Многомерная нелинейная регрессионная модель при нечетких исходных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

МНОГОМЕРНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ ПРИ НЕЧЕТКИХ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

И. А. ПОЛЕЩУК, асп. каф. электроники и микропроцессорной техники МГУЛ

Последние два десятилетия явились годами бурного развития методов нечеткого регрессионного анализа, которые значительно расширили границы применения методов классического регрессионного анализа, а именно - позволили корректно строить рег-

рессионные зависимости на основе нечисловой (нечеткой) исходной информации [6].

Методы нечеткого линейного регрессионного анализа используются при изучении поведения сложных технических, экологических и других систем, выходные показа-

164

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2005

тели которых зависят от большого количества параметров [6]. Эти методы применяются при построении регрессионных моделей не только в рамках нечеткой исходной информации, но также в рамках четкой исходной информации. Прогнозные выходные значения в этом случае представляются в виде нечетких чисел. Подобное представление объясняется тем, что реальная система всегда сложнее, чем любая ее модель, в которой невозможно совместить все входные показатели, от которых зависит выходной показатель.

Первая нечеткая линейная регрессионная модель [7] вызвала интерес у исследователей, следствием чего стало появление новых нечетких регрессионных моделей, которые опираются на результаты, полученные в [8-10], и различные оптимизационные критерии. На настоящий момент разработан ряд линейных нечетких регрессионных моделей [1, 2, 11-25] и намечены подходы к построению нелинейных нечетких регрессионных моделей [3, 4]. В [2, 11, 12, 14, 15, 19, 25]; оптимизационные критерии строятся с целью минимизации нечеткости выходных модельных нечетких значений с последующим применением методов линейного программирования. В [22], опираясь на [3, 26], строится интервальная регрессионная модель методами работ [19, 24, 25].

Классическая регрессионная модель [4] базируется на методах теории вероятностей и, следовательно, учитывает в модели один из видов неопределенности - случайность. Нечеткая регрессионная модель базируется на методах теории возможностей и теории нечетких множеств и, следовательно, учитывает в модели другой вид неопределенности - нечеткость. Односторонний подход к учету заложенной в модели неопределенности не устроил ряд исследователей, следствием чего стало появление комбинированных линейных регрессионных моделей, соединяющих метод наименьших квадратов с методами теории нечетких множеств и теории возможностей [13, 17, 18, 20, 21, 23, 25]. В [16, 17]; метод наименьших квадратов применяется для отклонений от еди-

ницы возможностей равенства наблюдаемых выходных нормальных треугольных чисел и модельных выходных нормальных треугольных чисел.

Функция принадлежности нормального треугольного числа имеет вид

■ (* ) =

а - х „ а - х 1--1-,0 <-!-< 1, а > 0

х - а „ х - а, 1--,0 <-< 1, ак > 0

1, х = а1 0, х < а1 - а1 еее х > а1 + ал.

(1)

Возможность равенства двух нечетких чисел А и В с функциями принадлежности соответственно /и(х ),^(х) согласно [18] определяется по формуле

Роз(а = В )= тахтт((х), /и(х)).

В [13, 23] метод наименьших квадратов применяется для отклонений центров модельных выходных нормальных треугольных чисел от центров наблюдаемых выходных нормальных треугольных чисел. Центром нормального треугольного числа с функцией принадлежности (1) является число а1. В [23] решается оптимизационная задача относительно минимума суммы коэффициентов нечеткости выходных модельных нормальных треугольных чисел. Коэффициентами нечеткости нормального треугольного числа с функцией принадлежности (1) являются числа а1, ал .

Однако модели перечисленных выше и других работ [27, 28] ограничены рассмотрением унимодальных функций принадлежности исходных данных, что делает их непригодными, например, в случае толерантных функций принадлежности.

Толерантное число А имеет следующую функцию принадлежности

На (х) =

0 < ^ < 1, а, > 0

аь ) аь Л\ ^ 1,0 < ^^ < 1, ал > 0

аЛ ) ал

ЛЯ

1, < 0 о < 0

0(Лл х л х а2 л

, —-> Ю-2 > 1

. (2)

а

а

I

ь

л

а

а

л

а

а

ь

л

На функции накладываются условия:

1) 1(0) = к(0) = 1, Ь(1) = ад = о

2) Ь(х) и Я(х) - монотонно убывающие функции на множестве.

