Модель левитационной силы магнитолевитирующего поезда Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Раздел 1. НАУЧНЫЕ И ПРАКТИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ

УДК 629.439

В. А. Поляков, Н. М. Хачапуридзе

Институт транспортных систем и технологий Национальной академии наук Украины (Днепр, Украина)

МОДЕЛЬ ЛЕВИТАЦИОННОЙ СИЛЫ МАГНИТОЛЕВИТИРУЮЩЕГО ПОЕЗДА

Дата поступления 22.07.2017 Решение о публикации 26.10.2017

Аннотация:

Цель. Реализация левитационной сил (ЛС) магнитолевитирующего поезда (МЛП) происходит в процессе взаимодействия магнитных полей токов сверхпроводящих поездных (СПК) и короткозамкнутых путевых контуров (КПК), являющихся элементами левитационного узла (ЛУ). Исходя из этого, целью настоящего исследования является получение корректного описания такого взаимодействия. На современном этапе, основным и наиболее универсальным инструментом анализа и синтеза процессов и систем является их математическое и, в частности, компьютерное моделирование.

Методика. В то же время, радикальные преимущества этого инструмента делают ещё более важной прецизионность выбора конкретной методики проведения исследования. Особую актуальность это имеет по отношению к столь большим и сложным системам, какими являются МЛП. По этой причине, в работе особое внимание уделено аргументированному обоснованию выбора селективных особенностей исследовательской парадигмы.

Результаты. Результаты анализа существующих версий модели процесса реализации ЛС свидетельствуют о том, что каждая из них, наряду с преимуществами, обладает и существенными недостатками. В связи с этим, одним из основных результатов исследования должно явиться построение математической модели указанного процесса, сохраняющей преимущества упомянутых версий, но свободной от их недостатков. В работе аргументировано обоснована рациональность применения, для целей исследования ЛС поезда, интегративной холистической парадигмы, ассимилирующей преимущества теорий электрических цепей и магнитного поля.

Научна новизна. Приоритетность создания такой парадигмы, а также соответствующей версии модели реализации ЛС составляют научную новизну исследования.

Практическая значимость. Основным проявлением практической значимости работы является возможность, в случае использования её результатов, существенного повышения эффективности динамических исследований МЛП при одновременном снижении их ресурсоёмкости.

Ключевые слова: магнитолевитирующий поезд; математическая модель левитации; интегративная исследовательская парадигма.

Введение

Токи и поля контуров ЛУ МЛП - компоненты единого электромагнитного субпроцесса гиперпроцесса электромеханического преобразования энергии. Моделирование этих компонентов вполне возможно [1] в рамках парадигм теорий электрических цепей и электромагнитного поля. Поэтому существующие версии математической модели ЛС МЛП построены [1 - 3] исходя из упомянутых парадигм. Анализ свойств упомянутых версий модели свидетельствует о том, что каждая из них обладает как преимуществами, так и недостатками. Их общая положительная черта - достаточная функциональность. Основной же имманентный недостаток таких версий - нестационарность дифференциальных уравнений, вызванная циклической переменностью их коэффициентов, соответствующих собственным и взаимным индуктивностям КПК ЛУ как между собой, так и со СПК, в зависимости от положения поезда. Это существенно затрудняет решение задач описываемой динамики [4], радикально снижая практическую ценность версий модели.

Задача исследования

Изложенное выявляет [5 - 7] актуальность создания математической модели ЛС МЛП, ассимилирующей достоинства имеющихся версий такой модели, но свободной от их недостатков. Синтез такой модели является основной задачей настоящей работы.

Методика исследования

Электромеханическое энергопреобразование ЛУ МЛП осуществляется в процессе взаимодействия полей токов СПК и КПК. Поэтому паттерном ЛС поезда является взаимодействие тока элемента СПК с полем токов КПК. Такое взаимодействие может быть описано выражением закона Ампера [8]:

1р7= 1 Ру ■ Ву Япа^, (1)

где - сила, действующая на у -тый элемент р -го СПК;

1ру, , Врг ,ару - длина элемента, ток в нём, индукция поля, в

котором элемент находится, а также угол между ¡Ру и Вру .

Расчётные схемы СПК и секций КПК приняты, соответственно, в виде наборов гальванически не связанных проводящих прямоугольных рамок, а также пар идентичных прямоугольных катушек, соединённых согласно нуль-поточной схеме [1]. Тогда ЛС поезда определима как векторная сумма величин

/Хх V X е [1, N], х е [1,4], каждая из которых, - это результат взаимодействия тока

одного из элементов СПК с полем токов взаимодействующих с ним КПК. В последнем выражении, N - число упомянутых СПК. Динамика электромагнитного компонента такого взаимодействия определяется уравнениями второго закона Кирхгофа [8]. Подсистема "СПК - КПК", как правило, вырождена [6] - ёмкостные показатели её элементов пренебрежимо низки. Потому, в инерциальной системе отсчёта Q£pVpе[(х -Е),(х@ + Е)], модель электромагнитного компонента взаимодействия р -го СПК с учитываемыми (в этом взаимодействии) КПК имеет вид [8, 9]:

ё п т ё

° ф = 'JtiР + Lи 'It^ + Гр'iр MG V{Xp "Е)'{Хр + Е)]; (2)

°pp=°Upp-°1pp ; °Крр=-d {Mpp- ls)

dt

VP e [(Хр-Е),(Хр +Е)] ,K = p = I, (3)

