Многомерный дифференциальный аналог метода Д. К. Фаддеева Текст научной статьи по специальности «Математика»

Результаты работы могут быть использованы при исследовании таких базовых задач теории информации и теории передачи сообщений, как информационная эффективность каналов передачи и оптимальная передача (оптимальное кодирование и декодировние), когда в качестве математических моделей сообщений используются стохастических процессы диффузионного типа.

Выводы

Рассмотрен пример информационной эффективности наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче экстраполяции.

Показано, что наличие памяти в наблюдениях может как увеличивать, так и уменьшать количество информации.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013гг., проект № 02.740.11.5190.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dyomin N.S., Rozhkova S.V., Safronova I.E. About structure of Shannon information amount for joint filtering and extrapolation problem by continuous-discrete memory observations // Informati-ca. - 2004. - V. 15. - № 2. - P. 171-202.

2. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. - М.: Наука, 1984. - 205 с.

3. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. - Т. 39. - № 1. - С. 5-22.

4. Демин Н.С., Сушко ТВ., Яковлева А.В. Обобщенная обратная экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 4. - С. 48-59.

5. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2000. - № 4. - С. 39-51.

Поступила 31.10.2011 г.

УДК 621-52+511.92

МНОГОМЕРНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ АНАЛОГ МЕТОДА Д.К. ФАДДЕЕВА

А.Г. Аветисян

Государственный инженерный университет Армении (Политехник)

E-mail: [email protected]

Предложен метод определения коффициентов-функций собственных многочленов и обратных матриц многопараметрических матриц на основе метода Д.К. Фаддеева и многомерных дифференциальных преобразований Г.Е. Пухова. Представлен модельный пример и процедура нахождения коэффициентов-функций характеристического многочлена и обратной матрицы.

Ключевые слова:

Многомерные дифференциальные преобразования, собственный многочлен, коэффициенты-функции, обратная матрица.

Key words:

Multiparametrical matrices, multidimensional differential transforms, coefficient- functions of characteristic polynomials.

Введение

Собственный многочлен автономной матрицы Л=(а) г,}= 1 ,т имеет вид

ёег[ А -ХЕ] = (-1) тР(Х) =

= (-1)т [Хт + рхХт-1 + рХ -2 + - + р ] = 0,

где Х, г= 1 ,т - собственные числа матрицы, а р, = 1 ,т - коэффициенты собственного многочлена, подлежащие определению.

Согласно методу Фаддеева [1], для решения этой задачи строится следующая цепочка последовательностей:

Шаг 1: Л1=Л, лрЛ1=р1, В1=Л1-р1Е;

Шаг 2: Л2=ЛВ1, (1/2) дрЛ2=р2, В2=Л2-р2Е;

Шаг т-1: Лт-1=ЛВт-2, (1/(т-1)) ЛрЛт_1=Рт_1,

Вт-1=Лт-1-рт-1Е;

Шаг т: Л„=ЛВтА, (1/т))^рЛт=Рт, Вт=Лт-РтЕ,

где зр - след соответствующей матрицы, а Е - единичная матрица порядка т, причем ВтЦ0], что является удобным контрольным условием правильности проведенных вычислений.

Кроме того, если ёеЫ^О, то обратная матрица имеет вид

А-1 =— Вт_х.

Рт

Математический аппарат

Для вычисления собственного многочлена Р(Х(х1,х2,...,х„)) матрицы Л(х1,х2,...,х„) представим метод решения, предположив, что элементы аі(х1,х1,...,х„), і, }= 1 ,т матрицы Л(х1,х2,...,х„) обладают достаточной степенью гладкости по всем параметрам х1, х2,..., х„.

