Модель и алгоритмы решения задачи о транспорте наносов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

Е.А. Проценко

МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ТРАНСПОРТЕ

НАНОСОВ

В статье рассмотрена нестационарная пространственно-одномерная модель транспорта наносов в прибрежной зоне водоемов и алгоритм численного решения дискретной задачи, базирующийся на методе прогонки.

Математическое моделирование; транспорт наносов; аккумуляция и абразия.

E.A. Protsenko

MODEL AND ALGORITHMS OF THE SEDIMENT TRANSPORT PROBLEM

DECISION

The non-stationary one-dimensional model of sediment transport has been considered in a coastal zone of reservoirs and algorithm of the numerical decision of the appropriate discrete problem based on a thomas method has been developed in this paper.

Mathematical modeling; sediment transportation; accumulation and erosion.

Математическое моделирование изменения профиля дна в прибрежной зоне имеет важное как теоретическое, так и прикладное значение.

Для описания динамики морских наносов в данной работе применяется мо,

движения воды и твердых частиц в одном направлении.

-

(1 — £) + QS = h0 sin(©? + в), (1)

Qs = Arnd^, (2)

Qo = Awdye, (3)

¥o =-----------------------------------------T-, (4)

(Pi —Po) gd

TB = —0,6CUB\UB\, (5)

где £ - пористость грунта; H - глубина дна, отсчитываемая от невозмущенного уровня водоема; Q - расход наносов; А и в - безразмерные постоянные (в настоящей работе А равна 19,5; в равна 3); TB - касательное напряжение на дне;

Ш - частота волны; у/0 - параметр Шильдса (касательное напряжение на дне, записанное в безразмерном виде); Р1,Р0 - плотности твердых частиц и воды;

C ; U B

области неразрушенных волн.

Входящие в формулы значения ив и Тв интерпретируются не как мгновенные, а как усредненные в течение половины периода волны.

(6)

ив = ивс

Ґ V

х„ - X

V хп - Х0 у

где ивс - скорость на критической глубине Н; X п - координата верхней границы наката; X 0 - координата точки опрокидывания волн; П - постоянная (в данной работе п=0,33).

При в =3 получаются известные в речной гидравлике формулы расхода наносов А. Шильдса (1948), Мейера - Петера и Мюллера (1948), X. Эйнштейна -С. Брауна (1950).

Уравнение неразрывности дополняется начальным условием:

Н(X) = -0Х при г = *0 . (7)

В верхней границе наката, где скорость обращается в ноль, берег не подвер-:

Н(Хн, *) = Нн , Хн = Нн /-V (8)

На границе «глубокой воды» глубина также не изменяется:

н (хП1, г) = нгд, нгд = \ / 2. (9)

,

сторону результирующего переноса. Движением частиц в направлении, противоположном направлению результирующего переноса, пренебрегаем. Таким обра-, , -ненные скорости ив направлены в сторону берега и имеют отрицательный знак в принятой системе координат, а наносы перемещаются только в сторону берега.

, , и в -

, , -ся и наносы.

Далее используется декартова прямоугольная система координат, начало которой совмещено с урезом воды. Ось Ох совмещена с поверхностью невозмущенной жидкости и направлена в сторону моря. Предполагается, что в начальный момент времени (г = 0) к откосу, сложенному из осадочных пород, подходят моно-.

Считаются заданными следующие параметры: —0 - начальный уклон дна; Н0, Л0 - высота и длина волны; Т - период волны; й, рх, р0 - характеристики осадков и воды; Т - длительность шторма.

, :

(1 - е)дн + = И0 $т(®г + в),

дг дх

= АМув,

00 = АШрв.

В выражении для параметра Шильдса используется уклон дна. Система уравнения для параметра Шильдса принимает следующий вид:

Ws = ¥o

1 ±

sinS

tgft

(1o)

o

где параметр Шильдса для наклонного дна; 8 (X, г) - угол, составленный

касательной к контуру дна в момент времени г ; ^ _ Уг°л естественного откоса грунта в воде.

Физический смысл формулы для ¥з состоит в следующем. При движении

твердой частицы вверх по откосу в потоке должна быть совершена работа по преодолению силы тяжести. Поэтому при прочих равных условиях транспортирующая , , , -портирующая способность потока над горизонтальным дном. Соответственно рас, ,

Qs = ArndWo

1-

sin S

\3

tg^o

(11)

o

Делаем допущения при решении пространственной задачи о переформирова-

* ее дИ дИ

нии берегов: sin S ~ S ~ arctg---~------.