А символически записывается в виде А = (, а2а1, ак ) (или /иА (х )=(я1, а2, а1, ак )), а1,а2,а1,ая - называются параметрами толерантного (Ь - К)-числа А . Отрезок [а1, а2] называется интервалом толерантности, а аЬ и ак - соответственно левым и правым коэф-

( а1 - х ^

фициентами нечеткости. Функция Ь

называется левой границей функции принадлежности толерантного (Ь - К)-числа, а

функция к

( х - а ^

называется правой грани-

цей функции принадлежности толерантного (Ь - К)-числа. При аЬ = 0 предполагается, что

( х - а ^ к = 0.

В практических задачах нечеткие данные с толерантными функциями принадлежности представляют несомненный интерес, поэтому задача их анализа методами регрессионного анализа стоит достаточно остро.

В связи с рассмотрением ограниченного спектра функций принадлежности исходных данных в методах нечеткого регрессионного анализа возник пробел, который частично был восполнен в [1].

Изложенный в этой работе метод построения комбинированной регрессионной модели в виде системы классических регрессионных уравнений (по каждому из параметров функций принадлежности исходных нечетких данных) может применяться, в отличие от остальных методов, как к унимодальным, так и к толерантным функциям принадлежности исходных данных. Ограничением метода [1] является построение регрессионной модели только с четкими коэффициентами, что не всегда позволяет добиться удовлетворительного качества подгонки.

В [2] разработана линейная регрессионная модель с нечеткими коэффициентами,

которая позволяет оперировать как с унимодальными, так и с толерантными функциями принадлежности исходных данных. Кроме этого, в [2] определены количественные показатели качества нечетких регрессионных моделей.

Использование этих показателей в реальных задачах показало, что даже при неудовлетворительных показателях качества нечетких линейных моделей нелинейные нечеткие регрессионные модели не могут с ними конкурировать в силу того, что практически отсутствуют.

В [26] намечены подходы к построению квадратичной регрессионной модели при исходной информации, представленной треугольными числами. В [3] построена двухмерная квадратичная регрессионная модель, входными и выходными данными которой могут быть как унимодальные (в том числе и треугольные), так и толерантные нечеткие числа.

Следует отметить, что если многие нелинейные классические регрессионные модели с помощью соответствующих замен могут быть сведены к линейным моделям, то с нелинейными нечеткими регрессионными моделями дела обстоят сложнее.

Дело в том, что, например, при умножении нечетких чисел не всегда возможно задать аналитический вид функции принадлежности нечеткого числа, которое является результатом этого умножения. Поскольку все известные линейные нечеткие регрессионные модели предполагают такую возможность, то становится понятным, почему к ним автоматически нельзя свести нелинейные модели.

Напомним [4], что Г-числом (нечетким числом Г-типа) называется толерантное нечеткое число А~ с функцией принадлежности (2) и Ь(х) = К(х) = 1 - х.

Символически Г-число записывается в виде А = (а1, а 2, аЬ, ак). Нормальное треугольное число является частным случаем Г-числа при а1 = а2 и символически записывается в виде А = (а1, аЬ, ак). При аЬ = ак треугольное число называется симметричным, а при

V аь у

V ак у

а

я

аЬ Ф ак несимметричным. Г-число называется неотрицательным при условии а1 - а2 > 0.

Внимание к неотрицательным Г-чис-лам объясняется тем, что согласно методу [5] они являются функциями принадлежности термов полных ортогональных семантических пространств (ПОСП) с универсальным множеством [0,1] и соответственно формализациями лингвистических значений признаков.

В [3] разработан метод дефаззифи-кации Г-чисел, который позволяет поставить им в соответствие отрезки, названные взвешенными отрезками. Согласно этому методу взвешенным отрезком Г-числа А = (а1, а2аЬ, ак) является отрезок [А1, А2]

ш =а,--а,

А1 = |(2а1 - (1 - а) ))с

0

11

А2 = I (2а2 + (1 - а)ак ))а = а2 +— ак .

0

Для двух Г-чисел А , В с взвешенными отрезками [А1, А2], [В1, В2] в [3] определена мера близости

/(А, в)=^(Л - в, )2 +((2 - в2 )2,

которая в настоящей работе будет использоваться при постановке оптимизационной задачи.

