Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры

П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Волегов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

В статье рассматривается общая структура многоуровневые моделей неупругого деформирования материалов, ориентированные на описание эволюции внутренней структуры, обозначены ключевые для дальнейшего развития моделей данного класса вопросы и предложены варианты их решения. Приводится оригинальный вариант согласования определяющих соотношений масштабных уровней (однотипных характеристик различные масштабных уровней), попутно приводящий к однозначному описанию геометрической нелинейности на макроуровне за счет конкретизации не зависящей от выбора системы отсчета производной тензора напряжений Коши. Рассматриваются построенные в рамках общей идеологии двухуровневая модель поли-кристаллических металлов и трехуровневая модель частично кристаллического полимерного материала, для которые на основе физического анализа предложены законы упрочнения и ротаций решеток элементов на низших масштабных уровнях. С использованием разработанных алгоритмов реализации многоуровневых моделей для простых нагружений выполнены численные эксперименты и проанализированы результаты расчетов.

Ключевые слова: многоуровневые модели, конститутивные соотношения, физические теории пластичности, квазитвердое движение, ротация решетки, упрочнение

Multilevel models of inelastic deformation of materials and their application for description of internal structure evolution

P.V. Trusov, A.I. Shveykin, E.S. Nechaeva and P.S. Volegov Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

The paper considers a general formulation of multilevel models of inelastic deformation of materials as applied to description of their internal structure evolution. Key problems for further development of this class of models and their solutions are put forward. An original variant of matching of constitutive relations of differing scale (differently scaled one-type characteristics) is proposed; the matching simultaneously provides unambiguous description of macroscale geometric nonlinearity by specifying the Cauchy stress tensor derivative independent of the choice of a reference frame. The general formulation is used to construct a two-level model of polycrystalline metals and a three-level model of semi-crystalline polymers for which hardening and lattice rotation laws of lower scales are derived from physical analysis. Numerical experiments performed with the developed algorithms of multilevel models for simple loading are described and their results are analyzed.

Keywords: multilevel models, constitutive relations, physical theories of plasticity, quasi-rigid motion, lattice rotation, hardening

1. Введение

Физико-механические характеристики поликристал-лических материалов определяются внутренней структурой различных масштабных уровней, которая существенно эволюционирует (меняется зеренная и дислокационная структура, происходят ротации решеток кристаллитов [1, 2]) при интенсивном пластическом деформировании, широко используемом для получения мате-

риалов с уникальными свойствами (субмикрокристал-лических, нанокристаллических, текстурированных, способных к сверхпластическим деформациям).

В настоящее время для разработки технологии обработки интенсивным пластическим деформированием, как правило, применяются весьма дорогостоящие и требующие больших временных затрат эмпирические методы. Основной причиной сложившейся ситуации

© Трусов П-B., Швейкин А.И., Нечаева E.C., Boлeгoв П.С, 2012

является непригодность обычно используемых технологами теоретических методов, основанных на макрофе-номенологической теории пластичности, для описания эволюции микроструктуры (фрагментации, дробления зерен, формирования дислокационных субструктур). Поэтому в нелинейной механике деформируемого твердого тела одной из наиболее актуальных проблем является построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материалов [3-5], что должно позволить оптимизировать существующие и разрабатывать новые методы получения и обработки материалов и изделий с повышенными эксплуатационными характеристиками. В ближайшем будущем одним из основных направлений развития механики и материаловедения, как представляется, будет разработка так называемых функциональных материалов: создание материалов с оптимальными для конкретных конструкций и условий их эксплуатации рабочими характеристиками. Для постановки и решения подобных проблем наиболее распространенный макро-феноменологический подход к формулировке определяющих соотношений не пригоден, поскольку самих материалов (а следовательно, и образцов, на которых можно было бы проводить макроэксперименты) еще не существует. Исходя из анализа работ, посвященных построению моделей материалов, данную проблему можно решить только с использованием многоуровневых математических моделей, основанных на физических теориях, учитывающих эволюционирующую мезо-и микроструктуру и зависящие от нее физико-механические свойства.

Пионерские попытки построения математических моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры в широком диапазоне воздействий на материал, предпринимаются уже с 30-50-х гг. XX века (Дж. Тейлор [6], Дж. Бишоп, Р. Хилл [7, 8], Т.Г. Линь [9] и др.). Существенный вклад в развитие данного направления внесли отечественные ученые: В.А. Лихачев [10],

B.В. Рыбин [1], уральская школа механиков, основанная

C.Д. Волковым и др. Основы новой дисциплины, находящейся на стыке механики деформируемого твердого тела и физики твердого тела и посвященной в том числе изучению эволюции структуры материала, — физической мезомеханики—заложили ученые томской научной школы В.Е. Панина [3, 11], многоуровневые модели для описания пластического деформирования и разрушения различных материалов (металлов, горных пород) предложены П.В. Макаровым [12-14].

В настоящее время при построении моделей, способных описывать эволюцию внутренней структуры поликристаллических материалов, все большее признание находит подход, основанный на явном введении в структуру определяющих соотношений параметров, отражающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, формулировка эволюционных (кинетичес-

ких) уравнений для этих параметров, называемых внутренними переменными [4, 15]. В рамках данного подхода принимается гипотеза о том, что реакция материала в каждый момент времени полностью определяется значениями тензорзначных термомеханических характеристик материала, конечного набора внутренних переменных, параметров физико-механических воздействий и их производных по времени требуемого порядка в исследуемый момент времени. Стоит отметить, что в этом случае история воздействий не отбрасывается, ее «носителями» будут являться введенные внутренние переменные.

Часть внутренних переменных О^, в = 1,Ве) непосредственно входит в структуру определяющих соотношений данного масштабного уровня (их логично называть внутренними «явными» переменными). Вторая группа внутренних переменных 4, в = 1, ..., В1), в большинстве случаев относящихся к более глубоким масштабным уровням, используется для замыкания системы уравнений (внутренние скрытые, «неявные» переменные). Полная совокупность внутренних переменных, таким образом, определяется как 4р} = 4®, О^}, в = 1, ..., В, у = 1,..., Ве, 8 = 1,..., В\ В = Ве + В\

Структура конститутивной модели с внутренними переменными включает в себя совокупность следующих групп соотношений [4, 15, 16]:

уравнения состояния (определяющие соотношения):

Г = Fr (Р«, .12,..., ОВе), (1)

эволюционные уравнения (для скрытых внутренних переменных):

(4 )Г = R г8 (Ра. ОЬ О.-. О‘В>)> 8 = 1,..., В1, (2)

замыкающие уравнения:

(4)г = сГ1 (Ра,о;,4,...,4,), у = 1,...,Ве, (3)

где £ — мера напряженного состояния; Ра, а = 1, ..., А — параметры воздействия термомеханической (например температура, мера деформированного состояния и т.д.) и нетермомеханической (например радиация, химические воздействия) природы, верхний индекс г обозначает ту или иную не зависящую от выбора системы отсчета производную.

В контексте проблемы описания эволюции внутренней структуры можно отметить как несомненное преимущество данного подхода (по сравнению с формулировкой макрофеноменологических определяющих соотношений в операторной форме) возможность построения в рамках структуры (1)-(3) многоуровневых моделей с явным учетом структуры за счет введения соответствующих внутренних переменных. В частности, в последние 20 лет весьма интенсивно развиваются физические теории пластичности поликристаллических металлов [17-19 и др.], явно рассматривающие физические механизмы деформирования на более низких, чем уровень представительного макрообъема, мас-

Рис. 1. Схема взаимодействия масштабных уровней

штабных уровнях. Краткий обзор работ по физическим теориям пластичности приведен в статьях [20-22], по многоуровневым моделям — в [23, 24].

Можно отметить ряд недостатков, присущих всем существующим моделям рассматриваемого класса. Например, в подавляющем большинстве работ для описания ротации кристаллической решетки используется модель «жесткого стеснения» Тейлора, практически отсутствуют модели, в которых были бы заложены «движущие силы» разворотов и фрагментации за счет взаимодействия дислокационных субструктур. Принятое в моделях описание упрочнения по внутризеренным системам скольжения зачастую абстрагировано от реальных механизмов взаимодействия дислокационных субструктур и/или не охватывает все важнейшие механизмы упрочнения. Кроме того, в существующих моделях не обосновываются связи для однотипных характеристик различных масштабных уровней.

Также важно отметить, что при моделировании реальных процессов глубокого неупругого деформирования с использованием многоуровневых моделей, как и любых других, актуальным остается вопрос корректного описания на макроуровне геометрической нелинейности при неупругом деформировании — один из острейших в механике твердого тела [25]: отсутствует четко обоснованный общепринятый способ учета геометрической нелинейности в определяющих соотношениях неупругости и предлагаемый различными исследователями спектр вариантов достаточно широк. С одной стороны, выбор любой не зависящей от системы отсчета производной в определяющих соотношениях, построенных в актуальной конфигурации (обусловленный принятым способом разложения движения на квазитвердое и деформационное), обеспечивает выполнение принципа независимости определяющего соотношения от выбора системы отсчета [26], с другой — использование разных производных приводит к кардинальному разли-

чию результатов. Возможный путь решения проблемы, как представляется, связан с необходимостью более детального рассмотрения внутренних механизмов каждого конкретного процесса, а на последнее как раз и ориентированы многоуровневые модели и физические теории пластичности.

Над отмеченными вопросами интенсивно работают многие исследователи. В настоящей статье кратко изложены результаты коллектива, в котором работают авторы, по данным направлениям.

2. Структура многоуровневых моделей

Структура и алгоритмы реализации многоуровневых моделей для решения реальных краевых задач и возможности повышения эффективности вычислительных процедур подробно изложены, например, в [27-29], здесь остановимся только на ключевых моментах.

При использовании многоуровневого подхода каждой материальной точке (представительному объему) на некотором масштабном уровне 1 ставится в соответствие неоднородная область на более низком масштабном уровне 2 (рис. 1). Аналогично — для последующих масштабных уровней. Поэтому при изложении подхода и алгоритмов можно оперировать только двумя уровнями (например макро- и мезоуровни), называя масштабный уровень 1 верхним, а масштабный уровень 2 — нижним.

На нижнем масштабном уровне путем явного рассмотрения физических механизмов неупругого деформирования, реализующихся в результате приложенных воздействий, устанавливаемых на верхнем масштабном уровне (на макроуровне — при решении краевой задачи), определяются параметры эволюционирующей структуры, текущие физико-механические свойства, повреж-денность и неупругие деформации, которые учитываются при уточнении отклика на верхнем масштабном уровне. Таким образом, применение многоуровневых моде-

лей для решения краевой задачи подразумевает использование итерационной процедуры в каждый момент времени для определения согласованных параметров процесса на всех масштабных уровнях.

