CC BY
31
УДК 550.837 Ю.А. Ним
МОДЕЛЬ ИМПУЛЬСНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА ПРИ ЕГО ВОЗБУЖДЕНИИ ВЕРТИКАЛЬНЫМ МАГНИТНЫМ ДИПОЛЕМ
Приводится решение прямой задачи для аппроксимированной модели диэлектрического волновода, ограниченного плоскопараллельными электропроводными слоями при импульсном внутреннем возбуждении вертикальным магнитным диполем. Путем численного моделирования результаты исследований могут быть использованы при разработках модификаций импульсной электроразведки, оценки влияния параметров горных пород при разведке месторождений полезных ископаемых.
В современной теории и практике электроразведки при исследовании хорошо и плохо электропроводящих сред раздельно используются низкочастотная часть электромагнитного поля (метод переходных процессов, частотное электромагнитное зондирование и др.), среднечастотная (радиоволновые методы) и высокочастотная (георадиолокация) части.
Природные геологические объекты, как правило, характеризуются комплексной электропроводностью, но некоторые из них, представляющие предмет поиска, разведки, оценки и разработки могут быть представлены в виде волновода электромагнитной энергии (пласты угля, каменной соли, льда, золотокварцевые жилы, пресные воды, нефтегазовые залежи и др.). В соответствии с этим целесообразно рассмотреть весь спектр технических частот, отражающих объект исследования, модель которого представляется в виде диэлектрического слоя, характеризующегося диэлектрической проницаемостью е и толщиной /, ограниченного сверху электропроводящими пластами с проводимостью у1 и толщиной Х1 и снизу - у2, 12. Согласно цилиндрической системе координат (г, ф, 7), заметим, что такая модель в теории распространения радиоволн называется просто волноводом, а под диэлектрическим волноводом понимается система, состоящая только из диэлектрических слоев. Здесь же учитываем специфику цели и технологии электроразведки, объектами которой являются все слои, изучаемые различными методами. Как известно, волновод возбуждается внутренним источником, в данном случае в качестве такового примем магнитный диполь с моментом М=Ме-1“‘, ориентированный по оси <«», помещенный в начало цилиндрической системы координат, относительно которого первый слой расположен на расстоянии И=7, второй слой - на расстоянии Н1=-7, а третий слой - на расстоянии Н2=-7, ю - круговая частота,
1 - время, I - мнимая единица. При этом расстояние между слоями, характеризуемыми (у1) и (е), обозначим символом ^, а расстояние между слоями (у2) и (е) - А2, так что ^=И+Н2; Ь+Н^^. Такое возбуждение данной системы соответствует технологии скважинным, шахтным и подводным исследованиям. Точное аналитическое решение такой электродинамической задачи с учетом потерь в проводнике связано с существенными, зачастую непреодолимыми трудностями. Поэтому рассмотрим поставлен-
ную задачу в упрощенной форме, которая, как известно, с прикладной точки зрения имеет неменьшее значение, описывая все основные, наиболее существенные свойства исследуемого явления, процесса, объекта. Упрощение заключается в том, что пласты конечной мощности и электрофизических параметров, аппроксимируются плоскостями, суммарные параметры которых равны соответствующим параметрам пластов. В данном случае положим 8п=11ш уп/п при уп^^, /п—^0 и Б=11шб/ при е^-да, /^-0, где 8п - продольная электропроводность слоя «п» (п=1,2), Б -продольная диэлектрическая проницаемость диэлектрического пласта. Корректность такой аппроксимации при решении прикладных задач электродинамики, в том числе и электроразведки, наряду с точными моделями стали классическими [1-6 и др.].
Рассмотрим импульсный режим возбуждения волновода спектральным методом как наиболее экономичный и информативный [1, 7, 8].
В данной постановке, как известно, каждый слой с электродинамическими параметрами описывается уравнением Гельмгольца вида [7]:
V2 Ах + к2 Ах = 0,
(1)
которое при сжатии слоев вырождается в уравнение Лапласа УЛг=0, т.к. в межпластовой среде квадрат волнового числа к2=(ю2єц+іюцу)^0, где ц=4я 10-7Гн/м - магнитная проницаемость вакуума, А7 - вертикальная компонента вектор-потенциала, вводимого уравнением Еф=тоіАх, Бф - азимутальная компонента напряженности электрического поля.
Поскольку уравнение Гельмгольца становится пограничным, из него непосредственно следуют граничные условия для каждой соответствующей границы
1. А.=А,\
ІІ 217
дЛ дА~
2'1Г "ІТ = ІШ"8(1.2); (2)
3 ^= (^„)2,ЮА2х,
дх дх
при выполнении которых однозначно определяется поле в любой точке волновода и окружающего его пространства.
