Многокритериальный анализ альтернатив на основе схемы Беллмана-Заде и мультимножеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.518

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ АЛЬТЕРНАТИВ НА ОСНОВЕ СХЕМЫ БЕЛЛМАНА-ЗАДЕ И МУЛЬТИМНОЖЕСТВ

© 2006 г. Л.А. Демидова, В.В. Кираковский

Многокритериальный анализ альтернатив - это важная задача принятия решений, которая возникает не только в технике, но и в экономике, политике, образовании и т.д. Например, такая задача возникает при диагностике городских инженерных коммуникаций (ГИК) [1]. Существующие методы диагностики ГИК базируются в основном на визуальном обследовании коммуникаций и рассчитаны на проведение больших организационных мероприятий, требуют привлечения значительных трудовых и денежных ресурсов. Попытки внедрения других методов диагностики (например, использование флуоресцентных растворов) требуют больших расходов на обучение, внедрение и содержание спецтехники, которые превосходят получаемый от внедрения эффект, и, в связи с этим, не находят должного продолжения.

В настоящее время из-за отсутствия достаточных денежных средств как в бюджетах городов, так и в бюджетах эксплуатирующих организаций диагностика ГИК на основе методов визуального контроля проводится нерегулярно, практически один раз в год, что не позволяет качественно определять состояние участков ГИК и принимать обоснованные решения. Поэтому актуальным является решение задач диагностики ГИК на основе новых методик, которые по своему характеру и финансовому исполнению позволяли бы в сложившейся ситуации поддерживать нормальное состояние ГИК и принимать оптимальные решения в штатных и аварийных ситуациях.

Современные ГИК характеризуются также наличием информации, которую невозможно получить непосредственно от первоисточников - подземных объектов в реальный отрезок времени из-за необходимости проведения дорогостоящих вскрышных работ.

Учет априорной информации о характеристиках ГИК и условиях их эксплуатации позволил бы принимать точные решения по оценке состояния ГИК. Но в реальных условиях информация об условиях эксплуатации ГИК обычно является неполной или неточной. Неполнота информации может заключаться: в принципиальной невозможности полного сбора и учета информации о состоянии ГИК; в некоторой недостоверности и недостаточности исходной информации о состоянии ГИК в условиях эксплуатации; в возможности проявления в процессе эксплуатации таких свойств ГИК, существование которых не предполагалось при проектировании.

Рассмотрим задачу принятия решения о проведении плановых ремонтных работ участков сетей ГИК в летний период (штатная ситуация): из некоторого набора участков сетей (альтернатив) необходимо выделить набор тех участков сетей, которые должны быть в первую очередь заменены. При этом выбор альтернатив осуществляется в соответствии с некоторым набором критериев (таких, как «наличие денежных средств», «возраст труб», «качество воды», «глубина заложения» и т.п.).

Таким образом, возникает задача выбора альтернатив по многим критериям. Известные методики многокритериального анализа, используемые в технических системах, предусматривают преобразование вектора частных критериев оценки эффективности системы в скалярный интегральный критерий. Однако этот подход плохо приспособлен к качественным критериям, которые оцениваются экспертными методами.

Теория нечетких множеств (ТНМ) позволяет формализовать процесс многокритериального выбора альтернатив, рассматривая интегральный критерий как нечеткую свертку частных критериев (схема Беллмана-Заде [2]).

Пусть X = |х1, х2,..., хк} - множество альтернатив, которые подлежат многокритериальному анализу; О = {О1, О 2,..., Ок} - множество количественных и

качественных критериев, которыми оцениваются альтернативы, а количество экспертов равно т .

