Модель М. А. Лаврентьева о склейке вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.51

И. И. Вайнштейн, П. С. Литвинов

МОДЕЛЬ М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА О СКЛЕЙКЕ ВИХРЕВЫХ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Доказана теорема о существовании нетривиального решения (с вихревой зоной течения) в модели отрывных течений идеальной жидкости М. А. Лаврентьева с произвольной завихренностью.

Ключевые слова: вихревое течение, потенциальное течение, модель отрывных течений М. А. Лаврентьева, интегральные уравнения.

В модели отрывных течений идеальной жидкости М. А. Лаврентьева предполагается, что в области течения образуются две зоны: зона потенциального течения и зона вихревого течения [1].

В случае течения в ограниченной области, когда завихренность ю постоянна, эта модель приводится к следующей задаче: в ограниченной области Б с границей Г требуется найти непрерывно-дифференцируемое решение уравнения 52у(х, у) + д2у(х, у) _

дх'

ду2

в, если у < 0, 0, если у > 0

в > -

4Ce

~R~

ке вихревых и потенциальных течений можно сформулировать следующим образом: в области Б требуется найти непрерывно-дифференцируемое решение уравнения

Ду =

F(у), если (х, у) є B,

0, если (х, у) ї B при краевом условии

у|г = j(s) > 0 .

(4)

(5)

(1)

при краевом условии

у|Г _ фО?) ^ 0, (2)

где завихренность ю>0; у(х,у) - функция тока;

V _ , V _ -“^ - компоненты скорости [2].

ду у дх

Гармоническая функция у0(х, у), удовлетворяющая условию (2), в силу принципа максимума положительна в области Б и, тем самым, является решением уравнения (1). Это решение назовем тривиальным.

В работе М. А. Гольдштика [2] доказано существование нетривиального (с областью отрицательности) решения задачи (1), (2) при достаточно большом значении величины ю . В [3] И. И. Вайнштейном получено условие

(3)

при котором существует нетривиальное решение задачи. Здесь R - радиус наибольшего по площади круга, который можно вписать в область Б, C = max j(s).

В общем случае вихревое течение идеальной несжимаемой жидкости описывается уравнением д2У(x, y) , д2y(x, y) = F dx2 dy2

где завихренность ю = F (y); F (y) - произвольная функция от y [4]. Если F(y) ° 0, то имеем потенциальное течение. В случае ю = const течение идеальной жидкости рассматривается как предельное течение вязкой жидкости в области, ограниченной замкнутой линией тока, когда вязкость стремится к нулю.

Представляет интерес рассмотрение модели М. А. Лаврентьева для течения в ограниченной области для произвольной завихренности F (y).

Пусть B с Б - область отрыва (область вихревого течения). Для общего случая завихренности задачу о склей-

Пусть на границе зоны отрыва у = 0 и w> 0 [5]. Тогда в вихревой зоне Ду = w = F(у) > 0 и функция у принимает наибольшее значение на границе области B [6]. Принимая во внимание, что на границе области B у = 0, заключаем, что в области B функция у < 0 .

Это свойство позволяет сформулировать задачу (4), (5) в виде уравнения

Ду = [F(у), если у<°, (6)

[ 0, если у > 0 при краевом условии

у|г = j(s) > 0 . (7)

Ее решение ищется в классе функций, непрерывно дифференцируемых в области D .

Гармоническая в области D функция у0(х, у), удовлетворяющая краевому условию (7), положительна в области D и так же, как в задаче (1), (2), является тривиальным решением задачи (6), (7).

Докажем теорему о существовании нетривиального решения задачи (6), (7).

Теорема. Пусть F(у) - невозрастающая, непрерывно дифференцируемая функция от у

0 <ю0 < F(у) < K, CR - круг максимального радиуса, который можно вписать в область D (без ограничения общности можно считать, что его центр находится в начале координат), max j(s) = C. Тогда при условии

4Ce

w> ^ (8)

R2

задача (6), (7) имеет нетривиальное решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем функцию

у* =у0 - 2Р -Cf G(х, У, Х1, У ddy,

где Ca - круг с центром в начале координат радиуса a , Ca с CR ; G(х, у, х1, y1) - функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге Cr .

В области Ca функция у* удовлетворяет уравнению Пуассона Ду* =w0, а вне Ca она гармонична и на границе области D равняется ф(s). Из свойств интеграла с

логарифмической особенностью (плоского потенциала) следует, что у* непрерывна в области Б вместе с производными первого порядка, которые удовлетворяют условию Гельдера с любым показателем а < 1 [7].

Функция

№ (х, у) _ 2— Ц О - Ок )ху

в круге СК удовлетворяет уравнению Д№ _ 0. На границе круга СК № > 0 . Из принципа экстремума для гармонических функций следует, что

№ > 0 при (х, у) е СК . (9)

Используя неравенство (9), получим

у* _ у0 - ю— С!(О - Ок - Ю—х

— Са — (10)

хСС О^х^у1 < у1 _ С - И О^х^у 1, (х, у) е СК.