При моделировании число рассматриваемых уровней определяется исследователем исходя из анализируемого конкретного процесса, требуемой степени детализации, известных или предполагаемых механизмов деформирования. Например, при моделировании неупругого деформирования поликристаллических металлов иерархию масштабных уровней можно определить следующим образом: макроуровень (уровень представительного макрообъема) — мезоуровень (уровень кристаллита (зерна, субзерна, фрагмента)) — микроуровень (дислокационная структура) (рис. 2). B настоящее время при анализе деформирования поликристаллических металлов наиболее часто используются двухуровневые модели (макро-мезо). Для описания более «тонкого» поведения поликристаллических материалов различных классов может потребоваться увеличение числа уровней.

Так, при построении многоуровневой конститутивной модели представительного объема частично кристаллического полимерного материала (полиэтилена низкого давления) потребовалось три масштабных уровня. Иерархия масштабных уровней принята следующей [30]: макроуровень (уровень представительного макрообъема) — мезоуровень 1 (уровень сферолита [31]) — мезоуровень 2 (уровень стека ламелей, состоящего из тонких пластинок-кристаллитов с прослойками аморфной фазы материала) (рис. 3) [31].

Тип соотношений для связи параметров различных масштабных уровней (способ назначения с вышележащего уровня параметров воздействия для модели нижележащего уровня и способ определения явных внутренних переменных верхнего уровня с помощью модели нижнего уровня) — один из классификационных признаков многоуровневых моделей, как представляется, — ключевой. Модели можно разделить на три класса: статистические, самосогласованные и прямые.

В статистических моделях [23], рассматривающих представительный объем верхнего уровня как выборку соответствующих элементов нижнего уровня, при назначении с верхнего уровня параметров нагружения для модели нижнего уровня преимущественно используется или гипотеза Фойгта (для каждого элемента нижнего уровня тензор деформации скорости равен тензору деформации скорости верхнего уровня d = D, применение этой гипотезы часто обосновывается исследователями большей простотой реализации таких моделей и «стесненностью» зерен в поликристалле), или гипотеза Рейсса (для каждого элемента нижнего уровня напряжения совпадают с напряжениями верхнего уровня ст = 2). В таких моделях неупругая составляющая деформации скорости Dш и эффективные анизотропные упругие свойства С на верхнем уровне определяются тем или иным осреднением скоростей неупругих деформаций dш и упругих свойств с нижнего уровня в любой момент процесса деформирования [4, 5, 16].

Более точными являются так называемые самосогласованные модели (или «модели среднего поля»), в которых, например, рассматривается поведение отдельного

Представительный Сферолит Стек ламелей

Рис. 3. Схематичное представление иерархии масштабных уровней при моделировании полиэтилена низкого давления (слева направо: макроуровень, мезоуровень 1, мезоуровень 2)

включения — кристаллита (как правило, канонической формы, например эллипсоида), заключенного в матрицу с эффективными характеристиками поликристалла

[32]. Модели данного класса имеют широкое применение, однако, большей частью в теоретических работах, при анализе поведения представительного макрообъема поликристаллического материала. Применение их для решения реальных задач сдерживается значительными затратами машинного времени.

Дальнейшим развитием самосогласованных моделей являются так называемые «прямые» модели [24], в которых каждое зерно представляется совокупностью одного или нескольких конечных элементов, для каждого из элементов используется та или иная физическая теория [33-35 и др.]. По существу, при данном подходе нет явного разделения на масштабные уровни — с помощью метода конечных элементов проводится моделирование расчетной области с большой дискретизацией. Понятно, что в этом случае вопроса о «согласовании» полей перемещений и напряжений не возникает, непрерывность полей обеспечивается автоматически. Существует другая разновидность «прямых» моделей, в которых точкам интегрирования конечных элементов макроуровня приписывается совокупность кристаллитов с заданным законом распределения ориентации; связь масштабных уровней в них реализуется в большинстве случаев на основе гипотезы Фойгта. Однако модели этого класса являются еще более ресурсоемкими, чем самосогласованные.

С точки зрения моделирования реальных технологических процессов в настоящее время наиболее востребованы статистические конститутивные модели. К этому классу относятся и рассматриваемые в данной статье двухуровневая модель неупругого деформирования по-ликристаллических металлов и трехуровневая модель неупругого деформирования полиэтилена низкого давления. Рассмотрим детально их структуру в контексте формализма вышеприведенного подхода с внутренними переменными [4, 5, 15, 16], обращая особое внимание на описание геометрической нелинейности на макроуровне и согласование определяющих уравнений на масштабных уровнях.

2.1. Двухуровневая модель поликристаллических металлов

На макроуровне рассматривается представительный объем поликристаллического металла, состоящий из совокупности кристаллитов — элементов мезоуровня (рис. 2).

Конститутивная модель материала на макроуровне принимается в виде:

£г = £ + ОТ • £ + £• О = С^е =С : (Б-Din), (4.1)

С = С(с(0), i = 1,..., N, (4.3)

= В“(й(П), С(0), I = 1,..., N, (4.4)

где 2 — тензор напряжений Коши; С — тензор модулей упругости; D, Бе, Бш — тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющая; й — тензор, описывающий движение подвижной системы координат, относительно которой определяется собственно деформационное движение [25] на макроуровне. Стоит акцентировать внимание на том, что вопрос однозначного введения не зависящей от выбора системы отсчета производной, т.е. корректного разложения движения на квазитвердое и собственно деформационное — один из наиболее трудных в нелинейной механике деформируемого твердого тела [25] и, по мнению авторов, не решен до сих пор. В данной работе для определения й предлагается использовать условие согласования определяющих соотношений на различных масштабных уровнях.

Таким образом, неупругая составляющая деформации скорости Бш, эффективные анизотропные упругие свойства С и описывающий движение подвижной системы координат тензор й являются явными внутренними переменными модели макроуровня, в каждый момент зависят от структуры на низших масштабных уровнях (а через нее — от истории нагружения) и определяются с помощью модели мезоуровня (И — число элементов мезоуровня, необходимых для статистического описания представительного объема макроуровня, далее индекс элемента мезоуровня опускается). Согласно вышеприведенной общей структуре конститутивной модели (4.1) является уравнением состояния, а (4.2)-

(4.4) — замыкающими уравнениями, конкретизация которых является одной из основной целей работы (предлагаемый авторами подход описан в разделе 3). В качестве эволюционных уравнений выступают соотношения модели мезоуровня.

На мезоуровне (уровне кристаллита) в двухуровневых моделях неупругого деформирования поликристал-лических металлов используется следующая система соотношений:

СТ = -ю -ст + ст-ю = с^е = с:^-dm), (5.1)

йт = £ уктк, (5.2)

к=1

Гк = Г о

Н(тк -<), к = 1,..., К,

(5.3)

Ткг = f ІІ1, і1 )> к, j = 1,..., К,

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(4.2)

о • о = ю, ї = D,

где ст — тензор напряжений Коши; с — тензор четвертого ранга упругих свойств кристаллита; d, dе, dm —

тензор деформации скорости, его упругая и неупругая

k k

составляющие на мезоуровне; у , Tcr — накопленный сдвиг и критическое напряжение сдвига по к-И системе скольжения; mk = l/2(bknk + n kbk) — ориентацион-

7 ~ k k

ныи тензор к-и системы скольжения, b , n — единичные векторы в направлении вектора Бюргерса и нормали к плоскости скольжения; плоскости залегания и ориентация векторов Бюргерса, вдоль которых осуществляется трансляционное движение (скольжение) краевых дислокаций, известны, ими являются наиболее плотно упакованные плоскости и направления (так, в ГЦК-металлах скольжение краевых дислокаций осуществляется в плоскостях системы {111} по направлениям (110) [36]); у 0, n — константы материала (характерная скорость сдвигов при равенстве касательных напряжений на системах скольжения критическим и константа скоростной чувствительности материала [37]); Tk = bknk : a — действующее в k-й системе скольжения касательное напряжение; H(.) — функция Хэвисайда; K — число систем скольжения для рассматриваемого типа решетки (отметим, что число систем скольжения в данном случае равно удвоенному числу кристаллографических систем (в каждой плоскости противоположным направлениям вектора Бюргерса соответствуют разные системы скольжения), т.е. для ГЦК-кристалла рассматривается 24 системы скольжения); ю — тензор спина решетки; о — тензор текущей ориентации кристаллографической системы координат кристаллита относительно фиксированной лабораторной системы координат.

В качестве определяющего соотношения (уравнения состояния) на мезоуровне выступает закон Гука в скоростной форме (5.1), при этом учитывается геометрическая нелинейность: квазитвердое движение [25] связывается с поворотом решетки (кристаллографической системы координат); в коротационной производной тензора напряжений Коши ar фигурирует тензор спина ю, характеризующий скорость вращения кристаллической решетки. Таким образом, напряжения характеризуют именно упругие связи в зерне, связанные с изменением расстояний между соседними атомами. Различные модели поворота решетки подробно рассмотрены в работе [38], оригинальная модель поворота решетки с учетом несовместности скольжения дислокаций приво-

дится ниже в разделе 5 (конкретизируются соотношения

(5.5)). Эта модель предполагает расширение набора неявных внутренних переменных мезоуровня: вводятся моментное напряжение |Д,, действующее на кристаллит, критическое моментное напряжение р. ст и набор нормалей к границам кристаллита ^п, т = 1, ..., М(М— число соседних кристаллитов).

Уравнение (5.2) — кинематическое соотношение, согласно которому неупругое деформирование кристаллита осуществляется за счет сдвигов по системам скольжения.

Для определения скорости неупругого деформирования Дш в моделях поликристаллических металлов может быть использована [23, 24] либо упругопластическая модель на базе модели Линя [5, 36], либо применяемая здесь упруговязкопластическая модель (5.3), в которых Дш (как и ю) связывается со скрытыми внутренними переменными мезоуровня, характеризующими дислокационное скольжение, — скоростями сдвигов ук по системам скольжения, к = 1, ..., К (К — число систем

скольжения для рассматриваемого типа решетки), крик

тическими напряжениями тсг, тензором о текущей ориентации кристаллографической системы координат зерна относительно фиксированной лабораторной системы координат. Конкретизация уравнения (5.4), описывающего эволюцию критических напряжений сдвига по системам скольжения, приводится в разделе 4.

Для передачи воздействия, производимого на макроуровне, на низшие масштабные уровни в модели применяется гипотеза Фойгта, согласно которой тензоры деформации скорости для каждого кристаллита совпадают с тензором деформации скорости макроуровня d = D.

В конститутивной модели мезоуровня соотношение

(5.1) — уравнение состояния, (5.3), (5.4) — эволюционные уравнения, в качестве замыкающих выступают уравнения (5.2), (5.5). Классификация внутренних переменных макро- и мезоуровня сведена в табл. 1.