Каждый г -й эксперт (г = 1, т ) решает задачу многокритериального анализа, состоящую в упорядочивании элементов множества X по критериям из множества О. В силу субъективности индивидуальных оценок эксперты могут дать различные, в том числе и противоречащие друг другу, решения задачи многокритериального анализа. В этом случае следует попытаться каким-либо образом согласовать индивидуальные экспертные оценки. Если согласование по какой-либо причине невозможно, необходимо выбрать наилучшее решение при несогласованных индивидуальных экспертных оценках. Таким образом, при многокритериальном анализе альтернатив следует использовать следующую методику:

1. Каждый эксперт в соответствии со схемой Беллмана-Заде [2] выполняет многокритериальный анализ альтернатив и вычисляет интегральный критерий как нечеткую свертку частных критериев. Оценка

альтернатив по отдельным критериям, а также оценка коэффициентов относительной важности самих критериев осуществляется на основе парных сравнений по шкале Саати.

2. Для согласования индивидуальных оценок альтернатив экспертами применяется нечеткий аналог метода Дельфы. Согласование заканчивается либо когда оценки экспертов сойдутся к достаточно узкому интервалу, либо когда хотя бы один эксперт выступает против дальнейшего согласования.

3. Если в процессе согласования индивидуальные оценки экспертов сошлись к достаточно узкому интервалу, то для нахождения окончательного решения вновь применяется схема Беллмана-Заде по оценкам экспертов.

4. Если в процессе согласования оценок экспертов хотя бы один эксперт выступает против дальнейшего согласования, то применяется подход, основанный на теории мультимножеств и позволяющий найти наилучшее решение даже при противоречивых данных.

Многокритериальный анализ альтернатив по схеме Беллмана-Заде

Пусть ц(xj) - число в диапазоне [0, 1], которое характеризирует уровень оценки альтернативы x j е X по критерию Gi е G : чем больше число

ца, (х у), тем выше оценка альтернативы Xj по критерию Gi (I = 1, п , у = 1, k). Тогда критерий Gi (I = 1, п) можно представить в виде нечеткого множества <3i на универсальном множестве альтернатив X [2, 3]:

(Х1) Ц(xk)

G i =

Ц G

(1)

D = G1 п... n G п = j

min^ Gi

i=1,n

(xi)

min^ Gi

i=1,n

(xk)

. (2)

При неравновесных критериях нечеткое решение D принимает вид

D =

min

i=1,n

in(Gt (x1 )) min(Gt (xk ))

I „ i=1,n

(3)

где а i - коэффициент относительной важности критерия Gi, а 1 +а2 +... + ап = 1.

Показатель степени а i в формуле (3) определяет концентрацию нечеткого множества 3i в соответствии с мерой важности критерия Gi.

Наилучшей альтернативой на основе полученного нечеткого множества £> является та, которая будет лучшей одновременно по всем критериям, то есть для которой степень принадлежности является наибольшей.

Для построения функций принадлежности

ц< (ху) используют экспертные парные сравнения:

для каждой пары элементов множества альтернатив эксперт оценивает преимущество одного элемента над другим по отношению к свойству нечеткого множества. Пусть ау - уровень преимущества альтернативы

х1 над Ху (I, у = 1, k), определяемый по девятибалльной шкале Саати [5]: 1 - если отсутствует преимущество; 3 - если имеется слабое преимущество; 5 - если имеется существенное преимущество; 7 - если имеется явное преимущество; 9 - если имеется абсолютное преимущество; 2, 4, 6, 8 - промежуточные сравнительные оценки.

Парные сравнения представляют в виде матрицы:

где ц< (ху) - степень принадлежности элемента ху

нечеткому множеству 3i.

Степени принадлежности нечеткого множества (1) можно найти методом построения функций принадлежности на основе парных сравнений по шкале Саа-ти. При использовании этого метода необходимо сформировать матрицы парных сравнений альтернатив по каждому критерию. Общее количество матриц парных сравнений совпадает с количеством критериев и равняется п [4, 5].

Нечеткое решение £> находится как пересечение частных критериев:

X1 x 2 . . Xk

x1 " a 11 a12 . .. a 1k

x 2 a 21 a 22 . .. a 2k

Xk _ ak1 ak 2 .. akk

При согласованных мнениях эксперта матрица А является [5]: диагональной (а у = 1, у = 1, k); обратно

симметричной (ау = 1/ау1 , I,у = 1,k); транзитивной (аы • ащ- = ау , w,у,I = 1,k). Это позволяет определить все элементы матрицы А , если известны (k -1) недиагональных элементов. Если известна I -я строка, то есть элементы ау (у = 1,k), то произвольный элемент а му определяется как

ащ = аь / а

lw '

(w, j = 1, k ).