Для построения собственного многочлена неавтономной (однопараметрической) матрицы в [2, 3]

был предложен дифференциальный аналог метода Фаддеева [1]. В данной работе рассмотрим случай многопараметрических матриц (элементы матриц зависят от нескольких переменных, следовательно коэффициенты собственного многочлена также зависят от нескольких переменных). Для таких матриц будем использовать многомерные дифференциальные преобразования Г.Е. Пухова [4]:

• прямое

и (Кр К2,.., К-) =

Н1Кі Я2К

■я:

К !К !••• К ! К1 2 • К- •

5 К +Кл +—+ки ( \

1 2 -И(хр Х2,.., Х-)

Зх^ Зх^ — Зх^

(1)

обратное

И(Х1, Х2,.., Х-) =

, чК^ ЧК,

=Х X

/=0 к +к 2+..+К п=/

Х1 1 Х2 |

1 я1) і Я2 )

/ \К„

Vя-

(2)

хи (Кр К2,.., Кп),

где НъИг,...,Ип - некоторые положительные постоянные, а 4 /= 1,п - центры аппроксимаций переменных X, /=1,п.

Дискретная функция Ц(КьК2,...,Кп) целочисленных аргументов К1,К2,.,К„ образует дифференциальный спектр (изображение) оригинала и(х1,х2,.,хп) (предположим, что оригинал представим абсолютно и равномерно сходящимся степенным рядом).

В (2) внутренняя конечная сумма распространяется на целочисленные значения КЬК2,...,К„, которые обеспечивают представление функции м(х1,х2,.,хп) в виде однородных полиномов относительно переменных х1,х2,.,хп.

Представим следующие обозначения:

(К1, -К2 , •••, Кп) = ^ (А(Х1, Х2 , •••, Хп)),

д = 1,от, К, = 0,да, г = 1,п;

Р (K1, К2 , •••, Кп) = Д, (ХР Х2 , •••, Хп), д = 1, от, К, = 0, да, г = 1, п;

Л(КР К2, •••, Кп) = А( Х1, Х2, •••, Хп),

К, = 0, да, г = 1, п,

где ^?(К1,К2,.,Кп) - многомерные дискреты следов матриц Л?(х1,х2,...,хп), вычисляемые в соответствии с представлением

Бд (К1, Кг,..., Кп) = ЛРА, (Кр К2,.; К);

К,. = 0, да, г = 1, п,

Рд(КьК2,...,Кп) - многомерные дискреты коэффициентов р?(х1,х2,.,хп), д= 1 ,т, А(К1,К2,.,Кп) - многомерные дискреты матрицы А(х1,х2,.,хп)

Для вычис л ения дискрет коэффициентов р?(х1,х2,.,хп), д= 1 ,т в соответствии с методом Фаддеева [2, 3] получим следующие рекуррентные соотношения:

Д(КР К2,..., К-) = Д( К1, К2,..., К-),

Р1 (Кр К2,..., К-) = *рЛ 1 (К1, К2,..., К-), ад, к2,..., К-) =

= Д( К1, К2,..., К-) - р( К1, К2,..., К-) Е; Д^, К2,..., К-) =

= Л(КР К2,..., К-) * ВД К1, К2,..., К-) =

К1 + К2 +...+К-

= X X Л(7р72,...,7-) X

/ = 0 П+Т, + ...+7- =/

хВД -7,К2 -7,...,К- - V-),

■Р (К1, К2,..., К-) = 1 ад, К2,..., К-), ВД, К2,..., К- ) =

= Л (К, К2,..., К-) - Р2 (Кр К2,..., К-) Е;

дад, К2,..., К-) = Д( Кр К2,..., К-) X хВт-2( К1, К2,..., К-) =

К1 + К2 +...+К-

= X X А(7Р7,...,7) X

/=0 7^ + ...+7- =/

хвт-2( К1 - V;, К2 - 72,..., К- - V), рад, К2,..., к- ) =

1

от -1

5я-1( К1, К2,..., К- ), Вт-1 (К1, К2,..., К- ) =

= 4,-1 (К1, К2,..., К-) - Рт-1 (К1, К2,..., К-) Е; Дт (К1, К2,..., К- ) = = Д( К1, К2,..., К- ) * Вт ад, К2,..., К- ) =

К1 + К2 +...+К-

= X X Д(71,72,...,7-) X

/=0 71+72 + ...+7- =/

хяад! -71,К2 -72,...,К- - V- ), Рт (Кр К2,..., К- ) = 1 ^ (К1, К2,..., К- ), т Вт (Кр К2,..., К- ) =

= Д (К1, К2, ..., К- ) - Р. (К1, К2,..., К )Е. (3)

где ДХ^Д^.Д^ЦО], У^=0,<», /=1,п (последние также являются удобными контрольными условиями правильности проведенных вычислений), а * - знак дифференциальной свертки [4]. Параметры

___ п

V, У=1,« определяются условиями 0 < 7 ^ К;,

____ ;=1

7=1,п при которых должны выполняться также

п ___

условия 0 < К - 7 < X К, у = 1, -.

