МОДЕЛЬ ФУНКЦИИ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА И 2π-ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ ВО ВРЕМЕНИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАДИОФИЗИКА

УДК 621.396

МОДЕЛЬ ФУНКЦИИ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА И 2я-ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ ВО ВРЕМЕНИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА

© 2012 г. В.И. Пройдаков

Филиал ФГУП «ЦНИИ «Комета» - КБ «Квазар», Н. Новгород

[email protected]

Поступила в редакцию 22.06.2011

Подтверждена достоверность и надёжность формул, представленных в работе [1]. Сравнение коэффициентов автоковариаций, полученных численными расчётами (по данным формулам), и экспериментально - методом периодограмм, непараметрической оценкой спектральной плотности, - для функционального преобразования «Методической погрешности квантования по уровню» сгенерированного детерминированного числового ряда, показало их совпадение в пределах допустимой погрешности.

Ключевые слова: функция корреляции, функциональное преобразование, частичная сумма ряда Фурье, погрешность квантования, моделирование.

Введение где множество {фдг} фаз составляющих частич-

ной суммы ряда Фурье SN(t') (3), (4) образует В [1] получена формула для расчёта авто- совокупность независимых случйных величин корреляционной функции (КФ) Вр функцио- (НСВ), равновероятных на интервале (-п,п). Оп-нального (нелинейного, безынерционного) пре- ределим следующие соотношения:

образования (ФП) Р(у) суммы стационарного и 2 = (а' )2 + ф:у

случайного процесса (ССП) 5(0 и детерминированного сигнала х(0

У(0 = 5(0 + х(0, t е ^о, tо + Т). (1)

Полагая t' = 2п( - %,), получим отраже- юі = (7)

r, = v1 + v2 + 2v1v2 cos юі т', (6)

где

2пі

/Т - у2), получим отраже- —і т

ние открытого интервала времени t є (^, - і-я основная частота (всего N частот),

/ ті

10 + Т) на t 'є (t 0 - п, 10 + п) и 10 = 2n(t) и и т'= 2%(J ~ “), т є (0, т), т ' є C-^^ тогда

построим 2п-периодическое продолжение по оси из [і] справедлива формула

времени t' детерминированного сигнала x(t') = і Г X

= x(t ± 2п£), k = і,2,.... BF = Jg(jv1) J g(jv2) x

Представим детерминированный сигнал в Сі 2 (g)

виде N-частичной суммы ряда Фурье:

x(t') = S0 + SN (О, x(t') = SN (t'), N = і,2,3,..., (2) x U° 11 J°(UiVi )TT(Vl,

і=і

N

SN (t') =ZAn (t'), (3) где U о = eXP[jS 0(vl + v2)] и TTi;(vl, v2) =

п=і

+п = m^expjv^ + v252)]} - двумерная характе-

0 - 2““ J x(a)da = const, ристическая функция CCП 5(0 и J0(x), Jn(x) -

-п функции Бесселя действительного аргумента 0-

S0 = —

2п

An (t') = an cos(nt' - фn) + bn sin(nt' - фn), (4) го и целого n-го порядка соответственно

n

+п

■« +п і +п л

an = — j~(a)cos(na)da, Vn = — J~(a)sin(na)da, (5) g(jv) = L[p(y)] = j p(y)e jУdy,

п J п -«

F (у) = Г1 [я О)]=2_| g .УС,

Ь и 17х - соответственно прямой и обратный оператор Лапласа, а замкнутый на бесконечности контур интегрирования обходит снизу возможные особые точки в направлении от -да к +да.

Анализ свойств КФ БР

Воспользуемся результатами теоремы сложения цилиндрических функций [2] и представим J0(uirl) в виде суммы:

J о(«,г)=J о(и^У 0(ик) +

I.

+ 2^(-1) 0 Jl (и?у У‘. (М,^2)С08(/о ю,. т').

‘Г1 0 0

Непосредственным вычислением нетрудно убедиться в справедливости представления:

П 3 о(и<Г<)=ЕN

+ 2

где

ЕЕ ..і (-і)'-1 'о

Е '

'=1 ^ Гї'

С'

г

л N ,г

' _______'

!П ...П

- к-е сочетание неповто-

k ) 1 N -k) (N -к)!к!

V У V У

N

Е0 = П 3 О^іУ 0(и-У2)’ і - 1

{о1 Г,г =

I -г ,г )к

2\~Г Г

П3о (и„ V У0 (иі- V )ПУ' (иі,г’і>3'

=1 k

і =1 k

Иг

С }N,Г =|П 2г-10О8(/' х')

[2? Г,г

= !Е оо5(ГГ х')1 ,

Е да А

(13)

Выражение (13) представляет гармоники при г = 1 или при г > 2 комбинационные частоты N основных частот ю,, которые соответствуют 5-й независимой подстановке знаков в сумме

і М'л

&[ї = 1,2,3,...,2Г-1].