На основе матрицы парных сравнений степени принадлежности нечеткого множества вычисляются по формуле

^(xj ) =1 E

i=1

ij ■

Коэффициенты относительной важности критериев могут быть определены различными методами, например, с помощью парных сравнений по шкале Саати.

Согласование индивидуальных экспертных оценок

В силу субъективности индивидуальных оценок эксперты могут дать различные, в том числе и противоречащие друг другу, решения задачи многокритериального анализа альтернатив. Это объясняется тем, что эксперты могут по-разному выполнить как ранжировку альтернатив по отдельным критериям, так и ранжировку критериев по отношению друг к другу.

Пусть каждый г -й эксперт в соответствии с формулами (2) или (3) решил задачу многокритериального анализа и упорядочил элементы множества X по критериям из множества G, то есть выполнил ранжировку альтернатив. В результате будут получены нечеткие решения Бг ( г = 1, m ), которые представим как

Б , ¿г (х1 ) ¿г (х2 ) 4г (хк ) 1 (7)

x

x

2

Хь

где

риях

dr (Xj) = min((хq. (xj)) при равновесных крите-

i=1,n

; dr (xj ) = min(q. (xJ ))C

i=1,n

при неравновесных

критериях.

Для каждого г -го эксперта получим индивидуальную «обобщенную» матрицу парных сравнений Вг по всем критериям, применив для нахождения элементов Ьу формулу

Ьу = ¿г (Хг )/¿г (Х] ), ( у = 1, к ).

Матрицы Вг будут диагональными и обратно симметричными, но скорее всего все элементы матриц Вг не будут целочисленными (что было характерно для некоторых элементов матриц парных сравнений альтернатив Аг, г = 1, п по отдельным критериям) в виду выполненных преобразований (операций возведения в степень и взятия минимума). Таким образом, для каждого г -го эксперта будут определены матрицы Вг:

x 1 x 2 • • xk

x1 " ¿П b12 • •• b1k

Br = x 2 b 21 b 22 • •• b 2k

xk _ bk1 bk 2 •• bkk

где Ьу - «обобщенный» уровень преимущества альтернативы х1 над Ху (I, у = 1,к).

Мерой хорошей согласованности матрицы Вг является величина [3]: (А таХг - к )(к - 1)е [0, 0,1] (А тахг - максимальное собственное значение матрицы Вг).

Определим матрицу £, элементами которой являются средневзвешенные согласованные оценки [5]:

SV

где т - количество экспертов; Ьу г - «обобщенная» оценка преимущества I -й альтернативы над у -й альтернативой (I, у = 1, к) для г -го эксперта; в г - коэффициенты относительной важности экспертов, определенные, например, с помощью парных сравнений по шкале Саати.

Преобразуем индивидуальные матрицы парных сравнений экспертов В г с учетом коэффициентов

относительной важности экспертов в г к виду

Bß r = x 2

x1 x 2 ••• xk

(¿11 )ßГ (¿12 )ßГ ••• (blk )ß'

(b 21 )ß r (b 22 )ß r ••• (b 2k )ß

(¿k1 )ßr (bk2 )ßr ••• (bkk )ß

Получим нечеткое отношение сравнения альтернатив, разделив каждый элемент матрицы £ на максимальный балл М (М = 9) шкалы Саати:

Я = и М я (, Ху )/(Х1, ху).

(Х1,Ху) е XXX

Нечеткое отношение Я можно также представить в виде

Я = и аЯа (ае [0,1]),

ае[0,1]

где

- множество

а

-уровня; (Ra (xi, xj ) =

Я а = {(Х1, Х] ) Я (Х1, Х] а}

ъ Мяа(Х1, Ху )а;

0, МЯа (Х1, Ху )<а.

