Х1, х2, ^ T-t)
/ t у &,
где О — функции Грина, удовлетворяющие начально-краевой задаче:
(4)
О„, =
52О,. „ дО 12Ск ( О ~ Л
- + С
дх,2 66 дх1
1к + 55 т
И
У дх1
- О,
+ (С12 + С66 + У а( 1 ,
V 12 66 / ^ ^ 1 дх '
дхх дх2 1=1
О = С к 2
3к 55 Т
(д2о„ О Л + Ск2 (дО о Л
3к ^^ 1 к
У д^ дх1 у
3к ^^ 2 к
У 5х2 дх2 у
О^, = С
дО
- + С
д2О2к 12С44кТ2 ( дО
2к 66 дх2 22 дх2
У дх2
- О.
2к
дО N () до
+ (С12 + С66 ^ + У
дх^ (^2 у=1
а
(1 ) ^ 1+3,к
дх,,
(5)
— 1 дк°д+3,к = Д(д) д2°д+3,к + р(д) д2°д+3,к
к ^ дх12 ' дх22
У
(к -1)! дт
+Л1(^) д3%+л( ^ +Л21) +Л« д3% дх1 дх1 дх2 дх1дх2 дх3
с дО,
У дх1
дх.
■Уа(1 )О
1+3,к
2 1=1
= 52к 5(Т)5( х2 , О3к\х =о =0,
х=о
О, = о, о~,\ = о, о ,,, = о, о ,,, = о, о ,,, = о,
1к1х2 =0 ' 2к1х1 =0 ' «+3,к 1х1 =0 ' «+3,к1х2 =0 ' «+3кх
С
дв,
1к
+ С
дв.
2к
12 - 1 22 -дх1 ох.
С
дв.
1к
+ С
2 '=1 дв.
2к
12 22 дх1 дх.
}+3,к
)в
= 0, =0 = 0, ^=¡2 = 0
х2 =0
'+3,к
2 '=1
= 0, в1к1 =¡ = 0,
х2 =¡2
дв
3к
V дх1
-в,
= 53к5(Т)5( х2 Ч) , в1кЦ =4 =51к5(Т)5( х2 Ч)
х1 =¡1
ГБ(ч) двч+3,к + л(ч) °2в1к + л(ч) °2в2к ^
дх
5х,2
5х15х2 у
= 0,
хх1 =¡1
V 5х2 6х1 у
= 0.
хх1 = ¡1
(6)
С помощью преобразования Лапласа и разложения в ряды Фурье задача (5), (6) приводится к системе линейных алгебраических уравнений:
к1пт (5) вкт 5) + Ктв^кптг (^ 5) - С55кГЯпв3кт 5) -
Лч)вь
Яп 1а( вч+3,кпт 5)= ^1кпт ,
ч=1
Кптв\кпт 5) + к2пт (5) в2кпт 5) С44к:ГЦтв3кпт 5)
N ( )
- Цт 1а2 вч+3,кпт (Д, 5) = ^2кпт (Д) , ч=1
С55кТЯ п^Ьт (^ 5) - С44кТ^тв2ы.т (^ 5) + к3 (5) в3ыт (^ 5) = Р3Ыт , кч+3,пт (5) вч+3,кпт 5) - М1чптв1кпт 5) -М2чптв2кпт 5) = ^\+3,кпт (Д) ,
(7)
где использованы следующие обозначения:
12 12
к1пт (5 ) = 52 + И! С55кТ + Яп + С66^т, к2пт (5 ) = 5' + ^ С44кТ + С66^ + С22^,
к3пт (5 ) = 5 2 + СъъкТ Яп + С,кУт , Кпт =( С12 + С66 ^, М1чпт = Яп (Л(1)Я2 +Л2ч)Цт ) , М2чпт = Цт (Л(2)Я^ + ЛчЦт ),
2 т
^пт (^)^ТУ Яп (-1)п 51ь -52к ЯП Ц„Д, К^ + Б^ + Б^Ц ,
'1'2 к=0 к!
4 п 4 п
Р2кпт = ¡¡С12Цт (-1)" 51к §1п ЦР3кпт = ¡¡С55кГ (-1)п 53к §1п Цт^ ^ч+3,кпт (^) = ¡¡¡- Л(( ч)Яп [52к -Яп (-1)п 51к ] §1П Ц„& Яп = п + ^1, Цт = ^Г;
к -1 тк
в1 к (х1, х2, 5) в2к (х1, х2, 5) в)к (^ х2 , ^ 5 )
= 11
в1кпт (^ 5) Япх1 Цтх
Скт (^ 5) ^П Япх1 Цтх
^ркпт (^ 5) Япх1Й1п ЦтХ
, р > 3.