Подставим (9) в (8), учтём (10)-(13) и получим итоговые формулы для определения КФ:

Вр (т') = вр +

( NЛ - И

+ ЕЕ-Е (-1)' 2Г-1 Хс°СГ т')

г=1 к=1 '1=1 '2=1 і/ =1

г вр = = 1 J

(14)

(9)

1^С/^1)| g(P1)Uo^ (15)

С1 2

{вк }Г = |Я /) | Я ' 2);

(16)

ряющихся индексов ,к из N по г или из N по ^— — г) (для ,£, дополнительных до N в зависимости от индексов в аналитических выражениях внутри скобок;

(N Л (N Л N1

(10)

, (11)

(12)

Т }N,г =•

Е (±1)'. т

і,. =1 ' 'к

* и 0 {К-г,г ^ С^1С^2 ,

где все величины, входящие в выражения (14), (15) и (16), определены ранее.

Из формул (11)-(13) видно, что при фиксированных г&‘, 5 = 1,2,3,...,2г-1 комбинационных частот имеют один и тот же абсолютный уровень {в'к Г,г (16).

Пример. Погрешность квантования по уровню

Рассмотрим пример, демонстрирующий достоверность расчётов функции корреляции по полученным формулам и непротиворечивость по отношению к другим методам определения её значений. Определим КФ ФП квантования по уровню, которое, совместно с дискретизацией во времени, составляет операцию аналогоцифрового преобразования (АЦП), широко применяемую в современных цифровых системах обработки сигналов при переходе от непрерывного (аналогового) представления информации к цифровому. Эквидистантное квантование по уровню с округлением до целого можно представить выражением

М а) = е{ у(% +12 81вд[уа)]}, (17)

1

Sign [у(Ґ )] =

+1, У > 0, -1, У < 0,

N ,г

k

к

к

к

+

N ,г

2

к

А =1 іг=1

к к

к

к

N ,г

к

к

N ,г

к

где д - шаг квантования по уровню, или в виде условно сходящегося знакопеременного ряда Фурье [3]:

q 3 (-1)n-1 e(t) п y(t) -M(t)q п q М^-^sm

-ТГ 7/7

2nn

—y(t) q

'^/ЦОі + v2) - ^2“[v12 + 2Р(т)v1 V2 + V2 ^

(-1)n

2nn 2nn

o(v +-----------) - 5(v--------)

q

q

+ % |ММ ^-exp^O» - n)2 Ux

q I m=l «пі mm I

l^ l2 пі lj =\

М cos(Tr x')

где {Z (m, n)IN,r п

м/j

EXC2(m, n) - (-1)j EXC1(m, n)

и

B0 п^-тХ e2 2n

3 3 ^ (- 1)m+n-2 _ _

: М М —--------------exp[- p2 (m - n)2 ]x

«пі mn

(18)

где e(t) - методическая погрешность квантования по уровню. Пусть в обобщенной модели сигнала (1) 5(t) - нормальный ССП с двумерной характеристической функцией

Щ( par; v1; v2) =

n2-m 2-n

J o( u. )J o^^u.)

i=i q q

x [EXC2 (m, n) - EXC1 (m, n)],

{BX-

(21)

Ш—Ч_)Jo(—u ) x

2-n

q

q

(22)

где par = ц, о2, р(т) - математическое ожидание, дисперсия и коэффициент автокорреляции ССП 5(0 соответственно, а детерминированный сигнал представлен выражением (2) и S0 = const принимает произвольные значения. Полагаем F(y) = e(t) и, выполнив прямое двустороннее преобразование Лапласа, получим: ge j) = L\e(t )] =

nr 2-m 2-n I

J (~Tu. )J (-Vui )f ,

Ік пі lj q ik lj q ik Jk

EXC|1, п exp [- 2p2mn(1{±}p(x))]cos[у(да{±}и)],

Y п-

2л(ц + S0)

2п2о2

(19)

где 5(x) - обобщенная дельта-функция. Подставим в формулы (14)—(16) выражения

TT5(Par1;^ ^ j & { Par1 = Ц + ^ ^ р(т')}

и, учитывая свойства функций Бесселя Jl(x) = = (-1)lJl(-x), получим для КФ:

ве (О = во +

М М ...М Bi Z(m,n) x (20)

q q

Нетрудно убедиться, что функциональный ряд (20) всегда сходится, причем:

- сходится абсолютно при р2 > 0, незави-

симо от других параметров, и при (р2=0; ui Ф 0, i = 1,2,...,p}&{p > 2}; ^

- сходится условно при {Р = 0; ui = 0, i = 1,2,...Д)&{|у| < п} и при р2=0; и Ф 0 - единственном значении, отличном от нуля.

