CC BY
76
Раздел III. Методы искусственного интеллекта
УДК 681.518
ЕЛ. Заргарян
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОЙ МАКСИМИЗАЦИИ НЕЗАВИСИМЫХ КРИТЕРИЕВ
Выполнена общая постановка многокритериальной задачи нечеткой , -почтению. Определено отношение нечеткого нестрогого предпочтения.
; .
E.V. Zargarjan
TASK OF NOT EXACT OF INDEPENDENT CRITERIA MAXIMIZATION
The general raising of task of not exact optimization in which all not exact criteria of not exact are independent on a preference is executed. The relation of not exact preference is certain.
Criteria; not expressly optimization.
Почти всякая сложная практическая задача принятия решения (и индивидуального, и тем более группового) является многокритериальной. В связи с этим особое значение в настоящее время приобретает бурно развивающаяся теория принятия решений при наличии многих критериев. Одним из основных, фундаментальных понятий этой теории является понятие оптимального по Паре, . точки максимума числовой функции на случай нескольких функций: решение
-, за счет ухудшения значений остальных критериев.
Концепция принятия (выработки) решения в качестве первичного элемента деятельности рассматривает решение как сознательный выбор одной из ряда альтернатив, называемых, в зависимости от их конкретного содержания, стратегиями, планами, вариантами и т. п. Этот выбор производит лицо, принимающее решение и стремящееся к достижению определенных целей. В роли такого лица выступают отдельные люди или группы людей, обладающие правами выбора решения и несущие ответственность за его последствия.
Применение математических методов при принятии решений в задачах распределения энергии, оптимизации затрат на получении энергии предполагает построение подходящей математической модели, формализовано представляющей проблемную ситуацию, т. е. ситуацию выбора решения. Для задач принятия решений (задач оптимизации) в условиях определенности, когда случайные и неопределенные факторы отсутствуют, компонентами такой модели являются множество X всех (адьтернативных) решений, из которых и надлежит произвести выбор одного наилучшего, или оптимального решения, и описание предпочтений лица, принимающего решение. Для того чтобы была обеспечена возможность (свобода) выбора, множество X должно содержать не менее двух решений.
При решении задач распределения энергии, оптимизации затрат на получение энергии следует учитывать не один, а несколько критериев, которые обозначим через fh f2, ...,fm. Вводить обобщенный интегральный критерий не всегда
удается по многим соображениям, в частности, их технологической нестыковки, назначения, области определения и прочее. Тем не менее необходимо так организовать управление, чтобы найти оптимальное равновесие среди значений критериев /1, /2, .../„, таким образом, чтобы любое «улучшение» одного критерия вызывало «ухудшение» остальных. Данная классическая задача оптимизации связана с нахождением равновесия по Парето.
В классической многокритериальной задаче оптимизации [1] сравнение решений по предпочтительности осуществляется не непосредственно, а при помощи заданных на множестве Х=Х1хХ2х... хХт числовых функций /1, /2, .../„, называемых критериями (пок^ателями качества или эффективности, критериальными функциями, целевыми функциями и т.п.), причем м ножество X, - область определения критерии / Широко известны разные методы поиска решений при задании числовых функций /1, /2, .../„ В работе [1] критерии принято называть .
Задача многокритериальной оптимизации существенно усложняется, если критерии /1/2,.../„ задают в условиях неопределенности. Задание критериев /\,/2,.,/т в условиях неопределенности может быть осуществлено разными способами:
- в виде нечеткого интервала [2]: Интервалы задаются четверкой параметров М=(т, „, а, в), где „ пт - соответственно нижнее и верхнее модальное
значение интервала, а а и в представляют собой левый и правый коэффициент нечеткости.
- [3]: Лингвистическая переменная в общем случае задается набором:
< р,т(в)АО,м>.
где Р, - название ьй лингвистической переменной - "ьй параметр состояния"; Т(Р,) - терм-множество лингвистической переменной Р,; Б1 - область определения лингвистической переменной в,, так что Б = В1хВ2х...хОМ; О, - синтаксическое правило, порождающее наименования а' е Т(Р;) вербальных значений лингвистических переменных Р;; М, - семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной а' е Т(Р;) нечеткое множество
С (а') - смысл нечеткой переменной а'.
- в виде нечетких функций, т.е. в виде нечеткого уравнения, коэффициенты или переменные которого являются нечеткими множествами.
Пусть показатели качества задаются на вербальном уровне и представляются в виде функций нечетких переменных или в виде лингвистической переменной. Для каждого критерия / на числовой прямой X экспертами задаются
функции принадлежности нечетких переменных, которые определяется в соответствии с содержательным смыслом этого критерия.
Нечеткие частные критерии / образуют нечеткий векторный критерий / = //2,..,/„}. Выбор нечеткого оптимального решения из множества всех решений Н сводится к выбору нечеткой оптимальной оценки из множества нечетко достижимых оценок
Y = f(X) = {yе Em\y = f(x), xe Xj}, где Em - m-мерное критериальное пространство.
В зависимости от структуры множества X и свойств функций f для удобства исследования можно выделить различные классы многокритериальных задач. Так, если мн ожество X содержит конечно е число элементов, то задача называется нечетко конечной. Если X исчислимо, т.е. конечно или же счетное, то -нечетко дискретной. Если у каждого вектора х из X все компоненты - целые
числа, то задача называется нечетко целочисленной. Если X выпукло, а все f -нечетко вогнутые функции, то задача называется нечетко вогнутой. Если X -полиэдральное множество (т.е. «вырезано» из Еп конечной системой линейных
нечетких неравенств и равенств), а все f нечетко линейны, то многокритериальная задача является нечетко линейной.