(8)
В результате решения системы (7) получаем:
GL (t s) = GLs (s) sin u t GLs (s) = Piknm (S) (i = 1 2)
/ iknm \ / iknm \ / p (s) V ' / '
nm V /
F (t) P (s)
GLkm (t , s ) = -fmsl + GLlm (s ) Sin Um t , GLlm ( s ) = Q^A ,
k3nm (s ) Q0nm ( s )
F (t) P (s)
gL (t Л = q+3,knm\^j + gls /„чs;n ,, t GLS = 4+3,knm v '
^q+3,knm ) k (s) 3,*nm^^blllH'mS5 ^V 3,knm ^^ _ q (s) '
q+3,nm \ / z~-qnm \ /
(9)
Здесь Piknm(s), Pnm(s), и Qpnm(s) — многочлены от s, имеющие вид
Pm (s) = [krnm (s) Slnm (s) + k2nm (s) ^nm (s) - nm (s)] П„„ (s)
+
+
12 " —K C..C„k4u X -k (s)k. (s)k, (s)
y2 nm 44 55 1 ~ m n Inm \ / 2nm \ / 3nm \ J
П ( s )-
nm
UmS2nm (s)Za2 Mjnm (s) - XnS1nm (s)Ea(^М1 ЩгПjnm (^)
+
J =1
J =1
(10)
+S3 (s)У (u а(/)М1 . + X а1(м)М,.)п . (s)
3nm \ / / j \~m 2 1 j n 1 2j I jnm \ /
+
j =1
+ XnUmk3nm (s)XXM1M2jAj^nm (s),
j=1 i=1
nnm (s) = nk9+3,nm (s), П»ш (s) = П kq+3,nm (s),
q=1
q=1, q^i
Uijnm ( s )= П kq+3,nm ( s ), ПУпИ ( s )=П jnm ( s ) ,
q=1,q *i, j
Q0nm (s) = k3nm (s) Pnm (s) , Qqnm (s) = kq+3,nm (s) Pnm (s) ,
P3knm (t, s ) = C55kT^ nP1knm (t, s ) + C44 kTU mP2knm (t, s ) , q+3,knm (t, s )= M
1qnm 1knm (t, s ) + M
2qnm Iknm (t, s),
P11nm (s)= -4 X (-1)"
\ 2
S1nm ( s )nnm ( s )-U mk3nm (s) У а^>M2jnmnjnm (s )
j =1
-JTC2Um (-1)n
Г2
S3nm ( s )nnm ( s ) - Kk3nm ( s )У а( 2jnm П jnm ( s )
j =1
- — x2 (-1)n
11 n v /
2
XnS1nm (s)Zа1j4(í°njnm (s) - Um^nm (^)Уа(/^Пjnm (s)
j=1
j=1
4
N N
+ —ИУ X3nUmk3nm (s)ZZAjIA|1M2jП^ (s),
j=1 ¿=1
12пт
& 5 ) = ~ ¡1¡2
(5 )П (5 )-Ц к3 (5 )Уа,/'М,' П. (5 )
1пт \ / пт \ / ~ т 3пт V / / > 2 2]пт ]пт \ /
.=1
+
+ ± Я
И "
Г2
^ ЛГ
Я 51 (5^а^Л^П. (5)-Ц 53 (5)Уа2'')Л(^)П' (5)
п 1пт V / / , 1 11 Jnm \ / ~ т 3пт \ / / ; 2 11 ]пт \ /
з=1
J=1
+
4
+ —Я2ц к3 (5)УУА..Л((МП.. (5),
11 п~ т 3пт \ / / ; / 1 1. 11 2]пт .пт \ /'
Т2 ' =1 1=1
^13пт (5)= -4-12С55к2 (-1)п
54пт (5)Ппт (5) - ЯпЦт I А'М2.птП'пт (5)
'=1
21 пт (5) = ~Яп (-1)п
¡1/2
53 (5)П (5)-Ц к3 (5)1а(])М1. П' (5)
3 пт пт т 3 пт 2 1 пт пт
'=1
+
+ ¡¡С12Цт (-1)п
52 (5)П (5)-Я к3 (5)1а1 "М.' П. (5)
2пт \ / пт \ / п 3пт V / / у 1 1 ]пт ]пт \ /
'=1
——Я2 (-1)п
и л '
N N
Цт52пт (5)1а2')Л( 1)П'пт (5) - Яп53пт (5^')Л(^П^ (5)
] =1
' =1
¡¡2
(-1)п Я3пЦтк3пт (5ЭЦАХМ^П(5),
'=1 ¡=1
^23пт (5 )= ¡4- И С55 к2 (-1)п
55пт (5)Ппт (5) + ЯпЦт IА^'Пт (5)
'=1
Р22пт ( 5 )
¡1 ¡2
53 ( 5 )П ( 5 ) - ц к3 (5 )Уа(/)М1 П. ( 5 )
3п п 3п 2 1 ' 'п
'=1
+
+ — Я
и п
Г2
N N
Ц 5- (5)Iа2')П' (5)-Я53 (5)1а('^)П ' (5)
" т 2пт V / / у 2 11 Jnm \ / п 3пт \ / / ^ 1 11 ]пт \ /
]=1
]=1
+
4
+ —Я2ц к3 (5)УУА'.Л^М. П.. (5),
1 1 п~ т 3пт \ г / ; / у J1 11 1 _.пт пт \ /' 72 ' =1 .=1
12
а(' )а((1 )-а2/)а(<),
51пт ( 5 )= к2пт ( 5 ) к3пт ( 5 )-^ , А. = <4
52пт ( 5 ) = ^ ( 5 ) кЪт ( 5 )-^ С^Х , А. = к^ ^а' - С^ ),
12
53пт (5) = Кптк3пт (5) - С44С55к:4ЦтЯп , 54пт (5) = кТ [С55Япк2пт (5) - КптС44Цт ] , 55пт (5) = кТ [Ь1пг (5) С44Ц т - КптС55Яп ]•
Переход в пространство оригиналов по Лапласу для рациональных функций врккпт( 5), определенных равенствами (9), осуществляется с помощью вычетов и таблиц операционного исчисления [29]. Численный анализ показывает, что эти функции имеют только простые полюсы. Таким образом, их оригиналы запишутся следующим образом:
4
4
2 _ _
О1т (т) = У (2 = (К + 1)N + К + 5, г = 1,2, д = 1,N, к = 1,3),