где акрр V р е [(хз -Е),(хр + Е)],к = иV к = I - электродвижущие силы (э. д. с.) в катушках р -го КПК при изменениях сцеплений с их подконтурами потока тока 1р цепи р -го СПК;

L рр , Lpu, r р V р, ¡и е [(Хр - Е), (%р + Е)] - собственные и взаимные

индуктивности, а также активные сопротивления КПК;

Хр - номер (от начала участка трассы, вдоль которого происходит

движение МЛП) последнего КПК, поперечную осевую линию которого миновала поперечная осевая линия р -го СПК;

Е - половина числа КПК, с которыми учитывается электромагнитное взаимодействие каждого СПК;

iр, iи V р,и е [(Хр - Е), (Хр + Е)] - токи КПК;

МРр Vр е [(хр -Е),(хр + Е)], к = иур = I - взаимные индуктивности между р -ым СПК и катушками взаимодействующих с ним КПК; I - текущее время.

Благодаря принятым конструкционным мерам [1], значения токов Iх

VXe [1,К], изменяются достаточно медленно и, на интервалах, соизмеримых со временем наблюдения движения поезда, могут считаться равными между собой и постоянными

i] = is = const VXe [1,К], (4)

где К - число СПК, установленных на МЛП. Значение же Е нужно выбирать так, чтобы по обеим сторонам от каждого р -го СПК в КПК,

предшествующих, а также следующих за учитываемыми, величины <jKр V р <

^р-Еу р> Хр + Е, к = и V ,к = I даже в неравновесном состоянии ЛУ, были бы пренебрежимо малы.

СПК и КПК взаимоподвижны. Поэтому Ьрр, Ьр/, МрЛ

Vр,/е [(хл-Е),(хл+Е)], Ле [1,К], к = иук = I имеют циклически изменяющиеся во времени значения. Это, в свою очередь, приводит к нестационарности коэффициентов уравнений (2), (3) и, как отмечено, существенно снижает практическую ценность версии модели. С целью устранения указанного недостатка, реализацию слагающих ЛС МЛП следует рассматривать относительно координатных систем, в каждой из которых рассматриваемый СПК и учитываемые во взаимодействии с ним КПК условно взаимно неподвижны. В таком качестве, удобнее всего принять [5]

отсчётные системы CЛц/iVЛе [1, К ], /е [1,3], каждая из которых жёстко

связана с Л-ым СПК. Инерциальными С/ V Ле [1, К ], /е [1,3], в общем случае, не являются. В то же время, весьма желательно [10], чтобы уравнения, описывающие динамику электромагнитного компонента взаимодействия СПК с КПК, имели тензорный характер. Такие уравнения могут быть получены [11], из равенств типа (2), путём замены в них локальных

производных & абсолютными ^, а также перехода в модели (2), (3) к & &

координатам ц^Ле [1,К], /е [1,3]. Соотношение между упомянутыми производными, как известно, имеет вид [11]:

еа '®а-а/,уе [1,3], (5)

Б м _ & & а &

где е V¡и,у е [1,3], соа - символ Леви-Чивита, а также вектор угловой

скорости вращения С/ V /е [1,3].

После указанной замены, соотношения, полученные из (2), приобретают тензорный характер. Поэтому, в частности, их форма становится инвариантной по отношению к координатам, в которых они

записаны. Переход же к координатам //V /е [1,3] осуществим согласно

выражениям:

ц// = З/ ■ £р V р е [(Ха-Е),(Ха+Е)];/ е [1,3] (6)

где Зр - матрица преобразования координат:

дп// - —

З/ =д/рУре [(Ха - Е),(Ха +Е)]; /е [1,3]. (7)

д£р

На оси ц/ V/е[1,3] и ерУре[(ха -Е),(ха +Е)] могут проецироваться любые векторные величины, характеризующие электродинамику взаимодействия СПК и КПК в системах отсчёта соответственно Сац

ап

V и е [1,3] и Qsp V р е [(ха - Е), (ха + Е)]. В частности, ими могут быть векторы токов, э. д. с. и индукции полей.

Выражения для связей вида

€ = € (ер) Vр е [(Жа-Е),(Жа+Е)]; и е [13] (8)

могут быть получены исходя из того, что [5], в процессе описываемого координатного преобразования, его инвариантами являются амплитуды токов в рассматриваемых контурах, а также их э. д. с.

С помощью же матрицы

дер

^р=Т-и = ($ииУ V р е [(ха -Е),(ха +Е)];и е [1,3], (9)

и € р

1а

осуществимо обратное преобразование

£р = V р е [(ха - Е),(ха + Е)];и е [1,3]. (10)

В выражениях (3) для окрр^ р е [(хр-Е),(хр +Е)], р=и ур=I, Мкр

V р е[(хр-Е),(хр + Е)], к = и ур = I существенно зависят, в частности, от

взаимного расположения рассматриваемого р -го СПК и КПК, взаимодействие с которыми для него рассматривается. Поэтому

Мрр = МКрр (мр) V р е [(хр-Е),(хр+Е)], к = иур = I, (11) где Мр - координата, определяющая текущее положение

рассматриваемого р -го СПК относительно начала отсчёта движения МЛП вдоль оси пути. При этом, поскольку КПК вдоль трассы движения поезда располагаются регулярно, последние зависимости имеют гармонический характер. В то же время, современные способы измерения позволяют [12] экспериментально-расчётными методами со вполне приемлемой точностью определять значения взаимных индуктивностей контуров магнитосвязанных электрических цепей при различном текущем их пространственном взаиморасположении. Это, в свою очередь, позволяет, используя упомянутые методы, поточечно строить искомые зависимости (11) на требуемой сетке Мр