дх дх

С учетом этого допущения приходим к уравнению неразрывности вида:

, ч дН д

(1 -Є)------+ —

V ’ dt dx

Qo -

Вводя обозначения a = -

3Qo

tgVo(1 - є)

3Qo дН_ tgpo dx

; b

■■ h0 srn(mt + в).

(12)

1 dQo

1 — є dx

; f (x, t) = h0 sin(OT + в),

, , -тицы наносов двигаются в сторону берега:

дН

dt

д_

dx

дН f-----

дx

+ b = f (x, t).

(13)

Соответственно расход наносов, переносимых волновым потоком в направлении моря, больше, чем в случае горизонтального дна, и записывается в виде:

Qs = AMwl

1+

sin S tg^0,

(13) ,

сторону моря, т.е. имеет место абразия. Решение вопроса о направлении результирующего переноса осадков к берегу или от берега производится на основании

«критерия крутизны», согласно которому длинные пологие волны намывающие берег, являются «конструктивными», а короткие и крутые - размывают берег и носят «деструктивный» характер.

Поставленная для уравнения параболического типа (13) начально-краевая задача решается приближенно конечно-р^ностным методом.

Строим сетку: интервал (хн, хги ) и временной интервал разбиваются на

.

л, = х0 + і -Ал, і = 1,2,..., N;

і, = і0 + І -Аг, І = 1,2,...,М.

^

Уравнение в частных производных аппроксимируется двухслойной неявной - :

Н/+' - Ні Аг

Ах

2 V

н+! - н

Ах

І+1

— а

і

і-----

2 V

Н/+1 — Н

І+1 і—1

Ах

где Н/ = Н(х ,і.); а}' = аі+1 ' аі ■

а,+1+ а,. 2

,■ а.—1 + а. . 0;+1 — О

а. =_і—^—-; у = і+.

і--

2

2

Ах

// = I (лі, іі).

Система уравнений преобразуется к стандартному виду:

АНі—і — БД, + С Дм + А = 0;

4 = —а і

Аі

І (Ах)2 С- =—а.

Б = 1 + ■

Аі

(Ах)2

Аі

(Ах)2

а

Аі

; А = (Ь/ — I/ )Аі — НТі.

, , :

р

С , т А + А^1; і = 1,2....N — 1.

' в, - А-Р ‘ в, - А-Р

Коэффициенты Р , Ж и р , ^ находятся из граничных условий:

Ро = о, Жо = н (Хо), ры = 0, Жы = н (х/;//).

, , -чения ИСКОМОЙ функции Н, +1 = р Н ,1+1 + Ж/ +1.

Метод прогонки при выполнении условия: А1 + В. < С., что в данной работе, выполняется и устойчив.

а

і +

2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Леонтьев ИЮ. Прибрежная динамика: волны, течения, потоки наносов. - М.: Геос. 2001. - 272 с.

Проценко Елена Анатольевна

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected]

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 8(8634)371-606

Кафедра высшей математики; старший преподаватель.

Protsenko Elena Anatolievna

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected]

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: 8(8634)371-606

The Department of Higher Mathematics; senior teacher.

УДК 518.5.001.57

A.E. Чистяков

ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ВОДНОЙ СРЕДЫ В АЗОВСКОМ МОРЕ С УЧЕТОМ ТРАНСПОРТА СОЛЕЙ И ТЕПЛА

Работа посвящена разработке математической модели для расчета полей скоростей применительно к Азовскому морю. В ходе выполнения работы построена математическая модель для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам. Данная модель учитывает такие физические параметры как: сила Кориолиса, турбулентный обмен, сложная геометрия дна и береговой линии, испарение, стоки рек, переменная , .

Гидродинамика; транспорт солей и тепла; переменная плотность жидкости.

A.E. Chistyakov

THREE-DIMENSIONAL MODEL OF MOVING OF AQUATIC

ENVIRONMENT CONSIDERING TRANSPORT OF SALT AND HEAT

IN AZOV SEA

This work is dedicated to building of mathematical model of computation of field of velocities with reference to Azov Sea. Mathematical model of computation of field of velocities with reference to shallow water basins was built in this work. This model takes into consideration physical properties: Coriolis force, turbulent exchange, complex geometry of seabed and coastline, evaporation, river flows, variable liquid density, wind currents and friction on seabed.

Hydrodynamics; transport of salt and heat; variable liquid density.

Экологическая система Таганрогского залива и Азовского моря в целом является уникальной. Наш залив - один из наиболее рыбопродуктивных естественных водоемов, что объясняется благоприятными природно-климатическими условиями, малосоленостью, обилием корма.