4С к2 (—1)" 5 2+2 р*'-т (т) = У АС/0 р*'~т + 4С55кН 1 °3к У _р__(11)
1=1 /1/_ '=2+1 к3пт (*'пт)
2 К+1
« 4А(1)Х Г52, -X (-1)" 51к 1 2
(т)=уА(') Р*'пшт+уа(2+') ' + 11 п _^ ; 1к^
^д+3,кпш V / ¿.и д+3,кпшс /.и д+3,кпшс ^ // / ,
у(д) т
р!'пт
■ -1 ■ -1 // к' (у(д) )'
'= '= 1 2 Л'+3,пш ^ ('пш)
а(') = ркпт ( Я'т ) а (г) = ркпш (Яупт ) ( у _1 2 г =1 2 + 2)
Агкпт = ( ) , АЪкпт = о (* ) = 1,2 Г = 1,2 + 2;,
Гпт\^'пт) И0пт \ гпт /
Р (* ) Р (у(д))
А') 1 д+3,кпт \ ''пт ) > (2+1) д+3,кпт ^ ( 'пт )
Ад+3,к1 Т , Ад+3,кпт
(12)
о' (* V д+3Мт о' (у(д)) '
дпт пт дпт пт
где snш, ' = 1'2 - нули полинома Рпт(5); ' - нули многочлена кд+з,пт(*); *2+г,пт - нули
многочлена к3пт(*), определяемые по формулам
*2+1,пш = -гкт\/С55Хп + С11Цт , = гкт\]С55ХI + С11ЦШ •
Таким образом, с учетом решения (8) и (9) функции Грина вспомогательной задачи (1), (2) имеют вид
ю ю П ( 1
О1к (Х1, х2, ^ Т) = УУ О1*кпш (т) СОЭ Xп^Ш Цшх2 31п Цт^ Хп = ТI п + 2
п=0 ш=1 11 У 2
ю ю ПШ
О2 к ( Х1, х2, ^ Т) = УУ'О1кпш (т) эт х пх1 сОэ Ц ш^т Ц Л Ц ш = у, (13)
п=0 ш=1 ^2
Орк (х1, х2, ^ т) = У У °1кпт (т) хпх1 Цшх2 эт Ц,Л Р ^ 3,
кпт
п=0 т=1
где функции О*1кпт (т) находятся по формулам (11) и (12).
Полагая в формулах (10) а(д) = 0, получаем функции Грина для упругой пластины Тимошенко.
Решение основной задачи
Далее, решение задачи (1), (3) подставляем в граничные условия (2). В результате приходим к системе интегральных уравнений относительно функций /1(х2, т) и /2(х2, т), введенных в граничные условия (3):
} } У О1к ( 0, х2, т-t) / (£, t у ф = -} |О13 ( 0, х2, т-t) /3 (£, t) й Щ
0 0 к=1 0 0
а
НУ
о о к=1
О (/1 , х2,
T-t дО2к (/1, х2, ^ т-t) дх1 12 дх2
/к (£, t)й^ + (14)
т 2 N
^УУ^'' (/1, х„ т-1 )/к & t у &=
0 0 к=1 '=1
I »2
-л
дв13 (¡1, х2, ^ т-) + с дв23 (¡l, х2, ^ т-)
дх1 12 дх2
/3 (£, X)й& -
(14)
!• 2 Л
- Ш а(' )в.+3,3 (¡1, х2, Т- X )/ (£, X) й
0 0 '=
Исходя из вида функций Грина (13), внешнюю нагрузку /3(х2, т) представляем в виде ряда
А (х2 , Т) = 1 /3т (Т) й1п Цтх2.
т=1
В аналогичной форме будем искать функции /(х2, т) (к = 1, 2):
да
Л (х2 , Т)=1 Лт (Т) Цтх2.
(15)
(16)
Если подставить ряд (15) и функции (16) в систему (14), то приходим к системе интегральных уравнений Вольтерры 1-го рода:
Ц ' (Т-Х) /'т ( Х ^ = Фт м,
'=1 0
где использованы следующие обозначения:
а11т (Т) = I вПтп (Т), а12т (Т) = I С12тп (Т),
(17)
!(т) = К-1)п
п=0
да
Дт) = ^(-1)п
-СцЦт^тп (Т) - ЯпС^п (т) + I а('(т)
'=1 N
-С^тв^п (т) - Япв52тп (т) + I а('(т)
1 =1
Ф1т (т) = -Ц (Т-Х )/3т (X) йХ,
0 п=0
Ф2т (Т) = | Ц-1)п [С12ЦтС253тп (т-Х) + Я^ (т - X / (X) йХ -
1
т да N
-Ш-1Г II а('в +3,3тп (Т - X/ (X) dX.
0 п=0
(18)
(19)
0 п=0 '=1
Путем интегрирования по частям система (17) приводится к виду IГ а (т - X )-/mííldx = ф. (т), А. . (т)= [о.. (X) dx
' '} Чт\ > ^ ^.т V / ' цт \ / J ут \ )
'=1 0 ОТ 0
и далее решается численно. Для аппроксимации интегралов в системе (19) используется формула средних прямоугольников [21 — 23]:
Г А. (хк - X )/т£) dx = И' у ^ + ,
} Ит\ к ' дt * 1 ' !т г ут '
0 м
где И = т / N — шаг разбиения, N — количество точек разбиения отрезка [0, т]. Остальные величины определяются как
X, = Щ, Xk-1/2 =|к к, А^-и^
у.
(к) = д/'т (Xk ) у(к-1/2) = д/,т (Xk ^ ) А(к)= А (t ) (к = 0Л )
дт , г = ОТ , ащт = А>л^; ^ =0, ^ ].
