Множества устойчивости многопараметрических гамильтоновых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 57-58

УДК 531.36+512.77

МНОЖЕСТВА УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ ЗАДАЧ

© 2011 г. А.Б. Батхин, А.Д. Брюно

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва [email protected]

Поступила в редакцию 16.05.2011

Рассматривается вещественная линейная система Гамильтона с постоянными коэффициентами, зависящими от нескольких вещественных параметров. Формулируются и доказываются условия, необходимые и достаточные для устойчивости неподвижного решения этой системы при фиксированных значениях параметров. Предлагается метод вычисления множества всех значений параметров, при которых это решение устойчиво (т.е. множества устойчивости). Применение метода демонстрируется на одной гироскопической задаче, описываемой системой Гамильтона с четырьмя степенями свободы и с тремя параметрами. В вычислениях используется компьютерная алгебра, в частности базис Гребнера, и степенная геометрия. Показывается также, что четырехпараметрическое обобщение этой задачи не содержит принципиально новых трудностей.

Ключевые слова: условия устойчивости, системы Гамильтона, компьютерная алгебра, степенная геометрия.

Вычисление множеств устойчивости гамильтоновых систем

Пусть задана гамильтонова система линейных дифференциальных уравнений dXI dt = =JA(P)X, X = (Y, 7), Y, 7 е Я", где A - постоянная симметричная матрица, J- симплектическая единица, т - число степеней свободы, Р - вектор параметров размерности п. Характеристический многочлен матрицы JA(P) является многочленом /(ц) от четных степеней X, т.е. Ц = X2.

Определение. Множество устойчивости X линейной гамильтоновой системы - это множество значений параметров Р, для которых стационарное решение системы X = 0 устойчиво по Ляпунову.

Утверждение. Положение равновесия X = 0 линейной гамильтоновой системы устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда

1) все корни многочлена /(ц) = 11 лр V вещественны и неотрицательны;

2) все элементарные делители матрицы JA(P) просты.

Доказательство выводится из нормальной формы гамильтониана линейной системы [1].

Критическими корнями многочлена/(ц), при переходе через которые устойчивость может измениться, являются нулевой и двукратный Ц = = -ш2, поэтому граница ЭЕ множества устойчивости X состоит из частей гиперповерхностей ^ = |Р:/о(Р) = 0} и ^ = {Р: Д/) = 0}, где Д(/ ) - дискриминант многочлена /(ц). Если

т < 4, то необходимые и достаточные условия для устойчивости суть /(Р) > 0, к = 0,..., т - 1, Д(/ > 0 вместе с простотой элементарных делителей матрицы ^(Р) для критических корней X = = 0, ±/’ш. Для т > 4 критерий устойчивости формулируется в терминах инноров вспомогательной матрицы, построенной из матрицы ^(Р) [2-4]. Отметим, что проверка простоты элементарных делителей матрицы М(Р) эффективно осуществляется с помощью вычисления ранга матрицы МА (ц) = JA (Р) -лЩЕ без необходимости вычисления жордановой формы матрицы ^(Р).

Гироскопическая задача

Рассматривается механическая система в поле силы тяжести, состоящая из осесимметричных тел, связанных между собой универсальными шарнирами Кардано - Гука (рис. 1).

■ 1

О

Рис. 1

Центры каждого из шарниров находятся на

осях симметрии соответствующих тел. Нижнее тело - невесомый стержень длиной 21 посредством шарнира прикреплен к оси ротора вертикально поставленного мотора, а верхний стержень длиной I жестко прикреплен к центру плоского диска массой т и диаметром к1, к = 4, перпендикулярно его плоскости. Ротор мотора вращается с постоянной угловой скоростью П. Такие механические системы являются статически неуравновешенными. Анализ устойчивости вращения такой системы относительно вертикальной оси был проведен численно в [5]. Там же приведен вывод уравнений движения, а именно, представлен лагранжиан системы с точностью до членов второго порядка. Система имеет 6 степеней свободы, но ее уравнения движения расщепляются на две подсистемы, из которых нетривиальной является подсистема с т = 4. После рационального преобразования исходных параметров элементы матрицы А представляют собой линейные функции от вектора новых параметров Р размерности 3.

Характеристический многочлен матрицы JA(P) имеет полиномиальные по Р коэффициенты, причем его свободный член /0(Р) является полным квадратом и, следовательно, гиперповерхность, определяемая уравнением /0(Р) = 0, не может быть границей множества устойчивости. Роль границы множества X выполняет гиперповерхность ^2 = {Р: Д(/)(Р) = 0}, представляющая собой объединение некоторой плоскости и линейчатой поверхности О. Линейчатая поверхность О была найдена с помощью базиса Гребнера и исследована локально вблизи особых точек алгоритмами степенной геометрии [3, 6]. Она заметается прямой, движущейся вдоль двух параболических сегментов Р1 , Р2 . Поверхность О делит пространство параметров на четыре области, но устойчивость имеет место только в двух из них, представляющих собой: 1) внутренность криволинейного тетраэдра и 2) неограниченную область (рис. 2).

Каждая из двух областей устойчивости пересекается с областью физических значений параметров. В [5] численно была найдена малая часть области 1). Итак, получен эффективный способ выделения области устойчивости. Также рассмотрено обобщение задачи для случая к > 0, т.е. задача с четырьмя параметрами. Работа выполнена совместно с В.П. Вариным.

Работа поддержана РФФИ (проекты 08-01-00082, 11-01-00023).

Список литературы

1. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел: Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990.

2. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979.

3. Брюно А.Д., Батхин А.Б., Варин В.П. Вычисление множеств устойчивости в многопараметрических задачах. Препринт №23. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2010.

4. Брюно А.Д., Батхин А.Б., Варин В.П. Множества устойчивости многопараметрических гамильтоновых задач // ПММ. 2011. Т. 75. (В печати).

5. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Многопараметрические задачи устойчивости. Теория и приложения в механике. М.: Физматлит, 2009.

6. Брюно А.Д., Батхин А.Б., Варин В.П. Множество устойчивости одной гироскопической задачи. Препринт № 4. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2010.

SETS OF STABILITY OF MULTIPARAMETER HAMILTONIAN PROBLEMS

A.B. Batkhin, A.D. Bruno

We consider a real linear Hamiltonian system with constant coefficients, which depend on several real parameters. The necessary and sufficient conditions for the stability of stationary solutions of this system for fixed values of the parameters are formulated and proved. A method for computing a set of all the values, for which this solution is stable, is proposed. Application of the method is demonstrated using a gyroscopic problem, described by the Hamiltonian system with four degrees of freedom and with three parameters. Computer algebra (Groebner basis) and Power Geometry are used in the calculations. The four-parameter generalization of this problem does not contain principally new difficulties.

Keywords: conditions of stability, Hamiltonian system, computer algebra, power geometry.