Элементы матриц £ и Вр могут быть использованы для «обратной связи» с экспертами (нечеткий аналог метода Дельфы).

Так как экспертам привычнее и удобнее выполнять оценку альтернатив в баллах (по шкале Саати), в процессе согласования экспертных оценок следует поступить следующим образом. Если на некотором а -уровне, то есть при slу >М -а (I,у = 1,к) какой-

либо г -й эксперт дает оценку Ьуг, для которой

x

x

k

К, )в

< S

(5)

то он должен обосновать эту оценку.

Пусть, например, г -й эксперт дает оценку Ьу г,

для которой выполняется неравенство (5). Это означает, что эксперт оценил уровень преимущества альтернативы х1 над ху ниже, чем все остальные эксперты

группы. Так как эксперт выполняет нечеткое оценивание альтернатив в соответствии с (4), то он должен обосновать оценки альтернатив, выставленные им по отдельным критериям Gi (' = 1, п) для альтернатив х1 и ху, и, возможно, предложенные им коэффициенты

относительной важности критериев.

Если все эксперты согласны выполнить новое оценивание альтернатив (провести новый тур оценивания), осуществляется вычисление новых значений матриц парных сравнений альтернатив А по различным критериям для каждого эксперта, находятся новые нечеткие решения Гг (г = 1, т ) и т.п. Итерационный процесс согласования экспертных оценок повторяется до тех пор, пока оценки экспертов не сойдутся к достаточно узкому интервалу (хотя очень высокая степень согласования оценок экспертов будет говорить лишь о наличии эффекта «приспособления»).

Можно рекомендовать, например, завершить итерационный процесс согласования экспертных оценок,

если при выполнении неравенства

< S

j

> Sy - 2 ,

/ \Р г

К г )

выполняется также и неравенство: (Ьу )

(I, у = 1, k, г = 1, т ), то есть средневзвешенные согласованные оценки превосходят какие-либо индиви-

I \Р г

дуальные экспертные оценки (Ьу ) на любом а -

уровне не больше, чем на 2 балла (например, если средневзвешенная оценка преимущества альтернативы х1 над х у, по шкале Саати имеет значение «явное

преимущество», то все индивидуальные экспертные

оценки (b

(by, ■)

ß г

преимущества альтернативы x l над

х у, должны быть не ниже «существенное преимущество»).

В качестве окончательного нечеткого решения задачи многокритериального анализа альтернатив группой экспертов (после достижения желаемого уровня согласованности индивидуальных экспертных оценок) следует принять нечеткое решение, являющееся пересечением частных решений экспертов:

D = D1 п... n D r =

min^r(x1) min^r(xk)

r=1,m r =1,m

x

x

(6)

Если эксперты не согласны выполнить новое оценивание альтернатив, а желаемый уровень согласованности оценок экспертов не достигнут, следует применить методику упорядочивания альтернатив по различным критериям, основанную на теории мультимножеств [6], которая позволяет упорядочить оптимальным (наилучшим) образом альтернативы по отношению к «идеальному» («антиидеальному») решению даже при наличии полностью противоречивых оценок экспертов.

Параллельно с итерационными вычислениями в соответствии с нечетким аналогом метода Дельфы можно выполнять и итерационное упорядочивание альтернатив на основе методики с использованием теории мультимножеств. Таким образом, в конечном итоге будут получены два варианта решения задачи многокритериального анализа: в соответствии со схемой Беллмана-Заде по формуле (6) и на основе теории мультимножеств.

Выбор наилучшего решения на основе теории мультимножеств

Так как каждая альтернатива оценивается несколькими экспертами, то имеется несколько различных вариантов оценивания одной и той же альтернативы, при этом оценки экспертов могут быть как схожими, так и противоречивыми. Несогласованность индивидуальных экспертных оценок может быть вызвана неоднозначностью понимания экспертами решаемой задачи, ошибками и неточностями при оценивании альтернатив по отдельным критериям, специфичностью знаний самих экспертов и другими причинами. При принятии решении об упорядочивании альтернатив, следует учесть все, даже и несовпадающие (противоречивые) оценки экспертов. Поэтому необходимо иметь некоторое единое правило упорядочивания альтернатив, которое бы основывалось на характеристиках альтернатив, выраженных их многокритериальными оценками, и в наибольшей степени соответствовало бы всем индивидуальным экспертным оценкам [6].