. Далее, с использованием методов, например, полиноминальной регрессии [13], реализация которых доступна в ряде современных систем компьютерной математики (например, МаШетайса), зависимостям вида (11) может, с сохранением достаточно высокой точности содержания, быть придана форма аналитических выражений. Помимо того, с учётом равенств (4), выражения (3) могут быть преобразованы к виду

• И

и I К ' ё , ш- р

°рр=°рр-°рр ; °рр=-*.! ■ Мрр

V р е [(хр -Е), (хр +Е)], к = и V к = I, (12)

где wр - скорость продольного (вдоль касательной к оси) движения рассматриваемого р-го СПК относительно пути. Значения ——МКр

V ре [(Хр - Е), (Хр + Е)], р — и ук = I для подстановки в выражения (12)

могут быть получены с использованием, созданных описанным путём в форме аналитических выражений, зависимостей вида (11). Таким образом,

каждый из р векторов &рр V р е [(Хр - Е), (Хр + Е)] оказывается

определёнными в системе отсчёта QsРV ре [(Хр-Е),(Хр+Е)]. Далее, с использованием соотношений вида (6) - (8), каждый такой вектор может быть определён в системе СрЦц V /е [1,3] проекциями &^ / е [1,3].

После преобразований, уравнения, полученные из (2) и (3) путём их трансформации в триэдр СрЦц V /е [1,3] с использованием соотношений

(5) и (6), приобретают вид

/л Л /

-Г+ еру-Юр-г

+ V

Г , в

—I + егрв-®р

+ г -У

Vи1 У V &

V/,у, г,ве [1,3]; (13)

— Зр ■ &рр V р е [(Хр - Е), (Хр +Е)]; /е [1,3]

• л

и I Р * ^^ л л~ Р

°рр—°рр-°рр ; °Pр—-is■Wр■ М Рр

vре[(xр-е),(xр+е)] ,р — и ур — I. (14)

Уравнения (13) имеют постоянные коэффициенты, являются тензорными и описывают токовую динамику ЛУ МЛП в координатах I>/ V /е [1,3]. После их (как правило - численного) разрешения относительно этих переменных, последние, с использованием соотношений (10), преобразуются в координаты гр V ре [(Хр - Е), (Хр + Е)], значения которых

определяют реальные токи в цепях КПК.

Магнитная цепь ЛУ предполагается ненасыщенной [1]. Поэтому она может считаться условно-линейной подсистемой и, следовательно, к ней применим принцип аддитивности. Исходя из этого, результирующее поле токов КПК в любой точке геометрического пространства ОНу Vу е [1,3], в

котором реально движется СПК относительно КПК, может описываться как сумма полей, создаваемых в этой точке токами отдельных модулей КПК:

Вур — Вурр * ер; ер — 1; Vр е [(Хр - Е),(Хр + Е)], у е [1,3], (15)

где Вур,Вурр Vре [(Хр -Е),(Хр + Е)],уе [1,3] - пространственные компоненты индукции поля, создаваемого всеми (учитываемыми во

взаимодействии с р -ым СПК) модулями КПК, а также отдельными такими модулями в рассматриваемой точке этого пространства. В свою очередь, значения компонентов BrарV/е [1,3] для каждого а-ого модуля КПК, определимы соотношениями

Вгар аа ) = ВГар (1а ) - ВГар ^ ) V Г е [1,3] , (16)

где Врар V г е [1,3], к = и vр = I - пространственные компоненты индукции поля токов катушек а-го КПК (взаимодействующего с р -ым СПК).

Выражения же для определения значений Вкрр (¡р)

Vр е [(хр -Е),(хр+ Е)], г е [1,3], к = иvр = I имеют вид [14]:

р

вкрр = --

л.тг i

Р^к^ р, €) + ^^ р, €)

4 •п

^12 (к2, + ^12(к4, ц , €)

Ц2=хо+1+ё

Ц1=х„ +1

<Р2=Хк-1-ё

Я=х0-' €2 = 20 -к

€1 = 20 + k

ВВкрр

4 •п

¥х1(кх, р, €) + ^12 (к4, р, €)

Ри(к2,Ц ,€) + ^(^Ц , €)

€2 = 20-к ) €1 = 20 +к к + р

ц2=У0+

Щ=х0+1 € = 20-к

^12(к , 9 , €)

ۥarctg

ц1 = У0+а

к •(-€

€1 = 20 +к 2

(к + р)2 + р2

(• ar.sk

к , к + 2 •(

( + € л/2 д/к2 + 2 • €

Взкрр

Г

4 •п

/30(к!, 9, € + /Ж, Р , €

I €2=20-k

€1 = 2о + k

(2=^0-а-ё

9 =Уо-

+

/3 (к2 , ц, € + /30(к3, ц, €

/31(к! , р , €) + /31(к3, 9 , €)

ц=у^+а+ё

+

ц1 = у0+а

92=хп-I-ё

(1=х0

/31(к2 , ц ,€ + /31 (к4 , ц , €)

Ц2 =хд+1+ё

Ц1=Х0 +1

€2 = 20 ^

€1 = 20 + k

^ е[(хр - Е),(хр + Е)], к = и vр = I;