Таким образом, система интегральных уравнений (19) сводится к последовательности систем линейных алгебраических уравнений
А у (к-1/2) _ -1/2)
т «/ т т
( Ь( к-1/2)Л
А_ =
( /1/2) //2)^ 11т 12т
(к-1/2) _
( V(к-1/2) Л
1т
(к-1/2)
У 2т
Ь
(к-1/2) _
А1/2) А172)
21т ¿2т
Ьк-1/2) Л
'т 'к-1/2) _ ± Г_ (, ) - И ^(к-1/2) _ И к-1/2) 1
' "гт , [Ч'тУк) "г°г1 т 2т J
' к-1/2) V 2т У
решения которых находятся по правилу Крамера:
'к-1/2) .(V2) - Ь(к-1/2) .(1/2)
с ^ ь1к-1/2)А;!2) - Ьк-1/2)А1!2) с ^ Ь(к-112)А1-^2-1 - Ь(к-1/2)А1-1^)
(к—^1/2) _ 1т_ /2т_2т_12т л1к~V2) _ 2т_11т_1т_21т
У1 т А(1/2) - А(12)/.1/2) ' У2
11т л2т 12т ¿1т
Теперь, если представить свертки (4) в виде
°й (х2, ^ Г - ,)
Хг (Х15 Х25 ^ )
™ (Х15 Х25) _Я
И ( Х15 Х25) 0 0
'2 да да 2 7
■А, I ЕЕЕ Е
0 т_1 п_0 к_1 I_1
/(V2) Л/2) - /(V2) А/2)
11т л2т 12т ¿1т
^33 (Х1, х2, ^ ^ - ,) /з (£,,) №^ -+3,3 (Х1, Х2 , ^ О - ^)
Ойп» (О-1 +1/2 ) СОЯ Хп^Ш ЦтХ2
О3кпт -1+1/2 )ЯП\Х1 СОЭ Ц„Х2 + 3 ,кпт\ /-I+1/2
Уи2) Цт&^
(21)
(22)
Оркпт (Т) _ | Оркпт (,
и подставить туда равенства (21), то получаем решение исходной задачи (1), (2) об изгибе консольно-закрепленной пластины Тимошенко.
Предельный переход к статической задаче
Если положить в граничных условиях (3), что
/ (т)_ ~/кИ (т) (к _ 1,2), /3 (т)_ /Н (т),
(И(т) — функция Хевисайда), и перейти к пределу при т ^ да то получим решение задачи об изгибе пластины под действием статической нагрузки, приложенной к свободному краю.
Функции Грина статической задачи О^ (Х1, Х2, £) выражаются через функции Грина О к(Х Х2, т) динамической задачи с помощью соотношений, приведенных в работах
[22, 30]:
) (Х15 Х25 ^) _ ЛП1 [Отк (Х1 5 Х25 ^ Т) * И (Т)] _ 0 (Х15 Х25 ^ 5) ^1 '' ^ ' " 4
_ Нш
1^0
_ ^ О!пк (Х15 Х25 ^ 5 ) 5
где звездочкой обозначена свертка по времени.
Выполняя этот предельный переход в свертках (4), получаем решение статической задачи в виде
Х( ( Х15 Х2 5 Т)
М*^') (Х15 Х25 т)
ИС) (Х15 Х2 5 т)
2 3
IЕ
Ок ) (Х15 Х2 5 £) °3к) (Х15 Х25 (Х15 Х2 5
/к (Ф^
(24)
т
где
да да п Г 1
в^)( ^ х2 , К)=ЦвШт (0) СОЭ Япх1^1П Цтх2 ®1П Ц,Л Яп п + ~
п=0 т=1 ¡1 V 2
в2к( Х1, х2 , К)=Цв2кпт ( 0) Япх1СО§ ЦА^ Цт ^ Цт = ^,
(25)
вРк) (Х1, х2 , £) = Цркпт (0) Й1П Япх1 §1П Цтх2 §1п Ц,А Р > 3
п=0 т=1
Здесь учтены соотношение (8) и решение (9). Статический аналог системы уравнений (17) запишется как
I а.. I = ф. . (26)
/ 1 рт^ т т
'=1
В формуле (26), по аналогии с обозначениями (18), введены следующие обозначения:
,=!(-1)к
п=0
да
= И(-1)п
11т = IGnnm (0), °12т =IGUnm (0),
п=0 п=0
N
-СиЦтвЩт (0) - ЯяСПЬт (0) + ^')вП+3,1пт (0)
'=1
N
-СпЦтСЩт (0) - ЯпвО^т (0) + ^'в^т (0)
'=1
ф1т = -I в13тп (0)Л3т , Л = I Кт §1П Ц,А
Ф 2т =!(-1Г
С, Ц вП5 (0) + Я вП (0) -1 а('в3 (0)
12г^т 23тп \ / п 13тп \ / / ^ 1 '+3,3тп \ '
'=1
ЛЪт.
Решение системы (26) находится по формулам (21). При этом используются следующие соответствия:
у(к-^2) ^ ? А(1/2) ^ а Ь(к-1/2)
✓ т ^ 'т? Цт Цт? Ш
^ ф . т т
Расчетный пример
Для моделирования физико-механических процессов возьмем трехкомпонентную пластину N = 2), состоящую из сплава алюминия, цинка и меди (предполагается, что цинк и медь диффундируют в дюралюминии). Характеристики пластины и требуемые внешние условия представлены в таблице.
Полагаем, что пластина имеет размеры: ¡* = 0,01 м, ¡* = 0,01 м, к' = 0,0005 м. Нагрузку на свободный край х1 = 11 задаем в следующем виде:
/(х т) = - еН(т^тх 8 = 10 3.
