Множество регулярности многозначного отображения в пространстве с векторнозначной метрикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки

Том 24, № 125 2019

© Жуковская Т.В., Плужникова Е.А., 2019 DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-125-39-46 УДК 515.124.2, 515.126.4, 517.988.52

Множество регулярности многозначного отображения в пространстве с векторнозначной метрикой

Татьяна Владимировна ЖУКОВСКАЯ1 , Елена Александровна ПЛУЖНИКОВА2

1 ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Советская, 106 ORCID: https://orcid.org/0000-0003-4374-4336, e-mail: [email protected] 2 ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина»

392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2008-3275, e-mail: [email protected]

The set of regularity of a multivalued mapping in a space with a vector-valued metric

Tatiana V. ZHUKOVSKAIA1 , Elena A. PLUZHNIKOVA2

1 Tambov State Technical University 106 Sovetskaya St., Tambov 392000, Russian Federation ORCID: https://orcid.org/0000-0003-4374-4336, e-mail: [email protected] 2 Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2008-3275, e-mail: [email protected]

Аннотация. Рассмотрены многозначные отображения, действующие в пространствах с векторнозначной метрикой. Под векторнозначной метрикой понимается удовлетворяющее аксиомам «обычной метрики» отображение со значениями в конусе линейного нормированного пространства. Определено понятие множества регулярности многозначного отображения. Множество регулярности используется при исследовании включений в пространствах с векторнозначной метрикой.

Ключевые слова: многозначное отображение; пространство с векторнозначной метрикой; метрическая регулярность; липшицево отображение; включение Благодарности: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 17-01-00553-а, № 17-41-680975-р_а, № 18-31-00227-мол_а).

Для цитирования: Жуковская Т. В., Плужникова Е. А. Множество метрической регулярности многозначного отображения в пространстве с векторнозначной метрикой // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2019. Т. 24. № 125. С. 39-46. DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-125-39-46

Abstract. We consider multivalued mappings acting in spaces with a vector-valued metric. A vector-valued metric is understood as a mapping satisfying the axioms "of an ordinary metric" with values in the cone of a linear normed space. The concept of the regularity set of a multivalued mapping is defined. A set of regularity is used in the study of inclusions in spaces with a vector-valued metric.

Keywords: multi-valued mapping; space with vector-valued metric; metric regularity; Lipschitz mapping; inclusion

Acknowledgements: The work is partially supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 17-01-00553-a, no. 17-41-680975-p_a, no. 18-31-00227-MO^_a). For citation: Zhukovskaia T. V., Pluzhnikova E. A. Mnozhestvo regulyarnosti mnogoznach-nogo otobrazheniya v prostranstve s vektornoznachnoy metrikoy [The set of metric regularity of a multivalued mapping in a space with a vector-valued metric]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2019, vol. 24, no. 125, pp. 39-46. DOI 10.20310/1810-01982019-24-125-39-46 (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

В связи с исследованиями систем операторных уравнений, краевых задач и задач управления в работе [1] был поставлен вопрос о применении понятий накрывания и метрической регулярности к отображениям, действующим в произведениях метрических пространств. Рассматривалась следующая задача. Пусть (X, рх), (У;,ру ) (г = 1,п) — метрические пространства, и задано отображение ^ = (Г1,...,Еп), компоненты которого ^ : П™=1 X] ^ У являются аг -накрывающими по г -ому аргументу (как действующие из Хг в Уг) и в] -липшицевыми по каждому из остальных аргументов (как действующие из X] в У, где ] = г). Требуется исследовать систему уравнений Ег(х1,... ,хп) = уг, г = 1 ,п, с известной правой частью уг € Уг. В [1]-[3] в терминах матриц коэффициентов аг, в] были получены условия существования решения, его оценки, условия непрерывности решения от параметров. В [4], [5] рассматривались такие же системы, но в которых количество уравнений — т может не совпадать с числом неизвестных — п. В этих работах на произведениях метрических пространств X = ПП=1 X], У = П^=1 У была задана векторнозначная метрика (далее будем сокращенно называть ее v-метрикой, а соответствующее пространство — v-метрическим) рХ = (рх1,... , рХп), ру = (ру1,... , РУт) и определено понятие векторного накрывания. В отличие от коэффициента «обычного накрывания», являющегося положительным числом, коэффициент векторного накрывания — это т х п-матрица с неотрицательными компонентами. В [6], [7] аналогичный прием был использован для изучения задачи о точке совпадения векторных многозначных отображений, а понятие регулярности относительно v-метрик рх, ру было распространено на многозначные отображения.

В работах [8], [9] рассмотрены накрывающие свойства отображений в пространствах с v-метрикой, значения которой не векторы из а элементы конуса некоторого нормированного пространства. В [8] предложено естественное распространение метрической регулярности, при котором коэффициентом регулярности становится линейный положительный оператор в соответствующих нормированных пространствах.