р

>

р

=Хд +/ + Я

I

>

>

г П \ 1 к + Ф * (к+ ф)' Ч

/31(к, р, ч) = -4' атБП^= + ф' arctg

ф2 +ч2 ' " ф'4(к + ф)2 +ф2 +Ч2

/•/г ч г к + 2' р , (к + 2' р) 'Ч

/з2(к, Ч) = ^2 'Ч' агяк , - к'агс^-. ;

д/к2 + 2' ч к' у!(к + р)2 +р2 +ч

/з(к, ч) = /з1(к, ч) + /з2(к, ч);

к1 =-к1 =[(Уо - а) - (хо -1)]; к2 = к 2 =[(у о + а) - (хо +1)];

к3 = кз =-[( Уо+ а) + (хо-1)];

к4 = к4 = -[(уо - а) + (Хо +1)], (17)

где г Vр е [(х^ - Е),(хр + Е)] - плотности токов в обмотках КПК;

2' к, й - высота и толщина каждой такой обмотки;

2' I, 2' а - размеры её же внутреннего пространства;

хо, уо, z0 - координаты точки пространства, в которой описывается

поле.

В выражениях (17), кроме того:

1р = о,5' 1р' д ' (к' й)(-1) V ре [(хр -Е), (хр +Е)], (18)

где д - число витков обмотки КПК.

Далее, в (18) последовательно подставляются значения токов Iр Vре [(хр -Е),(хр + Е)] и, согласно (15) - (17), находятся компоненты Бр

V/е [1,3] индукции поля, создаваемого токами КПК, учитываемых во

взаимодействии с р -ым СПК.

Пространство системы ОЕ Vfе [1,3] - евклидово. Поэтому

мгновенное значение модуля вектора полной индукции поля, компоненты которого были определены, может быть определено выражением

Бр=Л/БрГ7; ег = 1 V/е [1,3]. (19)

Соотношение же значений упомянутых компонентов БrрV/е [1,3]

определяет собой направление вектора Бр .

Поскольку геометрические размеры элементов обмоток СПК определяются их конструкцией, а направления векторов токов таких элементов может считаться совпадающим с их продольными осями, то, таким образом, оказываются известными все величины, входящие в выражения для определения значений ЛС МЛП, чем завершается построение искомой модели этой силы.

Результат исследования

Создана интегративная парадигма моделирования ЛС МЛП, ассимилирующая достоинства теорий цепей и поля, но свободная от их недостатков. Построена математическая модель такой ЛС, не имеющая дефектов предыдущих версий модели. Этим решена задача настоящей части исследования.

Научная новизна и практическая значимость исследования

Научную новизну исследования составляют приоритетность создания интегративной холистической парадигмы моделирования ЛС МЛП, а также соответствующей версии модели реализации ЛС. Основным проявлением практической значимости работы является возможность, в случае использования её результатов, существенного повышения эффективности динамических исследований МЛП при одновременном снижении их ресурсоёмкости.

Вывод

Холистичность и интегративность созданной парадигмы исследования позволили существенно повысить качество математической модели ЛС МЛП, созданной с использованием такой парадигмы. Её использование в процессе динамических исследований МЛП позволит повысить их эффективность и снизить ресурсоёмкость.

Библиографический список

1. Дзензерский В. А. Высокоскоростной магнитный транспорт с электродинамической левитацией / В. А. Дзензерский, В. И. Омельяненко, С. В. Васильев, В. И. Матин, С. А. Сергеев - К.: Наук. думка, 2001. - 479 с.

2. Dumitrescu M. Magnetic suspension applications on the railway traction for high speed maglev trains / M. Dumitrescu, V §tefan, C. Ple§can, C. I. Bobe, G. M. Dragne, C. N. Badea, G. Dumitru // Bulletin of the Transylvania University of Bra§ov. - 2015. CIBv • Vol. 8 (57) Special Issue № 1. - P. 233-244.

3. Wairagade A. K. R. Magnetic Levitation Train / A. K. R. Wairagade, M. B. H. Balapure, P. Ganer // Journal for Research - 2015. - Vol. 01. - Iss. 08. - P. 1-5.

4. Tandan G. K. A Review on Development and Analysis of Maglev Train / G. K. Tandan, P. K. Sen, G. Sahu, R. Sharma, S. Bohidar // International Journal of Research in Advent Technology. - 2015. - Vol. 3, №2 12 - P. 14-17.

5. Сипайлов Г. А. Электрические машины (специальный курс) / Г. А. Сипайлов, Е. В. Кононенко, К. А. Хорьков - М.: Высш. шк., 1987. - 287 с.

6. Львович А. Ю. Электромеханические системы - Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. - 296 с.

7. Копылов И. П. Математическое моделирование электрических машин - М.: Высш. шк., 2001. - 327 с.

8. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи - М.: Высш. шк., 1996. - 578 с.

9. Арменский Е. В. Единая теория электрических машин / Е. В. Арменский, И. В. Кузина. - М.: Изд-во Московск. ин-та электрон. машиностроен., 1975. - 256 с.

10. Крон Г. Применение тензорного анализа в электротехнике / Г. Крон. - М., Л.: Госэнергоиздат, 1955. - 275 с.

11. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. - М.: Наука, 1967. - 644 с.

12. Панфилов В. А. Электрические измерения / В. А. Панфилов.

- М.: Издат. дом "Академия", 2006. - 288 с.

13. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Е. Корн. - М.: Наука, 1973. - 831 с.