(27)
Подставив данные (27) в равенство (22), с учетом найденных функций Грина (13) и функций д/кт(т)/дт из решений (21), получаем прогибы пластины, повороты нормальных волокон и плотности приращений концентраций цинка и меди. Результаты вычислений представлены на рис. 2—4.
Для расчета нестационарных механических полей используется 40 членов ряда Фурье и 40 точек разбиения для решения интегрального уравнения (19). Численные расчеты показывают, что увеличение указанных параметров не приводит к видимым изменениям полученных результатов. Так например, для прогибов пластины разница между 20-м и 40-м членами ряда составляет менее 1 %, для поворотов нормальных
2
Таблица
Расчетные параметры и их значения [30]
Параметр Обозначение Единица измерения Значение
Упругие постоянные с 1122 Н/м2 6,93 1010
с = с = с 1313 2323 1212 2,561010
Плотность материала Р кг/м3 2700
Линейный масштаб задачи 1 = к* м 5,0104
Начальная концентрация
цинка «0(1) - 0,0084
меди «0(2) 0,0450
Начальная температура среды Т0 К 700
Коэффициенты диффузии 1 1 2Ь м2/с 2,6210-12
1 1 2Ь 2,8910-15
Молярная масса
цинка т(1) кг/моль 0,027
меди т(2) 0,064
Коэффициенты связанности а * 0) = а * 0) 11 а 22 Дж/кг 1,55107
полей а * (2) = а * (2) а11 а 22 6,14107
Рис. 2. Расчетные распределения прогиба пластины на плоскости (а) и в пространстве (Ь): а — от закрепленного конца (л = 0) к свободному (л = 11 — место приложения нагрузки) в разные моменты времени; Ь — в момент т = 3,3 • 102 (2,66 • 10-5 с)
а) Ь)
Рис. 3. Расчетные распределения поворотов х1 нормального волокна на плоскости (а) и в пространстве (Ь): а — от закрепленного конца (л = 0) к свободному (л = 11) в разные моменты
времени; Ь — в момент т = 3,3 • 102 (2,66 • 10-5 с)
Рис. 4. Расчетные статические диффузионные поля, отражающие пространственные распределения плотности приращения концентраций
цинка (а) и меди (Ь)
волокон — около 3 %. При расчете статических диффузионных полей использовалось 100 членов ряда Фурье.
Сравнение результатов для упругодиффузионной модели и упругой (при а ^ ^ = 0) для расчетов изгиба консольно-закрепленной пластины Тимошенко показывает, что влияние массопереноса на механическое поле пластины на рассматриваемом промежутке времени пренебрежимо мало. Таким образом, графики на рис. 2 и 3 одинаково применимы как для упругой, так и упругодиффузионной задач. С другой стороны, можно видеть, что прогибы и повороты нормальных волокон при нестационарных нагрузках примерно вдвое больше, чем при статических (выделены жирными линиями на рис. 2 и 3).
Исследованные предельные переходы к упругой и статической моделям, помимо прочего, служат для верификации предложенного в работе алгоритма решения нестационарной задачи для консольно-закрепленной пластины Тимошенко. При этом решение статической задачи является аналитическим, что тоже очень важно при оценке корректности выполненного расчета.
На рис. 4 показаны статические диффузионные поля цинка и меди в составе рассматриваемого сплава, инициированные изгибными деформациями пластины. При заданной нестационарной нагрузке (27) эти значения являются предельными для плотностей приращения концентраций диффузантов при т ^ да.
Найденные приращения концентраций имеют весьма небольшие значения, что подтверждается экспериментальными исследованиями [31], согласно которым влияние
механических нагрузок на диффузионное поле начинает существенно проявляться в основном при пластических деформациях. Таким образом, упругие деформации слабо влияют на кинетику массопереноса.
Ранее проводившиеся численные исследования на примере шарнирно-опертых балок [32] показали, что влияние диффузии на поле перемещений начинает сказываться по истечении определенного промежутка времени и проявляется, в основном, в виде фазовых сдвигов упругих и упругодиффузионных колебаний друг относительно друга. Однако эти различия наблюдаются на временном интервале, существенно превышающем указанный на рис. 2 и 3. В этом случае для расчетов требуется многократное увеличение количества точек разбиения при решении интегрального уравнения (19), что существенно увеличивает вычислительную емкость алгоритма и реально осуществимо только в тех случаях, когда задача может быть решена аналитически, как, например, в работе [32].
Заключение
Предложена модель нестационарных механодиффузионных колебаний консольно-закрепленной пластины Тимошенко с шарнирным опиранием по бокам, примыкающим к консоли. Разработан комплексный алгоритм, сочетающий метод разделения переменных и метод эквивалентных граничных условий, позволяющий найти решение соответствующей начально-краевой задачи. Верификация предложенного алгоритма основана на исследовании предельного перехода к упругой задаче для изгибаемой пластины Тимошенко, а также на сравнении с решением статической упругодиффузионной задачи.
Выполненный на примере трехкомпонентной пластины расчет позволяет промоделировать характер взаимодействия механического и диффузионного полей в изгибаемой пластине. Отмечено, что нестационарный изгиб консоли инициирует диффузионные потоки каждого из компонентов. При этом интенсивность возникающего массопереноса крайне невелика и фактически не оказывает обратного влияния на механические поля в изгибаемой пластине, что проверено путем сравнения полученного решения с решением упругой задачи для пластины Тимошенко.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Денисюк Е. Я., Терешатов В. В. Нелинейная теория процессов набухания эластомеров в низкомолекулярных жидкостях // Высокомолекулярные соединения А. 2000. Т. 42. № 1. С. 71-83.
