Многопродуктовая модель управления запасами предприятия с поставками равной периодичности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

29 (332) - 2013

Экономико-математическое

моделирование

УДК 658.153

МНОГОПРОДУКТОВАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ ПРЕДПРИЯТИЯ С ПОСТАВКАМИ РАВНОЙ ПЕРИОДИЧНОСТИ*

А. Б. КУЛАКОВ,

кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой финансового менеджмента и бухгалтерского учета E-mail: Kul197020@mail. ru Ю. Н. КУЛАКОВА, кандидат экономических наук, доцент кафедры финансового менеджмента и бухгалтерского учета E-mail: Kulakova174@mail. ru Уральский социально-экономический институт (филиал) Академии труда и социальных отношений

В статье обосновываются формулы для расчета значения нормировочного множителя в многопродуктовой модели управления запасами предприятия при условии ограничения на размер оборотного капитала для двух вариантов модели: при равной периодичности и одинаковой стоимости партий поставок товаров разных видов, а также при равной периодичности и произвольной стоимости партий поставок.

Ключевые слова: оборотный капитал, управление запасами, многопродуктовая модель, оптимизация, нормировочный множитель.

* Статья предоставлена Информационным центром Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» при Уральском социально-экономическом институте (филиале) Академии труда и социальных отношений.

Введение

Разработка эффективной системы управления запасами предприятия является одной из наиболее сложных и важных задач как операционного, так и финансового менеджмента. Экономическая наука знает комплекс разнообразных моделей управления запасами: от классической модели EOQ (модели Р. Уилсона) и ее вариантов, учитывающих различные факторы (страховые резервы, протяженность поставки во времени, изменчивость цен поставляемых товаров, непостоянный характер спроса, задержку поставки и т. д.), до альтернативных систем управления ресурсами и предприятием в целом: MRP, ERP и их разновидностей.

Методологические основы теории управления запасами предприятия были заложены в труде

58

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жеот>ЪЯ -и ЪРЛКЮехА

Д. Букана и Э. Кенигсберга «Научное управление запасами» [1]. В этой работе при характеристике многопродуктовой модели управления запасами в условиях ограничения на размер оборотного капитала авторами введено понятие нормировочного множителя k, который определяется как отношение максимума суммарной стоимости запасов Гтах к сумме их максимальных стоимостей Г^. Авторами упомянутой работы было предложено принимать нормировочный множитель равным 0,5 для учета того факта, что «запасы пополняются в разное время, и что сумма вложенного капитала в среднем равна половине максимальной суммы» [1, с. 163]. Никакого серьезного математического обоснования этому значению нормировочного множителя не было дано ни в этой работе, ни в последующих трудах многих других авторов, в которых оно просто принималось как данность, без всякого критического отношения [2, 4].

Вместе с тем необходимо учитывать, что величина нормировочного множителя определяет размер оборотного капитала, инвестируемого в формирование запасов предприятия, и ошибка в оценке нормировочного множителя и, следовательно, в размере оборотного капитала может дорого обойтись предприятию. Заниженное значение нормировочного множителя может привести к возникновению дефицита оборотных средств, который предприятию придется устранять путем привлечения банковских заимствований, следовательно, нести дополнительные затраты по их обслуживанию, снижая тем самым эффективность своей деятельности.

Поэтому авторами была предпринята попытка определения действительного значения нормировочного множителя в многопродуктовой модели управления запасами с учетом ограничения на размер оборотного капитала при различных условиях.

Равная периодичность и равная стоимость поставок

В публикации [3] была построена многопродуктовая модель управления запасами с ограничением на размер оборотного капитала при условии равной периодичности и одинаковой стоимости партий поставок для произвольного числа видов поставляемых товаров, в которой получена следующая формула для расчета значения минимаксного нормировочного множителя

К (и;=) =

тштах- = 0,5| 1 + -п

где п — число видов поставляемых товаров;

К (п;= — минимаксный нормировочный множитель (верхний индекс показывает число видов поставляемых товаров, а также отражает условие равенства стоимости партий поставляемых товаров);

Гщ1птах — минимум из всех возможных максимумов суммы стоимости запасов по рассматриваемым вариантам решения задачи оптимизации системы управления запасами, ден. ед.; Г^ — сумма максимумов стоимости запасов, ден. ед.

Из этой формулы видно, что значение нормировочного множителя, равное 0,5, может достигаться только при числе видов поставляемых товаров, стремящемся к бесконечности. При конечном же числе видов товаров п величина даже минимаксного нормировочного множителя существенно выше. Например, при поставке двух товаров с одинаковой стоимостью партий и одинаковой периодичностью минимаксный нормировочный множитель составляет К(2;=) = 0,5(1+0,5) = 0,75, что на 50 % выше традиционно принимаемого в расчетах значения 0,5, а значит погрешность в определении размера оборотного капитала, инвестируемого в запасы, составит тоже не менее 50 % (!), что повлечет для предприятия весьма неблагоприятные последствия в виде экстренного поиска источников финансирования и связанных с этим дополнительных затрат.