Пусть

У =

(У 1

У

V п у

У = (, у2 , уЬ , УК ), у1 - УЬ > 0, . = 1,

- выходные Г-числа,

, Х/

(X1 1

X, =

X V ? у

"2 > -^ь >

), х/' -

х? >0,

у = 1, да, /' = 1, п - входные Г-числа.

Зависимость между входными и выходными данными будем искать в виде

У = аХ2 + ... + а X2 + а +Х X, + ... + а ( ^Х 1X +

11 тт. да+1 1 2 -1) да-1 да

+а

2 X1 +... + а (да+1)Хда + ~0

а~ , Ь\, ЬК ),к =

- неизвестные коэффициенты регрессионной модели.

Определим взвешенные отрезки

у1 -1 УЬ , у 2 +1 ук 6 6

/ = 1, п

для наблюдаемых выходных данных у. Обозначим через

в1 . (к,ЬЬ,ЬК)в2 . (,ЬЬ,ЬК)

(3)

акХ/ ^ Ь ' к>' акХ/

взвешенный отрезок произведения чисел аЬ и

Х\ , к =

да2 - да + 2 да (да +1) -— -— —,—*-, / = 1, да, ' = 1, п

22

в\. 2 (, ЬЬ, ЬК)в2 2 (ьь , ЬЬ, Ьк)

акХ)

у = 1, да, = 1, п, через

(4)

акХ'.

взвешенный отрезок произведения чисел

а1 и Х2, к = 1,да,у = 1,да, . = 1,п, а через

в1 . . (Ьк,ЬЬ,ЬК),в2 . . (Ьк,ЬЬ,ЬК)

(5)

взвешенный отрезок произведения чисел

ак и Х'рХ\.

к = да +

да (да -1) ---

1,—*--, р = 1, да -1.

2

/ = 2,да, р Ф у, р < у, I = 1, п . Утверждение 1. Границы взвешенного отрезка произведения нечетких чисел а1к и

Х^ имеют вид

в!,^ (Ьк, ЬЬ, ьк )=Ьк [ х? +(-1) -6 х^ )-

-Ьк (1 х^ +(-1) — хМ 1,

ЬV6 9 ^ ; 12 М'У'

в~кХ. (Ьк, ЬЬ, ЬК )= Ьк (х' +(-1)' 6 хМг ] + +ЬК í 1 х;+(-1)г 12 хм.-

к =

да2 - да + 2 да (да +1) -— -— -,—--, / = 1, да, . = 1, п .

2

2

1, Ьк - Ьк > 0

, = г —м=1Ь,9 =1

^ I " ик ^ п' 9

2,Ьк + ЬК < 0

к, 9 = 2

Ь, г = 1

12,Ьк - Ьк > 0 г = ^ , Ь , м =■

|1,Ьк + Ьк <0 г |К,г = 2

Доказательство утверждения 1. Выпишем множество а-уровня Х^

Х/а = Х/а,Х/а]=[х1/. -(I -а)хЬ,х2 +(1 -а)хК]

и множество а-уровня ак

= [а1а, а2„ ] = [Ьк - (1 - а), Ьк + (1 - а)

п

2

2

2

Если

~ = (ьк,ь\,ьл), к=■

т~ -т + 2 т(т +1) 2 , 2

неотрицательное нечеткое число ( Ьк - Ьк1 > 0), то согласно операции умножения для нечетких чисел множество а-уровня ак X) имеет

вид W*,АИI где

А;: = Ькх? - (1 - о)ЬкхЬ - (1 - а)Ькх? + (1 - а)2 Ь^ , А»; = Ькх; +(1 -а)ЬкхЛ +(1 -а)ЬЛх2 +(1 -а)2.

Тогда

0.

Ц ((, ЬЬ, ЬЛ) = К + А;а )а = Ькх;

0

-1 ЬкхЬ -1 Ькх; +—ЬкхЬ = 6 ь 6 ь 1 12 ь ь

1

= Ьк\х; -1 х; I-Ьк\1 х; -—х;

1

6 1 12

(Ьк,ЬЬ,ЬЛ) = {(' + ;)а = Ькх,

+1 Ькх; +1 Ькх; +—Ькх; =

6 л 6 л 2

12

= Ьк\х( + -6 хЛ 1 + ЬЛ | 6 х^ +12 хЛ Если

т - т + 2 т(т +1) _2 , 2 нечеткое число ( Ьк + ЬЛ < 0), то согласно операции умножения для нечетких чисел множество а-уровня

