Многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождеством x(yz)t≡0 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

МНОГООБРАЗИЕ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ ТОЖДЕСТВОМ хУУ = 0

© 2007 О.И.Череватенко1

В работе изучается многообразие алгебр Лейбница С, определяемых тождеством х(у) = 0 над полем характеристики 0. Описаны некоторые свойства многообразия С. В качестве следствия мы доказываем, что если выполняется условие В ^ V с С, то многообразие V нильпотентно, где В — многообразие алгебр Лейбница, определяемых тождеством х(у2) = 0.

Алгебра Лейбница над полем ¥ — это неассоциативная алгебра с билинейным произведением, удовлетворяющая тождеству Лейбница

(ху)2 = (х2)у + х(у2),

которое превращает правое умножение на элемент алгебры в дифференцирование этой алгебры. Понятно, что любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница.

Характеристика основного поля предполагается нулевой. Все неопределяемые понятия можно найти в монографии [1] или в обзоре [2].

Пусть V —некоторое многообразие линейных алгебр. В случае нулевой характеристики основного поля вся информация о многообразии V содержится в пространствах полилинейных элементов Рп(У) степени п, являющихся модулем симметрической группы, п = 1,2,____ Характер Рп(У) раскладывается в целочисленную комбинацию %п(У) = 2х-пЩЖх неприводимых характеров Хх, соответствующих разбиениям к = (кьХ2,...) числа п. Поэтому исследование структуры Рп(У) как «^-модуля играет важную роль при изучении многообразия V. Сам «п-модуль Рп(У) можно представить в виде прямой суммы:

Рп(V) = 0 Рт,

Х-п

где сумма неприводимых изоморфных подмодулей, соответствующим разбиению к, обозначена Р\(У). Заметим, что в общем случае некоторые слагаемые данной суммы могут быть нулевыми, либо неприводимыми.

1 Череватенко Ольга Ивановна ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии Ульяновского государственного педагогического университета, 432700, Россия, г. Ульяновск, пл. им. 100-летия со д. рожд. Ленина, 4.

Договоримся опускать скобки в случае левонормированной расстановки скобок: (((xnxh)xh)... xln) = xn ... xln.

Будем использовать специальный символ (черту или волну) над образующими вместо выписывания кососимметрической суммы. Например, определяющее алгебру Лейбница тождество можно переписать так xyz = x(yz).

Пусть B — многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождеством x(yz) = 0. Как видно из работы [3], по своим свойствам это многообразие можно считать аналогом метабелева многообразия алгебр Ли A2.

Приведем результат, описывающий необходимые нам свойства многообразия B, полученный в статье [3, proposition 3.2. P. 38]. Для удобства читателей приведем его на русском языке и переформулируем в удобной для нас форме.

Теорема. а) Для любого n Pn(B) как Sn-модуль раскладывается в прямую сумму неприводимых ненулевых подмодулей:

Pn(B) = V\ Ф V2,

где Vi — неприводимый подмодуль, соответствующий разбиению (n), а V2 — неприводимый подмодуль, соответствующий разбиению (n — 1,1).

b) Полная линеаризация следующих элементов:

bi = xi,

b2 = x1 x2 xn-2 — x2 x1 x"~2, n ^ 2

порождает неприводимые ненулевые подмодули V1 и V2 полилилейной части Pn(B) соответственно.

c) Для любого n характер модуля Pn(B) раскладывается в следующую целочисленную комбинацию неприводимых характеров:

X1(B) = Х(1), Xn(B) = X(n) + X(n—1,1), n ^ 2.

Аналогом центрально-метабелева многообразия [A2, E] алгебр Ли, которое было исследовано в работе [4], вероятно является многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождеством x(yz)t = 0. Обозначим его C. Изучение его свойств и является целью данной статьи.

Учитывая основное тождество Лейбница и тождество, определяющее многообразие C, получим, что если x1 x2 ... xn — левонормированное полилинейное слово, то переменные xi, i = 2,...n — 1, равноправны, т.е.

x1 xp(2)xp(3) . . . xp(n— 1)xn = x1 x2x3 . . . xn, где p — перестановка символов 2,3,...,n — 1. Следовательно

Замечание 1. Любой элемент полилинейной части многообразия C может быть приведен к сумме элементов вида

xi1 xi2 xi3 . . . xin— 1 xin > j2 < ''' < jn— 1.

Понятно, что число таких элементов равно n(n — 1).

Замечание 2. В многообразии C полилинейные элементы fk, построенные по таблицам Юнга, число клеток которых вне первой строки превосходит двух, обращаются в нуль.

Доказательство прямо вытекает из замечания 1 и строения элемента fk.

Таким образом, число клеток вне первой строки в таблицах Юнга для многообразия C не может превышать двух.