;=1

При полученных соотношениях (3), а также

с учетом (2) имеем: ____

• для коэффициентов рі(х1,х1,^,хп), д= 1 ,т собственного многочлена:

х

Р (Хр Х2 , ••, Хп ) =

да

=Х X

/=0 К1+К2 + ~+Ки=/

хР( К1, К2, ••, Ки), д =1, т, для матрицы Д,-1(хьх2,...,хп):

Вт-1(Х1, Х2 , ••, Хп ) =

/ ЛК1 / \К2 ( ЛК"

Х1 Х2 Хп х

V Н; Vн2; V Н;

Х1

#1

1

2

= Х X

/ =0 К! +К2 + ••+ К, = /

хЯя_1(Кр 2 , ••, Ки ), и, следовательно,

А-1(Х1, Х2, ••, хи) = - 1

, —Вт-1(Х1, Х2,••, Хп )• (6)

Рт (Х1, Х2 , ••, Х„ )

Пример. Рассмотрим следующую многопараметрическую матрицу:

А( хр Х2) =

Х1 + Х-, + 1 х1х2! - 2х1 5 Х1

ю 1 Х 4 + 3x2 7 х1 х2 Х2

Х1 Х2 х1х2 1

1 Х1 Х2 Х1Х2

"1 0 5 0' “ 1 -2 0 1'

2 4 0 0 , А(1,0) = -1 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 0 _ _ 0 1 0 0 _

А(2,0) =

А(0,1) =

0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 10

А(К1,0) = [0], УК1 >3,

А(1,1) =

0 0 0 0

0 0 7 0

0 0 1 0

0 0 0 1

А( Кр1) = [0], УК1 > 2,

"1 0 0 0' "0 1 0 0"

0 0 0 0 , А(1,2) = 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 _ 0 0 0 0 _

А(0,2) =

А( К1,2) = [0], УК1 > 2;

А(К1,К2) = [0], УК1 > 0,УК2 >3^

Используя рекуррентные соотношения (3) для двумерных дискрет коэффициентов-функций ад,К2), Р2(К„К2), ВД,К2) и ВД,К2), получим

значения, представленные соответственно в табл. 1-4.

Матричные двумерные дискреты матрицы А(х1,х1) согласно (1), при центре аппроксимации х=0, 2=1,2 и значениях Р=0,2=1,2 будут иметь вид:

А(0,0) =

Следовательно, для коэффициентов-функций собственного многочлена будем иметь следующие функциональные зависимости:

да

x2) = 5 + + 2я1 + 3x2,

x2) = -4 + x2 -4x2 -2x1 -9x1 x2 + 9x1 x22 -

-2x1 x2 - x12 - 2^x2 - 5x2x2 - 3x2 - 6x13x2,

x2) = 5 + 5x2 -24x1 -x1 x2 -7x1x2 + 8x1 x2 -

-7x1 x24 + 2^ +14x12x2 - 3x2x2 - 11x1 ж3 + x12x2 -

-19x13 -12x13x2 + x13x22 + 15x2x23 + 6x14x2 + 3x1*x^,

р,^,x2) = -20 + 4x2 + 5x2 + 3x23 -x25 +10x1 +

+8x1 x2 - 8x1 x2 - 3 x1 x23 - 20 x12 - 5 x12x2 - 6x12x2 +

+11x2 x2 - 3x2 x24 + 7 x12 x25 - 6 x13 x2 - 7 ^ x22 +

+7x13x23 + 2x13x24 + 23x2x2 +13x14x2 -11x2x2' - 3x2x^.

