Многомерный эксперимент и теория взвешивания векторов в n-мерном арифметическом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ность с и н ер гети ч ее кого подхода, позволяющего рассматривать проблемы загрязнения ПЭС эко-токсикантами и агроэкологические проблемы на единой основе, которая обозначена нами в виде

д {(РЪ)/д Р'ха<0. Этот критерий может использоваться как для обозначения термодинамического прессинга при антропогенном влиянии минеральных систем, так и для обозначения прессинга, обусловленного загрязнением ПЭС химическими экотоксикантами.

В стационарных опытах Владимирского Ополья нами показано, что недооценка роли си-нергетического эффекта, обусловленного откликом внутренних параметров ПЭС на внешнее антропогенное воздействие минеральной компоненты, может приводить к потере продуктивности почти на треть. Особенно велики потери, когда под азотфиксирующие биологические системы, вносится минеральный азот. Это приводит к резкому падению рентабельности производства: окупаемость снижается. Наибольшее снижение окупаемости отмечается в диапазоне доз минерального азота 90 - 240 кг на га.

Таким образом, представления об устойчивости сложных систем, сформулированные в рамках химической термодинамики, могут быть весьма полезными для результатов, относящихся к эволюции ПЭС.

Обобщение результатов по антропогенному наращиванию минеральной компоненты ПЭС указывает на сопряжение с ее биологическои составляющей. Возникают остаточные явления. Они

ивают развитие патологий, почвенную деградацию, т.е. оказывают непосредственное влияние на устойчивость ПЭС.

1.

<3 *

ЛИТЕРАТУРА

Тюркжанов А.Н., Федоров В.М. Тимофеев- Ресовский Н.В. Биосферные раздумья. М: Космонавтика -Человечеству. 1996. 368 с.

Горшков В. Г. , Кондратьев К .Я. Применение принципа Ле Шателье к биосфере // Экология. 1990. № 1. С.

7-9.

Винокуров И.Ю. Кинетика нитрификации серых лесных почв и устойчивость агроэкологических систем // Избранные Труды XI Международной научной конференции "Математика, компьютер» образование". 2004. Москва-Ижевск. С. 644-654. Кудеяров В.Н. Генезис, плодородие и мелиорация почв. Пущи но, 1980.

Кафедра химии

УДК 681.3.068.519.7П.3

Ю.В. Григорьев, П.Н. Грименицкий

МНОГОМЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ И ТЕОРИЯ ВЗВЕШИВАНИЯ ВЕКТОРОВ В п

АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

(Ивановский государственный

ty

химико-технологическии E-mail: [email protected]

В статье рассматривается возможность описания многомерного эксперимента при помощи теории взвешивания векторов в многомерном арифметическом пространстве.

Под многомерным экспериментом будем понимать эксперимент, в ходе которого измеряется несколько физико-химических величин, которые записываются в безразмерной форме. Оказывается, что для описания многомерного эксперимента хорошо подходит теория взвешивания векторов в n-мерном арифметическом пространстве, суть которой заключается в следующем.

Пусть Я" — /1-мерное пространство векторов-строк (или столбцов) из действительных чисел. Вектора будем обозначать с верхней чертой над прописными

х, и, z и т.д. Так что, х = (х, ,...,хА. где xk

k - \,п

действительное число.

К"

классический пример

пространств, т.е. линеиных пространств со ска-

произведением, полных в норме, порож-

скалярным произведением. Для Яп это следующее:

денной

п

1. Ш , X

^к Хк •

Слева — условное ОбОЗНаче-

^Ы

ние скалярного произведения, справа — прави-

ло его вычисления.

?

Слева

условное

обозначение нормы, справа — правило ее вы-

числения.

3. Полнота Яп означает, что любая

тальная последовательность сходится;

х

X

при /,Л-*со.