2.2. Трехуровневая модель частично кристаллического полимерного материала

На макроуровне рассматривается представительный объем частично кристаллического полимерного материала, состоящий из совокупности N сферолитов —

Таблица 1

Параметры конститутивной модели поликристаллических металлов на разных масштабах

Параметры, определяемые на данном масштабном уровне

Параметры воздействия Явные внутренние переменные Неявные внутренние переменные Реакция материала

Макроуровень D(0 C, Din, Q c, din, ю (для каждого кристаллита) Е, De

Мезоуровень (для каждого кристаллита) d(0 = D(0 c, din, ю т£> y(k), О, ц, , qm a, de

£ = С :ф - Dm)-А1 • £ - £ • А, Din = Dm(d17г.),е{0), і = 1,...,N,

элементов мезоуровня 1 (рис. 3). Полная система уравнений макроуровня при кинематическом нагружении (все компоненты тензора деформации скорости D(^) полагаются известными) для представительного объема материала выглядит следующим образом:

Ъг = С: ф - Din), (6.1)

Ъг = Ё + АТ • Ъ + Ъ • А, (6.2)

(6.3)

(6.4)

А = А(аа), с(г))> [ = 1>--> N, (6.5)

С = С(с|0), I = 1,..., N, (6.6)

№ )]*ск = |^(? )]*ск*, (6.7)

где А — некоторый тензор, входящий в состав не зависящей от наложенного жесткого движения производной на макроуровне. Конкретный тип этой производной (в общем случае конвективной, в частных случаях — коро-тационной) и способ определения этого тензора выбираются исходя из необходимости обеспечения условий согласования определяющих соотношений соседних масштабных уровней (макроуровня и мезоуровня 1, см. раздел 3); неупругая составляющая тензора деформации скорости Dm также определяется из условий согласования. Таким образом, Бш, А и С в (6) играют роль явных внутренних переменных макроуровня (табл. 4). Компоненты тензора деформации скорости [1)(?)]ЛСК считаются предписанными для представительного макрообъема (определяются в результате решения краевой задачи для макротела); ЛСК — лабораторная система координат. В системе (6) роль определяющего соотношения играет закон Гука (6.1)-(6.3) в скоростной релаксационной форме, соотношения (6.4)-(6.6) — замыкающие уравнения, роль эволюционных уравнений играют соотношения модели мезоуровня 1.

Для представительного объема мезоуровня 1 (уровень сферолита), состоящего из совокупности п элементов мезоуровня 2 (стеков ламелей), полная система уравнений представляется совокупностью определяющего соотношения закона Гука в скоростной релаксационной форме с входящей в его состав конвективной (в общем случае) производной, позволяющей описывать геометрическую нелинейность:

(ст1)'' ^СТ1 +аТ •ст1 + ст1 • а = с1 :^ - d1m), (7.1)

а1 = е1: ((11 -й“)-аТ •ст1 - ст1 • а, = аГ(а“0,е^,і =1,...,п,

а = а(ю^-), с(г)Х і = 1 ..., n, е1 = е1(е(і)), і = 1,..., п, dl(t) = D(t),

(7.2)

(7.3)

(7.4)

(7.5)

(7.6)

где СТ1 — тензор напряжений Коши на мезоуровне 1; е1 — тензор четвертого ранга упругих свойств сферолита; ^— тензор деформации скорости на мезоуровне 1, его упругая и неупругая составляющие; а — тензор, входящий в структуру конвективной производной на мезоуровне 1. Значения явных внутренних переменных мезоуровня 1 й“, а и е1 определяются из замыкающих уравнений (7.3)-(7.5), где вид функций правых частей необходимо определять из условий согласования определяющих соотношений мезоуровня 1 и мезоуров-ня 2 конститутивной модели (раздел 3). Роль эволюционных уравнений на мезоуровне 1 в рамках конститутивной модели играют определяющие соотношения мезоуровня 2.

На мезоуровне 2 (уровень кристаллита — стека из нескольких параллельных ламелей с прослойками аморфной фазы материала) в трехуровневой модели неупругого деформирования частично кристаллического полимерного материала полная система уравнений выглядит следующим образом:

(ст2)г =ст2 - ю •ст2 + ст2

и = с2: ^2 - d21),

С =Е тк у

к=1

Ук =У о

тк =

/о

егу5і (тО, мО, аП, УЁ , Уі_),

к = 1,8, і = 1,

/шогр1і (т0, Мо, ап

к = 1,4, і = 1,4, й2 = ^), 02 • «Т = Ю

л,і 'Л л,к+2 л-,к\

, Те , У , Уе , У ),

(8.1) (8.2)

(8.3)

(8.4)

(8.5)

где СТ2 — тензор напряжений Коши элемента мезоуровня 2; с2 — тензор четвертого ранга упругих свойств кристаллита; d2, d2, d21 — тензор деформации скорости на мезоуровне 2, его упругая и неупругая составляющие; ю — тензор спина решетки кристаллита (элемента мезоуровня 2); тк = 1/2 (Ьк пк + пк Ьк) — ориентационный тензор к-й системы скольжения в элементе мезоуровня 2; пк, Ьк — единичные векторы нормали к плоскости скольжения и направления скольжения краевых дислокаций; тк = тк: ст2 — касательное напряжение на ней; ук — скорость сдвига по к-й системе скольжения; тк — критическое напряжение сдвига по к-й системе скольжения, для которого записываются эволюционные уравнения, характеризующие упрочнение (8.4) (раздел 4); у0 — материальный параметр, характеризующий скорость сдвига по к-й системе скольжения при касательном напряжении, равном критическому напряжению сдвига; пс — показатель степени в нелинейном вязкоупругом физическом законе, характеризующем скоростную чувствительность кристаллитов; у5г — суммарный накопленный сдвиг по г-й систе-

Таблица 2

Системы скольжения в элементе мезоуровня 2 трехуровневой конститутивной модели

Номер системы Тип сдвига Система скольжения nk bk

1 Сдвиг в кристаллите вдоль направления цепей (100)[001] (1; 0; 0) (0; 0; 1)

2 (010)[001] (0; 1; 0) (0; 0; 1)

3 (110)[001] (cos a; sin а; 0) (0; 0; 1)

4 (И0)[001] (-cosa; sin а; 0) (0; 0; 1)

5 Поперечный сдвиг в кристаллите (100)[010] (1; 0; 0) (0; 1; 0)

6 (010)[100] (0; 1; 0) (1; 0; 0)

7 (110)[1Щ (cosa; sin a; 0) (sina; -cosa; 0)

8 (И0)[110] (-cosa; sin a; 0) (sin a; cosa; 0)

ме скольжения; 02 — ориентационный тензор элемента мезоуровня 2.

Для определения d2 на мезоуровне 2 в модели частично кристаллического полимерного материала используется вязкоупругая модель — зависимость скоростей сдвигов от напряжений принимается в виде нелинейного степенного закона [39], в котором скорости неупругих деформаций d2 и спины ю элементов мезоуровня 2 связываются со скрытыми внутренними переменными мезоуровня 2, характеризующими дислокационное скольжение в кристаллитах и деформирование аморфной прослойки, — скоростями сдвигов yk по

системам скольжения, критическими напряжениями

k

сдвига тсг, текущими ориентациями 02 элементов ме-зоуровня 2 в рамках представительного объема более высокого масштабного уровня.

В табл. 2 приведены системы скольжения, вводимые в элементе мезоуровня 2 трехуровневой конститутивной модели для полиэтилена низкого давления [39]. Значения компонент вектора нормали к плоскости скольжения nk и вектора, характеризующего направление скольжения bk, приведены в кристаллографической системе

координат, a = arcsin(a/Va2 + b2) — угол между направлениями [010] и [110] в кристаллите; a, b и с — размеры ячейки периодичности кристаллита полиэтилена низкого давления (орторомбическая решетка), являющиеся параметрами материала: a = 0.74 нм, b = = 0.493 нм, с = 0.254 нм [39].

Необходимо отметить, что отличительной особенностью рассматриваемого класса частично кристаллических полимерных материалов является наличие аморфной фазы (в предлагаемой модели — аморфных прослоек между кристаллитами в элементах мезоуров-ня 2). В модели для реализации произвольного сдвига по межламеллярной прослойке вводятся две дополнительные системы скольжения с вектором нормали, совпадающим с нормалью к поверхности ламели n и двумя взаимно ортогональными векторами, характеризующими направление сдвига в межламеллярной плоскости:

n = (-sinP; 0; cos в), b" 1 b",

kL I „ 1..L I (9)

b2 1 n, bj 1 n, в = Z(n, c) — материальный параметр, угол между направлением нормали к поверхности ламели n и направлением молекулярных цепей в кристаллите с. В силу того что межламеллярная прослойка является аморфной, в ней может быть реализован сдвиг в произвольном направлении, который при моделировании раскладывается по двум взаимно ортогональным векторам b" и b", что приводит к появлению в элементе мезоуровня 2 двух дополнительных (межламеллярных) систем скольжения (табл. 3, системы 1, 2). Необходимо отметить, что для реализации возможности описания процессов реверсивного нагружения число введенных в модель межламеллярных систем удваивается (вводятся две дополнительные системы скольжения с векторами сдвига, направленными противоположно первым двум — системы 3, 4, табл. 3). При этом на все межламеллярные системы накладывается ограничение неотрицательности сдвигов.

Связь уровней осуществляется за счет включения в структуру определяющих соотношений на каждом масштабном уровне явных внутренних переменных, которые определяются из замыкающих уравнений в результате моделирования процесса неупругого деформирования на более глубоких масштабных уровнях по отношению к рассматриваемому и использования той или иной кинематической гипотезы. В работе используется гипотеза Фойгта об однородности тензора деформации скорости в рамках представительного объема каждого масштабного уровня:

Таблица 3

Направления сдвига, введенные в межламеллярной плоскости

Номер системы bk

1 (0; 1; 0)

2 (cos(n, c); 0; sin(n, c))

3 (0; -1; 0)

4 (-cos(n, c); 0; -sin(n, c))

Таблица 4

Параметры конститутивной модели полиэтилена низкого давления на различных масштабах

Параметры, определяемые на данном масштабном уровне

Параметры воздействия Явные внутренние переменные Неявные внутренние переменные Реакция материала

Макроуровень D(^) = D*(^) С, Оіп, А с1, ^п, а (для каждого сферолит а) 2, Ое

Мезоуровень 1 (для каждого сферолита) <1і(г) = О(г) & ,п а с2, ^2П, Ю, 01 (для каждого кристаллита) о1, &е

Мезоуровень 2 (для каждого кристаллита) &2(ї) = &і(0 с2, &21, ю т£>, у(к), У^, 02 о2, &2

^), d ),

где t—время; О(^, d2) — тензор деформации скорости представительного объема материала макроуровня (элемента мезоуровней 1 и 2 соответственно), определенный в актуальной конфигурации.

Для описания квазитвердого движения элементов каждого из рассматриваемых масштабных уровней в определяющих соотношениях используется соответствующая не зависящая от системы отсчета производная. На мезоуровне 2 используется коротационная производная с тензором спина ю, определяемым согласно модели стесненного поворота Тейлора [19], приведенной в разделе 5.