2. Миколайчук М. А., Князева А. Г., Грабовецкая Г. П., Мишин И. П. Изучение влияния механических напряжений на диффузию в пластине с покрытием // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета (ПНИПУ). 2012. № 3. С. 120-134.
3. Флячок В. М., Швец Р. Н. Некоторые теоремы теории механодиффузии анизотропных оболочек // Математические методы и физико-механические поля. 1985. № 21. С. 32-37.
4. Швец Р. Н., Флячок В. М. Уравнения механодиффузии анизотропных оболочек с учетом поперечных деформаций // Математические методы и физико-механические поля. 1984. № 20. С. 54-61.
5. Швец Р. Н., Флячок В. М. Вариационный подход к решению динамических задач механо-термодиффузии анизотропных оболочек // Математическая физика и нелинейная механика. 1991. № 16. С. 39-43.
6. Раврик М. С. Об одной вариационной формуле смешанного типа для контактных задач термодиффузийной теории деформации слоистых оболочек // Математические методы и физико-механические поля. 1985. № 22. С. 40-44.
7. Bhattacharya D., Kanoria M. The influence of two temperature generalized thermoelastic diffusion inside a spherical shell // International Journal of Engineering and Technical Research. 2014. Vol. 2. No. 5. Pp. 151-159.
8. Раврик М. С., Бичуя А. Л. Осесимметричное напряженное состояние нагретой трансвер-сально-изотропной сферической оболочки с круговым отверстием при диффузионном насыщении // Математические методы и физико-механические поля. 1983. № 17. С. 51-54.
9. Aouadi M., Copetti M. I. M. A dynamic contact problem for a thermoelastic diffusion beam with the rotational inertia // Applied Numerical Mathematics. 2018. Vol. 126. April. Pp. 113—137.
10. Aouadi M., Copetti M. I. M. Exponential stability and numerical analysis of a thermoelastic diffusion beam with rotational inertia and second sound // Mathematics and Computers in Simulation. 2021. Vol. 187. September. Pp. 586-613.
11. Aouadi M., Miranville A. Smooth attractor for a nonlinear thermoelastic diffusion thin plate based on Gurtin — Pipkin's model // Asymptotic Analysis. 2015. Vol. 95. No.1-2. Pp. 129-160.
12. Шевчук П. Р., Шевчук В. А. Механодиффузионный эффект при изгибе двухслойного бруса // Физико-химическая механика материалов. 1987. Т. 23. № 6. С. 75—79.
13. Huang M., Wei P., Zhao L., Li Y. Multiple fields coupled elastic flexural waves in the thermoelastic semiconductor microbeam with consideration of small scale effects // Composite Structures. 2021. Vol. 270. 15 August. P. 114104.
14. Kumar R., Devi S., Sharma V. Resonance of nanoscale beam due to various sources in modified couple stress thermoelastic diffusion with phase lags // Mechanical and Mechanics Engineering. 2019. Vol. 23. July. Pp. 36—49.
15. Aouadi M. On thermoelastic diffusion thin plate theory // Applied Mathematics and Mechanics (English Edition). 2015. Vol. 36. No. 5. Pp. 619—632.
16. Aouadi M., Miranville A. Quasi-stability and global attractor in nonlinear thermoelastic diffusion plate with memory // Evolution Equations and Control Theory. 2015. Vol. 4. No. 3. Pp. 241—263.
17. Zemskov A. V., Tarlakovskii D. V., Grigorevskiy N. V. Modeling an unsteady elastic diffusion processes in a Timoshenko plate // Proceedings of the IX International Conference on Computational Methods for Coupled Problems in Science and Engineering (Coupled Problems 2021).13—16 June
2021, Chia Laguna, Italy. DOI: 10.23967/coupled.2021.034.
18. Vestyak V. A., Zemskov A. V., Tarlakovskii D. V. Modeling of unsteady elastic diffusion transverse vibrations of the isotropic simply supported Timoshenko plate // Materials Physics and Mechanics.
2022. Vol. 50. No. 1. Pp. 141—157.
19. Le K. C. Vibrations of shells and rods. Berlin: Springer-Verlag, 1999. 425 p.
20. Le K. C. An asymptotically exact theory of functionally graded piezoelectric shells // International Journal of Engineering Science. 2017. Vol. 112. March. Pp. 42—62.
21. Земсков А. В., Тарлаковский Д. В., Файкин Г. М. Нестационарный изгиб консольно-закрепленной балки Бернулли — Эйлера с учетом диффузии // Вычислительная механика сплошных сред. 2021. Т. 14. № 1. С. 40—50.
22. Zemskov A. V., Tarlakovskii D. V., Faykin G. M. Unsteady bending of the orthotropic cantilever Bernoulli — Euler beam with the relaxation of diffusion fluxes // Zeitzschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 2022. Vol. 102. No. 10. P. e202100107.
23. Земсков А. В., Тарлаковский Д. В. Нестационарный изгиб ортотропной консольно-закре-пленной балки Тимошенко с учетом релаксации диффузионных потоков // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022. Т. 62. № 11. С. 1895—1911.
24. Kim B. H., Mader O., Weimar U., Brock R., Kern D. P. Detection of antibody peptide interaction using microcantilevers as surface stress sensors // Journal of Vacuum Science & Technology B. 2003. Vol. 21. No. 4. Pp. 1472—1475.