Построим преобразование К" Ет, причем, при т < п будем иметь редукцию (снижение) размерности пространства, при т = п — преобразование т < п в себя. Для решения этой

задачи определим оператор у = Ах набором линейных функционалов:

у =

п

)

зс

1 ,т,

(1)

= ЛЬЛ<Хк > ./' =

Заметим, что в любом гильбертовом пространстве линейный функционал может быть записан только через скалярные произведения, Других форм записи не существует. Коэффициенты

Ь]к (к = 1, /7, У = полностью определяют линейный оператор А, на который накладывается единственное ограничение:

К

^^ ■я«™» ^ ^ ^ ^ " Л, ^

(2)

Условие (2) означает, что можно построить бесконечное множество линейных ограниче-

Я *

Допустим, что существует вектор Ъ для

которого справедлива система равенств:

к^Л

(3)

вым. венств:

это так, то назовем вектор 2 оазо-м далее, что существует вектор которого справедлива система ра-

п

Ей 1

(4)

Объединяя равенства (3) и (4) можно запи

сать:

п

X ("* - 2к) = 0' 1 = т ■

(5)

Определение. Вектор й Фг , для которого справедлива система равенств (5), будем называть взвешенным относительно базового вектора г . Поиск такого вектора, если он существует, будем называть операцией многомерного взвешивания

(ОМВ).

Можно доказать, что при определенных дополнительных к условию (2) ограничениях на

векторы Ь., 7 - 1, т, вектор 2 существует, и он

будет единственным. Существует и взвешенный относительно г вектор и , причем их оказывается бесконечно много.

Рассмотрим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений:

п

У и

ь]кхк

к

1, / = 1, т .

(6)

Коэффициенты системы (6) образуют мат

рицу

Ь

размером

ш, п

). Если

строки этой

матрицы линеино независимы, то при т = п цепочка элементарных эквивалентных преобразований Гаусса (метода последовательного исключения неизвестных) приведет систему (6) к «треугольному» виду и она будет иметь единственное решение г у которое и назовем базовым вектором

в Я". Наложим на строки матрицы более жесткое условие ортогональности:

п

У1Ь /к Ь1к = 0, при / Ф у.

(7)

1

Условие ортогональности (7) позволяет гарантировать линейную независимость строк

матрицы Ь:к ], поскольку ортогональные системы

линеино независимы.

При т < п система (6) приводится к «трапецеидальному» виду и будет иметь и другие решения и , т.е. удовлетворять системе равенств (4), и таких решений будет бесконечно много. Таким образом, условия (2) и (7) гарантируют существование операции многомерного взвешивания.

Возьмем в системе (6) отдельную строку 7 и рассмотрим ее решение независимо от остальных строк. Эти решения назовем локальными, их будет бесконечно много, но среди них выделим

решение г. :

г

К

а.

п

ГДС»

aj= X b\ =

Ь;

1

п

У b г

¿и ° 9 /А

А

п

a j к

Решение системы (6) следует назвать глобальным и оказывается, что глобальное решение 2 (базовый вектор), можно представить как линейную комбинацию локальных решений (8):

т

к

X

т h Ujk

jk

i a j

Для доказательства разложения (9) выберем любую строку с номером / и запишем:

п

п

____т 1л т 1 к 1 п

./=» Qj М й} к = ! а)

к = 1 к = 1 (и Т. Д.)

Здесь использовался тот факт, что знаки суммирования по к и / независимы друг от друга, и поэтому суммы можно переставлять местами, соблюдая условие орто го нал ь ности (7).

Рассмотрим геометрическую версию операции многомерного взвешивания.

Векторы в этом случае будем называть точками и каждую отдельную строку в системе (6) можно трактовать как уравнение гиперплоскости и все локальные решения будут ее точками. Как множество точек гиперплоскость будем обозначать Ь1 (линейное многообразие в Я").

— это будут прямые линии на

- 3 - плоскости в трехмерном

при п > 3 — гиперплоскости

При п = 2

плоскости, при п пространстве /?3

L. в R' .

Все гиперплоскости Ь. не проходят через начало координат (точку 0), поэтому можно по-

ставить вопрос о расстоянии Ь. до точки 0. Найдем точку в Ь1, которая реализует это расстояние,

для чего решим экстремальную задачу:

И п

= 1.