Са 2 — Са

Подберем радиус а таким, чтобы у* равнялось нулю при г _ а . Тогда у* будет меньше нуля в Са, тем самым в Са будет меньше нуля и у*.

Функция у1* является непрерывно-дифференцируемым решением уравнения

, если (х, у) е Са,

Дуі =

0, если (X, у) I

С \ С

'^Я "-'а

при краевом условии

Уі = С .

Т 1 I г=Я

ДУі =

4Се

В [5] получено, что при ю >^г

(11)

(12)

Требуя, чтобы у1 равнялось нулю при г _ а, приходим к задаче о склейке вихревых (с постоянной завихренностью ю0) и потенциальных течений в круге СК:

о0 если у* < 0,

0, если у1 > 0

при краевом условии (12).

(13)

эта задача имеет два

таких решения, что существуют два круга Са1 и Са2 с радиусами а1 и а2 соответственно, в которых у* < 0 , и на их границах у* _ 0 .

Возьмем за Са, например, круг С а1 < а2. Так как в нем у* < 0, то и у* < 0, как это следует из неравенства (10). 4Се

Если ю0 _ —— , то имеется только один круг, на граК

нице которого у* _ 0 [5], и в этом случае за Са возьмем этот круг. _

Функция у* - гармоническая в Б \ Са, и у |г> 0, у* | < 0 . Отсюда следует, что существует аналитичес-

кая кривая у1 (линия уровня гармонической функции у*), на которой у* _ 0. Линия у1 лежит вне области Са1 . Кривая у1 не может самопересекаться, так как в этом случае образуется область В* с Б \ Са, на границе которой гармоническая функция у* _ 0. Тогда она тождественно равна нулю в В , а отсюда в силу аналитичности она тождественно равна нулю всюду вне Са, что невозможно в силу граничных условий.

Построим последовательность функций у п, сходящихся к решению рассматриваемой задачи. Пусть В1 -полученная область отрицательности функции у*. Ясно, что Са содержится в В1 . Положим

у1 _у ,

у2 _у0 -Р(у1 )О(х,у,х1,у1)ху1. (14)

2— В1

Представим Р (у) в виде Р(у) _Ю0 + (Р(у) -Ю0) _Ю0 + Ф(у), Ф(у) > 0. Учитывая, что В1 з Са, запишем В1 _ Са +Д1. Тогда

у 2 -у1 _Ю СС -

2— Са

- у-Ц Р (у*)О^1ёу1 _

2— В1

_ "Ют- СС охух - 2-СС Р (у’‘ ^х1ёу1 -

- 2"— СС Р (у*)Оху1 _

2— Д1

_-^Т"СС Ф(У*'УОdхldyl -

2— Са

- ^ССР <у' )Оёх1ёу1 < 0.

2— Д1

Отсюда у 2 <у1 и у 2 < 0 в области В1.

Аналогично предыдущему имеем линию у 2, лежащую вне области В1, на которой у 2 _ 0 . Пусть В2 - область отрицательности функции у 1, В2 з В1. Продолжая этот процесс, получаем последовательность областей Вп и функций

уп _у0 -2-[[Р(уп-1)ОМу1, п _2,3,....

Са

Докажем, что уп+1 < уп. Положим уп < уп-1. Тогда Вп з Вп-1 и Вп _ Вп-1 и Дп (мера Дп > 0). Учитывая, что Р (у) - невозрастающая функция, получим

у п+1 -у п _ -1 ССР (у п-1)О^х1^у1-

2— Вп-1

- 2-ССР (у п )Ому1 _

2— Вп

_- сс [ р (у п-1) - р (у п )°ху1 -

2— Вп-1

-"21— ССР(уп)GdXldyl < 0. (15)

2— Дп

Таким образом, у п+1 <уп и Вп+1 з Вп. Мы получили монотонно убывающую последовательность функций уп , ограниченную снизу:

уп _у0- 2- ССР(уп-1)Оху1 >у0-

- 2— СС оху1 > у 0- 2^СС

Вп-1 Б

и монотонную последовательность областей В0 с В1 с... с Вп с..., содержащихся в области Б . Отсюда вытекает, что последовательность уп сходится вместе с последовательностью вложенных областей Вп [8]. Обозначим у_ Иш уп, В _ Иш Вп и докажем, что

п—— ¥ п—— ¥

предельная функция у непрерывно дифференцируема в области Б .

К

Исходя из свойств интеграла типа плоского потенциала с логарифмической особенностью, заключаем, что уп имеет внутри области Б непрерывные частные производные, удовлетворяющие условию Гельдера, причем показатель а и константа Гельдера не зависят от п [7], так что последовательность уп равномерно ограничена и равностепенно непрерывна в С1 (Б). По теореме Ар-цела последовательность уп компактна в пространстве непрерывно дифференцируемых функций С1 (Б). Значит, имеется подпоследовательность ущ , сходящаяся к функции, непрерывно дифференцируемой в области Б. Отсюда с учетом того, что сама последовательность уп сходится, следует, что ее предельная функция у (х, у) непрерывно дифференцируема в области Б .