Ц = (Ьк,ЬЬ,ЬЛ), к = ■ отрицательное

а к X) имеет вид [ву, Ву\, где в;: = Ькх2) +(1 - а)ЬкхЛ) -(1 - а)х2 -(1 - а)2Ь¡хЦ) в;: = Ькх; -(1 -а)кх; +(1 -а)^/' -(1 -а)2Ькхь Тогда

(Ьк, ЬЬ, ЬЛ ) = | (Ькх2' + В» )а = ЬкхГ +

+1 Ькх; -1 Ькх; -—Ькх;' =

6 л 6 ь 2

12

= Ьк\ х; + -6хЛ' I-ьЬI-6х2) +12хЛ'

Сг (, ЬЬ, ЬЛ) = + ву )а = Ькх;

-1 Ькх;' +1 Ькх; -—Ькх;' =

6 Ь 6 л 1

12

'к I 1 ; I | 2„к | 1 п 1

= Ьк\ х; - 6хЬ 1+ьл 16х1 -—хЛ I.

Или

(ък, ЬЬ, ЬЛ )=Ьк I х; +(-1) 1 х4

-Ьк11 х^' +(-1) — хМ 1, Ь16 9 V ' 12

^' (Ьк, ЬЬ, ЬЛ )=Ьк I х; +(-1)' 1 х*Мг ) +

+Ьк (1 х; +(-1)' — х^ 1,

л 16 г ^ ; 12 Мг у

т2 - т + 2 т(т +1) -—

-,—---, / = 1, т, '

22

11,Ьк-Ьк > 0 I = 1 ? = |2,Ьк + Ь < 0,М =

= 1, п

Л, 9 = 2

Ь, г = 1

12, Ьк - Ьк > 0 г = ^ , М = ■

[1,Ьк + ЬЛ < 0 г [Л,г = 2

Утверждение 1 доказано.

Докажем, что границы отрезков (4) и (5) аналогично границам отрезков (3) определяются линейными комбинациями произведений параметров нечетких чисел соответственно ~к, х';2, к = 1,т,} = 1,т, ' = 1,п и ~к,

~' ~ ^ 1 т(т -1) ---

XX., к = т +1,^-р = 1, т -1,

р 1 2

; = 2, т, р Ф р < ;,' = 1, п . Утверждение 2. Границы взвешенного отрезка произведения нечетких чисел а~к и

~' 2

X' имеют вид

' 2 ((, ЬЬ, ЬЛ )=Ьк

~kXl

А

х ^2 + ( 1) + 1 х;' 2

^ 3 % Мч

V -3 I/. )

- Ьк

л

1 2 (- 1)? ^ ; ^ 2 I 1 ^ I 1

ч 6 9 6 9 М9 20 м' у

(Ьк,ЬЬ,ЬЛ) = }('2 + Ск'а) ас1а

= Ьк

(-1)

х х 1 ^ + ^^^^ 1

3 г Мг 12 М

+ Ьк

— ^ + 6хг +

(-1)

6 хгхмг + 20 хм

к = 1,да, р = 1,да -1, ; = 2,да, р Ф ; р < ' = 1,п ,

Ьк - ЬЬ 12,Ьк + Ьк < 0'

11,Ьк-Ьк > 0 I Ь,д = 1

г=

2, Ьк - Ьк > 0

1,Ьк + ьл < 0

,М =

л, 9 = 2 ,

Ь, г = 1 Л, г = 2 .

6

1

2

х^ +

г

+

1

1

Доказательство утверждения 2. Рассмотрим нечеткое число, которое является произведением нечеткого числа

Х = (,х2?,х?,хК), х? - хЬ > 0 , / = . = на себя и обозначим его через Б\ = Х х Х. = Х2. Выпишем множество а-уровня Х/

Ха=Х а <] == [ - (1 - а)хЬ, х2 + (1 - а)хКЯ]

Согласно операции умножения для нечетких чисел, множество а-уровня Б. имеет вид

Б.а = [х?2 -2(1 -^хЬ +(1 -а)2хЬ2,

х?2 + 2(1 - а)х?хК + (1 - а)2 2 ]. Если ~к = (Ьк, ЬЬ, ЬК), - неотрицательное число, то множество а-уровня акБ\ имеет вид ? ? ], где = Ьк (х?2 -.