25. Alvarez M., Calle A., Tamayo J., Lechuga L. M., Abad A., Montoya A. Development of nanomechanical biosensors for detection of the pesticide DDT // Biosensors and Bioelectronics. 2003. Vol. 18. No. 5—6. Pp. 649—653.
26. Chen G.Y., Thundat T., Wachter E. A., Warmack R. J. Adsorption-induced surface stress and its effects on resonance frequency of microcantilevers // Journal of Applied Physics. 1995. Vol. 77. No. 8. Pp. 3618—3622.
27. Келлер И. Э., Дудин Д. С. Механика сплошной среды. Законы сохранения. Пермь: Изд-во Пермского национального исследовательского политехнического университета, 2022. 142 с.
28. Михайлова Е. Ю., Тарлаковский Д. В., Федотенков Г. В. Общая теория упругих оболочек. М.: Изд-во МАИ, 2018. 112 с.
29. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 568 с.
30. Бабичев А. П., Бабушкина Н. А., Братковский А. М. Физические величины: Справочник. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.
31. Nirano K., Cohen M., Averbach V., Ujiiye N. Self-diffusion in alpha iron during compressive plastic flow // Transactions of the Metallurgical Society of AIME. 1963. Vol. 227. P. 950.
32. Земсков А. В., Ле В. Х. Нестационарные термоупругодиффузионные колебания балки Бернулли — Эйлера под действием распределенной поперечной нагрузки // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета (ПНИПУ). Механика. 2023. № 3. С. 75-85.
REFERENCES
1. Denisyuk E. Ya., Tereshatov V. V., A nonlinear theory of the process of elastomer swelling in low molecular-mass liquids, Polymer Sci. Ser. A. 42 (1) (2000) 56—67.
2. Mikolajchuk M. A., Knyazeva A. G., Grabovetskaya G. P., Mishin I. P., Research of the stress influence on the diffusion in the coating plate, Bulletin of Perm National Research Polytechnic University. Mechanics. (3) (2012) 120—134 (in Russian).
3. Flyachok V. M., Shvets R. N., Nekotoryye teoremy teorii mekhanodiffuzii anizotropnykh obolochek [Some theorems of the theory of mechanodiffusion of anisotropic shells], Math. Meth. & Phys. Mech. Fields. (21) (1985) 32-37 (in Russian).
4. Shvets R. N., Flyachok V. M., Uravneniya mekhanodiffuzii anizotropnykh obolochek s uchetom poperechnykh deformatsiy [Mechanodiffusion equations of taking into account the transverse strains], Math. Meth. & Phys. Mech. Fields. (20) (1984) 54-61 (in Russian).
5. Shvets R. N., Flyachok V. M., Variatsionnyy podkhod k resheniyu dinamicheskikh zadach mekhanotermodiffuzii anizotropnykh obolochek [A variational approach to solving dynamic problems of mechanothermal diffusion of anisotropic shells], Math. Phys. & Nonlinear Mech. (16) (1991) 54-6. 39-43 (in Russian).
6. Ravrik M. S., Ob odnoy variatsionnoy formule smeshannogo tipa dlya kontaktnykh zadach termodiffuziynoy teorii deformatsii sloistykh obolochek [On one variational formula of mixed type for contact problems in the thermal diffusion theory of deformation of layered shells], Math. Meth. & Phys. Mech. Fields. (22) (1985) 40-44 (in Russian).
7. Bhattacharya D., Kanoria M., The influence of two temperature generalized thermoelastic diffusion inside a spherical shell, Int. J. Eng. Tech. Res. 2 (5) (2014) 151-159.
8. Ravrik M. S., Bichuya A. L., Osesimmetrichnoye napryazhennoye sostoyaniye nagretoy transversalno-izotropnoy sfericheskoy obolochki s krugovym otverstiyem pri diffuzionnom nasyshchenii [Axisymmetric stressed state of the heated transversally isotropic spherical shell with a circular hole under diffusion saturation], Math. Meth. & Phys. Mech. Fields. (17) (1983) 51-54 (in Russian).
9. Aouadi M., Copetti M. I. M., A dynamic contact problem for a thermoelastic diffusion beam with the rotational inertia, Appl. Numer. Math. 126 (April) (2018) 113-137.
10. Aouadi M., Copetti M. I. M., Exponential stability and numerical analysis of a thermoelastic diffusion beam with rotational inertia and second sound, Math. Comput. Simulat. 187 (Sept) (2021) 586-613.
11. Aouadi M., Miranville A., Smooth attractor for a nonlinear thermoelastic diffusion thin plate based on Gurtin - Pipkin's model, Asymptot. Anal. 95 (1-2) (2015) 129-160.
12. Shevchuk P. R., Shevchuk V. A., Mekhanodiffuzionnyy effekt pri izgibe dvukhsloynogo brusa [Mechanodiffusion effect under bending of a double-layer beam], Phys. Chem. Mech. Mater. 23 (6) (1987) 75-79 (in Russian).
13. Huang M., Wei P., Zhao L., Li Y., Multiple fields coupled elastic flexural waves in the thermoelastic semiconductor microbeam with consideration of small scale effects, Compos. Struct. 270 (15 Aug)(2021) 114104.
14. Kumar R., Devi S., Sharma V., Resonance of nanoscale beam due to various sources in modified couple stress thermoelastic diffusion with phase lags, Mech. Eng. 23 (July) (2019) 36-49.
15. Aouadi M., On thermoelastic diffusion thin plate theory, Appl. Math. Mech. (Eng. Ed.). 36 (5) (2015) 619-632.
16. Aouadi M., Miranville A., Quasi-stability and global attractor in nonlinear thermoelastic diffusion plate with memory, Evol. Equ. Control Theory. 4 (3) (2015) 241-263.