Решая уравнение Лапласа с учетом регулярности на бесконечности и с моментом М = іа>цМ / 4^ в начальной точке и в начальный момент времени, в каждой среде соответствующего межграничного пространства будем иметь [5-7]:
1. 8А1х _ Т7
дх
МтС0 тх/0 (тг
дх
3. дА^х —
дх
Мі(тС3єтх - тС4 тх)/0 (тг
4. 44_ _ м| тС5ет2/0 {тг)&т.
іа/иБ1
2т + ію/иБ1
С + 1)е-
(4)
п п 2т + ію/иБ1 1
С 2 _ С0 ~ 1
2т
На границе 7=-И; имеем:
е-тНі + С1е“тНі + С2 етНі = С3е~тЯі + С4етНі
те-тН + СетН1 - тС2етНі - тС3е^тН + тС4етН = = (ію)2 /иО(С3е-тН1С4етН1)
Отсюда находим соотношения, связывающие коэффициенты С14, к примеру:
с = 2т + (іа)2 ¡М) с + с (і®Т е2тН1 _ 1
2т
1. А = М [С е ш ((тг)йШ,
12 0 0 0
2. А22 = М| (е±,+| + С1еш: + С2е~тт )/0 (тг)йШ,
0
3. А32 = М|(Сзеш + С4е_ш)/0 (тг)йШ,
0
__да
4. А42 =М | С5ет/0 (тгг)йт,
0
где ш - переменная разделения, /0(тг) - функция Бесселя нулевого порядка аргумента (тг), С0 - постоянные коэффициенты, подлежащие определению.
Для определения коэффициентов в соответствии с граничными условиями находим:
С = С
2 4
2т
(і а)2 цВ
2т -(ію)2 ¡аВ 2т -(ію)2 ¡Л)
2т
С
е
(5)
-2тН1
На границе г=-И2 имеем:
-2 тН 2
С3е -тН 2 + С4етН 2 = С5е тС3е-тН2 - тС4етН2 - тС5е~2тН2 = іоцБ2С5е-тН2. Из этой системы определяются соотношения типа
С = С
^3 4
2т + ію^ лтН2
іа>/иБ2
-е
2т
2. ^ х _ м\{+ тетх + тС1т - тС2е т )/0 (тг )&т, дх ^ 1 2 Го\ Я(3)
С С 2т ^ і^^Б2 е~тН2 С С
4 5 2т ’ 5 3 2т + ію/лБ2
Решение данных систем представляются в виде:
с _ 2т¥ 2тк С _ іацБу С _
Ч „Т е , С1 „т , С2
V *е 2 тк
-1,
Сз = -
2т^
2т
(6)
дх
0
Согласно краевым условиям, знаки при функции е^х определяются из условия: при 7>0 имеем етх и наоборот.
Из граничных условий на границе 7=И получаем систему:
С0е -т = е~т + С1етк + С2е ~тй,
- шС0е~тй + те-тк - тСхетк + тС2е~тй, из которой находим соотношения ме^ду коэффициентами в различных сочетаниях, к примеру:
2т/V
С — _Б1 е2тН | ^0П е~2тЩ _ е-2тНі
^ /0ъ 2т/0ъ1 ’
С __ 4т /s1V е+2т(Н1+Н2) _ 2те2т(Н-Н1) 5 /*,/0^ /Х2
где
V* = е-2т [рУ *2)(1 - Я2е-2тН1) + р2м2^Ні -+ р2т^>2 g0 + 4т2 _[
^ = Р 4 ^8182^^ 2 + Р32т^2 (S1Bg1 - S2Bg2 ) +
+ р22т^(^8182gH -4т2))- р4т2уБ -8т3,
8 = 81 + Б 2, П = V * (/^0е2 тА + /0е2тІ1 \ /Зі =
= іа>цБ2, /0 =(іа)2 [),ф0 = 2т + /0,
1 -2 т& л -2 т (Н )
gl = 1 - е 1, go = 1 - е ( 1 2),
gHl = 1_ е2тНі, р = іа, g = 1 - е~2тН; Н = йх + &2.
0
0
Определив коэффициенты функций А7, находим решение в гармоническом режиме. Применяя к этим решениям обратное преобразование Лапласа-Карлсона, находим электромагнитное поле в импульсном режиме. Но для представления модели в технологическом виде и возможности анализа необходимо вычислить интеграл обратного преобразования. Для этого необходимо коэффициенты Сп преобразовать к форме табличных интегралов обратного преобразования Лапласа-Карлсона [9].