Полная классификация внутренних переменных трехуровневой конститутивной модели частично кристаллического полимерного материала приведена в табл. 4.

В табл. 4 о1 — ориентационный тензор сферолита, ортогональный тензор, характеризующий ориентацию сферолита по отношению к лабораторной системе координат и переводящий лабораторную систему координат в систему координат сферолита, о2 — ориентационный тензор кристаллита, ортогональный тензор, характеризующий ориентацию кристаллита по отношению к системе координат сферолита и переводящий последнюю в кристаллографическую систему координат.

Из сравнения табл. 1 и 4 видно, что конститутивные модели рассматриваемых материалов имеют однообразную структуру (за исключением характеристик ротации кристаллитов).

Можно акцентировать внимание на том, что если для моделей низших уровней вопрос определения геометрической нелинейности можно решить за счет более детального рассмотрения физики процесса на соответствующем уровне, то на макроуровне в данном вопросе имеет место неопределенность.

В разделе 3 предлагается оригинальный подход, позволяющий конкретизировать замыкающие уравнения на верхнем масштабном уровне (в том числе определить не зависящую от выбора системы отсчета произ-

водную) за счет использования условий согласования определяющих соотношений на различных масштабных уровнях.

3. Согласование определяющих соотношений масштабных уровней и конкретизация не зависящей от выбора системы отсчета производной

С методической точки зрения достаточно провести согласование двух соседних масштабных уровней, для остальных все выкладки аналогичны.

Рассмотрим два соседних масштабных уровня некоторой многоуровневой модели (рис. 1), величины на верхнем масштабном уровне будем обозначать прописными буквами, на нижнем масштабном уровне — строчными. Для определенности примем, что определяющее соотношение верхнего уровня записывается в форме:

± + Ат •£ + £-А = С : ф-Din), (10)

нижнего уровня (для каждого элемента из выборки, соответствующей представительному обьему верхнего уровня) — в виде:

о + ат • о + о• а = с:^-dш). (11)

В соотношениях (10) и (11) не конкретизируется вид тензоров А, а, характеризующих движение подвижных систем координат на верхнем и нижнем (для каждого элемента) масштабном уровне, относительно которых определяется деформационное движение, в частности не накладывается условие антисимметричности, необходимым условием является только индифферентность ассоциированных с этими тензорами производных от индифферентных тензоров — для обеспечения выполнения независимости определяющих уравнений (10), (11) от выбора системы отсчета.

Представим величины, входящие в описание напряженно-деформированного состояния элемента нижнего уровня, в виде суммы средних по представительному обьему верхнего уровня величин и отклонений от этих средних:

с = (с) + с', о = (о) + о', d = (d> + d/,

dт = ( ш> + с1 in,, а = (а) + а', (12)

где ( ) — оператор осреднения, обладающий свойством:

(с') = 0, (о') = 0, (^) = 0, (!“'> = 0, (а') = 0. (13)

Вид используемого оператора осреднения в данной статье не обсуждается, может использоваться осреднение по объему или осреднение в пространстве ориентаций решеток кристаллитов, важно лишь выполнение свойства (13) для используемого оператора осреднения.

Подставляя представление (12) в определяющее уравнение нижнего уровня (11), получаем соотношение

(о) + о' + ((ат) + ат')- ((о> + о') +

+ ((о> + о' )• ((а) + а' ) =

= «с> + c'):((d) + d'-(din)- d in'). (14)

Осредняя (14), имеем:

(о) + (ат)-(о) + (ат' • о') + (о) - (а) +

+ (о' • а') = (с) : ((^ -(din)) + (с': (4 - din')). (15)

Примем, что согласование напряженно-деформированного состояния на различных уровнях заключается в равенствах

С = (с), 2 = (о), D = ^). (16)

Соотношение (16) устанавливает, что эффективные свойства и характеристики напряженно-деформированного состояния на верхнем масштабном уровне должны быть в точности равны осредненным характеристикам нижнего масштабного уровня.

При условии (16) соотношение (15) представляется в виде:

£ + (ат)• £ + £•(а) + (ат'• о') +

+ (о' •а') = С :(Б -(<1ш)) +

+ (с':(«!'-ё in')). (17)

Сравнивая (17) с формой определяющего уравнения на верхнем уровне (10), можно получить уравнения, связывающие параметры верхнего уровня А, Dm с параметрами нижнего уровня, обеспечивающие выполнение условий согласования (16). При этом возникают, по крайней мере, два возможных варианта определения А,

В первом случае напрямую сопоставляются левые и правые части соотношений (17) и (10), откуда следуют связи параметров уровней:

А = (а) + £-1 •(о' • а'),

Ат = (ат> + (ат' • о') • £-1,

(18)

Бш =<с1ш)-С-1:(с':(& -)>

(19)

Тензор А, определенный согласно (18), в общем случае не является антисимметричным, -А ф Ат. Таким образом, левая часть определяющего соотношения верхнего уровня (10) трактуется как конвективная производная тензора напряжений Коши. Для рассматривае-

мых многоуровневых моделей можно показать, что полученная конвективная производная является индифферентной по отношению к наложенному жесткому движению.

Необходимым и достаточным условием антисимметричности А является

£-1 •(о'•а') = (ат' •о'}^-1. (20)

При выполнении условия (20) на макроуровне конвективная производная выродится в коротацион-ную производную. Для получения А = (а) необходимым и достаточным условием будет являться (ат' • о') + +(о' • а') = 0.

Отметим, что трактовка движения подвижной системы координат, определяемой (18), достаточно сложна: во-первых, в данной системе координат меняются длины базисных векторов и углы между ними, во-вторых, характеризующий движения тензор А явно зависит от 2.

В соотношении (19) к собственно неупругим деформациям добавляется член, характеризующий коррелированные (с флуктуациями компонент тензора упругих характеристик) напряжения.

В случае использования в статистических моделях для передачи на нижний уровень условий нагружения гипотезы Фойгта d = D, d' = 0, связи (18), (19) принимают вид:

А = (а) + £-1 •(о'^а'), Ат = (a) + (aт'• о')^£-1, (21)

=<din > + С-1: (с': ё”'). (22)

При использовании гипотезы Рейсса (о = 2, о' = 0) соотношения (18), (19) принимают вид:

А = (а),

(23)

Бш =<сТ) -С-1: (с': (! - ё“')).

При антисимметричных тензорах а, т.е. при корота-ционных производных на нижнем масштабном уровне в законе (11), помимо вышеизложенного подхода для определения зависимостей А, Бш от параметров нижнего уровня, предлагается альтернативный вариант. При антисимметричном а соотношение (17) принимает вид:

£ - (а) • £ + £ •(а) - (а' • о') + (о'^а') =

= С :(Б -(ё “)) + (с' :(ё'- ! in')). (24)

Анализируя левую часть соотношения (24), можно структуре (£ -(а>^ £ + £ •(а>) дать трактовку как коро-тационной производной 2 (спин подвижной системы координат верхнего уровня определяется как (а)). Последний симметричный член в правой части (-(а' • о') + + (о' • а')) можно трактовать как дополнительный вклад, характеризующий скорость изменения напряжений за счет коррелированных разворотов элементов нижележащего уровня со своими отклонениями напряжений от среднего уровня. Перенося этот член в правую часть, имеем:

£-<а>^ £ + £ •(а) = С :ф -^“ >) +

+ (с': (ё' - ё“' )> + ((а' •о'>-(о' •а')). (25)

Сопоставляя соотношения (25) и (10), можно определить связи параметров уровней следующим образом: А = (а),

Бш = («Г) - С-1: (с'^'-сТ'))- (26)

- С-1: ((а' • о') - (о' • а')).

При таком подходе на верхнем уровне получается коротационная производная. Жесткую подвижную систему координат можно трактовать как некоторый трехгранник, соответствующий осредненной ориентации элементов нижнего уровня, а осредненный спин А = = (а) — как скорость его поворота.

В случае использования в статистических моделях для передачи на нижний уровень условий нагружения гипотезы Фойгта, d = D, d' = 0, связи (26) принимают вид:

А = (а),

Бш = («Г) + С-1: (с': О- (27)

- С-1: ((а' • о') - (о' • а')).

При использовании гипотезы Рейсса, о = 2, о' = 0, соотношения (26) принимают вид:

А = (а),

1 (28)

Бш =<сТ) -С-1: (с': (с' - ё™')).

Отметим, что несмотря на различные связи параметров (и различие в используемых физических трактовках), соотношения (18), (19) и соотношения (26) приводят к одному и тому же определяющему уравнению для напряжения 2 на верхнем уровне и выполнению условий согласования (16).

Таким образом, условие согласования определяющих уравнений различных масштабных уровней приводит к конкретизации вида определяющего соотношения на макроуровне (и в частности, вида не зависящей от выбора системы отсчета производной). По существу, соотношения низшего уровня «транспортируются» на верхний, разрешая вопрос корректной их формулировки для геометрически и физически нелинейной задачи. Действительно, параметры определяющего соотношения верхнего уровня определены с целью выполнения (16) и при реализации модели отсутствует необходимость интегрирования определяющего уравнения верхнего уровня — достаточно напрямую воспользоваться связью С = (с), 2 = (о), D = ^). В то же время следует отметить, что определяющие соотношения верхнего масштабного уровня необходимы для постановки и решения соответствующей краевой задачи исследования деформирования макроскопического тела (детали, конструкции).

При подобном подходе (как и при применении многоуровневого подхода в целом), конечно, возникает во-

прос о степени корректности модели низшего уровня, восходящий к известной проблеме замыкания эволюционных и определяющих уравнений (наиболее известным примером может служить проблема замыкания в теории турбулентности). Суть проблемы состоит в том, что при формулировке физических уравнений для представительного объема некоторого уровня возникает необходимость введения параметров меньшего масштабного уровня и эволюционных уравнений для них и так далее — вниз по «лестнице масштабов». Можно отметить два наиболее употребительных подхода к ее решению. В первом — феноменологическом — параметры, характеризующие структуру на более низких масштабных уровнях, определяются функциональными уравнениями через параметры рассматриваемого уровня (например, как в модели турбулентности Рейнольдса) с последующей экспериментальной проверкой этих уравнений. Второй подход основан на построении иерархической совокупности моделей нескольких масштабных уровней — многоуровневое моделирование. Следует отметить, что в этом случае полностью избежать феноменологических соотношений, конечно, не удается, однако они записываются для самого низкого масштабного уровня в принятой иерархической совокупности, для которого возможны конкретизация физических механизмов деформирования и детальное их описание с использованием известных положений физики твердого тела (это представляется более простой задачей по сравнению с задачей установления макрофеноменологичес-ких соотношений, одновременно учитывающих состояние многомасштабной внутренней структуры и описывающих многообразие всех механизмов неупругого деформирования).