14. Бирюков В. А. Магнитное поле прямоугольной катушки с током / В. А. Бирюков, В. И. Данилов // Журнал технической физики. - 1961.

- Т. XXXI, № 4. - С. 428 - 435.

Сведения об авторах:

ПОЛЯКОВ Владислав Александрович: кандидат технических наук; старший научный сотрудник; старший научный сотрудник; Институт транспортных систем и технологий Национальной академии наук Украины Е-mail: [email protected]

ХАЧАПУРИДЗЕ Николай Михайлович: кандидат технических наук; старший научный сотрудник; заместитель директора по научной работе; Институт транспортных систем и технологий Национальной академии наук Украины Е-mail: [email protected]

© ПОЛЯКОВ В. А., ХАЧАПУРИДЗЕ Н. М., 2017

UDC 629.439

Vladislav A. Polyakov, Nicholas M. Hachapuridze

Institute of Transport Systems and Technologies of Ukraine's National Academy of Sciences (Dnepr, Ukraine)

MODEL OF A MAGNETICALLY LEVITATED TRAIN'S LEVITATION FORCE

Date of receipt 22.07.2017 Decision to publish on 26.10.2017

Annotation. The implementation of the magnetically levitated train's (MLT) levitation force (LF) occurs during the interaction between fields of superconductor train (STC) and short-circuited track contours (SCTC), which are the elements of levitation module (LM).

Purpose. Based on above, the purpose of this study is to obtain a correct description of such interaction. At the present stage, the main and the most universal tool for the analysis and synthesis of processes and systems is their mathematical and, in particular, computer modeling. At the same time, the radical advantages of this tool make even more important the precision of choosing a specific methodology for research conducting.

Methodology. This is particularly relevant in relation to such large and complex systems as MLT. For this reason, the work pays special attention to the reasoned choice of the selective features of the research paradigm. The analysis of existing versions of LF implementation's models show that each of them, along with the advantages, also has significant drawbacks.

Results. In this regard, one of the main result of the study should be the construction of this force implementation's mathematical model, which preserves the advantages of the mentioned versions, but would be free from their shortcomings. The rationality of application, for the train's LF researching, of an integrative holistic paradigm, which assimilates the advantages of the electric circuit and magnetic field theories, is reasonably justified in work.

The scientific novelty of the research. The priority of creation of such a paradigm and the corresponding version of the implementation of LF's model account for the novelty of the research.

Practical significance of the work. The practical significance consists in the possibility, in case of using its results, of significantly increasing the efficiency of dynamic MLT research while reducing their resource costs.

Keywords: magnetically levitated train (MLT), mathematical model of levitation, integrative paradigm of research.

Introduction

Currents and poles of contours of levitation junctions of MLT are the elements of one electromagnetic hyperprocess of electromechanical conversion of the energy. It is quite possible to simulate them [1] within the paradigms of electric circuits and magnetic field theories. Therefore, the existing versions of mathematical model of MLT's LF are built [1 - 3] basing upon these paradigms.

Analysis of the properties of the mentioned versions of models signifies that each of them possesses both advantages and disadvantages. Their common advantage is sufficient functionality. Yet the basic immanent drawback of these versions is non-stationary feature of differential equations, caused by cyclic variability of their coefficients, which correspond to self-inductance and mutual inductance of short-circuited track contours (SCTC) of LF both among each other and among superconductor train contours (STC), depending on the position of a train. This significantly complicates solution of tasks of the described dynamics [4], drastically decreasing practical value of model versions.

Purposes of the Studies

The introduction above reveals [5 - 7] relevance of creation of mathematical model of LF of MLT, which assimilates the advantages of both existing versions of the model, but free of their drawbacks. Creation of this model is the basic task of this work.

Methodology

Electromechanical conversion of LF of MLT is carried out in the process of interaction of poles and currents of SCTC and STC. Therefore, the pattern of LF of a train is an interaction of STC's element current with current pole of SCTC. This interaction may be described by Ampere's force law expression [8]:

fpY= lpr -ip -Bpy ■Swap^ (1)

r th CsA o^^orrf /"V"P /? th

where fpy - force, which exerts on yth element of pth STC;

iPr,i , Bar apy

lp , ip, Bpy, ap - the length of the element, current in it, pole inductance,

in which the element is located, and the angle between ip and Bpy .

The design schemes of SCTC and STC are taken as sets of galvanically isolated conducting rectangular frame and pairs of identical rectangular coils, connected in accordance with zero-flow scheme [1]. In that case, the levitation force (LF) of the train is determined as vector sum of quantities fXx V X e [1, N], x e [1,4], each of which

is a result of interaction of current of one element of STC with the pole of currents forming SCTC with it. In the last expression, N is the number of superconductor train contours (STC). The dynamics of electromagnetic component of such an interaction is determined by equations of Kirchhoffs second rule [8]. The subsystem of "STC- SCTC", as a rule, is degenerate [6], namely, their capacity indices are very low. Therefore, in the inertial system QspVpe[(xp -E),(Xp + E)], the model of

electromagnetic component of interaction of pth STC with SCTC considered, has the form [8, 9]:

V Pp = L pp • Jfip + L № • rp • iP V p,Mg [(xp - E),(Xp + E)]; (2)