Дальнейшее решение задач нечеткой оптимизации связано с установлением нечеткого равновесия нечетких критериев f .
Если задан нечеткий частный критерий f, то каждое решение для xeX характеризуется нечеткой функцией y = f (x). Выбор нечеткого оптимального
решения сводится к выбору нечеткой оптимальной оценки из множества Y всех нечетко достижимых оценок.
При четком задании критериев широко применяется способ описания предпочтений в виде бинарных отношений.
Бинарные отношения применяют для описания предпочтений, попарных связей разного характера между объектами любой природы. Б тарным отношением р на множестве А называется подмножество множества А2=А>А, т.е. совокупность упорядоченных пар (a,b), где a,beA. Если (a,b)ep, то говорят, что а и b находятся в отношении р, и что записывают - apb [4].
Бинарное отношение может быть задано и как нечеткое отношение p на
множестве А2=А>А в виде совокупности пар <yab/(a,b)>, где /лаЬ - степень принадлежности пары (a,b) множеству А2.
Вначале описание предпочтений лица, принимающего решение, осуществляется во множестве всех оценок Y при помощи нечетких бинарных отношений предпочтения или нечеткой функции ценности ^, которая задается на множестве А и представляет собой нечеткое отношение нестрого предпочтения
R , причем для любого BcA
maxPB={beB\^ (b)= max y(a)},
aeB
max - , P B -
.
,
не зависит от состава всего множества выбора А. Однако в реальных ситуациях такая зависимость имеет место и для ее учета необходимо использовать понятие , . Допустим, что Q - фиксированная совокупность непустых подмножеств . ( )
называется нечеткое отображение C, сопоставляющее всякому нечеткому множеству B е Q нечеткое подмножество C(B) с B . Рассмотрим частный случай, когда задано нечеткое отношение строгого предпочтения P, функцию выбора можно определить нечетким равенством C(B) = maxpB,B сА. Необходимо
для решения заданной задачи ввести бинарные отношения предпочтения по заданной функции выбора. Аппарат функций выбора является основой интенсивно развивающейся в настоящее время общей теории выбора.
При полном отсутствии информации, кроме перечня критериев f1,f2,..,fm
о предпочтениях лица, принимающего решение, следует ввести нечеткое отно-,
Em, , -
чения степеней принадлежности j.ia:b примерно одинаковы для всех пар (a,b). В этом случае нечеткое отношение предпочтения следует рассматривать как нечеткое отношение эквивалентности, которое разбивает множество X на классы, состоящие из одинаковых по предпочтительности решений.
Если множество всех оценок Y включает более одной оценки, то выбор оптимального решения без информации о предпочтениях принимающего реше-. -ся к классу довольно сложных задач.
В многокритериальных задачах сравниваются по предпочтительности векторные оценки, т.е. значения нечеткого векторного критерия f = {f, f ,.., f }. Наиболее простой путь нечеткого многокритериального выбора состоит в сравнении по предпочтительности тех нечетких векторных оценок, которые нечетко отличаются друг от друга в одной компоненте. Поэтому информацию о предпочтительности изменения значения одного нечеткого частного критерия при фиксированных значениях всех остальных нечетких критериев следует получить в первую очередь и использовать для анализа задачи.
fj - -четкой предпочтительности в зависимости от того, какие значения фиксированы у всех остальных нечетких критериев. Для значений s и t из множества f может оказаться, что оценка (y1,...,yt-1,s,yt+1,...,ym) предпочтительнее, чем (yi,...,yt-i,t,yt+i,...,ym), однако (у,...,у^,у;+1,...,ym) менее предпочтительна по
сравнению с (y1,...,y^ty^,...,ym). Сделать вывод, какое из значений f - s или t
- , -, . fj , , -
вается нечетко зависимым по предпочтению от остальных. На практике чаще
,
значения без рассмотрения значений остальных критериев, например критерии , . -почтению от остальных [5].
fj
m-1 . fj -
m-1 ,
четырех оценок вида
(yh...,yt_1,s,yt+1,...,yj, (yh...,yt_1,t,yt+1,...,yj,
(y'i,...,y't-1s,yM,...,ym) , (Yi,...,ytJ,yt+1,...,ym)
из нечеткого соотношения
(yi,...,yt-i,s,yt+i,...,yj 1% (yi,...,yt-i,t,yt+i,...,yj,
всегда следует
(Уl,,...,Уt+l,...,Ym) R (У1,...,ГЛ,y,+1,...,Ym).
fj -купности остальных нечетких критериев, то на множестве Y можно ввести отношение нечеткого нестрогого предпочтения.
, -почтению, т.е. каждый критерий независим по предпочтению от совокупности ,
« », -териальными задачами нечеткой максимизации. В таких задачах по каждому нечеткому критерию желательно нечеткий максимум. Если же в задаче каждый нечеткий критерий желательно нечетко минимизировать, то она называется многокритериальной задачей нечеткой минимизации.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Подиновский В. В. и др. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. литературы, 1982. - 256 с.
2. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей: Пер. с французского В.Б.Тарасова / Под редакцией С.А.Орловского. - М.: Радио и Связь, 1990. - 288 с.
3. Zaden D.F. Fuxxy sets, Informatijn fnd Control, 8, P. 338 - 353, 1965.
4. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. - М.: Радио и связь, 1982. -432 .
5. Keeney R.L. и др. Decisions with multiple objectives: preferences and value tradeoff. - New York: Wiley, 1976.
Заргарян Елена Валерьевна
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге E-mail: [email protected]
347928, Таганрог, ГСП 17А, Некрасовский, 44. Тел: 88634-371-689
Zargarjan Elena Valerevna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”. E-mail: [email protected]
44, Nekrasovsky, Taganrog, 347928. Phone: 88634-371-689