Отметим, что предложенную методику легко применить и при другой форме определяющих соотношений на мезо- и макроуровнях для широкого класса конститутивных моделей с использованием внутренних переменных (когда определяющие соотношения являются дифференциальными, например для соотношений максвелловского типа).

Для двухуровневой модели поликристаллических металлов используются следующие связи (конкретизация замыкающих соотношений макроуровня):

П = (ю) + £-1 • (о' • ю'>, (29)

Бш =<!ш > + С-1: (с': !ш'>, (30)

либо (согласно второму подходу)

Й = (ю), (31)

Бш = («Г) + С-1: (с': О-

- С-1: ((ю'• о')-(о'^ ю')). (32)

Применяя первый вариант предложенной схемы для трехуровневой конститутивной модели частично кристаллического полимерного материала, получаем сле-

дующие связи: для явных внутренних переменных в определяющих соотношениях (7.3), (7.4) мезоуровня 1

!1п =<!2П )-(с1)-1: (с2' :(ё 2'-!2П' )),

= (ю) + (о1)-1 •(о *• ю'),

(33)

(34)

для явных внутренних переменных в определяющих соотношениях (6.4), (6.5) макроуровня

=<с!1п )-С-1: (с1': «-с!?1' )),

А = (а) + £ 1 •(о1' • а'),

Ат = (ат> + (ат' • о1') • £-1.

(35)

(36)

4. Законы упрочнения

Одним из ключевых факторов, определяющих поведение материала, является изменение в процессе деформирования критических напряжений сдвигов по внутри-зеренным системам скольжения (например, для поли-кристаллических металлов — соотношения (5.4) мезоуровня двухуровневой конститутивной модели (4), (5)). Соответствующие соотношения, описывающие скорость изменения критических сдвиговых напряжений как функцию от параметров, характеризующих микроструктуру материала, принято называть законами упрочнения. Эти законы по сути своей отражают эволюцию мезо- и микроструктуры материала, а точнее, эволюцию дефектной структуры при неупругом деформировании, в первую очередь, изменения в дислокационной структуре деформируемого материала. Изменение вида законов упрочнения (и значений входящих в него материальных констант) существенным образом влияет на результаты моделирования, поэтому в этих соотношениях важно учитывать по возможности большее число механизмов неупругого деформирования (существенных для исследуемого процесса) на мезо- и микроуровнях.

В работах [40-43] предлагаются возможные подходы к описанию упрочнения в моно- и поликристалли-ческих металлах. В частности, предлагается разделение упрочнения на неориентированное и ориентированное. Первое описывает упрочнение независимо от направления деформирования (образование пересечений дислокаций, жгутов, кос, барьеров Ломера-Коттрелла); такое упрочнение приводит к увеличению критического напряжения сдвига сразу на многих системах скольжения. Второе связано с накоплением упругой энергии на «поджатых дислокациях» (на различных барьерах), эта энергия может высвобождаться при «развороте» направления деформирования. Запасаемую на микродефектах энергию, в свою очередь, можно разделить на два типа: не высвобождаемая на микро- и мезодеформациях и высвобождаемая; доля «высвобождаемости» зависит от сложности нагружения. Это разделение учитывается, например, при описании эффекта Баушингера.

Принимается следующий общий вид закона упрочнения для каждой из систем скольжения (в скоростной форме):

= /к (У*, ?') + /Лк (Уг', Уг'; а, ,..., аП) +

+/Н(уг' , уг'; Р1 , Р2, •••, )+

+ /з(^(Уг', уг'; 81,82,...,8^), 1,к=124, (37)

где а, а2, к, аП; $, $, к, в‘т и 81, 82, ..., 8р — наборы внутренних переменных, характеризующих соответствующие механизмы (вообще говоря, принимающие различные значения в каждый момент деформирования для разных систем скольжения).

В качестве основного слагаемого /к (у1, у1) в законе упрочнения предлагается использовать модифицированный (для учета сложности предшествующего нагружения) степенной закон вида:

(,

/к = уЕ

24 ,

Е а! 1=1

(

У

/24 V

'Е у 7

j=1

(38)

к = 1,24, у > 1, У > 0,

<Г (0) = <0.

По сути, модификация представляет собой введение под знаком суммы в (38) не накопленного в системе скольжения сдвига, а комплекса величин: отношения накопленного сдвига в данной системе к суммарному накопленному сдвигу. Очевидно, что в случае одиночного скольжения этот множитель независимо от степени будет равен единице и скорость упрочнения останется пропорциональна скорости сдвига. Наоборот, чем большее количество различных систем скольжения будет подключаться к процессу скольжения, тем ближе этот множитель будет к нулю, причем с увеличением степени стремление к нулю будет большим.

Второе слагаемое в (37) описывает дополнительное упрочнение за счет образования барьеров Ломера-Кот-трелла. Определяются внутренние переменные, дополнительная функция упрочнения /ЛлК принимается в виде:

(

Улк(уЭДУ,у,у ) = ^1Т<

Л

1-

УЭДУ

ЭДУ

н >

1 -

УЭДУ

У

ЭДУ

I ./ЛК^т+/0

У

+ Уо

(39)

где УЭДУ — энергия дефекта упаковки материала; УЭдУ — критическое значение энергии дефекта упаковки материала; N * — число систем скольжения, сопряженных к данной; тгсг — текущее критическое напряжение; у0 — малая константа; ^1 — материальная константа; Н — функция Хэвисайда.

Ориентированное упрочнение рассматривается в двух аспектах: с точки зрения аннигиляции дислокаций,

«поджатых» на препятствиях, при смене направления деформирования, а также за счет взаимодействия внут-ризеренных дислокаций с границами зерен в случае деформирования поликристалла.

Для учета высвобождаемой упругой энергии в соотношение для /Н введен дополнительный множитель, учитывающий сложность нагружения по всем системам скольжения:

/н(Р1,Р2, ...,РИ) = ^ = ш

= - 2Т1^^У“7 У (Уг+12 + УО), (40)

ЕУ

7

^ан [ =0 = ^сг0 ’ 1 = 1’24,

где Е У7 — суммарный накопленный сдвиг; уО — ма-

7

лый параметр; 42 — материальная константа.

При описании зернограничного упрочнения принимается модель прохождения дислокации через границу с образованием в ней дислокации ориентационного несоответствия. Дополнительное зернограничное упрочнение описывается при помощи соотношения

Лгу (У^ yг, 4) = Е Ък, (41)

к=1 *0

где ^к — площадь границы зерна, «приходящаяся» на данную систему скольжения; V) — объем зерна; Р — количество плоских участков, аппроксимирующих границы зерна; мера разориентации 47к определяется по минимальному значению для рассматриваемой системы скольжения данного зернау, плоского участка границы k и всех систем скольжения I соседнего зерна: 4д = = тт{пк • (Ь1 -Ь7)}, где пк — нормаль к плоскому

1=1,24

участку границы.

4.1. Законы упрочнения в модели частично кристаллического полимерного материала

Для описания упрочнения по внутриламеллярным системам скольжения (табл. 2) в элементе мезоуровня 2 трехуровневой конститутивной модели частично кристаллического материала предлагается использовать для критических напряжений сдвига эволюционные уравнения вида:

ткг =-ц0оП + 9т0^ Ак |у2Г-1 ^, (42.1)

1°.(0) = т0, ткг =1 , т2 = 11 уг' | dt, (42.2)

0 0____________

оП = (пк • о • пк) = оуНкпк, к = 1,8, (42.3)

где k — номер внутриламеллярной системы скольже-

_к

ния; оп — напряжение, нормальное к плоскости скольжения; Цк — фактор чувствительности сдвига к нор-0к мальному напряжению; Т0 — критическое начальное

*к *к / к

напряжение сдвига; А1 = Н{ Т0 — матрица безраз-

*°

мерных модулей упрочнения; Н — модули упрочнения; q — показатель степени в степенном законе упрочнения, характеризующий нелинейность зависимости критического напряжения сдвига по ^й системе скольжения от накопленных по системам скольжения сдвигов; у2 — суммарный накопленный сдвиг по системе скольжения с номером I (используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам).

Согласно соотношению (42.1), сопротивление сдвигу для внутриламеллярных систем скольжения в предположении анизотропии свойств по различным системам скольжения в ламели (которая определяется выбором различных значений констант материала для каждой системы скольжения) описывается с помощью линейного относительно напряжений закона упрочнения (первое слагаемое в законе (42.1)). Это связано с предположением о том, что для рассматриваемого класса материалов нормальное напряжение является одним из наиболее существенных факторов, влияющих на подвижность дислокаций [31]. Таким образом, чем выше нормальное (растягивающее) напряжение в плоскости скольжения, тем более подвижными являются дислокации в рассматриваемой плоскости и тем ниже критическое напряжение сдвига для системы скольжения в данной плоскости. Второе слагаемое в законе (42.1) описывает упрочнение по системе скольжения в зависимости от сдвигов, накопленных по системам скольжения в кристаллите в процессе неупругого деформирования.

Эволюционное уравнение для критических напряжений сдвига по введенным межламеллярным системам (табл. 3) включает в себя описание трех эффектов, реализующихся в процессе деформирования элемента ме-зоуровня 2 в аморфной фазе материала:

1. Изменение критического напряжения сдвига по межламеллярной прослойке в зависимости от сдвигов, накопленных в процессе неупругого деформирования материала по межламеллярным системам скольжения в элементе мезоуровня 2 (у2, уг) — с ростом суммарного накопленного сдвига критическое сдвиговое напряжение возрастает вследствие вытягивания проходных полимерных цепей в пространстве между кристаллитами (эффект «запирания» межламеллярной деформации).

2. Механизм пространственного раздвижения-сжа-тия ламелей — изменение критического напряжения сдвига в зависимости от нормального напряжения в межламеллярной плоскости: при сжатии ламелей критическое напряжение сдвига в межламеллярной плоскости возрастает; при пространственном раздвижении ламелей критическое напряжение сдвига снижается до достижения нормальным напряжением критического значения; при дальнейшем росте нормального напряжения критическое напряжение сдвига резко возрастает, что соответствует ситуации, когда большое количество про-

ходных полимерных цепей межламеллярного пространства оказываются уже полностью вытянутыми и дальнейшее деформирование по моде пространственного раздвижения ламелей возможно лишь в результате разрыва некоторых из них; при этом резко возрастает и критическое сдвиговое напряжение.

3. Разупрочнение при реверсивном нагружении, свя-к

занное с тем, что сдвиг у по противоположно направленной системе в межламеллярной плоскости является облегченным (при условии, что накоплен сдвиг по системе скольжения (к + 2) с противоположно направленным вектором сдвига (индекс взят по модулю 2) при прямом нагружении), так как большая часть молекулярных цепей межламеллярного пространства уже вытянулась при прямом нагружении и не требуются дополнительные усилия для их распутывания; для описания этого эффекта в эволюционное уравнение для критического напряжения сдвига вводится дополнительное слагаемое, связывающее скорость изменения критичес-

к

кого напряжения сдвига ТсГ со скоростью сдвига по

■ о

рассматриваемой системе у и суммарным накопленным сдвигом по противоположно направленной системе

у 2+2.