°pp=°Upp-°1pp ; °Kpp=-d {Mppp- is)

dt

VP g [(Xp-E),(Xp +E)] ,p = p vp = I, (3)

where cjKpp V p g [(xp - E), (xp + E)], p = p vp = l - electromotive force (EMF) in coils of p th of short-circuited track contours with changes of coupling with subcontours of current ip in circuit pth superconductor train contours;

L pp , r p V p, jue [(xp - tyXXp + E)] - own and mutual inductances

and active resistances of short-circuited track contours;

Xp - number (from the onset of a track section on which the magnetically

levitated train runs) of the last short-circuited track contour the transverse section of which was passed by transverse section of pth short-circuited track contour;

E - half of the figure of short-circuited track contours with which the electromagnetic interaction of each superconductor train contour is considered;

ip, V p, j e[(Xp -E),(Xp +E)] - short-circuited track contours currents;

MKp V p g [(xp - E),(xp + E)], p = p v p = l - mutual inductances

between pth superconductor train contour and coils of interaction with short-circuited track contours; t - time.

Owing to the accepted design measures [1], values of currents is

V X g [1, K], are changed rather slowly, and in intervals commensurate with the time of observing the train traffic, may be considered equal and constant

ixs = is = const VX g [1, K], (4)

where K - a number of superconductor train contours installed in magnetically levitated train. The value of E should be chosen in a way that on both sides of each pth superconductor train contour in short-circuited track contour,

preceding and following the quantities considered, the values vpppV p < Xp - E v

P >Xp + E, p = p v,p = l even in the non-equilibrium state of levitation module

should be negligibly low.

Superconductor train contours and short-circuited track contour are mutually movable.

Therefore, Lp, Lj MKpX V p, jg [(Xx-E),(Xx+E)], Xg [1,K], k = uwk = l possesses cyclically varying values in time. This, in its turn, leads to non-stationary coefficients of equations (2), (3), and significantly decreases practical value of the version of the model. In order to eliminate this disadvantage, the realisation of elements of levitation force of MLT should be considered with

respect to coordinate systems, in each of which the considered superconductor train contour and interaction with it short-circuited track contour are conditionally mutually immovable. In this capacity, it is most convenient to accept [5] counting

systemsVXe [1,K], j e [1,3], each of which is rigidly connected with Xth

superconductor train contour. Generally, CXru VXe [1,K],¡ue [1,3] are not inertial. At the same time, it is highly desirable [10] that equations describing dynamics of electromagnetic component of interaction between superconductor train contour and short-circuited track contour should have tensor property. These

equations may be obtained [11] out of equations of type (2) by their derivatives d

dt

being replaced by absolute D, as well as by means of transition in models (2), (3)

dt

to coordinates rUu VX e [1, K ], ¡ue [1,3]. The relation between the above-mentioned derivatives, as it is known, is given as follows [11]:

dt11ßßaV [1,3] , (5)

D u d

—r = — dt a dt

where euavVu,ve [1,3], ca - Levi-Civita symbol and angular rotating

velocity vector Caru Vue[1,3].

After the mentioned replacement, relations obtained out of (2) acquire tensor character. Therefore, their form becomes invariant in relation to

coordinates in which they are written, whereas transition to coordinates /UU Vue [1,3] is feasible according to the expressions:

lU=K-£PV pe [(Xa - E), (Xa +E)]; U e [1,3] (6)

where Sup - coordinate transformation matrix:

dnu - —

3U=irpVpe [(Xa - E), (Xa +E)]; u e [1,3]. (7)

OSP

On the axis /¡V ¡e[1,3] and sPVpe[(Xa -E),(Xa + E)] any vector value may be projected, which characterise electrodynamics of interaction of superconductor train contour and short-circuited track contour in the counting systems respectively

Caru Vu e [1,3] and Qsp Vpe [(Xa -E),(Xa + E)]. In particular, they can be vectors of currents, electromotive force and pole induction.

Expressions for connections

€=€(zp) Vpe [(Xa E),(Xa +E)];¡e [1,3] (8)

may be obtained assuming that [5] during the process of the described coordinate transformation, its invariants are amplitudes of currents in the analysed contours and their electromotive force.

With the help of the matrix, though

dsp

K=1TM = (3P VP e [(Xa -E),(Xa +E)1; M e [1,3] , (9)

M dvM P

the irreversible transformation is feasible

8P=&P-1MaV P e [(Xa-E),(Xa+E)]; Me [1,3]. (10)

In the expressions (3) for aKpßVpe[(Xß-E),(Xß+E)], k =uvk = l, MKpß

V p e [(Xß -E),(Xß + E)], k = uvk = l they are rather dependent upon mutual location

of the analysed ßth superconductor train contour and short-circuited track contour, the interaction with which is considered for it. Therefore,

MKß = M Kß (Wß) V p e [(Xß-E),(Xß+E)], k = uvk = l, (11) where Wß - coordinate determining the current location of the analysed ß

th superconductor contour in relation to the onset of magnetically levitated train movement along the axis of the track. In addition, since short-circuited track contour along the guidance is regularly located, last dependences have a galvanic character. At the same time, modern ways of measuring enable us, [12] by virtue of experimental and calculating methods, with quite acceptable accuracy to determine values of mutual induction of contours in magnetically connected electric circuits with their different location. This, in its turn, enables us, using the mentioned methods, to pointwise build the desired dependences (11) on the required net Wß. Furthermore, by means of polynomial regression [13], the

realisation of which is affordable in a number of computer mathematics systems (for instance, Mathematica), the dependences of (11), with a preservation of quite a high accuracy of content, may be given a form of analytical expressions. Apart

from that, considering equations (4), expressions (3) may be transformed into

•

U l K * ^^ 71 jf K

°pß=°pß-°pß ; °ß=-is ■ WßM ß

Vp e V(Xp-E),(X/J +E)] = u WK = l, (12)

where wp - velocity of longitudinal (along the tangent to the axis) movement of the analysed pth superconductor contour with relation to the guidance.