с:\ = Ьк (х?2 - 2(1 - а)х(хЬ + (1 - а)2 х*2 )--ЬЬ ((1 -а)х?2 - 2(1 -а)2 х?хЬ +(1 -а)3 хЦ2), = Ьк (х?2 + 2(1 - а)х?хК + (1 - а)2 хЯК2)+ +ЬК ((1 -а)2 + 2(1 -а)2 х?хК +(1 -а)3 х^2). Тогда

2 (Ьк, ЬЬ, ЬК ) = I (Ькх?2 + С?а )а =

= Ьк\х?2 -1х?хЬ +^х?2 |-

Тогда

в^ (Ьк,ЬЬ,ЬК ) = |(С2 + )а :

0

= Ьк\ х2?2 + 3х?хК +112х?2 |-

- Ьк\ -х? +-х?хк; +—х? 6 2 6 2 К 20 к

(Ьк,ЬЬ,ЬК) = |(Ькх?2 + ЕЦа)а

= Ьк | х?2 -1 х? хЬ + — хЬ2 | + 1 3 1 Ь 12 Ь

+ Ьк\ -х?2 --х?х? + — х?

6 1 6

20

Или

в; (, Ьк, Ь? )=Ь

х'1+(1)

х9 ^м9 + 12 ^м9

(

- Ьк

1 х^ 2 + И9 6 9 6

1

х ?. х ?. + 1 х ?. 2 х9 ^м9 + 20 ^ М9

1 12

1

в^ (Ьк,ЬЬ,ЬК) = К"2 + С*)а :

= Ьк

+ Ьк

х^2 +

г

(-1)

хяхМ + — хМ

3 г М г 12 М

-х'' + 6 г

6

ххМ + — х

г Мг 20

Л

2

+

У

Л

л 2

Мг

У

к = 1,да, ? = 1,да, . = 1, п ,

- Ьк\ -х?--х?х? + —х?

6 1 6

20

в1? (Ьк,Ьк,Ь?) = {(Ькх?2 + С^)а

= Ьк\ х?2 +1 x"x" + — х?2 | +

12

+ьк1 1 .21

-у--»1 _|__VJ^ VJ^ _|__-у.^1

6 6 20

Если ~к ^ (ьк,ЬЬ,ЬКК), - отрицательное число, то множество а-уровня »Б? имеет

вид Ека, Е?11, где

Е^ = Ьк (х?2 + 2(1 - а)х?хК + (1 - а)2 х^?2 )--ЬЬ ((1 -а)х?2 + 2(1 -а)2 х?хК +(1 -а)3 хЦ2), Е?I = Ьк (х?2 - 2(1 - а)х + (1 - а)2 хЬ2)+ +Ьк((1 -а)х?2 -2(1 -а)2х?х? +(1 -а)3х?2).

11,Ьк-Ьк > 0 11,9 = 1 а = ^ Ь , М => 4

12,Ьк + ЬКк < 0 9

12, Ьк - Ьк > 0

г = X к Ь , Мг = |1,ьк + ьк < 0 г

К, 9 = 2 Ь, г = 1

К, г = 2 .

Утверждение 2 доказано. Утверждение 3. Границы взвешенного отрезка произведения нечетких чисел ак, Х\ и ' имеют вид:

(

в1 . . (ьк,ЬЬ,ЬК )= Ь'

■■ . (- 1)9 .. . х?хр хлхМл +

9 9 ^ 9 Мд

6

(- 1)9 . ■■ 1 . .

+ хтх]1 + — хМ' хМ

6 9 м9 12 М9 М9

- Ьк

1 . (- 1)9 .

9 9 9 М9

6

12

(- 1)9 . ,. 1 . . + хр1х'М + — хМ хМ

12 9 М9 20 М9 М9

3

1

1

1

2

1

в2 . . (ьк,ЬЬ,ьк)= ьк

хх +

9 9

(-1)

(-1)

х'хМ +

+ -—— х^хМ + — хМ хМ

6 9 М9 12 М9 М9

+ Ьк

1+ (-1)

-х:хг; +6 12

^ +

(- 1)9

+ 12 Хч хщ + 20 ХмЧ ХмЧ

, т(т -1) ---

к = т +1,—---, р = 1, т - 1

2

; = 2,т, р Ф ;, р < ;, / = 1,п

9 =

1, Ьк - Ьк > 0

, М =

Ь, 9 = 1

2,Ьк + ЬЛ < 0 9 [Л, д = 2 |2,Ьк - Ьк > 0 IЬ,г = 1

г Ч к Ь , Мг Ч .