Пусть г -м экспертом для каждой альтернативы х у по отдельным критериям были даны в соответствии с (1) нечеткие оценки g у i г = Ц а г (ху) при рав-

8], и г = (ц 0гг (х;))

новесных критериях или

при

неравновесных критериях (' = 1, п , у = 1, k, г = 1, т ). Пусть по каждому ' -му критерию (' = 1, п) экспертами было дано ui различных оценок 8 ;,г г, которые

обозначим через д'' , yi = 1,ui . Предположим, что

оценки дУ' (' = 1,п , у' = 1,и' ) уже упорядочены от лучшего значения к худшему. При этом количество экспертов, давших альтернативе ху оценку д'' , рав-

но

kCj ) ( 5= kcj (qyi)= m для любых j = 1,k,

yt =i

i = 1, n). Для каждой альтернативы x}- на множестве

критериев G = {G1, G 2,..., Gn} сформируем мультимножество вида [6]

С] = {kcj (ii1 )?1,...,kCj (Г У?,...,

kCj (qn)qn,...,4. (n")}.

Наилучшей и наихудшей альтернативам соответствуют мультимножества:

С max = {{,0,...,0,mq 2,0,...,0,mq n ,0,...,0};

C ■ =

{0,...,0, mq 11,0,...,0,mq "22,0,...,0, mq"n" } , (7)

d i p = [m (AAB )]

1/p

(8)

n ni / \ / \

d 1 = m(AAB)=£«i • 5 kA (qyi )-kB (q? )

i=1 У1 =1

(9)

d 1 (C max, C l ) < d 1 (C max, C j ) .

(10)

Упорядочим все альтернативы по величине их расстояния от идеального решения. Если для некоторых альтернатив ё 1 (Cmax,С, ) = (Cmax,Су)

альтернативы х1 и х у будут или эквивалентными,

или несравнимыми. Таким образом, полученное ранжирование может оказаться не строгим. Так как каждая альтернатива оценивается т экспертами по п критериям, то выражение для расстояния от идеального решения до мультимножества принимает вид

d 1 (С max , Cl )=S S k С max (У' )-kC, (У' ) ' =1 yi =1

= 2S

m - k C

(q i)

которые принято называть идеальным и антиидеальным решениями [6].

Задача многокритериального упорядочивания альтернатив сводится к упорядочению мультимножеств.

Альтернативам х у можно поставить в соответствие точки некоторого метрического пространства мультимножеств (С, ё) с метрикой Хемминга [6]:

где А , В - мультимножества; р - целое число.

В общем случае для задачи многокритериального упорядочивания альтернатив метрика (8) принимает вид

где а' > 0 - коэффициент относительной важности ' -го критерия (' = 1, п).

Так как в качестве оценок д'' (у' = 1, и') используются нечеткие оценки, полученные на основе парных сравнений, то коэффициенты относительной важности критериев при неравновесных критериях уже были учтены в качестве показателей степеней соответствующих нечетких оценок. В связи с этим в формуле (9) все коэффициенты а' (' = 1, п) следует положить равными единице.

Альтернатива х1 лучше альтернативы х у, если

Тогда условие (10) приобретает форму

ík с I (д1 )>5> С у (д1).

' =1 '=1

Таким образом, задача многокритериального упорядочения альтернатив сводится к сравнению взвешенных сумм первых (наилучших) оценок альтернатив по всем критериям 3' (' = 1, п):

п

НС1 = XkС1 (д'). Лучшей будет та альтернатива х1,

'=1

для которой сумма Н С1 будет наибольшей. Если

будут получены группы эквивалентных или несравнимых альтернатив (и соответственно мультимножеств Сг ,..,С1 ), имеющих одинаковые суммы НС1, следует вычислить для каждого мультимножества С^, / = 1, г в соответствующей группе взвешенную

сумму НСи =ХkсI (д;2) всех вторых оценок по

'=1 1

всем критериям а' (' = 1, п) и упорядочить альтернативы внутри каждой группы от лучшей к худшей по величинам Н ^^ сумм вторых оценок.