Рассмотрим алгебру A с базисом zi; Z2; ek, k = 2,3 ...; fk, k = 2,3 ...; gk, k = 2,3 ...; hk, k = 3,4____ Зададим в алгебре A таблицу умножения:

ZiZi = e2, Z2Z1 = f2,

ekzi = ek+i, fkZi = fk+i, gkZi = hkzi = hk+i, ZiZ2 = g2, ekZ2 = gk+i,

zifm = —Zihm = (—i)m+i(gm+i — hm+i), ekfm = —ekhm = (— i)m+i (gm+k — hm+k),

произведение остальных элементов равно нулю.

Сформулируем основной результат статьи, касающийся свойств многообразия C.

Теорема 1. а) Алгебра A порождает многообразие C.

b) Для любого n характер модуля Pn(C) раскладывается в следующую целочисленную комбинацию неприводимых характеров:

xi(C) = X(i); X2(C) = Х(2) + X(i,i);

X3(C) = X(3) + 2X(2,i) + X(i,i,i);

Xn(C) = X(n) + 2X(n—i,i) + X(n—2,i,i) + X(n—2,2), n ^ 4 При этом dimPn(C) = n(n — i).

Доказательство. Пусть характер полилинейной части многообразия C имеет вид Xn(C) = 2x-n m\X\. Обозначим через D многообразие, порожденное алгеброй A. Непосредственной проверкой убеждаемся, что алгебра A является алгеброй Лейбница, в которой выполнено тождество x(yz)t = 0. Поэтому, D является подмногообразием многообразия C и разложение характера его полилинейной части имеет вид Xn(D) = 2x^m^Xx, причем m^ ^ m\ для любого разбиения X числа n.

Учитывая замечание 2, в разложении на неприводимые подмодули остается рассмотреть только те случаи, которые соответствуют разбиениям (n), (n — i, i), (n — 2, i, i), (n — 2, 2). Таким образом получаем, что

Xn(C) = m(n)X(n) + m(n—i,i)X(n—i,i) + m(n—2,i,i)X(n—2,i,i) + m(n—2,2)X(n—2,2).

Рассмотрим следующие элементы относительно свободной алгебры многообразия D степени n:

g(n _ xi,

g(n) _ x „ xn—2 x xn—2

621 _ x1 x2x1 — x2x1 x1 ,

g(n) _ xn—2 x xn—2

622 _ x1 x1 x2 — x1 x2x1,

„(n) _ x^ xn—3 xz

g3 _ x1 x2x1 x3,

g(4n) _ xx~1)xr*(x=2xl).

Покажем, что выписанные элементы не являются тождествами в алгебре A.

Для элемента g(1n) возьмем подстановку x1 _ z1 . Получим ненулевой элемент алгебры A : z1 _ en. Элемент g1n) является ненулевым элементом многообразия D, и его линеаризация порождает неприводимый ненулевой подмодуль, соответствующий разбиению (n). Таким образом, m(n) ^ 1.

Докажем, что m'^ 11) ^ 2. Для этого, используя результат работы [5, лемма 2], достаточно показать, что элементы g21 и g^^ линейно независимы.

Рассмотрим линейную комбинацию ag21 + _ 0. Возьмем подстановку x1 _ z1 , x2 _ z1 z1 , и, учитывая тождество x(yz)t _ 0 и тождество Лейбница, преобразуем линейную комбинацию и получим: —azn+1 _ 0. Последнее возможно лишь в том случае, когда коэффициент а равен нулю. Таким образом, линейная комбинация примет вид: ^ _ 0. Теперь произведем следующую подстановку: x1 _ z1 , x2 _ z2. Тогда получим, что и второй коэффициент в линейной комбинации равен нулю. Следовательно, элементы g2n1 и g22 являются линейно независимыми. Таким образом, m'^n— 11) ^ 2.

Для g(3n) возьмем подстановку x1 _ z1, x2 _ z2, x3 _ z2. Получим ненулевой элемент алгебры A : hn+1 — gn+1. Элемент g3n) является ненулевым элементом многообразия D и он порождает неприводимый ненулевой модуль, соответствующий разбиению (n — 2,1,1). Таким образом, m^n—2 11) ^ 1.

Для g4n) возьмем подстановку x1 _ Z1, x2 _ z1 + Z2. Получим ненулевой элемент алгебры A: hn+1 — gn+1. Элемент g4n) является ненулевым элементом многообразия D и он порождает неприводимый ненулевой модуль, соответствующий разбиению (n — 2,2). Таким образом, m'^n—^^^ ^ 1.

По формуле крюков (см. [1. С. 113]), получаем нижнюю оценку для

размерности полилинейной части многообразия D : dim Pn(D) ^ 1 + 2(n —

, (п-\)(п-2) _ п{п- 3) — 1) н-----1---- = п(п - 1). Учитывая замечание 1, получаем

dim Pn(C) _ dim Pn(D). Откуда следует, что алгебра A порождает многообразие C. Таким образом, кратности в разложении характера модуля Pn(C) будут равны единице для разложений (n) (n — 2 1 1) (n — 2 2) и двум для разложения^ — 1,1) и dim Pn(C) _ n(n — 1). Теорема доказана.