В [9] предложен способ, позволяющий определять по v-метрике некоторую «наилучшую» для задачи о точке совпадения метрику, что позволяет применять и к отображениям v-метрических пространств результаты о точках совпадения отображений «обычных» метрических пространств. В [10] введено понятие множества ^-метрической) регулярности, это понятие позволяет уточнить и ослабить условия существования точек совпадения и условия разрешимости уравнений некоторых видов в пространствах с v-метриками. В [11] получены условия существования точек совпадения многозначных отображений v-метрических пространств.

В настоящей статье предлагается определение множества регулярности для многозначных отображений v-метрических пространств. Это понятие используется для получения условий разрешимости общих операторных и конкретных функциональных включений.

1. Многозначные отображения у-метрических пространств

Пусть задано непустое множество X и линейное нормированное пространство Е, в котором выделен некоторый замкнутый выпуклый конус Е+. Конус задает порядок в Е, т. е. для любых элементов Г1, г2 € Е выполнено неравенство Т\ < г2 тогда и только тогда, когда г2 — г1 € Е+.

Отображение : X2 ^ Е+ будем называть v-меmрикой (см., например, [12]), если оно удовлетворяет аксиомам «обычной» метрики, т. е. при любых ж,и,^ € X выполнены соотношения

(ж,и) = 0 ^ ж = и, (ж,и) = (и,ж), (ж,и) < (ж, г>) + (-у,и).

Множество X с определенной на нем v-метрикой будем называть v-метрическим пространством и обозначать (X,). .

На v-метрические пространства естественно переносятся многие определения и результаты анализа отображений метрических пространств (см. [11, с. 1975]). Приведем некоторые из таких понятий, используемых в данной статье.

Множество Вх(и, г) = {ж € X : (ж, и) < г} называют замкнутым шаром с центром в точке и € X радиуса г € Е+. Последовательность {жп} С X называют фундаментальной, если

Уе> 0 ЗЖ Уп>Ж ||Рх(ж„,жт)||е < е.

Говорим, что при п ^ то последовательность {жп} С X сходится к элементу ж € X, если выполнено (жп,ж) ^ 0, т. е. ||Рх(жп,ж)||Е ^ 0. Пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовать в нем сходится. Множество и С X называется замкнутым, если для любой сходящейся последовательности его элементов {жп} С и, жп ^ ж выполнено ж € и. Например, замкнутым в X множеством является замкнутый шар Вх(и, г).

Пусть Е, М — некоторые линейные нормированные пространства, в которых заданы замкнутые выпуклые конусы Е+ С Е, М+ С М; X, У — пространства с v-метри-ками Тх : X2 ^ Е+, Ту : У2 ^ М+. Под многозначным отображением Е : X ^ У будем понимать отображение, ставящее в соответствие каждому х € X непустое замкнутое множество Е(х) С У. Многозначное отображение Е будем называть замкнутым в точке (х,у) € X х У, если для любых последовательностей {хг} С X, {уг} С У таких, что уг € Е(хг), хг ^ х, уг ^ у, выполнено включение у € Е(х).

Отметим, что конусами Е+,М+ порождается частичная, а не полная упорядоченность в Е и М, поэтому для v-метрических пространств X, У не удается определить аналоги расстояний от точки до множества и расстояний между множествами (в соответствующих определениях используются точные верхние и нижние границы множеств расстояний между точками, а для множеств v-расстояний точные границы могут не существовать). Это затрудняет перенесение на многозначные отображения v-метрических пространств некоторых важных свойств многозначных отображений «обычных» метрических пространств. Данное обстоятельство мы учитываем при определении следующих понятий.

В пространстве ^(М, Е) линейных ограниченных операторов Е : М ^ Е определим множество ^(М, Е)+ = {Е : М ^ Е : Е(М+) С Е+} положительных операторов. Это множество является замкнутым выпуклым конусом в ^(М, Е). Обозначим 1М : М ^ М — тождественный оператор. Заметим, 1М € ^(М, М)+.

Определение 1.1. Пусть задано отображение К € £(М, Е)+. Множеством К -регулярности отображения Е : X ^ У будем называть множество

Мк(Е) = |(х,у') € X х У : Уу € Е(х) Зх' € X у' € Е(х'), Тх(х',х) < КТу(у', у)}.

Определение 1.2. Пусть задано отображение Q € £(Е, М)+. Множеством ^ -липшицевости отображения Е : X ^ У будем называть множество

(Е) = {(х,у') € X х У : Ух' € X у' € Е(х') ^ Зу € Е(х) Ту(у',у) < QТх(х',х)}.

2. Условия разрешимости включения

Вопрос о существовании решений включений, как будет здесь показано, связан с задачей о влиянии липшицевых возмущений на множество регулярности многозначного отображения.