Values -^MKp V p e [(%„ - E), (xp + E)], k = u vk = l for substitution

dwp p

in the expressions (12) may be obtained using the described method in the form of analytical expressions, dependences of the (11). Thus, each of the vectors p

g ppVp e {(%p-E),(%p+E)] appears definite in the counting system Qsp

Vpe[(xp -E),(xp + E)]. Using the interactions of the (6) - (8), each of such vectors may be determined in the system Cp^^V^G[1,3] by projections &MpVM g[1,3].

After transformation, the equations obtained form (2) and (3) by means of their transforming into trihedral Cp^ V ^ g [1,3], using the interactions (5) and (6) acquire the view of

' d >

+ L,

- Lm

r a \ i a ^

r , „ „ 9

-f

d

—V + eTpe-ap -i v dt j

+ ^ •I "

Vdt y

Vju,v, r,9 e [1,3]; (13)

pe [(xp - E), (Xp +E)]; M e [1,3]

• r!

___U _l K d Ti/fK

°pp-°pp-°pp ; °p--is-wp-p

Vpe[(xp-E),(xp+E)] ,* = u vk = l. (14)

Equations (13) possess constant coefficients, are considered tensorial and describe the dynamics of currents of levitation modules in MLT, in coordinates

i mV^g [1,3]. After their (as a rule, numerical) resolution with respect to these

derivatives, the latter, with the use of interactions (10), are transformed into

coordinates ip V p g [(xp -E),(xp +E)], the values of which are defined real

currents in short-circuited contours circuits.

Magnetic circuit of levitation module is intended to be unsaturated [1]. Therefore it may be considered conditionally linear and, consequently, additivity may be applied to it. Based upon this, resulting field of currents in short-circuited track contour at any point of geometrical spaceOEy V/g [1,3], where

superconductor contour moves relatively to short-circuited track contour, may be described as sum of fields created in this point by currents of separate modules of short-circuited track contour:

Bp - Bp ■ ep; ep — 1 ;Vpe [X - E),(Xp + E)], y e [1,3], (15)

where Bp,Bypp Vpe [(xp -E),(Xp + E)],y e [1,3] - space components of

pole induction, created by all (those interacting with pth superconductor track contour) modules of short-circuited track contour , and such separate modules in the analysed point of this space. In its turn, values of the components Byap V y e [1,3] for each a module of short-circuited track contour are determined by relations

Byap (ia) - Bua (ia) - Blyap (ia ) Vy e [1,3], (16)

where BKyap V y œ [1,3], ^ = uvk = l - space components of induction of pole

of coil currents in a short-circuited track contour (interacting with p superconductor track contour).

Expression for determination of values of BKppp (ip )

Vp e[(Xp -E),(xp + E)], y œ [1,3], k = uvk = l are of the form [14]:

Bipp = --

a.tt i

F12(k1 , 9, 1) + F12 (k3, 9, 1)

4-n

F12 (k2, ¥ ,1) + F12 (k4 , ¥ , l)

¥2=xq+l+rf

¥1=x0 +l

l2 = z0 -h

l1 = zo + h

B*PP=-

4 - n

F12 (k1 , l) + F12 (k4, l)

F12(k2,¥ ,l) + F12(k3,¥ , l)

l2 = z0-h l1 = z0 +h k + 9

¥2=yo+

¥1=x0+l l2 = z0-h

F12(k , 9 , l)

l- arctg

¥1 = y0+a

k-9-I

l1 = z0 +h 2

l-^l (k + 9)2 +92 +12

9-arsh-

k , k + 2-9 —;=• arsh-

9+1 V2- ^k2+2 -

1

B3pp

f

4-n

/30 (k1, 9,1) + /30 (k4, 9 ,1)

12 = z0-h

11 = z0 + h

-a-rf

«1 =^0-'

+

/30(k2, ¥, 1) + /30(k3, ¥, 1)

¥2=^0+

+

/31(k1 , 9 ,1) + /31(k3, 9 ,1)

/31 (k2 , ¥.1) + /31(k4 , ¥\ 1)

¥1 = y0+a

92=xQ-l-rf

91=x0-l

¥2 +l+rf

¥1=x0 +l

12 = z0 -h

11 = z0 + h

VP œ [(Xp -E),(Xp + E)L p = uvk = l

p

/31(k, 9,1) = -1 - arsh

k + 9

9+1

+ 9- arctg-

(k + 9)-1

9-^1 (k + 9)2 +92 +1

= Xg-l-a

=x0-/

>

p

=Xg+l+a

I

>

f32(k, jj) = 42- rj- arsh ,k + 2 ^ - k ■ arctg- + 2 p( 7 .

