CC BY
522
Семененко М.Г.
Калужский филиал МГТУ им. Н.Э.Баумана, г.Калуга, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики,
МОДЕЛЬ МАРКОВИЦА: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ И КОМПЬЮТЕРНАЯ
РЕАЛИЗАЦИЯ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Инвестиционный анализ, портфельная теория, модель Марковица, электронные таблицы Excel.
АННОТАЦИЯ
В статье рассматриваются вопросы, связанные с изучением модели Марковица. Для компьютерной реализации модели предлагается использовать электронные таблицы Excel. Приводится пример практических расчетов.
Введение
В различных курсах экономического вуза рассматриваются элементы инвестиционного анализа. В частности, следующая задача: составить оптимальный инвестиционный портфель, составленный из заданных активов (например, акций). Теоретические основы решения данной задачи заложены в портфельной теории Марковица, сформулированной в 1950-х годах, которая предлагает методику формирования инвестиционного портфеля с оптимальным выбором долей заданных активов. С точки зрения инвестора, оптимальный портфель должен обеспечивать максимально возможную доходность с минимальным риском. Однако математически такая постановка задачи является противоречивой и решения не имеет. Поэтому, как правило, рассматривается один из двух возможных вариантов данной задачи:
• рассчитать доли активов, обеспечивающих максимальную доходность при заданном уровне риска;
• рассчитать доли активов, обеспечивающих минимальный риск при заданном уровне доходности.
В данной статье рассматриваются математические аспекты данной задачи и компьютерная реализация ее решения в электронных таблицах Excel. Математические аспекты модели Марковица
Теоретической базой модели Марковица является аппарат теории вероятностей. В рамках модели доходность каждого актива рассматривается как случайная величина, соответственно, доходность портфеля является случайным вектором.
В основе модели лежат следующие предпосылки:
• стационарность модели «реального мира». Множество факторов, от которых зависит конкретное значение доходности финансового актива, принято называть «состоянием экономики». Предполагается, что число состояний конечно и экономика может находиться в одном из этих известных состояний, число которых равно n (например, в одном из трех состояний: предкризисное, кризис, нормальное). Каждому состоянию приписывается некоторое положительное число, которое является вероятностью данного состояния. Предполагается, что вероятности состояний экономики и сами состояния не меняются;
• статичность модели. Портфель формируется в момент t = 0 и до получения финансового результата в момент t = T не меняется.
Основными числовыми характеристиками доходности актива являются его математическое ожидание и дисперсия, которая характеризует риск, связанный с приобретением данного актива. При решении практических задач также удобно использовать среднее квадратическое отклонение (ско) доходности, которое вычисляется как корень из дисперсии.
Пусть портфель включает N ценных бумаг. Обозначим долю j-й бумаги в портфеле через xj . Доходность портфеля Rp вычисляется как средневзвешенное значение доходностей ценных бумаг, включенных в портфель, причем в качестве весов используются соответствующие доли:
Яр - !;=1 .
Здесь Rj - доходность ]-й ценной бумаги в портфеле.
Тогда математическое ожидание доходности портфеля тр равно
тр = 2^=1 ш}х}
где т^ - математическое ожидание доходности ]-й ценной бумаги в портфеле. Дисперсия доходности портфеля V,, рассчитывается по формуле
где Уц - ковариация доходностей ценных бумаг в портфеле.
Рассмотрим один из возможных вариантов математической постановки задачи согласно модели Марковица, соответствующий условию минимизации риска при заданном уровне доходности портфеля:
I %1т}Х! = тр
V'V
= l
В матричной форме данную задачу можно записать как XTVX^- min , mTX = mp , ITX= 1 .
Здесь X = (xi X2 ... Xn)t , I - единичная матрица, m = (mi m2 ... mN)T .
Один из методов решения данной задачи на условный экстремум - метод Лагранжа. Чтобы записать функцию Лагранжа, необходимо ввести два множителя Лагранжа +i и +2в соответствии с числом ограничений задачи. Тогда функция Лагранжа имеет вид:
L(X, +i , +2) = XTVX + +i(mTX mp) + +2(ITX - 1) .
Точка безусловного экстремума функции Лагранжа совпадает с точкой условного экстремума исходной задачи. Чтобы найти эту точку необходимо найти частные производные функции Лагранжа по всем переменным, приравнять их нулю и решить соответствующую систему алгебраических уравнений. В матричной форме полученная система алгебраических уравнений будет иметь вид
2 У
T
m
\
m 0 0
I 0 0
/ \
/ \
O
А1 = mp
А 2! \Ч
(i)
/
Здесь V - ковариационная матрица, т - вектор-столбец ожидаемых доходностей, I -вектор-столбец, все N элементов которого равны единице, О - вектор-столбец, все N элементов которого равны нулю.
Введем обозначение:
Тогда система (i) имеет вид
Решение этой системы
Ax = b .
(2)
х = А-1-Ь .
Эффект диверсификации
Если доходности различных видов ценных бумаг в портфеле взаимно-независимы, то риск (ско) портфеля тем меньше, чем больше N. Это свойство портфеля ценных бумаг называется эффектом диверсификации.
Эффективная диверсификация портфеля по Марковицу предусматривает такое распределение ценных бумаг в портфеле, которое соответствует минимальному уровню риска при заданной доходности.
Компьютерная реализация модели Марковица
Компьютерную реализацию модели Марковица удобно выполнить в электронных
таблицах Excel (можно также использовать эектронные таблицы других производителей программного обеспечения, например, PlanMaker в Ashampoo Office). Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
Получим ковариационную матрицу доходности двух активов А и В. После ввода данных вычисляем среднее значение с помощью функции СРЗНАЧ. Затем вычисляем сумму произведений отклонений от среднего (рис.1, данные взяты из [2]). При составлении ковариационной матрицы учитывается, что cov(A,B) = cov(B,A) и cov(A,A) = ct2(A). Диагональные элементы матрицы можно вычислить с помощью функции ДИСПР.