Пусть заданы отображения К € ^(М, Е)+ , Q € £(Е, М)+, многозначное отображение Ф : X2 ^ У и элемент у' € У. Будем полагать, что при любом х € X известно множество Мк (Ф(-,х)) К -регулярности отображения Ф(-,х) и множество Ф(х, •)) Q-липшицевости отображения Ф(х, •). Определим отображение

Е : X ^ У, Е(х) = Ф(х,х)

и рассмотрим включение

у' € Е(х).

(2.1)

Теорема 2.1. Пусть у-метрическое пространство X является полным, пространство Ы — банаховым, и заданы элементы жо € X, у0 € Ф(ж0,ж0). Пусть для спектрального радиуса оператора дК € £(Ы, Ы)+ имеет место оценка зг(^К) < 1. Определим

г = К (1м — дк )-1Ру (У',У0)

и предположим, что для любого ж € Вх(ж0,г) многозначное отображение Е замкнуто в точке (ж, у') и выполнены включения

(ж,у') € Мк(Ф(-,ж)), (2.2)

(ж,у') € £д(ф(ж, ■)). (2.3)

Тогда существует решение ж' € Вх(ж0,г) включения (2.1).

Доказательство. Из предположения зг(^К) < 1 следует существование линейного ограниченного оператора (1м — ^К)-1 : Ы ^ Ы и его представление в виде (см., например, [13, с. 116])

(1м — дк )-1 = 1м + дк + (дк )2 +....

Так как дК € ^(Ы, Ы)+ , то при любом п = 0,1, 2,... выполнено

(/м — дК )-1 > 1м + дК +... + (дК )п. (2.4)

Построим итерационную последовательность {жп} С X следующим образом. В силу предположения (2.2) существует ж1 € X такой, что

у' € Ф(жьж0), Рх(ж1,ж0) < КРу(у0,у').

Очевидно, ж1 € Вх(ж0,г). Определим Ф(ж1,ж1). Вследствие предположения (2.3) существует у1 € Ф(ж1,ж1), для которого выполнено неравенство

Ру(у1,у') < дРх(ж1,ж0).

Далее, снова в силу предположения (2.2) существует ж2 € X такой, что у' € Ф(ж2,ж1), Рх (ж2,ж1) < КРу (у1,у').

Отсюда, учитывая предыдущие выкладки, получаем

Рх(ж2,ж1) < Кру(у1,у') < КдРх(ж1,ж0) < КдКРу(У0,у').

Так как

Рх(ж2,ж0) < КРу(У0,у') + КРу(у1,у') < (К + КдК)Ру(у0,у') < г,

выполнено х2 € Вх(хо,г). Вследствие предположения (2.3) существует у2 € Ф(х2,х2), для которого выполнено неравенство

Ту(у2,у') < QТх(х2,х1).

Повторяя подобные рассуждения, на каждом п -м шаге (п = 1, 2,...) будем определять элементы хп € X, уп € У, удовлетворяющие соотношениям:

у' € Ф(хп,хп-1), Тх(хп,хп-1) < К^К)п-1Ту(уо,у'), Тх(хп,хо) < К(1м + QK + ... + (QK)п-1)Ту(уо,у');

уп € Ф(хп,хп), Ту (уп, у') < QТх (хп,хп-1). (2.5)

Заметим, что согласно неравенству (2.4) выполнено Тх(хп,х0) < г, т. е. хп € Вх(х0,г).

Последовательность {хп} является фундаментальной в X. Действительно, при любом ] = 1, 2,... выполнено

Тх(хп+],хп) < К(QK)п(/м + ... + (QK)]-1)Ту(уо,у') < К(QK)п(/м - QK)-1ру(уо,у').

Из оценки ^г^К) < 1 следует сходимость ||^К)п|^(М,М) ^ 0 при п ^ то. Таким образом, Тх(хп+,хп) ^ 0 при п ^ то.

Вследствие полноты X последовательность {хп} сходится. Пусть

хп ^ хх . Тогда

х' € Вх(хо,г). Для последовательности элементов уп € Ф(хп,хп) в силу неравенства (2.5) получаем уп ^ у'. А так как отображение Е замкнуто в точке (х',у'), элемент х' удовлетворяет включению (2.1). □

Список литературы

[1] Е. С. Жуковский, Е. А. Плужникова, "Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной", Дифференц. уравнения, 49:4 (2013), 439-455.

[2] Е. С. Жуковский, Е. А. Плужникова, "Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями", Автомат. и телемех., 2015, №1, 31-56.

[3] В. С. Трещёв, "Корректная разрешимость систем операторных уравнений с векторными накрывающими отображениями", Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки, 20:5 (2015), 1487-1489.

[4] Е. С. Жуковский, "О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах", Сиб. матем. журн., 57:2 (2016), 297-311.