17. Zemskov A. V., Tarlakovskii D. V., Grigorevskiy N. V., Modeling an unsteady elastic diffusion processes in a Timoshenko plate, Proc. IX Int. Conf. on Comput. Meth. Coupl. Probl. Sci. Eng. (Coupled Problems 2021), Chia Laguna, Italy, 13-16 June 2021, DOI: 10.23967/coupled.2021.034.
18. Vestyak V. A., Zemskov A. V., Tarlakovskii D. V., Modeling of unsteady elastic diffusion transverse vibrations of the isotropic simply supported Timoshenko plate, Mater. Phys. Mech. 50 (1) (2022) 141-157.
19. Le K. C., Vibrations of shells and rods, Springer-Verlag, Berlin, 1999.
20. Le K. C., An asymptotically exact theory of functionally graded piezoelectric shells, Int. J. Eng. Sci. 112 (March) (2017) 42-62.
21. Zemskov A. V., Tarlakovskii D. V., Faykin G. M., Unsteady bending of a cantilevered Euler — Bernoully beam with diffusion, Comput. Continuum Mech. 14 (1) (2021) 40—50.
22. Zemskov A. V., Tarlakovskii D. V., Faykin G. M., Unsteady bending of the orthotropic cantilever Bernoulli — Euler beam with the relaxation of diffusion fluxes, Z. Angew. Math. Mech. 102 (10) (2022) e202100107.
23. Zemskov A. V., Tarlakovskii D. V., Unsteady bending of an orthotropic cantilever Timoshenko beam with allowance for diffusion flux relaxation, Comput. Math. Math. Phys. 62 (11) (2022) 1895— 1911.
24. Kim B. H., Mader O., Weimar U., et al., Detection of antibody peptide interaction using microcantilevers as surface stress sensors, J. Vac. Sci. Technol. B. 21 (4) (2003) 1472—1475.
25. Alvarez M., Calle A., Tamayo J., et al., Development of nanomechanical biosensors for detection of the pesticide DDT, Biosens. Bioelectron. 18 (5—6) (2003) 649—653.
26. Chen G. Y., Thundat T., Wachter E. A., Warmack R. J., Adsorption-induced surface stress and its effects on resonance frequency of microcantilevers, J. Appl. Phys. 77 (8) (1995) 3618—3622.
27. Keller I. E., Dudin D. S., Mekhanika sploshnoy sredy. Zakony sokhraneniya [Continuum mechanics. Conservation laws], Perm National Research Polytechnic University Publishing, Perm, 2022 (in Russian).
28. Mikhaylova E. Yu., Tarlakovskii D. V., Fedotenkov G. V., Obshchaya teoriya uprugikh obolochek [General theory of elastic shells], MAI Publishing, Moscow, 2018 (in Russian).
29. Ditkin V. A., Prudnikov A. P., Spravochnik po operatsionnomu ischisleniyu [Operational calculus handbook], Vysshaya Shkola Publishing, Moscow, 1965 (in Russian).
30. Babichev A. P., Babushkina N. A., Bratkovskiy A. M., et al., Fizicheskiye velichiny: Spravochnik [Physical quantities: Handbook], Energoatomizdat Publishing, Moscow, 1991 (in Russian).
31. Nirano K., Cohen M., Averbach V., Ujiiye N., Self-diffusion in alpha iron during compressive plastic flow, Trans. Metallurg. Soc. AIME. 227 (1963) 950.
32. Zemskov A. V., Le V. H., Unsteady thermoelastic diffusion vibrations of the Bernoulli — Euler beam under the action of a distributed transverse load, Bulletin of Perm National Research Polytechnic University. Mechanics. (3) (2023) 75—85.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
ЗЕМСКОВ Андрей Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник научно-исследовательского отдела кафедры 311 «Прикладные программные средства и математические методы» Московского авиационного института (национальный исследовательский университет), ведущий научный сотрудник лаборатории динамических испытаний Научно-исследовательского института механики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, Москва, Россия.
125993, Россия, г. Москва, Волоколамское шоссе, 4
ORCID: 0000-0002-2653-6378
ВЕСТЯК Анатолий Васильевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры 311 «Прикладные программные средства и математические методы» Московского авиационного института (национальный исследовательский университет), Москва, Россия.
125993, Россия, г. Москва, Волоколамское шоссе, 4
ORCID: 0000-0002-1905-9438
ТАРЛАКОВСКИЙ Дмитрий Валентинович — доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией динамических испытаний Научно-исследовательского института механики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, профессор кафедры 902 «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (национальный исследовательский университет), Москва, Россия. 119991, Россия, г. Москва, Ленинские Горы, 1 [email protected] ОКСГО: 0000-0002-5694-9253
THE AUTHORS
ZEMSKOV Andrei V.
Moscow Aviation Institute (National Research University) Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University 4 Volokolamskoe Ave., Moscow, 125993, Russia [email protected] ORCID: 0000-0002-2653-6378
VESTYAK Anatoly V.
Moscow Aviation Institute (National Research University) 4 Volokolamskoe Ave., Moscow, 125993, Russia [email protected] ORCID: 0000-0002-1905-9438
TARLAKOVSKII Dmitry V.
Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University Moscow Aviation Institute (National Research University) 1 Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russia [email protected] ORCID: 0000-0002-5694-9253
Статья поступила в редакцию 27.03.2024. Одобрена после рецензирования 21.05.2024. Принята 21.05.2024.
Received 27.03.2024. Approved after reviewing 21.05.2024. Accepted 21.05.2024.
© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2024