Активы Среднее
Период 1 2 3 4 5
Доходность АД 10 -12 23 11 -2 6
Доходность В А и 3 17 22 6 12,4
Ковариация Итого
Отклонения А 4 -13 17 5 3
Отклонения В 1.8 -9.4 4,5 9,6 -6 4
Произведение 6,4 169.2 78.2 43 51.2 70,6
а е
А 143 6 70 S
В 70.6 49.04
Рис. 1. Пример вычисления ковариационной матрицы
В электронных таблицах Excel для вычисления ковариационной матрицы можно также использовать опцию Ковариация меню Анализ данных (вкладка Данные), выбрав Группирование по строкам.
Пример 2.
Найдем структуру оптимального портфеля, состоящего из акций трех предприятий с
известной динамикой доходностей (данные взяты из [2]).
Вычисление средней доходности акций показано на рис. 2.
Л В с D Е F S Н I J К L
1 jMHltfNT Янв фев ■ □ р пгтр млн нюн и юл зш сен ш Среднее
г Д*рон 0.1} 0.11 -0.01 -0.11 -0.19 -0 0! Р. 05 0.11 о.ог D.P111111
э AutdUt] -0.01 0.01 о.эг -0 03 о.гг 0 04 0 1 0.4 0.0S 4.«
4 6 Дорогобуж 0,01 0.0S о.аэ -0.1 -0.12 -D 0i -0.0Э 0.0Э D ОБ -001 ■О.МН
К
Рис. 2. Ввод данных и вычисление среднего значения доходности
Матрица ковариации V вычисляется аналогично примеру 1. Затем формируется матрица А и вычисляется обратная матрица с помощью функции МОБР. Оптимальная структура портфеля определяется по формуле (2) с помощью функции умножения матриц МУМНОЖ.
Фрагмент вычислений показан на рис. 3. Состав оптимального портфеля: ~17,5% акций Акрона, 31% акций АвтоВАЗа и ~51,5% акций Дорогобужа.
Следует отметить следующие особенности решения задачи по предлагаемой методике.
Операция обращения матриц, вообще говоря, численно неустойчива. Если матрица плохо обусловлена [3], в частности, близка к вырожденной, результаты вычислений сильно зависят от различных вычислительных погрешностей, особенностей работы программы и т.п. В частности, у матрицы из примера 2 определитель равен 0,005. Для плохо обусловленных матриц результатам вычислений доверять нельзя. Для примера 2 в этом можно убедиться, проведя вычисления в программах Excel и Plan Maker.
А в с О Е С
8 Акрон Автоваз Дорогобуж тр = 0,02
Э Акрон 0 0104321 0 0090827 0 00534815 т1 и 0111111
10 Автоваз 0.0090827 0,028145 0 00712 т2 0 065
11 Дорогобуж 0 0053481 0.00712 0 004684 тЗ -0 004
12
13
14 Матрица 1
15
15 0,0208642 0.0181654 0 01069ЕЗ 0.01111111 1
17 0 01816543 0 05629 0 01424 0 065 1
18 0 0106963 0 01424 0 0093Е8 -0 004 1
19 0 01111111 0.065 -0 004 0 0
20 1 1 1 0 0
21
22 Обратная матрица
23
24 105.427721 -23,08884 -82,33888 8,47227259 0 0063387 0
25 -23.088841 5.0564933 18.032347 12,6373123 0 0565828 0
28 -82,33888 18.032347 Б4 306533 -21,109585 0,9370785 Ь = 0
27 8.47227259 12.637312 -21 10958 -7,1280237 -0 101335 0 02
28 0 00633867 0 0565828 0.9370785 -0 1013348 -0 010057 1
29
30 0,1757841
31 0,3093231
32 X = 0,5148888
33 -0,243895
34 -0 012084
35
36 Контроль 1
Рис. 3. Фрагмент вычислений оптимального портфеля ценных бумаг
Наши вычисления с различными исходными данными (в том числе с хорошо обусловленными матрицами) также показали следующее.
Доходность портфеля должна лежать в пределах некоторого интервала, в противном случае решение системы может содержать отрицательные значения долей.
Выводы
Модель Марковица является удобным инструментом для анализа экономических задач математическими методами в различных курсах финансово-экономических ВУЗов. На примере этой модели можно показать практическое применение таких элементов высшей математики как матричное исчисление (нахождение обратной матрицы, произведение матриц), численные методы и особенности их применения, понятие устойчивости численного решения математических задач и т.п.
Результаты проведенного нами моделирования позволяют сформулировать следующие выводы, которым уделяется мало внимания в существующих учебниках.
Применение модели Марковица в практических примерах обязательно должно сопровождаться исследованием обусловленности матрицы А в системе (1), в частности, вычислением определителя этой матрицы.
Исходные данные задачи (1) должны удовлетворять некоторым дополнительным требованиям. В частности, значение ожидаемой доходности портфеля должно лежать в некотором интервале. В противном случае решение задачи может содержать отрицательные значения долей ценных бумаг в портфеле.
Литература
1. Бабешко Л.О. Математическое моделирование финансовой деятельности. Уч.пос. - М.: «КноРус», 2013. - 212с.
2. Ремезов М. Семь раз отмерь, чтобы не отрезали/^, №23, 2010.
3. Семушин И. В. Численные методы алгебры: учебное пособие для вузов. - Ульяновск: УлГТУ 2006. - 178 с.