Оценка погрешности в величине оборотных средств, возникающей из-за принятия в расчетах значения нормировочного множителя равного 0,5, при различном числе видов поставляемых товаров приведена в таблице. Здесь q — объем партии поставки товара в натуральном выражении, р — цена единицы товара в денежных единицах.

Значение 5ОС рассчитывается по формуле

К-0.5100%.

ОС 0,5

В статье [3] авторами были также получены формулы для определения величины оптимальных сдвигов моментов поставки каждого товара, при которых нормировочный множитель принимает свое минимаксное значение. Было показано, что если стоимости партий поставок всех видов товаров равны и периодичность всех поставок одинакова, то

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ш5б7>ЪЯ те ЪР*?жг(Ъ4

Оценка относительной погрешности расчета оборотных средств 8ОС при замене минимаксного значения К (и;=) на общепринятое значение 0,5

Показатель 2 3 4 5 7 10 20 50 100 200

Г . тштах 1,54р 24Р 2,54р 34Р 44Р 5,54Р 10,54Р 25,54Р 50,54Р 10054Р

ГЕ 24Р 34Р 44Р 54Р 74Р 104Р 204Р 504Р 1004Р 2004Р

К (;;=) 0,750 0,667 0,625 0,600 0,571 0,550 0,525 0,510 0,505 0,503

5oc, % 50,0 33,3 25,0 20,0 14,3 10,0 5,0 2,0 1,0 0,5

в оптимальном стратегии поставок сдвиги моментов поставок одинаковы для всех товаров, т. е.

0* = е; =... = 0* =... = е; = Т-,

п

где 6*1 — оптимальное значение сдвига поставки товара вида 7 относительно товара вида (7 — 1) в периоде Т, дн.

Т — одинаковый для всех поставляемых товаров период времени между двумя последовательными поставками одного и того же товара, дн.

Равная периодичность и произвольная стоимость поставок

Рассмотренная модель с одинаковой стоимостью партий поставок всех товаров является сильно упрощенной. В действительности стоимости партий поставок разных видов товаров не равны друг другу, поэтому значительно больший практический интерес представляет вариант модели, в котором стоимости поставок разных видов товаров разные, т. е.

41 Р1 * Ч2Р2 *... * 4,Л *... * 4„Р„ (здесь дг — объем партии поставки товара вида 7 в натуральном выражении, р— цена единицы товара вида 7 в денежных единицах). Будем считать для определенности, что дхРх является максимальным из всех др.. Возникает вопрос: как формируется оптимальная стратегия поставок в этом случае? И если сдвиги поставок неодинаковы, то какой закономерности они подчиняются?

Проведенное авторами исследование показало, что минимаксное значение нормировочного множителя для двух товаров с неодинаковой стоимостью поставок равно Y .

К (2) = тштах _ ц _ _

= 1 --

4 Р1 42 Р2 (41Р + 42Р2 )2

42 Р2 41Р1

- = 1 —

У 2

1

42 Р2

41Р11

(1 + Т2 Г

В этой формуле введено обозначение для соотношения между стоимостями поставок

42 Р2 41Р1

= У2 (0 < у2< 1).

Верхний индекс показателя К (2) указывает на то, что найден минимаксный нормировочный множитель для модели, в которой рассматриваются два вида товара, стоимости партий поставок которых в общем случае не равны друг другу. Знак Ф в верхнем индексе опущен для упрощения записи.

Пусть, например д2р2 = 0,5 дхрх, т. е. стоимость партии поставки второго товара в два раза меньше, чем стоимость партии поставки первого товара, тогда 0,5

К (2) = 1 --

= 0,7778.

(1+ 0,5)2

Полученная величина минимаксного нормировочного множителя очень существенно (почти на 56 %) отличается от традиционно рекомендуемого значения, равного 0,5, что еще раз подтверждает значимость полученной формулы.

Построим графики изменения минимаксного значения нормировочного множителя и оптимального сдвига между поставками второго товара относительно первого как функции отношения стоимости поставки второго товара к стоимости поставки первого (см. рисунок).

Чем ближе стоимости партий поставок друг другу, т. е. чем ближе у2 к единице, тем (при условии соблюдения оптимального значения сдвига поставок) ближе минимаксный нормировочный множитель к своему абсолютному минимуму, равному 0,75 (см. рисунок). Этот абсолютный минимум может быть получен только в случае равенства стоимости партий поставок, т. е. в модели, рассмотренной ранее.