[1,Ьк + ЬЛ < 0 г [Л,г = 2

Доказательство утверждения 3. Рассмотрим нечеткое число, которое является произведением нечеткого числа

X; = (х1', х;, х{, хр) на нечеткое число

X2 р =(хГ

^2 >

), р = 1, да -1, ; = 2, да , р Ф ;,

р <; , / = 1, п и обозначим его через О' = х^ х X],. Выпишем множество а-уровня

X2; и х;

а < ]=[-(1 - а)хЬ, х^ + ( - а)хЛ ],

х'г„ Чх^,х^]=[[ -(1 -а),х2р' +(1 -а)] Так как X; и хр - неотрицательные нечеткие числа, то множество а-уровня О' имеет вид О! = \o'¡ 1, О'.21, где

;а ;а ;а

о; = х/'хр -(1 -а)^ - (1 -а)хр'хЬ' +(1 -а)2х^хр , о;а = х2; х2р + (1 - а); хр + (1 - а)х2р хр + (1 - а)2 хр хр .

Если ~к = (ьк,ЬЬ,Ькй), - неотрицательное число, то множество а-уровня акО'; имеет

вид О/а, о;: ], ^

\-(1 -а)хрхЬ +(1 -а)2х;хр ~ \(1 - а)х;хр - (1 - а)2 х;хр - 1 ч-(1 -а)2 хр'хЬ +(1 -а)3 х^хр

где

О/ = Ьк

к а

- Ьк

о; = ьк

к а

I х 2'хр + (1 -а) +(1 -:

\

хрх; + (1 -а)2 хрхр

+ ьк

(1 -а)

+ (1 -а)2

)х! хр + (1 -а)2 х;хр + 1

(1 -а)3

Тогда

вда (Ьк,ЬЬ,) = 1 (Ькх;хр + оЦ =

0

= Ь \ х1 - — х1 хх - 6 х1 хЬ +12 х1х1 I-

1 р'

\ Т х1 х1 , 6

1

12'

1 12

1

20'

ак^ р

(ьк, ьк, ЬЛ ) = |(Ькх;х2р' + Ок;)«Са:

0

ь \ х2' х2 + 6 х2 х.(г + 6 х2 хл + 12 х-® хл i +

1

1

1

V/ = ьк

к а

- Ьк

у; = ьк

ка

+ ЬЛ v 6 х2 х2 + 12 х2 хл + 12 х2 хл + 20 х_й хл 1 . Если ~к = (ьк,ЬЬк,Ькл), - отрицательное число, то множество :-уровня акО! имеет вид [у/ :,у;: ], где

\ х;хр +(1 - а)х;хр + 1+(1 - а)х р хр + (1 -а)2 хрхЛ - а)хрхр + (1 - а)2 хрхр +

у+(1 -а)2 хрх; +(1 -а)3 хрхЛ / х;хр -(1 -а)х/'хр - 1

\-(1 -а)хрх;+(1 -а)2 х;хр ) '(1 - а)xl2ix1р - (1 - а)2 х;хр - 1

ч-(1 -а)2 хрхЬ +(1 -а)3 х;хр

Тогда

л \

+ Ьк

в;р (Ьк,ЬЬ,ЬЛ) = 1(Ькх2'хр + У!::

= Ьк\ х2'хр + 6х;хр + -хрхр +12хрхр i-

-Ь

к| 1

Ь \ ^ л2 л2

х^'х +__+__хх +__хх

6 2 2 12 2 л 12 2 л 20 л л

(Ьк, , ЬЛ ) = I (ькх!х'' + У2а =

0

= Ьк\ х1'хр -1 х;хр -1 хрхЬ + — х!хр 1 + 11 6 1 Ь 6 1 Ь 12 11 )

1

1

+ ьк11 х;хр - — хрхр--хГхЬ + — х'г'хр

л V 6 1 1 12 1 Ь 12 1 Ь 20 11

Или

в1 , , (ьк,Ьк,ЬЛ )=ьк

(-1)9

(-1)9 ■ ■■ 1 ■ ■ ■ + У > хр х; + _!_ х; хр

6 9 Мц М^Мц

- ь;