[5] Е. С. Жуковский, "О точках совпадения векторных отображений", Изв. вузов. Матем., 2016, № 10, 14-28.

[6] Е. С. Жуковский, "О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств", Матем. заметки, 100:3 (2016), 344-362.

[7] М. В. Борзова, Т. В. Жуковская, Е. С. Жуковский, "О накрывании многозначных отображений, действующих в произведениях метрических пространств", Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки, 21:2 (2016), 363-370.

[8] Е. С. Жуковский, "О возмущениях накрывающих отображений в пространствах с век-торнозначной метрикой", Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки, 21:2 (2016), 375-379.

[9] А. В. Арутюнов, С. Е. Жуковский, "Точки совпадения отображений в пространствах с векторной метрикой и их приложения к дифференциальным уравнениям и управляемым системам", Дифференц. уравнения, 53:11 (2017), 1473-1481.

[10] Е. А. Плужникова, Т. В. Жуковская, Ю. А. Моисеев, "О множествах метрической регулярности отображений в пространствах с векторнозначной метрикой", Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки, 23:123 (2018), 547-554.

[11] Е. С. Жуковский, Е. А. Плужникова, "Многозначные накрывающие отображения пространств с векторнозначной метрикой в исследовании функциональных включений", Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки, 21:6 (2016), 1974-1982.

[12] Е. С. Жуковский, Е. А. Панасенко, "О неподвижных точках многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой", Тр. ИММ УрО РАН, 24:1 (2018), 93-105.

[13] Функциональный анализ, СМБ, ред. С. Г. Крейн, Наука, М., 1972.

References

[1] E. S. Zhukovskii, E.A. Pluzhnikova, "Covering mappings in a product of metric spaces and boundary value problems for differential equations unsolved for the derivative", Differential Equations, 49:4 (2013), 420-436.

[2] E. S. Zhukovskii, E. A. Pluzhnikova, "On controlling objects whose motion is defined by implicit nonlinear differential equations", Autom. Remote Control, 76:1 (2015), 24-43.

[3] V. S. Treshchev, "Well-posed solvability of systems of operator equations with vector covering mappings", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 20:5 (2015), 1487-1489 (In Russian).

[4] E. S. Zhukovskii, "Perturbations of vectorial coverings and systems of equations in metric spaces", Sibirsk. Mat. Zh., 57:2 (2016), 230-241.

[5] E. S. Zhukovskiy, "On coincidence points for vector mappings", Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 2016, №10, 10-22.

[6] E. S. Zhukovskii, "On coincidence points of multivalued vector mappings of metric spaces", Mathematical Notes, 100:3 (2016), 363-379.

[7] M. V. Borzova, T. V. Zhukovskaia, E. S. Zhukovskiy, "On covering of set-valued mappings in cartesian products of metric spaces", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 21:2 (2016), 363-370 (In Russian).

[8] E. S. Zhukovskiy, "On perturbations of covering mappings in spaces with vector-valued metrics", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 21:2 (2016), 375379 (In Russian).

[9] A. V. Arutyunov, S.E. Zhukovskiy, "Coincidence points of mappings in vector metric spaces with applications to differential equations and control systems", Differential Equations, 53:11 (2017), 1440-1448.

[10] E. A. Pluzhnikova, T. V. Zhukovskaia, Yu. A. Moiseev, "On sets of metric regularity of mappings in spaces with vector-valued metric", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 23:123 (2018), 547-554 (In Russian).

[11] E. S. Zhukovskiy, E. A. Pluzhnikova, "Multi-valued covering maps spaces with vector-valued metrics in research of functional inclusions", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 21:6 (2016), 1974-1982 (in Russian).

[12] E. S. Zhukovskiy, E. A. Panasenko, "On fixed points of multivalued mappings in spaces with a vector-valued metric", Proceedings of Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics UB RAS, 24:1 (2018), 93-105 (In Russian).

[13] Functional Analysis, SMB, ed. S. G. Krein, Nauka, Moscow, 1972 (In Russian).

Информация об авторах

Жуковская Татьяна Владимировна,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация. E-mail: [email protected]

ORCID: http://orcid.org/0000-0003-4374-4336

Плужникова Елена Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2008-3275

Конфликт интересов отсутствует. Для контактов:

Плужникова Елена Александровна E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 16.01.2019 г. Поступила после рецензирования 27.02.2019 г. Принята к публикации 28.03.2019 г.

Information about the authors

Tatiana V. Zhukovskaia, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department. Tambov State Technical University, Tambov, the Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0003-4374-4336

Elena A. Pluzhnikova, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department. Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2008-3275

There is no conflict of interests.

Corresponding author:

Elena A. Pluzhnikova

E-mail: [email protected]

Received 16 January 2019 Reviewed 27 February 2019 Accepted for press 28 March 2019