Выражения для КФ (20), (21) в случае x(t) = = 0 тождественно совпадают с полученными в работе [4].

Рассмотрим методику применения выражений (20)-(22) и им подобных, полученных из итоговых формул (14)—(16). Для этого рассмотрим случай гармонического сигнала на ограниченном временном интервале: x^ (t) = S0 + A sin(2nft + ф0), t e (t0, t0 + T), A > 0,

где f ф0 - частота и начальная фаза соответственно. Следуя схеме, представленной в разделе «Введение», построим 2п-периодическое продолжение по оси времени t детерминированного сиг-

f

нала (t') = S0 + Asin(bft' + ф'0), где bf =~^y^j -

нормированная частота (НМЧ) и ф'0 = ф0 + nfT. Подставим ~ (t')в формулы (5) и, после несложных вычислений, получим:

a'n = A sin ф0 [Sa(Zn ) + Sa(wn )],

b'n = A cos ф0 [Sa(zn ) - Sa(wn )],

= n(bf - n), wn = n(bf + n), Sa(x) = sin(x)

(23)

где zn

Численный анализ выражений (23) показывает резонансную зависимость коэффициентов ап,Ь'п от параметра п. Нетрудно убедиться, что если НМЧ принимает целое значение к, то [Ь/ = к, к = 1,2,3,...]&[5а(гк) = 1, Sa(wk) = 0], то есть из (2)-(4) справедливо представление:

і п1

N,r

n

r

N ,r

X

k

N ,r

к

2

12 К (ґ' + 0) + Хх (ґ ' - 0)}= ^ + Ак (ґ') =

1 '

= So + а'к ^(кґ' - фк) + Ь'к sin(кґ' - фк)

(24)

где а'к,Ъ'к определены выражениями (23), а ф£ -равновероятная СВ и фк е (—п,п). Из выражений (20)-(22) для модели исходного сигнала (24), полагая р2 = 0, ц = 0, N = 1 и учитывая

(-1)

Е 1/

/=1' _

[ 1, [(/' = 2к) & (уг)], [(/' = 2к -1) & (г = 2у)],

1-1, [(і. = 2к -1) & (г = 2у -1)],

где к, V = 1,2,3,., получим ВеЛ(т ' ) = В.0, +

■ Е [в.,1 ^(2/<ак т ' ) + В.,11 cos((2/ - 1)тк т ')],

в 0 Ч2 в« =

Е

(-1)п-1 и ,2пп ч

_-----------«п(уп) 3 о(-------ик)

1 п Ч

2

в 2/ = Ч_

Ве,1 2

П

(-1)п-1 • , ч, /2пп ч

_ ------------^п(Уп)./2/ (-----ик )

1 п Ч

д2М Ч

В.,1 = ^ П

Е

I

Е (-1Г

_ cos(yn) 3 2/-1(2Ппик )

1 п Ч

где у=-

2лS,

Ч

0 ч - шаг квантования и ик = А2

Надежность и достоверность оценок по формулам (25)-(27) была проверена сравнением значений уровней энергетического спектра на соответствующих гармониках основной частоты - 2/тк, (2/ - 1)тк, тк = —Пк , полученных методом периодограмм [5] для модели сигнала в виде дискретного во времени ряда

У(ґп) = Хх(ґп) = So + Asin(2л/tn + фо),

где п = 1,2,3,...,2да, Т = 2да, Дґ - интервал

Дґ

дискретизации и НМЧ Ь, =

(25)

/

л

/и

1

(26)

(27)

Ъ1 =

У дискр у

зации. Выше было отмечено, что энергетический спектр методической погрешности квантования по уровню (28) не ограничен в конечной полосе частот, что приводит, как известно [5], к эффекту наложения в частотной области и отклонениям оценок уровней от истинных при вычислении периодограммы. Следуя рекомендациям работы [6], в целях минимизации отклонения оценок уровней от истинных полагаем

/ = 1 + 24

то есть НМЧ Ь/ = 2да + 1 есть

д-искр

определяется из (6), (23).

