Mногообразия разрешимых йордановых алгебр и алгебр Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЫНОГООБРАЗИЯ РАЗРЕШИМЫХ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР И АЛГЕБР ЛИ А. В. Попов (г. Ульяновск) E-mail: [email protected]

Пусть F{X} - свободная неассоциативная алгебра от счетного множества порождающих X = {xi, x2,...} над полем нулевой характеристики F. Тождествами неассоциативной F - алгебры A называются элементы F{X}, лежащие в идеале I (A) = П ker p, где пересечение берется по всевозможным гомоморфизмам p из F{X} в A. Многообразием алгебр V называется класс всех алгебр, удовлетворяющих заданному набору тождеств. Тождества, которым удовлетворяет любая алгебра из V, образуют идеал тождеств I (V).

В случае поля нулевой характеристики всякое тождество эквивалентно некоторому набору однородных полилинейных тождеств. Поэтому для изучения структуры идеала тождеств I (V) достаточно изучать пространства Pn (V) = Pn П I (V) где Pn - пространство всех полилинейных неассоциативных многочленов степени n от свободных образующих

xi , . . . , xn.

Пространства Pn (V)

имеют структуру S^-модулей, в которых группа Sn действует на индексах образующих xi,... ,xn. Изучение структуры модулей Pn (V) позволяет получить много важной информации о многообразии.

Обозначим через L многообразие алгебры Ли. Рассмотрим пространства PLnin2 = Pni+n2 (L), определенные на образующих xi,...,xni,yi,... ,yn2. Эти пространства имеют структуру Sni х Sn2 - модулей и могут быть разложены в сумму неприводимых подмодулей [1]:

PLni,n2 = 0 (MA 0 , (1)

A—ni M-n2

где Л и д диаграммы Юнга, а Ma и Мм - соотвествующие неприводимые Sni- и Sn2-модули.

Обозначим через Jsc многообразие йордановых алгебр с дополнительными тождествами x2yx = 0 и (xix2) (x3x4) (x5x6) = 0 [2]. Следующая теорема дает описание Sn-структуры модулей Pn (Jsc) многообразия Jsc.

Теорема 1. Для S^n-модуля Pn (Jsc) справедливо разложение:

к

Pn

(Jsc) = 0

Pn

(Jsc),

i=0

где k = [Пр], а Бп-модули РП'п (Jsc) имеют следующий вид: Р'п (Jsc) = ® . ind¡m (mj ® Mñm-ы)<h".

где m = [n-3i] + 1, djM - кратности из разложения 1.

Опираясь на теорему 1 удалось получить следующий результат, показывающий связь между подмногообразиями многообразий Jsc и L.

Теорема 2. Пусть L - решетка подмногообразий многообразия алгебр Ли L, а J - решетка подмногообразий многообразия Jsc. Существует решеточный мономорфизм f : L ^ J.

При этом легко строятся примеры подмногообразий W С Jsc, для которых нет прообразов в L. Таким образом, многообразие Jsc обладает даже более богатой структурой подмногообразий, чем многообразие L.

Библиографический список

1.Hong J., Kwon J-H. Decompose of Free Lie Algebras into Irreducible Components // Journal of Algebra. 1997. Vol. 197.

2. Скосырский В. Г. Разрешимость и сильная разрешимость йордано-вых алгебр // Сибирский матем. журнал. 1989. № 2.

ПРОСТЫЕ КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРАВОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ УНИТАЛЬНЫЕ СУПЕРАЛГЕБРЫ С АССОЦИАТИВНО-КОММУТАТИВНОЙ

ЧЁТНОЙ ЧАСТЬЮ С. В. Пчелинцев, О. В. Шашков (г. Москва) E-mail: [email protected], [email protected]

Супералгебра B = A 0 M называется супералгеброй абелева типа, если A ассоциативна и коммутативна, а M - ассоциативный A-бимодуль [1].

Примерами супералгебр абелева типа являются супералгебры чётного векторного типа J (Г, 6) и B (r,D,Y). Первая из них была введена К. МакКриммоном [2] и является йордановой, вторая - правоальтерна-тивной и введена И. П. Шестаковым [3]. Известно, что грассмановы оболочки первичных йордановых супералгебр векторного типа J (Г, 6) над