При этих коэффициентах-функциях в соответствии с (4) для собственного многочлена получим:

р(А(x1,x2)) = Я4(x1, x2) -(5 + x22 -x1 + 2x1x2 + 3x12) х

xЯ3(x1,x2) -(-4 + x2-4x2 -2x1 -9x1 x2 + 9x1x2 -

-2x1 x23 - ^ - 2x12x2 - 5x12x22 - 3x2 - 6x2x2 )Я2 ^, x2) -

-(5 + 5x2 - 24x1 - x1x2 - 7 x1 x2 + 8x1 x2 - 7 x1x4 +

+2 я;2 +14 з2 x2 - 3 x12 x22 - 11x2 x2 + а? x24 -19 x13 -

-12 x13 x2 + x13 x22 +15 x13 x2 + 6 x14 x2 + 3x2 x^)Я( x1, x2) -

-(-20 + 4x2 + 5x22 + 3 x23 - x2 +10 ^ + 8x1 x2 - 8^ x2 -

-3^ x23 - 20x12 - 5x12x2 - 6x12x22 + 11x1 x23 - 3x12x4 +

+7x12x25 - 6x13x2 - 7x13x22 + 7x13x2 + 2x13x2 + 23x2x2 +

+13x4x22 -11x4*4 -3x15x22).

Для определения обратной матрицы представим полученные значения двумерных матричных дискрет Б3(КХ,К^), К1=0,да, К2=0,<»:

«3(0,0) =

«3(2,0) =

0 0 0 -20

0 - 5 0 10

-4 0 0 4

0 0 -20 0

~ 0 0 0 -15

0 0 0 0

-4 -1 -2 -3

0 -5 -20 0

0 0 0~

,0) = 0 0 0 0

0 0 0 -3

0 0 0 0

«3(1,0)

«3(3,0) =

5 0

0 0 -3 4

0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 4

000

0

-5

8

20

0

0

3

15

«3 (К-1,0) = [0], К > 5;

«3(0,1) =

«3(2,1) =

' 4 0 0 4' ' 0 2 11 0"

- 2 1 5 0 8 1 - 8 -12

«(1,1) =

0 0 0 0 0 -1 -1 2

0 5 4 - -10 0 0 8 1

"-4 0 0 -10' ' 0 1 19 0"

0 5 -3 9 0 0 0 8

, «(3,1) =

3 0 -7 3 0 2 -1 0

-2 1 -20 8 8 1 -4 13

«3(4,1) =

0 0 0 3

0 0 0 0

3 0 -3 0

0 0 0 -3

«3(К„1) = [0], К > 5;

«3(0,2)=

«3(2,2) =

0

0

1

2

-3

2

1

0

«3(4,2) =

0 0 5

0 -10 0 0 3

-10 0

0 0 -5

-1 7 1

1 0 4

0 0 7

-3 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

«3(1,2) =

«3(3,2):

0 -4 -2

0 0 -1

-2 1

-8 -1

0 1

0 -3 0 7 14 0 7 0 0 0 0 0

«3(К1,2) = [0],К > 5;

«3(0,3)=

«3(2,3) =

-10 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 4 0 7 0 0 7 0 0 0 0 0 0 2 1 0 14 2

«3(1,3) =

«3(3,3) =

-1 -4 0 0

«3(К„3) = [0],К > 4;

«3(0,4) =

0 0 0 0

0 0 -10 0 0 0 -1

0 -10 0

«3(1,4) =

0 0 10

0 0 0 1

0 10 0

0 0 0 7

«3(2,4)=

0

0

, «3(3,4) =

0 1 0 0 0 0 0 0

-7 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -1

0 -17 0

0 0 0 0

0 0 0

Вз(К„4) = [0],К, > 4;

В3 (К1 ,К2) = [0], УК1 > 0, УК2 > 5

Используя обратное преобразование (2), для элементов матрицы /(х1,х2)=В3(х1,х2), в соответствии с (5) будем иметь следующие функциональные зависимости:

£,,(*,,х2) = 4х2 -х23 -4х,2х2 -3x2x2 + 7х,2х2 -3х14х2 , Z21 (х,, х2) = -2 х2 + 8 х, х2 + 2 х,2х22 - 8х,3х22 ,