Пусть у - граница области В . Возьмем произвольную точку (х*,у ) е у. Так как

у _ Иш у п, В _ Иш Вп,

п—— ¥ п—— ¥

то в произвольной 5-окрестности точки (х*, у*), начиная с некоторого номера, находятся и точки из Вп и у п. А теперь возьмем последовательность точек (хп, уп) еуп и (хп, уп), которые принадлежат выбранной окрестности точки (х*,у ). По построению у п _ 0 на у п, так что у п (хп, уп) _ 0.

Для произвольного е > 0 найдется такое число N, что при п > N вследствии равномерной сходимости последовательности уп

* * * * е

I уп (х , у ) -у(х , у )|< 2

и вследствие равностепенной непрерывности

1 уп(хп, уп)-у п(х*, у*)|<^2.

Далее имеем

I у(х*,у*)|_| у(х*, у*) - уп (х*, у*) +

+у п (X*, у*)-у п (хп , уп )|£

< | уп(х*,у*)-у(х*,у*) | +| уп(хп,уп)-

-у п(х\ у*)|< е + е _е

В результате получим | у(х*,у*) |<е . В силу произвольности е заключаем, что у(х*,у*) _ 0.

Покажем, что в точках, где у < 0, Ду _ Р(у). Пусть в точке М0(х0,у0) у < 0 . Точка М0, начиная с некоторого N, будет принадлежать всем областям Вп, п > N . В силу непрерывности у можно взять круг Се с центром в точке М0 радиуса е, который также будет принадлежать всем областям Вп, п > N, границей Се будет уе.

Рассмотрим последовательность задач

Ду _ Р(п ,), V I _у I .

п V п-1 п I уе ' п |уе

За решение возьмем уп _уп.

Полагая у п _у *п +у 0, где у 0 - гармоническая в круге Се функция, принимающая на уе значения у п, получаем

Дуп _ Р (уп-1 +у0) _ Р1(х y, уп-1), (16)

уп I _ 0 (17)

у е

Задача (16), (17) в условиях теоремы рассмотрена в монографии Р. Куранта [7], где доказано, что предельная функция у _ Иш уп является в Се решением уравнения

п—— ¥

Ду* _ Р1(х,у,у*Ь

а значит

Ду _ р (у). _

Теперь возьмем точку М0 е Б, не принадлежащую В и у в точке (х0, у0) больше нуля (здесь В_ не совпадает с Б). Возьмем такое е, что в Се нет точек Вп. Вне Вп функции уп гармонические и неотрицательны. Таким образом, в круге Се имеем сходящуюся последовательность убывающих гармонических функций у п. Из второй теоремы Гар-нака для гармонических функций следует гармоничность предельной функции в Се [7]. Так как М0 из Б \ В - произвольная точка, то у * - гармоническая функция во всех точках, в которых она больше нуля. Следовательно, предельная функция у является решением исходной задачи (6), (7).

Таким образом, нами была обоснована модель отрывных течений идеальной несжимаемой жидкости М. А. Лаврентьева с произвольной, положительной, невозрастающей, ограниченной завихренностью.

Библиографический список

1. Лаврентьев, М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М. : Наука, 1973.

2. Гольдштик, М. А. / М. А. Гольдштик // Докл. АН СССР. 1962. Т. 147, №> 6. С. 1310-1313.

3. Вайнштейн, И. И. Движение идеальной жидкости с завихренными зонами : дис. ... канд. физ.-мат. наук / И. И. Вайнштейн. Новосибирск, 1972.

4. Ламб, Г Гидродинамика / Г Ламб. М. : Гостехиздат, 1947.

5. Гольдштик, М. А. Вихревые потоки / М. А. Гольдш-тик. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1981.

6. Смирнов, В. И. Курс высшей математики. В 4 т. Т. 4 / В. И. Смирнов. М. : Гостехиздат, 1951.

7. Курант, Р. Методы математической физики. В 2 т. Т. 2 / Р. Курант, Д. Гильберт. М. ; Л. : Гостехиздат, 1951.

8. Хаусдорф, О. Теория множеств / О. Хаусдорф. М. : ОНТИ, 1937.

I. I. Weinstein, P. S. Litvinov

M. A. LAVRENTEV MODEL ABOUT PASTING VORTICAL AND POTENTIAL CURRENTS OF THE IDEAL LIQUID

In work the theorem of the non trivial solutions existence (with a vortical zone of a current) in M. A. Lavrentev model separated currents of the ideal liquid with any vorticity is proved.

Keywords: vortical current, potential current, M. A. Lavrentev model of separated currents, integrated equations.

© Вайнштейн И. И., Литвинов П. С., 2009