Для учета вышеперечисленных эффектов эволюционное уравнение для критических напряжений сдвига в межламеллярной плоскости в дифференциальной (скоростной) форме записывается в виде (номера систем скольжения соответствуют номерам в табл. 3):

к

Е А (У2 Г1 Уг | + ТСе 1=1

+

рА

о - о*

р-1

(43.1)

-^6п, если оп < оп, тСГ (0) = Т0,

,ГСУ 0

„С ■ 0 /Л,0+2

= -£ у0 (у2+2 + е), 0 = 1,4,

(43.2)

(43.3)

у 2> 0,1 = 1,4.

В соотношениях (43) г—параметр степени в степенном законе упрочнения; т0 — начальное критическое напряжение сдвига по межламеллярной прослойке, соответствующее нулевому нормальному напряжению; А10 = = Н0/Т0 — матрица безразмерных модулей упрочнения, Н0 — модули упрочнения, характеризующие вклад суммарных накопленных сдвигов по г-й системе скольжения в упрочнение по ^й межламеллярной системе; у 2 — суммарный накопленный сдвиг по системе скольжения с номером г; уг — скорость сдвига по г-й системе скольжения; оп — нормальное напряжение в межламеллярной плоскости; оП — критическое нормальное напряжение (нормальное напряжение в плоскости скольжения, при котором соседние ламели максимально раздвинуты (без разрыва проходных цепей)); Ц0 — фак-

тор чувствительности критического напряжения сдвига к нормальному напряжению; А, р — параметры закона упрочнения, характеризующие вид зависимости критического напряжения сдвига от нормального напряжения при превышении нормальным напряжением критического значения оп: А — безразмерный параметр, характеризующий упрочнение, р — параметр степени. Необходимо отметить, что в соотношениях (42), (43) нормальное напряжение к плоскости скольжения, входящее со знаком «+», является растягивающим, а с обратным знаком «-» — сжимающим. Слагаемое тС“ в законе (43) включает пары систем скольжения с противоположно направленными векторами сдвига (например, системы 1 и 3 в табл. 3), в соответствии с этим индекс системы скольжения k в соотношении (43.2) берется по модулю 2; £ — материальная константа, е — малый параметр.

5. Описание поворотов решетки кристаллитов

Наиболее популярными моделями поворота решетки являются модель стесненного поворота Тейлора, определяющая спин решетки как разность тензора вихря и антисимметричной части тензора пластических сдвигов [19]:

1^т А, £ 1.1

ю=-(V V1 -V V) -Е-У (ЬП - пь),

2 1=12

(44)

и модель, связывающая поворот решетки с материальным поворотом, определяемым ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию. В работе [3 8] показано, что для последней модели в случае квази-статического нагружения спин определяется как

ю = ^т -VV) -Е1У (Ьп1 - пЪ1) -2 1=12

- (В: о) • Din + Din • (В: о), (45)

где В — тензор (четвертого ранга) упругой податливости. При квазистатическом деформировании модели поворотов решетки (44) и (45) в силу малости упругих деформаций (В : о) будут давать незначительно отличающиеся результаты.

В качестве серьезного недостатка этих моделей следует отметить отсутствие в них учета взаимодействия соседних зерен в поликристалле; по существу, зерна рассматриваются обособленно. При рассмотрении по-ликристаллических материалов, для которых можно пренебречь взаимодействием дислокаций в соседних зернах, например, при наличии «толстых» границ аморфного строения в полимерных частично кристаллических материалах, применение данных моделей достаточно обосновано. Модель (44) используется для моделирования поворотов решеток кристаллитов в трехуровневой модели полиэтилена.

Однако для металлов экспериментально подтверждено (например, в работах В.Е. Панина, В.В. Рыбина),

что существенную роль в поворотах решетки играет несовместность скольжения дислокаций в соседних зернах. В связи с этим рассмотрим модель ротации решеток зерен, основанную на явном учете последней.

Скорость поворота (спин) решетки ю представляется суммой двух составляющих. Первая составляющая ю1 описывает поворот решетки вместе с материалом зерна при наложенном кинематическом воздействии. Связывая материальный поворот с ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию, данную составляющую предлагается определять согласно (45). Вторая составляющая скорости поворота ю2 характеризует ротацию собственно решетки кристаллита, обусловленную взаимодействием с окружением.

Для характеристики взаимодействия кристаллита (зерна, субзерна, фрагмента) с окружением для каждого кристаллита вводится еще одна внутренняя переменная — действующее на него моментное напряжение ц. Предполагается аддитивность скоростей моментов:

м

цг = Е (цг )т, (46)

т=1

где 0г — коротационная производная (со спином подвижной системы координат ю, т.е. скоростью вращения кристаллической решетки); (цг )т — составляющая скорости моментных напряжений в результате несовместности сдвига в данном кристаллите со сдвигами в соседнем т-м кристаллите; М — число соседних кристаллитов. Для определения моментных воздействий более ясным представляется изложение на языке соответствующих векторов. Эволюция вектора-момента т (индекс номера кристаллита опущен), ассоциированного с тензором ц (т = 1/2 6: ц, ц = -6 • т ,6 — тензор Леви-Чивиты), определяется из анализа несовместности движения дислокаций на границе кристаллитов следующим соотношением:

тг = ц N5

к

Е УПЬ -е У7( т)п7( т)ь7( т)

(47)

где ц = XG — параметр модели, характеризующий реакцию системы на несовместность сдвигов, G — модуль сдвига, X — экспериментально определяемый (безразмерный) параметр; N = qm — внешняя для анализируемого кристаллита нормаль к границе с соседним

У7(т) -- скорости сдвигов’ Ь1,

кристаллитом; у , у^"4 — скорости сдвигов;

Ь j( т) — единичные векторы вдоль векторов Бюргерса; п1, п7(т) — нормали для систем скольжения в исследуемом и соседнем кристаллитах соответственно; К — число систем скольжения.

Составляющая спина решетки ю 2 определяется соотношением

ю2 =

1

ц

1

+ — ц при Н

11= Цс и ц: ц

> 0,

1 г

А ц

(48)

в противном случае,

где || ц || = д/ц: ц — интенсивность тензора моментных

I

напряжений; Т= I Шт — накопленный ре-

т=0

шеточный поворот; ц сг=ц сг (Т) — текущее критическое моментное напряжение, определяемое экспериментально.

Согласно (48), составляющая спина решетки ю2 характеризует вращение решетки кристаллита, инициированное несовместностью движения дислокаций в соседствующих кристаллитах.

Предложенные соотношения (46)-(48) замыкают двухуровневую модель неупругого деформирования по-ликристаллических металлов. В работах [42, 44] предлагается развитие модели (46)-(48) для описания реальной кинематики пластических разворотов и фрагментации кристаллитов от границ.

6. Особенности постановок задач для одно-и двухосного нагружений

Рассмотрим применение модели для описания процесса осадки поликристаллического образца (для определенности — вдоль оси ОХ3 фиксированной лабораторной системы координат). Тогда для него на макроуровне должно быть обеспечено напряженное состояние, соответствующее одноосному сжатию:

& лек

= 0, (у) * (33),

плек _ плек *

А33 — ^з

(49)

33

где ( • ) у — компоненты тензора 2-го ранга в фикси-

рованной лабораторной системе координат; в (49) при-

1 лек *

нято, что скорость деформации А33 вдоль направ-

ления осадки известна. С учетом определяющего уравнения макроуровня (4.1) и использования гипотезы Фойгта d = D данная система принимает вид:

й леку(п)лек _ у(п)лек^лек + т £ту £1т т7

.^ле^^лек П1пле^ А + 4701 (Йо - АЮ ) = 0 (У) * (33)

плек = п лек *

а^^ — А'!

(50)

33 _ А33 •

В настоящую статью в силу ограниченности объема не включены результаты расчетов стесненной осадки, однако ввиду ее частого применения в качестве тестовой для анализа многоуровневых моделей остановимся кратко на особенностях постановки. Рассматривается процесс стесненной осадки вдоль оси ОХ3 фиксированной лабораторной системы координат с запретом деформаций вдоль оси ОХ1. Для представительного объема на макроуровне должно быть обеспечено напряженное состояние, соответствующее стесненной осадке:

£лек = 0, (у) * (11), (33), лек = лек *

А

33 “ А33

лек = 0

(51)

Э

100

го -с 0-^ .

. (Сту) о о

-200-

-300-

Рис. 4. Эволюция напряжений на макроуровне и осредненных напряжений мезоуровня при использовании (50) (а, б), при жестком нагружении Ац = А22 = -А33/2 (в, г) и при использовании условий замыкания (53), (54) (д, е)

С учетом определяющего уравнения макроуровня

(4.1) и использования гипотезы Фойгта d = D система (51) принимает вид:

0ЛСКу(и)ЛСК _ у(и)ЛСК0лек + іт у ті у іт тІ

+кФЛСК _ D“) = 0, (іі) / (11),(33),

плек = п лек * (52)

^3 - ^з ,

ДЛСК = 0.

Постановка задачи простого сдвига не отличается от постановки для общего случая произвольного нагружения.

Добавляя к (50) и (52) систему уравнений мезоуровня для каждого кристаллита, которая остается неизменной при любой программе нагружения на макроуровне, и конкретизируя условия связи масштабных уровней, получаем систему дифференциальных уравнений, с учетом начальных условий — начальную задачу Коши, позволяющую определять эволюцию всех переменных на макро- и мезоуровнях моделируемого представительного объема материала для рассматриваемых процессов простого нагружения.

7. Результаты. Поликристаллические металлы

Проведено моделирование характерного состояния представительного объема макроуровня при некоторых процессах обработки материалов. Во всех вычислительных экспериментах в качестве моделируемого материала принималась чистая медь: тип кристаллической решетки — ГЦК, независимые упругие модули с1111 = = 168.4 ГПа, сП22 = 121.4 ГПа, с1212 = 75.4 ГПа (в кристаллографической системе координат); начальное критическое напряжение сдвига по системе скольжения т0 = = 15 МПа, характерная скорость сдвигов у0 = 10-9 с-1, параметры упрочнения в законе (38): ^ = 1.00002, а‘ = = 4.56 • 10-5; а0 = 5.7 • 10-5, г * к; параметры модели поворотов решетки (26)-(28): А = 100 Па-1, Н=400 (Па^с)-1, ц = 1 МПа, ц сг = 1 МПа.

Параметры закона упрочнения выбирались для обеспечения соответствия экспериментальной кривой о-е для меди, параметры модели поворотов выбраны исходя из известных данных о физике процесса: неупругая составляющая поворота активируется ориентировочно при е = 0.2, величина поворота не должна превышать

2° за шаг Де = 0.001 [1].