хк —> mm

п

jk Хк

к I

Функция Лагранжа запишется:

п

/

п

\

к

j

dL

дх,

к -I к =

1меем теперь систему уравнений 2хк + Abit = 0 хк ~

jk

2

b к, к

= I ,п,

3L дЛ

п

п

jk хк

0==> ZV** =1

i

к =

Далее:

п

2>

jkх к

Af, 2

к=\

2

2Л

Я

А 2

L -hi

, хк —

ai

а

«•»ж Л*

~ гд *

Таким образом, локальное решение (8) и

(9) есть искомая точка, реализующая расстояние

Ij *

i

до точки 0. Численно расстояние вычисляется

как

1 1

г. * ft г h.

j j а. j

Ь,

/

1

j

h

j

h

j

Итак, расстояние £. до начала координат есть величина обратная норме вектора Ь}, поэто-

му, для векторов Ь. можно определить еще одно

п

2 д-

—> mm .

(Ю)

Условие (10) обеспечивает максимальное расстояние до начала координат, что имеет

важное значение для операции многомерного взвешивания. На рисунке символически представлена ОМВ локальных точек.

Рис. Символическая схема ОМВ локальных точек. Fig. The symbolical OMW circuit of the local points

действительно символическая, поскольку на плоскости реально можно представить только два вектора через их нормы

(длины) и угол между ними.

системы гиперплоскостей £

д= 1, т] точка 2 является общей точкой, отсюда

и ее название базовой. Для п = 2 это будет точка

пересечения двух прямых на плоскости Я2, для п - 3— точка пересечения трех прямых в трех-

мерном пространстве /? , которые, в свою очередь, получаются как попарные пересечения

(£, и Ь2, и Ь2 и

Пусть из физических или других соображений задан базовый вектор I. Для него можно

определить ортогональный базис } (/" = 1,/?) в

Я", используя специальную процедуру ортогона-лизации.

Отметим вначале принципиальное отличие такой постановки задачи от тех постановок, что предлагались ранее. В первом случае определялась система уравнений (6), которая при п = т порождала вектор г, во втором — определялась

система гиперплоскостей (у = 1, л) и вектор г

трактовался как общая точка этих гиперплоскостей. Таким образом «система» порождала вектор 2 . В данном случае мы желаем, чтобы вектор г порождал «систему».

Вернёмся к ортогонализации и заметим, что желательно выполнение следующих свойств

векторов } (/ = 1 1.

п

п

Ь]к\<В,

п

2 *

2Х =

ъ

>

—> ГП1П .

п

з.

^ у ^ /А

(ь]уг)= 1.

^ ""I

П / _ V

4- Xд *= (б,Д)=0.

*=1

Теперь можно определить процедуру ортогонализации в Яп:

1. Задаётся вектор 2 и на его основе определяется ограниченная система линейно независимых векторов:

кДД,.^^}- (и)

Ограниченность системы векторов (11) означает, что координаты каждого вектора ограничены по модулю. Требование ограниченности связано с

выполнением свойства (1) векторов Ь.. 2. Полагаем 6, = , • ¿/,. Здесь и далее I с раз-

личными индексами

я

действительные числа.

Далее, , = ^Ьхк2к =1 (условие 3), поэтому

А'=1

\к2к:

= 1, откуда следует:

/

1

и 6Ц =

/т

(12)

I ? -

\к 2 к

к=I

3. Полагаем Ь7 =171 -Ь, +/222 и задаём условия

(3) и (4) (б2,2)=1 и (/>,,62) = 0. Подставляя Ь2 в

эти условия, получаем систему двух уравнении с двумя неизвестными ¿21 и /22 и находим их.

4. Полагая = /31 + ¿3262 + ¿33*/2 и записывая

условия

з,г]=1, |563)=0, (Ь2,63)= 0, полу-

чаем систему трех уравнении с тремя неизвест ными

Л Д Л Д Ж л ф

5. Полагая ¿>4 = ¿41 4- ¿42й2 + Г43/?3 + /44с/3 и за-

X .... .... \ ( ммааа>а^ \

писывая условия ,2 ) = 1, \Ь{, /?4 ) = 0,

(¿>2, Ь4) = 0, (б3, Ь4) = 0, получаем систему четы-

рех уравнении с четырьмя неизвестными. 6. Продолжаем процедуру линеаризации до по

лучения нужного числа векторов Ь/. При / =

будем иметь систему из т уравнений с т неизвестными.