Этот процесс повторяется до полного упорядочения всех мультимножеств Су, у = 1, k (и альтернатив

X = {x

Л).

Аналогичным образом можно организовать процесс упорядочения альтернатив (соответствующих мультимножеств) по отношению к антиидеальному решению Стт, заданному выражением (7). При этом следует считать, что альтернатива х1 лучше альтернативы х у , если она находится дальше от

антиидеального решения Cп няется условие

то есть если выпол-

то

ё 1 (С тт> СI )> ё 1 (С тт> С у ).

Упорядочение альтернатив по отношению к антиидеальному решению может не совпадать с упорядочением по отношению к идеальному решению.

i=1

Заключение

Применение аппарата ТНМ и схемы Беллмана-Заде позволяет формализовать процесс многокритериального выбора альтернатив, рассматривая интегральный критерий как нечеткую свертку частных критериев. На основе нечеткого аналога метода Дельфы удается в той или иной мере согласовать индивидуальные экспертные оценки альтернатив. Теория мультимножеств позволяет выполнить анализ данных, используя новую методику преобразования исходной информации, не приводящую к потере или искажению данных. В качестве критериев могут выступать количественные и качественные, в том числе и противоречивые данные. Упорядочивание альтернатив по их близости к наилучшей альтернативе в метрическом пространстве мультимножеств позволяет получить как строгое, так и нестрогое ранжирование альтернатив при равновесных или неравновесных критериях. Используя теорию мультимножеств, можно выполнить не только упорядочивание альтернатив, но и классификацию альтернатив, используя, например, нечеткую кластеризацию.

Предлагаемый подход к многокритериальному анализу альтернатив на основе схемы Беллмана-Заде и теории мультимножеств был проверен на результатах экспертной оценки состояния участков ГИК при выявлении набора тех участков сетей, которые должны быть в первую очередь заменены (отремонтированы) при проведении плановых ремонтных работ (то есть в штатной ситуации).

Каждый участок сети ГИК независимо оценивался 10 экспертами по 12 критериям. Всего было рассмотрено 50 участков, в том числе и наиболее проблемных (по статистике нескольких лет). Сначала каждым экспертом выполнялось сравнение участков ГИК методом парных сравнений по каждому критерию. Затем экспертам было предложено согласовать предложенные ими нечеткие оценки участков ГИК, используя

нечеткий аналог метода Дельфы. Окончательное решение о составлении плана ремонтных работ (и соответствующего набора аварийных участков ГИК) было принято в соответствии с подходом, основанным на теории мультимножеств. Упорядочение участков ГИК выполнялось по отношению к антиидеальному решению («антиидеальному» участку ГИК). Анализ результатов упорядочивания участков ГИК по отношению «антиидеальному» участку подтвердил высокую адекватность разработанной методики.

Предлагаемая методика может быть применена при анализе инновационных проектов, отборе конкурсных заявок, выполнении каких-либо рейтинговых исследований.

Литература

1. Демидова Л.А., Кираковский В.В., Пылькин А.Н. Алго-

ритмы и системы нечеткого вывода при решении задач диагностики городских инженерных коммуникаций в среде МЛТЬЛБ. - М., 2005.

2. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. - М., 1976. - С. 172-215.

3. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. - М., 1976.

4. Ротштейн А.П. Интеллектуальные технологии иденти-

фикации: нечеткая логика, генетические алгоритмы, нейронные сети. - Винница, 1999.

5. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. -М., 1993.

6. Петровский А.Б. Многокритериальное принятие решений по противоречивым данным: подход теории мультимножеств // Информационные технологии и вычислительные системы. - 2004. - №2. С. - 56-66.

Рязанская государственная радиотехническая академия 5 мая 2006 г.