Рассмотрим разложение на сомножители и опреде-
лим корни алгебраического уравнения 4-й степени - ключ к решению данной электродинамической задачи.
Разделим числитель и знаменатель на величину
Х=М-з^1^2Б§1§2
№, = ^ = р 4 + р зШ‘ Я 2 Ре 2 ) +
1 X X
2 2т^(^Б1Б2gH - 4т В) 4т ¡иБ 8т
р-----------------------р
з
V
Числитель V* = — представим в виде:
X
у^е 2тк =
р
тё0
ё 2е
-2тН1
тёН1
№ Б1Б2glg2
М Б1Вё g2
р
тёН1
№ Б1Б2 gl М 2
-р~т^ И Б1Вё1 g 2
4т
= е2т V + ^02 )•
0> =-
2mV
Ж
тён1
2т [М
4л
^ 1 ~ _2 тН
А р 1 ~ g2е
& g 2
тё0
М Б1Б2 gl g 2 М Б1Вё g 2
р2 2
тёН1
^ Б1Б2gl g2
тё0
4т
/ Ж.
где
а =
2т
М
Б2 g2 Б1 ё1 у
ь =
2т
^ё1 g 2
4т
2
С =
М Вё1 g 2
1 1
V Б 2
Б
& =
1
8т3 X
^___________
В ^Б1Б 2
(10)
Подстановкой х=у-а/4 в (10) получим неполное уравнение:
у4+ру2+§у+г=0 (11)
Корни этого неполного уравнения у14 равны одной из
комбинаций выражений ±-/£1 ±л/^3,
2п - корни кубической резольвентыуравнения (11).
(7)
х3 + рх2 + р-^г.х -ё_ = 0. 2 16 64
(12)
Представим (2) в виде: X3 + гх2 + вх + г = 0, (13)
р р2 - 4г е2
где г = —; в = ---------; г = - —.
2 16 64
Заменяем неизвестное в (13) соотношением х=у-(г/3), получим приведенное уравнение
у3+ру3+ё=0, (14)
(8) где р =
2г3 гБ
3 ; М 27 3 + {.
(15)
Определив корни кубического уравнения, находим корни уравнения 4-й степени. Для этого выразим функции р, g, г через параметры модели.
Подставим в (14) функции (15), тогда
С учетом функции возбудителя известного из краевых условий [5-7], представим, к примеру, коэффициент С0 к виду табличного интеграла формулы 21.141 [9, с. 211], т.е., обозначая р=1ю, запишем коэффициент С0 в виде, удобном для интегрирования по переменной «р».
^ р2 - 4г ^ 16
ё =
р
27
3
р2 (р2 _ 4г ) 3-16
ё_
64'
Подставим у=х+а/4 в (10), получим
4 3 2
х +ха + х
(9)
61 4 I + Р
+ х
4І4 I + 210 4 + М
Теперь рассмотрим приведение функции W к виду, удобному для интегрирования. Для этого необходимо определить корни уравнения W, относительно параметра р=ш=х. Представим функцию W в виде уравнения:
отсюда а = -
2т
М
(
1
1
Л
Б2 ё 2 Б1ё1
ь=61 а
x4+x3a+x2b+xc+d=0,
р =
2т
Мё1
ён
4тг
Л
В /иБ1Б:
2 У
1
1
2
2
3
2
2
2
3
2
4
4т
2 (
С = -
1 1
V Б 2 Б1 ,
„ а -2р - + ё;
Неизвестные коэффициенты р, г, g уравнения (11) -определяем через параметры модели коэффициентов а, Ь, с, А Подставляя р, г, g в корни ъ уравнения (12), находим корни уравнения 3-й степени по таблице и т.д.
Определим из коэффициента «Ь» функцию р:
2т
М Б1Б 2 ё1ё 2
В
И
3
2т
4 И Б1Б2 ё1 ё 2
(Б1 ё1 - Б2ё2 )2 ^
Из уравнений (12), (10) следует: 2т
а =
Бё1 - Б2)
^Б1Б 2 ё1ё 2 Из коэффициента «с» находим:
ё =
4т2Бц 1 ХИВё1 ё 2 8
т(Б1 ё1 - Б2 ё2 )
2т
^Б1Б 2 ё1ё 2 2т
Б ё1 - Б2 ё 2 )
3 -
ИБ1Б2 ё1ё2 И- Б1Б2 ё1ё 2
Б1Б2 ён 4т
2 Л
В
3
2т
4 V Б1Б2 ё1 ё 2
Из “d” имеем г:
8т3 а Г а4 2
г =--------------ё — р|
X 4 Я 4.