х х +

(-1)9

12

х х +

^^—— х^хМ +—хМ хМ

12 9 М9 20 М9 М9

6

9

+

1

1 " Ь

1 • Ь

1

1

1

1

6

9

+

1

6

9

1

хл хл )

02~. ~. (bk,bR,bR)= bk

(-1)

_ J'yP'

6 ЛГ JiMr

(- 1)r

+ 6 X'r X Mr + 12 XMF XMF

+bk

1 <xf +i=1) 6 r r 12

x xr +

r Mr

(- 1)r

+ "-— x'xM* +— xM' xM

12 r Mr 20 Mr Mr

k = m +

m(m -1) ---

1,—---, p = 1, m - i

2

j = 2, m, p Ф J, p < J, i = 1, и , L, q = 1

R, q = 2

[1, ьк - ьЬ > 0

9 = |2, Ьк + ЬК < 0,М9 =

[2, Ьк - ЬЬ > 0 [ Ь, г = 1 г = •{ Ь , М = ^ .

|1, Ь + ЬК < 0 г |К, г = 2

Утверждение 3 доказано. Пользуясь утверждениями 1-3, определим взвешенные отрезки ^^ в\ ], »=I, п для модельных выходных данных

У = ах\2 +... + аХ12 + а ХХ +... +

I 11 т т да+1 1 2

( ЛХ1 ,Х1 + а , Х +... + ~ ( +,)Х. + ~

' m(m-1) m-1 m 2

m(m+1) m 0

2

01 (bk, bR, bR )=ъ0 -1 bL + i 6 m m

tö1 2 ((, к, bR )+£ö~ (+j-1, bm+j-1, bm+j-1)+

m

■tö1 .. (b

2m-j+3 » 2m-j+3 » 2m-j+3

+0~ а 2

■t 0а

f m2 -

b 2 ,bL 2 ,bR 2

V У

22 m -m m -m

+

m -m m -m m -m

b 2 b 2 b 2

LR

?? = b0 +1 b 0 +

k = 0.

(да +1)

m(m +

T

tö2 2 (bj,bL,bR)+10~2 bm+J-1,bm+j-1,bm+j-1)+

=1 aJXj +

10~2 ?i ~ (b 2m-J+3, bRm-j+3, bRm-j+3) +... +

~2m-J+3X 2 Xj

b ' , bL ! , bR 2

( m2

~ 2 Xj m -m J J-1 -+ j

m -m m -m m -m

2-m

b 2 b 2 b 2

k = 0,-

Рассмотрим функционал F(bk,bR,bR) = ^Г/2(,Y), который характери-

зует меру близости между исходными и модельными выходными данными

F (bk, bR

bR )=V

i=1

ö- (bk,bR,bR)->>1 + jXУ

-02 (bk,bR,bR)->2 -1>R

Оптимизационная задача ставится следующим образом

F(bk,bR,bR)=£/2(Д ) min,

bR > 0, bR > 0, k = 0:

m(m +1)

Так как (bk, bR, bR) и 0 Y (bk, bR, bR) являются кусочно-линейными функциями в

да(да +1)

области bk > 0,bk > 0, k = 0

2

то F явля-

ется кусочно-дифференцируемой функцией, и решения оптимизационной задачи находятся с помощью известных методов [29].

Библиографический список

1. Таранцев А. А. Принципы построения регрессионных моделей при исходных данных с нечетким описанием // Автоматика и телемеханика, 1997. -№ 11. - С. 27-32.

2. Домрачев В.Г., Полешук О.М. О построении регрессионной модели при нечетких исходных данных // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 11.

- С. 74-83.

3. Домрачев В.Г., Полешук И.А. О квадратичной регрессионной модели при нечетких исходных данных // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2003. - Т. 10. - Вып. 3. - С. 647-648.

4. Шурыгин А.М. Регрессия: выбор вида зависимости, эффективность и устойчивость оценок // Автоматика и телемеханика. - 1996. - №6. - С. 90-101.

5. Полешук О.М. Некоторые подходы к моделированию системы управления образовательным процессом // Телекоммуникации и информатизация образования. - 2002. - № 3 (10). - С. 54-72.

6. Chang Y.-H., Ayyub B.M. Fuzzy regression methods

- a comparative assessment // Fuzzy Sets and Systems. - 2001. - № 119. - P. 187 - 203.