Z31 (х,, х2) = -4 + х22 + 2 х, - 2 х, х22 --4 х,2 + 3 х,2 х2 + х,2 х22 + 3х,4 х2,

Z41( х,, х2) = 2 х22 - 8 х, х22 - 2 х,2 х2 + 8 х3 х2,

212 (х,, х2) = 5 х, + 2 х, х2 - 4х, х2 -- х, х23 - х,3 х2 - 2 х,3 х22 + х,3 х24,

222(х,, х2) = -5 + х2 + х23 + х, х2 +

+5 х,2 х2 - х,2 х22 - х,2 х24 - х3 х22,

232 (^, x2) = -3x1 - x1 x2 + ^ x22 + x1 x24 -

2 , 2 2, 3 . о 3 33

- x1 + x1 x2 + ^ + 2 x1 x2 - x1 x2,

Z42 (, x2) = 5 x2 - x22 - x24 - x1 x22 --5x2 + x]2 x2 + x]2 x2 + x13 x2, x2) = 11x1 x2 -2x1 x22 + ^x24 +

+19x1іx2 + 14x13x22 - 7x13 x2,

223(x1,x2) = 5x2 -x2 -x2 -8x1 x2 -x1 x22 --3x12 x2 + 7 x12x22 + 7 x12 x24 + 7x13 x2,

233 (x1, x2) = 4^ - x1 x2 - 4x1 x23 - 2x12 - 7 x12x2 +

+2 x12 x2 + 4 x13 - x13 x2 - 4 x13 x23 - 3 - x14 x2, Z43(x1,x2) = -20 + 4x2 + 4x3 + 10x1 + 8^x2 -+2x1 x23 - 20x]2 - 20x]2x2 + 4x]2x2 - 4x13x2,

214 (^, ^2) = -20 + 5x2 -15x23 -10x12x2 --5x12x22 + 7 x12x2 - x12x24 + 3x1іx2,

224( x1, x2) = 10 - 5 ^ -12 x1 x2 + x1 x22 -

*7 3 і 4 г\ 2 . 2 2 . о 3

-7 x1 x2 + x1 x2 - 9x1 x2 + x1 x2 + 8x1 x2,

234(х,,х2) = 4 + 3х22 -х4 + 8х, + 2х,х2 -3х, х2 --3х,2 - 3х,2х2 + 4х,2х22 + х,2х2 + 3х3 - 3х,4,

244(х,,х2) = -10х2 + 20х, + х,х2 + 7х, х22 --4х, х23 + 7х, х4 - 8х,2х2 + 7х,2х2 +

+2 х,2 х2 +15 х,3 +13 х,3 х2 -11х,3 х23 - 3 х,4 х2.

Согласно (6), обратную параметрическую матрицу построим следующим образом:

А-1(X1, х2) = Г-------72(X1, х2)-

Л,( X1, х2)

В справедливости этих соотношений можно убедиться вычислением собственного многочлена матрицы А (х1,х2) аналитическим путем (что достаточно сложно), а для обратной матрицы проверкой условия А(х1,х2)-А-1(х1,х2)=^. При этом будет иметь

место и контрольное условие В3(КьК2) = [0],

УК1=0,да, УК2=0,<».

Таким образом, предложен эффективный и простой метод построения собственного многочлена и определения обратной матрицы многопараметрических матриц на основе многомерных дифференциальных преобразований.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Ч. I. - Минск: Вышэйшая школа, 1972. - 584 с.

2. Симонян С.О., Аветисян А.Г. Прикладная теория дифференциальных преобразований. - Ереван: Чартарагет, 2010. - 361 с.

3. Аветисян А.Г., Симонян С.О., Бадалян Г.А. Аналог метода Фаддеева для неавтономных матриц // Известия Националь-

ной Академии наук Армении и Государственного инженерного университета Армении. Сер. технических наук. - 2004. - Т. 57. - №1. - С. 121-129.

4. Пухов ГЕ. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. - Киев: Наукова думка, 1984. - 420 с.

Поступила 13.04.2011 г.