Подставим выражение для КФ (25) в формулы Винера-Хинчина [3] и получим выражения для вычисления энергетического спектра:

Ge (ю) = F [веД (т' )]= 2гсВе0дб(ю) +

+ {Вд [8(ю — 2‘юк ) + б(ю + 2‘юк )]+ (28)

1=1

+ В* 1 [8(ю — (2‘ — 1)ю к ) + 5(ю + (2‘ — 1)ю к )]} где все входящие в (28) величины определены ранее.

Из (28) видно, что для рассматриваемого частного случая (24) энергетический спектр не ограничен конечной полосой частот и содержит

ту 0

составляющие: «постоянную» ВеХ, четные -2‘юк, ВЦ и нечетные - (2‘ - 1)юк, В2^1 гармоники основной частоты юк, причем все уровни существенно зависят от параметра у таким образом, что при

целое число при да > 2 и справедливо представление (24).

Численное моделирование методической погрешности квантования по уровню (18) проведено для ряда

у(п) = S 0 + А sin

2П 14 + 2-

да)

(п -1) + Фо

и Ве 1 = Ве 1 = 0 , то есть отличны от нуля лишь уровни нечетных гармоник.

при следующих значениях параметров: А = {2;5}, Дt = 1,

д = 1; т = 9; п = 1,2,...,512;

= {0.0;0.25;0.50;0.75};

д

ф0={п!б.п-8-3п1б. .п2}-

Данные занесены в таблицу.

Сравнение оценок уровней с 1-й по 40-ю гармоник юк, вычисленных по формулам (26), (27) и определенных методом периодограмм, показало:

- независимость результатов от ф0;

- полное совпадение номеров гармоник максимального уровня;

- наличие отмеченных выше качественных

особенностей спектра от значений параметра —-.

д

2

2

2

да

Таблица

Оценка максимального уровня гармоник

№ п/п A/ / q S 0/ / q Ф-ла (26) 1.Е-2 Ф-ла (27) 1.Е-2 Периодограмма в|ХО]х1.Е2 Погрешность % Г армоника № MAX уровня

1 2 0.0 0.0 2.4965 2.4824 0.56 11

2 2 0.25 1.8112 0.0 1.8286 0.95 10

3 2 0.5 0.0 3,234 3.365 4.0 1

4 2 0.75 1.8112 0.0 1.8286 0.95 10

5 5 0.0 0.0 0.9727 1.0114 3.9 31

6 5 0.25 1.031 0.0 0.9806 5.07 32

7 5 0.5 0.0 1.3176 1.3861 5.0 1

8 5 0.75 1.031 0.0 0.9806 5.07 32

Оценки максимальных уровней представлены в таблице, из которой видно, что оценки уровней незначительно, не более 5.1%, отличаются друг от друга, что вполне объясняется эффектом наложения при определении методом периодограмм и погрешностями вычислений по формулам.

Заключение

Формулы (8), (14), (15), (16), адекватность которых подтверждена численным моделированием, позволяют определить функцию корреляции и, используя формулы Винера-Хинчина, спектр функционального преобразования аддитивной суммы случайного процесса, стационарного, по крайней мере, в широком смысле, и произвольного детерминированного сигнала, представленного 2п-периодическим продолжением по оси времени.

Работа посвящена памяти заслуженного профессора ННГУ им. Н.И. Лобачевского Морозова Станислава Фёдоровича (06.07.1931 - 20.01.2003).

Список литературы

1. Пройдаков В.И. Функция автокорреляции функционального преобразования суммы стационарного случайного процесса и 2п-периодического продолжения во времени детерминированного сигнала // Вестник ННГУ. 2012. №3(1). С. 57-60.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Пер. с 2-го америк. изд. М.: Наука, 1973.

3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 5-е изд. М.: Наука, 1971, 1.441(3).

4. Bennett W. // Bell System Tech. J. 1948. V. 27. № 7. P. 446-472.

5. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.

6. Семенов О.Б. Нелинейные искажения при цифровом представлении сигналов // Радиотехника. 1989. № 2. С. 46.

AN AUTOCORRELATION FUNCTION MODEL OF THE FUNCTIONAL TRANSFORMATION OF THE SUM OF A STATIONARY RANDOM PROCESS AND THE 2n- PERIODIC EXTENSION OF A DETERMINISTIC SIGNAL

V.I. Proidakov

The validity and reliability of formulas presented in [1] are confirmed. A comparison of autocovariance coefficients obtained by numerical calculations (using these formulas) and experimentally (using periodograms, a nonpa-rametric estimate of the spectral density, for functional transformation of truncated quantization error of the generated deterministic numerical series) has shown that they coincide within the margin of error.

Keywords: correlation function, functional transformation, partial sum of the Fourier series, quantization error, simulation.