7. Tanaka H., Uejima S., Asai. Linear regression analysis with fuzzy model // IEEE, Systems, Trans. Systems

+ Man Cybernet. SMC-2, 1982. - P. 903 - 907.

8. Chanrong V., Haimes Y.Y. Multiobjective Decision

( +1) Making: Theory and Methodology. - North-Holland,

--1980. - 204 p.

9. Dubois D. Linear Programming with fuzzy data // Analysis of Fuzzy Information. - 1987. - V.3. - P. 241-263.

10. Fiacco A.V. Introduction to sensitivity and stability

analysis innonlinear programming. - New York.:

Acad. press, 1983. - 367 p.

xr xr +

+

1

+

2

1

i =1

m -m+2

2

=1 -Jj

J=2

j=3

222

m -m m -m m -m

Г~ Äm-1Ä

J=1

6

j=2

j=3

222

m -m m -m m -m

+

m -m

m -1 m

2

i=1

11. Tanaka H. Fuzzy data analysis by possibilistic linear models // Fuzzy Sets and Systems. - 1987. - № 24. -P. 363 - 375.

12. Sakawa M., Yano H. Fuzzy linear regression and its application to the sales borecasting // International Journal of Policy and Information. - 1989. - № 15. - P. 111-125.

13. Sabic D.A., Pedrycr W. Evaluation on fuzzy linear regression models // Fuzzy Sets and Systems. - 1991. № 39. - P. 51 - 63.

14. Tanaka H., Watada J. Possibilistic linear systems and their applications to the linear regression model // Fuzzy Sets and Systems. - 1988. № 27. - P. 275 - 289.

15. Bardossy A. Note on fuzzy regression // Fuzzy Sets and Systems. - 1990. - № 37. - P. 65-75.

16. Celmins A. Least squares model fitting to fuzzy vector data // Fuzzy Sets and Systems. - 1987. - № 22. - P. 245 - 269.

17. Celmins A. Multidimensional least-squares model fitting of fuzzy models // Math. Modeling. - 1987. -№ 9. - P. 669 - 690.

18. Chang Y.-H., Ayyub B.M. Reliability analysis in fuzzy regression. Proc. Annual // Conf. of the North American Fuzzy Information Society (NAFIPS 93). -Allentown, 1993. - P. 93 - 97.

19. Chang P.-T., Lee E.S. Fuzzy linear regression with spreads unrestricted in sign // Comput. Math. Appl. -1994. - № 28. - P. 61 - 71.

20. Chang Y.-H., Johnson P., Tokar S., Ayyub B.M. Least- squares in fuzzy regression // Proc. Annual.

Conf. of the North American Fuzzy Information Society (NAFIPS 93). - Allentown, 1993. - P. 98 - 102.

21. Diamond P. Fuzzy least squares // Inform. Sci. - 1988.

- № 46. - P. 141 - 157.

22. Ishibuchi H. Fuzzy regression analysis // Japan. J. Fuzzy Theory and Systems. - 1992. - № 4. - P. 137 -148.

23. Redden D., Woodal W. Properties of certain fuzzy regression methods // Fuzzy Sets and Systems. - 1994.

- № 64. - P. 361 - 375.

24. Tanaka H., Ishibuchi H. Identification of possibilistic linear models // Fuzzy Sets and Systems. - 1991. - № 41. - P. 145 - 160.

25. Tanaka H., Ishibuchi H., Yoshikawa S. Exponential possibility regression analysis // Fuzzy Sets and Systems. - 1995. - № 69. - P. 305 - 318.

26. Celmins A. A practical approach to nonlinear fuzzy regression // SIAM. J. Sci & Stat. Computing. - 1991.

- № 12. - P. 329 - 332.

27. Chang Y.-H., Johnson P., Tokar S., Ayyub B.M. Least- squares in fuzzy regression // Proc. Annual. Conf. of the North American Fuzzy Information Society (NAFIPS 93). - Allentown, 1993. - P. 98 - 102.

28. Diamond P. Fuzzy least squares // Inform. Sci. - 1988.

- № 46. - P. 141 - 157.

29. Coleman T.F., Li Y. A reflective newton method for minimizing a quadratic function subject to bounds on some of the variables // SIAM J. Optim. - 1996. - V. 6. - № 4. - P. 1040 - 1058.