Интересно отметить, что структура метабелева многообразия, рассмотренного в работе [3], очень схожа со структурой многообразия С. Одинаково разложение характеров в целочисленную комбинацию неприводимых характеров, совпадают и последовательности коразмерностей. Однако, эти два многообразия различны.

Из знаменитого результата Е.И. Зельманова о нильпотентности алгебры Ли с условием энгелевости, следует, что в случае алгебр Ли условие А2 £ V влечет нильпотентность многообразия V. Аналогичным оказался критерий нильпотентности подмногообразия многообразия С, только вместо метабе-лева многообразия А2 используется многообразие алгебр Лейбница В.

Теорема 2. Пусть V многообразие алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики, для которого выполнено условие В £ V с С. Тогда многообразие V является нильпотентным.

Доказательство.

Рассмотрим тождество / = 0 многообразия V, которое не выполняется в многообразии В. Пусть данное тождество имеет вид:

/ = а1 /1п) + а21 /2? + «22 + аз/п) + а/0,

где /\пп —полная линеаризация элементов §(п), г = 1,3,4, и , /2 — полная линеаризация элементов §22. Из теории представлений симметрических групп следует, что тогда в многообразии V выполнены следующие тождества: «1 = 0; а21 + «22= 0; аз/3п) = 0; а^./4п) = 0.

Так как тождество / не выполняется в многообразии В, то из работы [3] получаем, что либо а1 Ф 0, либо а21 Ф 0.

Предположим, что а1 Ф 0, тогда х^ = 0 тождество в многообразии V. После частичной линеаризации получим:

х1-1 х2 + (п - 2)х1 х2хп~2 + х2х1-1 = 0.

Вместо Х2 подставим произведение Х2Х1. Учитывая тождество х(уг)1 = 0, получим х1-1(х2Х1) + Х2хП1 = 0. Преобразуем получившееся тождество: х1-1 Х2Х1 -— х1 х2 + х2х1 = 0. Легко увидеть, что х1 х2 = 0, получим х1-1 х2х1 + х2х1 = 0. Теперь положим Х2 = . Тогда наше тождество с учетом х(уг)1 = 0 примет вид ^1^2х1 = 0. Понятно, что и ^1^2х1^п+з = 0. После линеаризации получим: пЬ^гз ...гп+з = 0. Следовательно, многообразие V, в котором выполнено тождество х1 = 0, является нильпотентным.

Теперь предположим, что а21 Ф 0, тогда §21 + а,^ есть тождество в нашем многообразии V. Проведем подстановку. Положим Х2 = хх, Х1 = х. Тогда, учитывая тождество х(угУ = 0 и тождество Лейбница, имеем: -хп+1 = 0. Последнее тождество есть ни что иное, как тождество §1 степени п + + 1. Таким образом, если §2") + а§^2 тождество в многообразии V, то это многообразие нильпотентно.

Теорема доказана.

В заключении автор приносит благодарность С.П. Мищенко за постановку задачи и внимание к работе.

Литература

[1] Бахтурин, Ю.А. Тождества в алгебрах Ли / Ю.А. Бахтурин. - М.: Наука, 1985.

[2] Мищенко, С.П. Рост многообразий алгебр Ли / С.П. Мищенко // Успехи мат. наук. - 1990. - Т. 45. - №6(276). - C. 25-45.

[3] Drensky, V. Variety of metabelian Leibniz algebras / V. Drensky, G.M. Piacentini Cattaneo // Jornal of Algebra and Its Applications. -2002. - V. 1. - №1. - P. 31-50.

[4] Мищенко, С.П. Многообразия центрально-метабелевых алгебр Ли над полем характеристики нуль / С.П. Мищенко // Математические заметки. - 1981. - Т. 30. - №5. - C. 649-657.

[5] Зайцев, М.В. О кодлине многообразий линейных алгебр / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко Математические заметки. - 2006. - Т. 79. - №4. -С. 553-559.

Поступила в редакцию 17j/Xj2007; в окончательном варианте — 17jIXj2007.

THE VARIETY OF LEIBNIZ ALGEBRAS DEFINED BY THE IDENTITY x(yz)t = 0

© 2007 O.I. Cherevatenko2

In this paper the variety of Leibniz algebras C defined by the identity x(yz)t = 0 over a field of characteristic 0 is studied. A description of some properties of the variety C is given. As a result we prove that if the condition B £ V c C holds, the variety V is nilpotent, where B is the variety of Leibniz algebras defined by the identity x(yz) = 0.

Paper received 17j/Xj2007. Paper accepted 17jIXj2007.

2Cherevatenko Olga Ivanovna ([email protected]), Dept. of Algebra and Geometry, Ul'yanovsk State Pedagogical University, Ul'yanovsk, 432700, Russia.