Вернемся к началу и перепишем найденные параметры в виде:
2т(Б1 ё1 - Б2 ё2 )
а = -
^Б1Б 2 ё1ё 2
р = 2т^(ёНБ1Б2М-4тВ)-6(^ ; 4т2^ / а У а
ё = ТБ-4Ы -2р4;
3 ґ "\ 2
8т а ( а
г =--------ёт-р| ,
X 4 ^ 4.
Корни у1-3 уравнения (13) определяются из таблицы при Б>0, р<0 или других. Для возврата к исходному уравнению (10) сделаем замену из табличного решения кубического
г г
уравнения “2”: 21-3 = У\-3 _ 3 и х = У ~ 4 подстановкой находим исходные неизвестное «х»=р.
3 а 4
Л
отсюда
Ж =
а
3 а 4
р-
3 а 4
(16)
= 0
Обозначим
х, а
-------= а*
х3 = Ь*'/х'
-л х
(Б1ё1 - Б2ё2 )2 \.
2 4 ' 2 '2
Тогда
.....ч/ а * -с
Преобразуем c*-a*=d, с*+а*=с, -Ь*2=Ь2.
Тогда Ж = {р + С)(р + с)^р + а)2 +Ь2}
— = с *.
)(р - а * -с *)(р + а *)2 -Ь
где С =
2
с = -
3-+а
4
х
3 _ а 4
а =
/
2 4
Ь =і
(17)
2
Табличное выражение обратного преобразования Лапласа-Карлсона имеет вид [10]:
р(р 2+2 р+р) _
(р^-&)(рТС)[(рТа)2+Ь2]
(18)
&2 -асі + р
. е ^ ^________С ^С ^ Р е~с*
(с - С)(а - С)2 + Ь2 (С - с^а - с)2 + Ь2 ]
(с - ада - а) + Ь [а - с)^а - с
т.е. соответствует приведенным функциям Сп.
3
2
3
х1-4 _
2
2
4
2
х1 “V х 2~Ы х3 а
2
4
2
2
*
3
а
2
3
С учетом приведенных решений импульсное электромагнитное поле модели представляется в виде:
М
Wi
Ws )-
+ (^4 +^5 +W6 )
J0 (mr )d)
m,
гдефункции (|^,^2,^3) и (^4 , ^5 ,^6 ) - временные функции преобразования Лапласа-Карлсона, каждая из которых имеет вид соотношения (18).
Все остальные коэффициенты Сп определяются подобным образом.
Таким образом, импульсное электромагнитное поле волновода с потерями определяется во внешней и внутренней областях системы через однократные интегралы, поддающиеся численному расчету и анализу. Для разработки технологий измерений поля и их интерпретации при исследовании геологической среды необходимы разработка алгоритмов и составление пакета программ на базе рассматриваемой аналитической модели.
Литература
1. Каменецкий Ф.М. Электромагнитные геофизические исследования методом переходных процессов. М.: Геос, 1997. 162 с.
2. Хиппель А.Р. Диэлектрики и волны / Пер. с англ. М., 1960. 438 с.
3. Макагонов П.П., Мухина П.П., Шерияф Я. Влияние диэлектрической проницаемости на нестационарное электромагнитное поле в микросекундном диапазоне // Изв. вузов. Геология и разведка. М., 1987. № 8. С. 81-86.
4. Шейнманн С.М. Об установлении электромагнитных полей в земле // Прикладная геофизика. М.: Недра, 1947. Вып. 3. С. 5-55.
5. Ним Ю.А. Основы приближенной теории электрозондирования методом переходных процессов // Геология и геофизика. 1989. № 3. С. 134-141.
6. Ним Ю.А. К теории подземной импульсной электроразведки // Отечественная геология. 2003. № 3. С. 66-68.
7. Кауфман A.A. Введение в теорию геофизических методов. Часть 2. Электромагнитные поля / Пер. с англ. М.: Недра, 2000. 483 с.
8. Шайдуров Г.Я. Импульсные электромагнитные системы поиска. Красноярск: КГТУ, 1999. 314 с.
9. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 466 с.
10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. 831 с.
Yu. A. Nim
A Model of pulse electromagnetic field of the dielectric waveguide activated with vertical magnetic dipole
The author gives a solution to a direct task for an approximate model of dielectric wave guide that is limited by plan-parallel electro-conductive layers at the internal pulse activation with vertical magnetic dipole.
Numerical simulation results can be used for the development of modifications of pulse electrical survey, evaluation of rock parameters impact in exploration of mineral deposits.
‘V‘V‘*r