Может показаться, что мы забыли про условие (2). Действительно, его нельзя выполнить

для вектора Ьх, но для других векторов ] > 1 условие (2) всё же выполняется. Покажем это для у = 2. Решим экстремальную задачу

п

2>

2 %

■ —> тт (условие 2) при ограничениях

Ъ

к-\

вие 4).

п

2 к 2 к

1 (условие 3) и • Ь2к =0 (уело

шм ^

#1

Лагранжа запишется:

Г л

31

/

+ л, У ьХкь

Л ^^ I* *=1

1к

зь

— 2 + А| + Л2Ьи — 0

2 А

ы

А,

2к

дЬ

2 4 ЭД,

п ХЛ*2*:

П

ТЬ2

к ^

о,

к=\

I

дь

дЛ,

¿¿.А* =(АА) = о.

/I

X (** -)=0

/' = 1,т.

(13)

* =I

Обозначив -

Л, 2

Г2| и

А 2

= ¿22» И Ре

Система (13) содержит т

неизвестными.

V

с т х - ~

шая систему уравнении:

тогда можно записать:

п

п п

т

п

я

т

XV* = 0 ' и = ^ ИЛИ £ V* = Vи = 1т

?

А 1

И

А

А=1

(14)

п

п п п п _......„

* =

можно найти величины и

Г22. Это оз-

начает,

что

или

и

полученный результат с шагом (3) процедуры ортогонализации, можно сделать

вывод, что при У = 2 предлагаемая процедура

содержит условие (2),

Методом математической индукции можно показать, что условие (2) выполняется при любом / > 2.

Итак, для заданного вектора 2 мы опреде-

(—-

лили систему ортогональных векторов

] = 1,/«). Заметим, что нет необходимости пола-

гать т = п, т.е. определять базис в К".

Пусть вектор х содержит т свободных

(неизвестных) координат и {п — т

координат. Покажем, что именно такие векторы

можно взвешивать в К".

Заметим, что векторы только со свобод-

ными координатами (т = „), взвешивать нет

смысла, поскольку единственным результатом взвешивания будет заданный вектор г , который мы называем базовым. Рассмотренная процедура ортогонализации позволяет для заданного (базового) вектора г строить ортогональную систему

векторов

7

и для т < п. В этом случае имеет

смысл говорить о взвешивании вектора х относительно вектора 2 , т.е. об операции многомерного взвешивания

Рассмотрим вектор х , у которого первые т координат свободные, остальные (т = п) фиксированы, т.е. х. \к = \,т) — свободные коорди-

наты, и хк [к = т + I, п

нет. Если это не так,

то всегда можно провести перенумерацию координат. Запишем систему уравнений:

А=т+1

Решением системы (14) будут координаты е., т.е. действительные числа. Тогда Л о "г &

к

к = 1, т I также действительные числа. Добавляя

к

ним

|<% ^ л -ж -» ^ч •

Ж Ж- Ж 1ц*т- Ж- ЛкДА

хк \к -т-

V

пи получим вектор и, который

взвешен относительно базового вектора г .

Таким образом, решение системы уравнений (14) представляет собой алгоритм многомерного взвешивания (АМВ).

Рассмотрим возможные приложения теории взвешивания векторов.

1. Когда регулятор переставляет регулирующий орган, то он производит эксперимент в объекте регулирования и по результатам этого эксперимента вычисляет новое регулирующее воздействие. Это обстоятельство дало возможность применения теории взвешивания векторов для построения аналитических самонастраивающихся систем если в корректирую-

и

ЩИХ ЦСПЯЛ СаМОНаСГрОИКИ ИСПОЛЬЗОВа1Ь аЛ1 ири 1 М

многомерного взвешивания (АМВ). В итоге удалось синтезировать самонастраивающийся алгоритм регулирования для устойчивых объектов, требующий минимальной информации о самом объекте. Кроме того, алгоритм достаточно просто реализуется технически.