Таблица 5

Критические напряжения сдвига и факторы чувствительности к нормальному напряжениюдля разных систем скольжения в кристаллах

Номер системы Тип сдвига Система скольжения тО , МПа ^0

1 Сдвиг в кристаллите вдоль направления цепей (100)[001] 7.2* 0.11*

2 (010)[001] 15.6* 0.20*

3 (110)[001] 15.6* 0.00

4 (И0)[00Ц 15.6* 0.00

5 Поперечный сдвиг в кристаллите (100)[010] 12.2* 0.17*

6 (010)[100] 16.2 0.50

7 (110)[1 T0] 14.3 0.50

8 (1 T0)[110] 14.3 0.50

* Экспериментально определенные значения для кристаллитов полиэтилена низкого давления [46]

Отметим, что для достижения первоочередной цели — иллюстрации эффектов, возникающих за счет использования корректных граничных условий при моделировании одноосного нагружения, а также за счет использования предложенных согласованных связей масштабных уровней, — приведенные ниже расчеты для поликристаллических металлов осуществлены при учете только основного слагаемого (38) в законе упрочнения. Результаты использования закона упрочнения общего вида и анализ описываемых эффектов (в частности эффекта Баушингера) приведены в работах [4043].

Ниже представлен краткий анализ и сравнение результатов расчетов с использованием различных условий связи масштабных уровней:

1) использование предложенных условий согласования (18), (19) и (26) для определения квазитвердого движения и скорости неупругих деформаций на макроуровне;

2) использование на макроуровне производной Яу-манна

П = W = 1/2((Уу)т -Уу) (53)

и прямого осреднения скоростей неупругих деформаций

Din = >. (54)

Рис. 5. Прямые полюсные фигуры после осадки (еи = 1) для направлений [111], [100], [110] (проецирование с ОХ3) при использовании условий согласования и соответствующие опытные данные [17]

40 о 0

U

ь

Т -80 -120-1

а | ІЗЗ = (азз)

1 £ 22 = {®22) ^^^23 = (СТ2з)

jo

t-'Г

б ST-"

,, ' (азз)

(СТ22) ^ Е22

<°23> Z23^

0 1 8и

~ г I £13^

<СГ1з) Г^^ігГ' -$1^

Рис. 6. Эволюция напряжений на макроуровне и осредненных напряжений мезоуровня при использовании условий согласования (а, в) и условий замыкания (53), (54) (б, г)

7.1. Осадка

На рис. 4, а-г приведены результаты моделирования осадки вдоль оси ОХ3 фиксированной лабораторной системы координат при корректном задании условий нагружения согласно (50) в сравнении с жестким нагружением D11 = D22 = -Dзз/2 (осадка в предположении несжимаемости материала) при использовании условий согласования (18), (19).

Видно, что условия (50) обеспечивают необходимое напряженное состояние — одноосное напряженное состояние, в то время как при кинематическом нагружении этого достичь не удается. Дальнейшие результаты получены при использовании (50).

Из результатов, приведенных на рис. 4, а, б, д, е видно, что условия согласования обеспечивают полное соответствие между макронапряжениями и осреднен-

{111} {100} {110}

Рис. 7. Прямые полюсные фигуры после простого сдвига (еи = 1) для направлений [lll], [lOO], [llO] (проецирование с OXj) при использовании условий согласования и соответствующие опытные данные [l7]

Рис. 8. Согласование макроуровня и мезоуровня 1 в опыте на одноосное растяжение: а, в — с использованием (33)—(35), б, г — с использованием (55), (56)), £=1 • 10-3 с-1; напряжения на макроуровне (сплошная линия) и осредненные напряжения с мезоуровня 1 (^-)

ными напряжениями мезоуровня, в то время как при использовании общепринятых условий замыкания (53),

(54) отклонения значительны и возрастают.

На рис. 5 приведены прямые полюсные фигуры, полученные расчетным путем по предлагаемой модели и экспериментально. Полученные результаты находятся в удовлетворительном соответствии с опытными данными: тенденция текстурообразования улавливается четко.

Результаты моделирования стесненной осадки [42] с использованием (51) и предложенных условий согласования (18), (19) также показывают удовлетворительное соответствие экспериментальным данным [17].

7.2. Простой сдвиг

При моделировании реализовано жесткое нагружение (^)£ск = -0.5 • 10-5 с-1, (Уу)лск = 0, (у) Ф (23).

При использовании (53), (54) все компоненты 2 и (а) отличаются и отклонение растет (рис. 6). При этом наблюдается характерное для использования производной Яуманна изменение знака компонент тензора напряжений на макроуровне, что представляется нефизичным для монотонного нагружения. Экспериментальные и расчетные прямые полюсные фигуры находятся в удовлетворительном качественном соответствии (рис. 7).

8. Результаты. Частично кристаллический полимерный материал

Проводилось моделирование деформирования представительного объема макроуровня в опытах на одноосное растяжение (сжатие) и простой сдвиг. Во всех вы-

числительных экспериментах в качестве моделируемого материала принимался полиэтилен низкого давления. Тип кристаллической решетки — орторомбическая, независимые упругие модули с1111 = 7 ГПа, С3333 = = 81ГПа, с1122 = 3.8 ГПа, с1133 = 4.7 ГПа, с1212 = = 1.5 ГПа, с1313 = 1.6 ГПа [45] (в кристаллографической системе координат). Начальные критические напряжения сдвига и параметры чувствительности кристаллитов к нормальному напряжению в плоскости скольжения для внутриламеллярных систем приведены в табл. 5, начальное критическое напряжение сдвига в межла-меллярной плоскости — 3.4 МПа. Характерная скорость сдвига в соотношении вязкоупругой физической модели

(8.3) у о = 10-3 с-1, параметр чувствительности кристаллитов к скорости приложения нагрузки т = 1/9. При моделировании учитывалось упрочнение по системам скольжения в элементе мезоуровня 2 в зависимости от нормального давления в плоскости скольжения.

Проведены серия вычислительных экспериментов с разработанной трехуровневой конститутивной моделью, анализ и сравнение результатов расчетов с использованием различных условий связи масштабных уровней:

1) использование предложенных условий согласования (33), (34) на мезоуровне 1 и (35), (36) на макроуровне для определения квазитвердого движения и скорости неупругих деформаций в определяющих соотношениях соответствующих структурно-масштабных уровней;

2) использование на макроуровне и на мезоуровне 1 производной Яуманна:

Рис. 9. Согласование параметров мезоуровня 1 и мезоуровня 2 в опыте на одноосное растяжение: а, в — с использованием (33)-(36), б, г — с использованием (55), (56), £п=1 • 10-3 с-1; напряжения на мезоуровне 1 (сплошная линия) и осредненные напряжения с мезоуровня 2 (^-)

Рис. 10. Прямые полюсные фигуры после одноосного растяжения (еи = 1) для направлений [100] , [010], [001] (проецирование с ОХ{ — ось растяжения перпендикулярна плоскости рисунка)

(55)

А = W = 1/2((УV)т -УУ), а = W = 1/2((У^)т -Уv1)

и прямого осреднения скоростей неупругих деформаций:

Dm =цп), ^ )=^?). (56)

8.1. Одноосное растяжение-сжатие

На рис. 8, 9 приведены результаты использования трехуровневой конститутивной модели при моделировании процесса одноосного растяжения для представительного объема полиэтилена низкого давления. Растяжение (сжатие) осуществлялось вдоль оси 11 лабораторной системы координат, D11 = 1 • 10-3 (Оп = -1 • 10-3 с-1), при этом разрешалась система уравнений, аналогичная (49), (50).

Рис. 11. Прямые полюсные фигуры после одноосного сжатия для нормали к плоскости (200) (проецирование с ОХ1 — ось сжатия перпендикулярна плоскости рисунка), полученные при расчетах с использованием условий согласования (а) (еи = 1) и в эксперименте (б) (Еи = 1.29) [47]

Видно, что использование условий согласования

(33), (34) и (35), (36) для всех масштабных уровней модели приводит к полному соответствию характеристик напряженно-деформированного состояния соседних масштабных уровней в принятой иерархической совокупности. В то же время использование для замыкания определяющих соотношений условий (55), (56) приводит к значительным отклонениям характеристик напряжено-деформированного состояния (рис. 8, 9, б,

г) макроуровня и осредненных характеристик мезо-уровня 1 в рамках представительного макрообъема (ме-зоуровня 1 и осредненных характеристик мезоуровня 2 в рамках представительного объема мезоуровня 1), при этом в процессе деформирования отклонения нарастают.

Результаты моделирования свидетельствуют о том, что, по всей видимости, для рассматриваемого класса материалов на мезоуровне 2 имеет место сильная корре-

. - —— г*:.—.-X Ч<°12>

I ^12

I

,

01

0.0

50

40

1=

2 О; 30

£ 20

-її

П

10

0

0.0

0.1

б

0.2

0.3

0.4

0.5

(- -і- о] 2

.(<7.12)

і ■ ■ ■ *

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Рис. 12. Эволюция компоненты 12 тензора напряжений на макроуровне и осредненных напряжений мезоуровня 1 (а, б) (на мезоуровне 1 и осредненных напряжений мезоуровня 2 (в, г)) при использовании условий согласования (33)-(36) (а, в) и условий замыкания (55), (56) (б, г)

4

3 2 1 0

1Г-2

-3

-4

і

[ (Ргз)4--*

0.0

0.1

0.2

0.3

04

0.5

6

4

3 2

І О

и

^23 <ст22> У/

‘ “13

\ ^ _(^'ізУ чч

«іГ І11 <?33>

б

Рис. 13. Эволюция компонент тензора напряжений на макроуровне и осредненных напряжений мезоуровня 1 (а, б) (на мезоуровне 1 и осредненных напряжений мезоуровня 2 (в, г)) при использовании условий согласования (а, в) и условий замыкания (55), (56) (б, г)

ляция флуктуаций напряжений и спинов, а также флуктуаций скоростей неупругих деформаций и упругих свойств элементов. При замыкании моделей различных масштабных уровней корреляция вышеуказанных характеристик приводит к тому, что определение явных внутренних переменных модели на каждом из рассматриваемых масштабных уровней (кроме самого глубокого) необходимо осуществлять специальным образом, что и подтверждается результатами расчетов.

На рис. 10, 11 представлены прямые полюсные фигуры, полученные в вычислительных экспериментах на одноосное растяжение и сжатие для представительного объема полиэтилена низкого давления с использованием разработанной трехуровневой конститутивной модели материала. В рассматриваемых процессах нагружения четко прослеживается формирование аксиальной текстуры, что наблюдается и в натурных экспериментах (рис. 11).

8.2. Простой сдвиг

Рассматривается вычислительный эксперимент на простой сдвиг для представительного объема материала, в расчетах реализовано жесткое нагружение

(Уу)£СК = -1 • 10-3 с-1, (Уу)^ск = 0, (у) * (12).