Для трех товаров с неодинаковой величиной стоимости партий поставки было получено выражение вида

К (3) = 1 _ У2 + Уз + У2 Уз

(1 + У2 + Уз)2

В результате разработки и анализа многопродуктовой модели управления запасами с ограничением на размер оборотного капитала при условии равной периодичности, но неодинаковой стоимости

2

60

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жеб7>ЪЯ -и ЪРЛЖкЫ

Минимаксный нормировочный

„(2) множитель К

0,8

0,6

0,4

0,2

I

У, У ,

К (п) =1 -

,=1 ...п—1 у=2.. ,п,г< у

Ё у,

Оптимальный относительный сдвиг поставки 02*/Г

Была получена формула для расчета оптимального значения относительного сдвига времени поставки для любого числа видов товаров при условии равной периодичности и неравной стоимости партий

поставок

/Л*

т

ЧгРг

п

Е Ч,Р,

0,1

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Отношение стоимостей партии поставок второго товара к первому

0,9

или через отношения стоимостей партий поставки

Зависимость минимаксных значений нормировочного множителя К (2) (у2)

0*

и относительного сдвига поставки второго товара по отношению к первому —2 (у2)

т 2

от изменения отношения стоимостей партий поставок второго

Уг

т

I Уг

и первого товаров (у2 = q2p2 / q1p1)

партий поставок, удалось выявить определенную закономерность в структуре формул, полученных для расчета нормировочного множителя. Распространив эту закономерность по индукции на п видов товаров, получили общий вид формулы минимаксного нормировочного множителя для п видов товаров, поставляемых с одинаковой периодичностью партиями неодинаковой стоимости, в виде

Е Ч,Р, ЧуРу

К (п) = 1 — '=1.п-1,>=2...n, г< з

Е ЧгРг

Здесь у обозначает номер вида товара, больший чем номер вида товара г .

Данную формулу можно представить через

ЧгР,

отношения стоимостей партий поставок у. = -

Чх Р1

(для всех г = 2...п выполняется условие 0 < у. < 1):

Е Уг + Е УгУз

Немаловажен вопрос, как соотносятся между собой варианты разработанных многопродуктовых моделей управления запасами, когда стоимости поставок одинаковы или различаются, при том, что сумма стоимостей одна и та же. Другими словами, как более рационально инвестировать ограниченный по размеру оборотный капитал: в поставки разных товаров с одинаковой стоимостью партий или с разной стоимостью? Рассмотрим простейший случай с двумя товарами, когда минимаксный нормировочный множитель вычисляется по формуле К (2) = 1— Ч Р1 Ч2Р2

(Ч Р1 + Ч2 Р2 )2 Представим стоимости поставок в виде Ч1Р1 = ЧР + А, Ч2Р2 = ЧР — А и подставим эти выражения в К (2)

/ Л 2

К (2) = 1 — (чр + А)(чр — А) =0,75+ Г А >

К (п) = 1 --

г'=2...п-1г^'=3...п, г< у

1 + 1 Уг

Полученную формулу можно упростить, если

(2ЧР)2 12ЧР,

Полученное значение минимаксного нормировочного множителя больше абсолютного минимума, равного 0,75, полученного ранее при условии равенства стоимости партий поставок разных видов товаров.

учесть, что по определению у1 =

Ч1Р1 Ч1Р1

= 1

1

2

1=1

г=1

0

0

1=1

1=1

1=2...п

2

1=2

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Ш5б7>теЯ те ЪР*?жгеЪ4

Заключение

Таким образом, можно еще раз убедиться в том, что любое отклонение в стоимости партий поставок от их одинаковой величины 4Р даже при оптимальных сдвигах приводит к увеличению минимаксного нормировочного множителя, а значит, к увеличению объема оборотных средств, необходимых для формирования запасов предприятия.

Список литературы

1. Букам Д., Кенигсберг Э. Научное управление запасами: пер. с англ. М.: Наука, 1967.

2. Кузин Б. И. Методы и модели управления фирмой / Б. И. Кузин, В. Н. Юрьев, Г. М. Шахдина-ров. СПб: Питер, 2001.

3. Кулакова Ю. Н. Оценка нормировочного множителя в многопродуктовой модели управления запасами предприятия при условии равной периодичности и одинаковой стоимости поставок // Логистика и управление цепями поставок. 2012. № 3. С. 76—83.

4. Производственный менеджмент: учебник / под ред. В. А. Козловского. М.: ИНФРА-М, 2003.

62

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгвТЪсЯ те чемкюехА