Vk2 + 2-rj k-V(k + p)2 +p2 + j

f3°(k, 7 = f3i(k, 7 + f32(k, 7;

k1 =-k1 = [(y° - a) - (x° -l)];

k2 = k 2 =[( y° + a) - (x° +l)];

k3 = k3 =-[( + a) +(x°-1)];

k4 = k4 = -[(y° - a) + (x° +1)], (17)

where ipVpe[(^p-E),(Xp + E)] - current density in coils of short-

circuited track contour;

2 ■ h, d - height and thickness of each of this coil; 2 ■ l, 2 ■ a - size of its internal space;

x°,y°,z° - coordinates of space point, in which the pole is described; In expressions (17) besides there are:

ip = °,5 ■ ip -q- (h ■ d )(-1) Vpe [(*p-E),(*p+E)], (18)

where q - number of windings of short-circuited track contour coil.

Then, in (18) the values of currents ip Vpe[(%p -E),(%p + E)] are put

and, according to (15) - (17), the componentsBp Vy e [1,3] of pole induction are

located, which is created by currents of short-circuited track, considered in interaction with p superconductor track contour.

Space of the system OHy Vy e [1,3] - Euclidean. Therefore, instant value

of vector of module of full induction of pole, whose components have been determined, may be expressed as follows:

Bp=4 Byp -ey; ey = 1 Vye[1,3]. (19)

Relation of the mentioned values of components Bp Vy e [1,3] determines

the direction of vector Bp .

Since geometrical size of the elements of windings of superconductor track contour are determined by their construction, and the direction of vector of currents of such elements may be considered congruous with their longitudinal axis, all values become known, which are included in expression for determination of levitation force of magnetically-levitated train. Thus it results in design of this sought model of force.

Result

The integrative paradigm of simulation of levitation force of magnetically-

levitated train has been created. It assimilates advantages of circuit and field theories, yet is free of their drawbacks. The mathematical model of such levitation force has been designed, which does not possess any drawbacks of previous version of the model. This is what has solved the present part of the study.

Scientific Novelty and Practical Significance of the Studies

The scientific novelty of the studies is represented by priority of creating an integrative holistic paradigm of simulation of levitation force of magnetically-levitated train as well as the corresponding version of the model of realisation of levitation force. The core significance of the studies is, in case it is implemented, significant increase of efficiency of dynamics research of MLT with a simultaneous decrease of their resource-intensity.

Conclusion

The holistic and integrative model that has been created enabled us to significantly enhance the quality of the model of MLT's LF, created by virtue of such a paradigm. Its application during researches of MLT will enable us to increase their efficiency and decrease their resource-intensity.

References

1. Dzenzerskij V. A., Omel'janenko V. I., Vasil'ev S. V., Matin V. I. & Sergeev S. A. Vysokoskorostnoj magnitnyj transport s jelektrodinamicheskoj levitaciej [High-speed Magnetic Levitation Transport with Electrodynamic Levitation]. Kiev, 2001. 479 p.

2. Dumitrescu M., §tefan V., Ple§can C., Bobe C. I., Dragne G. M., Badea C. N. & Dumitru G. Bulletin of the Transylvania University of Bra§ov, 2015, vol. 8 (57), no. 1, pp. 233-244.

3. Wairagade A. K. R., Balapure M. B. H. & Ganer P. Journal for Research, 2015, vol. 01, iss. 08, pp. 1-5.

4. Tandan G. K., Sen P. K., Sahu G., Sharma R. & Bohidar S. International Journal of Research in Advent Technology, 2015, vol. 03, no. 12, pp. 14-17.

5. Sipajlov G. A, Kononenko E. V. & Horkov K. A. Jelektricheskie mashiny (special'nyj kurs) [Electric Machines (Special Course)]. Moscow, 1987. 287 p.

6. L'vovich A. Ju. Jelektromehanicheskie sistemy [Electromechanical Systems]. Leningrad, 1989. 296 p.

7. Kopylov I. P. Matematicheskoe modelirovanie jelektricheskih mashin [Mathematical Modeling of Electrical Machines]. Moscow, 2001. 327 p.

8. Bessonov L. A. Teoreticheskie osnovy jelektrotehniki: Jelektricheskie cepi [Theoretical Foundations of Electrical Engineering: Electrical Circuits]. Moscow, 1996. 578 p.

9. Armenskiy Ye. V. & Kuzina I. V. Yedinaya teoriya elektricheskikh mashin [Unified Theory of Electrical Machines]. Moskva, 1975. 256 p.

10. Kron G. Primenenie tenzornogo analiza v jelektrotehnike [The Use of Tensor Analysis in Electrical Engineering]. Moscow, Leningrad, 1955. 275 p.

11. Rashevskij P. K. Rimanova geometrija i tenzornyj analiz [Riemann Geometry and Tensor Analysis]. Moscow, 1967. 644 p.

12. Panfilov V. A. Elektricheskie izmereniya [Electrical measurements]. Moscow, 2006. 288 p.

13. Korn G. & Korn Ye. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers]. Moscow, 1973. 831 p.

14. Birjukov V. A. & Danilov V. Y. Zhurnal tehnicheskoj fiziki - Technical Physics, 1961, vol. XXXI, no. 4, pp. 428-435.

Information about the authors:

Vladislav A. POLYAKOV: Ph. D. of Engineering Sciences; Senior Research Officer; Senior Research Officer; Institute of Transport Systems and Technologies of Ukraine's National Academy of Sciences E-mail: [email protected]

Nicholas M. HACHAPURIDZE: Ph. D. of Engineering Sciences; Senior Research Officer; Deputy Director for Science; Institute of Transport Systems and Technologies of Ukraine's National Academy of Sciences E-mail: [email protected]

© Vladislav A. POLYKOV, Nicholas M. HACHAPURIDZE, 2017