Аналогично случаю одноосного растяжения результаты свидетельствуют о необходимости использования условий согласования определяющих соотношений различных масштабных уровней в рамках многоуровневой конститутивной модели. Видно, что при использовании условий согласования (рис. 12, 13, а, в) осредненные напряжения с более глубокого масштабного уровня всегда совпадают с напряжениями, определенными в результате решения задачи на данном масштабном уровне, что представляется физически обоснованным и необходимым для обеспечения возможности применения модели для решении практических задач. С другой стороны, при использовании условий замыкания (55), (56) (рис. 12, 13, б, г) характеристики напряженно-деформированного состояния, определенные в результате осреднения по элементам более глубокого масштабного уровня и в результате интегрирования на данном масштабном уровне, существенно различаются. В связи с этим в практических приложениях использование для замыкания системы определяющих уравнений условий

(55), (56) представляется неприемлемым.

9. Заключение

Рассмотрены структура многоуровневых моделей, способных описывать эволюцию внутренней структуры поликристаллических материалов, построенных в рамках подхода, основанного на явном введении в структуру определяющих соотношений параметров, отражающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктур, и формулировка эволюционных (кинетических)

уравнений для этих параметров, называемых внутренними переменными. Отмечен ряд недостатков, присущих всем существующим моделям данного класса: недостаточная физическая обоснованность моделей ротаций кристаллитов (отсутствие «движущих сил» разворотов и фрагментации за счет взаимодействия дислокационных субструктур); описание упрочнения по внутризеренным системам скольжения зачастую абстрагировано от реальных механизмов взаимодействия дислокационных субструктур и/или не охватывает все важнейшие механизмы упрочнения; в существующих моделях не обосновываются связи для однотипных характеристик различных масштабных уровней, не решается вопрос корректного описания на макроуровне геометрической нелинейности при неупругом деформировании. В статье предлагаются варианты решения данных вопросов.

Разработана методика установления связей параметров различных масштабных уровней, основанная на согласовании определяющих уравнений на этих уровнях и обеспечивающая соответствие мер напряженного и деформированного состояний. Попутно предложенный подход приводит к конкретизации вида определяющего соотношения на макроуровне (и в частности вида не зависящей от выбора системы отсчета производной). По существу, соотношения низшего уровня «транспортируются» на верхний, разрешая вопрос корректной их формулировки для геометрически и физически нелинейной задачи. В этом случае полностью избежать феноменологических соотношений, конечно, не удается, однако они записываются для самого низкого масштабного уровня в принятой иерархической совокупности, для которого возможны конкретизация физических механизмов деформирования и детальное их описание с использованием известных положений физики твердого тела (это представляется более простой задачей по сравнению с задачей установления макрофено-менологических соотношений, одновременно учитывающих состояние многомасштабной внутренней структуры и описывающих многообразие всех механизмов неупругого деформирования).

Рассматриваются построенные в рамках общей идеологии двухуровневая модель поликристаллических металлов и трехуровневая модель частично кристаллического полимерного материала, для которых на основе физического анализа предложены законы упрочнения, учитывающие все наиболее важные механизмы дислокационных взаимодействий. Для поликристалличес-ких металлов предложена модель ротаций решеток кристаллитов, учитывающая несовместность скольжения дислокаций в соседних зернах.

Предложены постановки задач для моделирования простых нагружений, требующих определенного напряженного состояния на макроуровне (одноосное и двухосное нагружение). Результаты моделирования показы-

вают необходимость применения предложенных условий межуровневого согласования, удовлетворительное соответствие экспериментальным данным.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект № 13.G25. 31.0093 и РФФИ (гранты №№ 10-08-96010-р_урал_а, 10-08-00156-а).

Литература

1. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

2. ВишняковЯ.Д., Бабарэко А.А., Владимиров С.А., Эгиз И.В. Теория

образования текстур в металлах и сплавах. - М.: Наука, 1979. -344 с.

3. Панин В.Е. Физические основы мезомеханики среды со структурой

// Изв. вузов. Физика. - 1992. - Т. 35. - № 4. - С. 5-18.

4. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 3. - С. 61-

71.

5. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15. - № 3. - С. 327-344.

6. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. - 1938. - V 2. -P. 307-324.

7. Bishop J.F., Hill R. A theory of the plastic distortion of a polycrystalline aggregate under combined stresses // Philos. Mag. Ser. 7. - 1951. -V. 42. - No. 327. - P. 414-427.

8. Bishop J.F. W., Hill R. A theoretical derivation of the plastic proporties of a polycrystalline face-centered metal // Philos. Mag. Ser. 7. - 1951. -V. 42. - No. 334. - P. 1298-1307.

9. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности // Проблемы теории пластичности. Новое в зарубежной механике. Вып. 7. - М.: Мир, 1976. - С. 7-68.

10. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука, 1993. - 471 с.

11. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

12. Макаров П.В. Микродинамическая теория пластичности и разрушения структурно-неоднородных материалов // Изв. вузов. Физика.- 1992. - № 4. - С. 42-58.

13. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 5. - С. 109-130.

14. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне // Физ. мезомех. -2003. - Т. 6. - № 4. - С. 111-124.

15. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. - Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2011. - 419 с.

16. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Моделирование эволюции структуры поликристаллических материалов при упругопластическом деформировании // Ученые записки Казанского университета. Физико-математические науки // 2010. -Т. 152. - № 4. - С. 225-237.

17. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: Application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Method. Appl. M. - 2004. - V. 193. - P. 5359-5383.

18. McDowell D.L. Viscoplasticity of heterogeneous metallic materials // Mat. Sci. Eng. R. - 2008. - V. 62. - Р. 67-123.

19. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: from the Taylor model to the advanced Lamel model // Int. J. Plasticity. - 2005. - V. 21. - P. 589-624.

20. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования

материалов. Ч. 1. Жесткопластические и упругопластические модели // Вестник ПГТУ Механика. - 2011. - № 1. - С. 5-45.

21. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2. Вязкопластические и упруговязкопластические модели // Вестник ПГТУ Механика. - 2011. - № 2. - С. 101-131.

22. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 3. Теории упрочнения, градиентные теории // Вестник ПГТУ. Механика. - 2011. - № 3. - С. 146-197.

23. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезо-мех. - 2011. - Т. 14. - № 4. - С.17-28.

24. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 5. - С. 5-30.

25. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

26. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

27. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель стационарных процессов упругопластического деформирования. Часть 1. Алгоритм // Вычислительная механика сплошных сред. -2008. - Т. 1. - № 3. - С. 15-24.

28. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации модели мезоуровня // Вычислительная механика сплошных сред. -2011. - Т. 4. - № 1. - С. 74-89.

29. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации для представительного объема макроуровня // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. - Т. 4. - № 2. - С. 82-95.

30. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель полиэтилена низкого давления с внутренними переменными: общая структура и механизмы деформирования // Математ. моделир. систем и процессов: Межвуз. сб. науч. тр. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2008. -№ 16. - С. 87-99.

31. Олейник Э.Ф. Пластичность частично-кристаллических гибкоцепных полимеров на микро- и мезоуровнях // Высокомолекулярные соединения. Серия С. - 2003. - Т. 45. - № 12. - С. 2137-2264.

32. Habraken A.M. Modelling the plastic anisotropy of metals // Arch. Comput. Method. E. - 2004. - V. 11. - No. 1. - Р. 3-96.

33. Ашихмин В.Н., Трусов П.В. Прямое моделирование упругопластического поведения поликристаллов на мезоуровне // Физ. мезо-мех. - 2002. - Т. 5. - № 3. - С. 37-51.

34. Raabe D., Roters F. Using texture components in crystal plasticity finite element simulations // Int. J. Plasticity. - 2004. - V. 20. - Р. 339361.

35. Diard O., Leclercq S., Rousselier G., Cailletaud G. Evaluation of finite element based analysis of 3D multicrystalline aggregates plasticity. Application to crystal plasticity model identification and the study of stress and strain fields near grain boundaries // Int. J. Plasticity. - 2005. - V. 21. - P. 691-722.

36. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории упру-гопластичности // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 3. - С. 21-

30.

37. Balasubramanian S., Anand L. Elasto-viscoplastic constitutive equations for polycrystalline fcc materials at low homologous temperatures // J. Mech. Phys. Solids. - 2002. - V. 50. - P. 101-126.

38. Швейкин А.И., Ашихмин В.Н., Трусов П.В. О моделях ротации решетки при деформировании металлов // Вестник ПГТУ. Механика. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2010. - № 1. - С. 111-127.

39. Nikolov S., Lebensohn R.A., Raabe D. Self-consistent modeling of large plastic deformation, texture and morphology evolution in semicrystalline polymers // J. Mech. Phys. Solids. - 2006. - V. 54. - No. 7. -P. 1350-1375.

40. TрусoвП.B., BoлeгoвП-C. Определяющие соотношения с внутренними переменными и их применение для описания упрочнения в монокристаллах // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - М 5. - С. 65-

72.

41. Tрусoв П-B., Boлeгoв П-C. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки. -2010. - Т. 15. - Вып. 3. - Ч. 1. - С. 983-984.

42. TрусoвП-B., BoлeгoвП-C., ШвейкинA-И. Конститутивная упруговязкопластическая модель ГЦК-поликристаллов: теория, алгоритмы приложения. - Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH& Co. KG, 2011. - 147 с.

43. Tрусoв П-B., Boлeгoв П-C., Янц A№. Описание внутризеренного и зернограничного упрочнения моно- и поликристаллов // Научнотехнические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2010. - Т. 98. - М 2. - С. 110-119.

44. Трусов П.В., ВолеговП.С., Янц А.Ю. Несимметричная физическая теория пластичности для описания эволюции микроструктуры поликристаллов // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 1. - С. 19-

31.

45. Van Dommelen J.A.W, ParksD.M., BoyceM.C., Brekelmans W.A.M., Baaijens F.P.T. Micromechanical modeling of the elasto-viscoplastic behavior of semi-crystalline polymers // J. Mech. Phys. Solids. -2003.- V. 51. - P. 519-541.

46. Bartczak Z., Argon A.S., Cohen R.E. Deformation mechanisms and plastic resistance in single-crystal-textured high density polyethylene // Macromolecules. - 1992. - V. 25. - P. 5036-5053.

47. Bartczak Z., Cohen R.E., Argon A.S. Evolution of the crystalline texture of high-density polyethylene during uniaxial compression // Macromolecules. - 1992. - V. 25. - No. 18. - P. 4692-4704.

Поступила в редакцию 28.11.2011 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, [email protected] Швейкин Алексей Игоревич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, [email protected] Нечаева Елена Сергеевна, ст. преп. ПНИПУ, [email protected] Волегов Павел Сергеевич, доц. ПНИПУ, [email protected]