2. В работе [3] показана возможность применения теории взвешивания векторов в математических методах автоматической классификации, а именно, в клас гер-анализе.

Оба указанных выше направления можно объединить для создания систем управления технологическими процессами.

1. Григорьев Ю.В., Грименицкий П.Н. Алгоритмы цифрового регулирования нелинейными объектами с использованием логики многомерного взвешивания. -«Приборы и системы управления». 1998. № 2. С. 32.

2. Грименицкий П.Н. Самонастраивающиеся алгоритмы непосредственного цифрового регулирования с

использованием логики многомерного "взвешивания": Автореф. дис.... канд. техн. наук : 05.13.07. - Защищена 06.03.98; Утв. 10.07.98; 34К/125. - И.1998 - 136 е.: ил. - Библногр. : с. 93 - 97.

3. Соловьева C.B., Григорьев Ю.В. Новые подходы к некоторым задачам автоматической классификации. Процессы в дисперсных средах. Межвух сб. науч. тр. / Иван. гос. хим.-технол. академия. Иваново. 1997. С. 190-197.

Кафедра технической кибернетики и автоматики

УДК 547.759.32 : 679.56

Н.М. Ровкина, Е.К, Смольникова, H.A. Ман ПОЛИКОНДЕНСАЦИЯ ДИГИДРОКСИКАРБАЗОЛИЛПРОПАНА С ЭПИХЛОРГИДРИНОМ

(Томский политехнический университет)

e-mail: [email protected]$ur.ru

С целью сокращения продолжительности синтеза эпоксидных смол с карбазо-лилъными заместителями изучена поликонденсация дигидроксикарбсизолилпропана (ДГКП) с эпихлоргидрином (ЭПХГ% Найдено, что при соотношении ДГКП : ЭПХГ: КОН = 1:30:2 (моль) с хорошим выходом образуются эпоксидные смолы карбазольного ряда, обладающие полезными свойствами. Предлагается методика, установлено строение оли-гомеров, изучены свойства пленок.

Ранее нами получены эпоксидные оли-гомеры карбазольного ряда двухстадийным способом, согласно которому на первой стадии при взаимодействии 1,2- ди-(гидрокси)-3-(9* -карба-золил)-пропана (ДГКП) и эпихлоргидрина (ЭПХГ) получают диглицидиловый эфир ДГКП (ДГЭ ДГКП),а затем проводят поликонденсацию ДГЭ ДГКП с ДГКП, сопровождающуюся образованием эпоксидных олигомерных продуктов. Одновременное присутствие в структуре олигомеров эпоксидных и гидроксильных групп, л ильных заместителей и атомов кислорода в основной полимерной цепи обеспечивает им полезные свойства [1-3].

Главный недостаток двухстадийного способа получения эпоксидных смол с карбазо-лильными заместителями - высокая продолжительность процесса, т.к. только для синтеза ДГЭ ДГКП требуется 30 часов. Поэтому представлялся целесообразным поиск условий получения олигомерных диглицидиловых эфиров карбазольного

ряда поликонденсацией ДГКП с ЭПХГ без промежуточного выделения ДГЭ ДГКП.

Схему такого одностадийного процесса можно представить в общем виде:

R

J КОН

(п+1) CH АН +<п+2>Н-»С—СН—'СИХ!—- пН,0+пШ+

но' Vu "V

сн> О

ДГКП

ЭПХГ

сн

СНтСН

V

Ъ-СН

s

R

OU pu рь

С H

H

R "о "С

R

\ /\и OU pu I

CH \) ЧСН b-сн

он

Эпоксидный олнгомер

СП

Ь

au

г»

сн-сн /

Известно, что при синтезе эпоксидных смол используют как основные, так и кислотные катализаторы, как водно-щелочные среды, так и безводные при катализе процесса твердыми щело чами, процессы ведут как в присутствии органи-