Минимизация времени полета самолета на заданную дальность с возвращением в исходную точку Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XV 19 8 4

№ 5

УДК 519.95

МИНИМИЗАЦИЯ ВРЕМЕНИ ПОЛЕТА САМОЛЕТА НА ЗАДАННУЮ ДАЛЬНОСТЬ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ В ИСХОДНУЮ ТОЧКУ

В. Ф. Илларионов, В. Т. Пашинцев

Рассматривается задача минимизации времени полета самолета на заданную дальность с возвращением его в исходную точку при фиксированном запасе топлива. Используется приближенный подход, позволяющий свести построение оптимального профиля полета к стандартной процедуре энергетического метода с варьированием лишь одного параметра, имеющего физический смысл. Указывается способ определения седловых особых точек семейства экстремалей, соответствующих либо установившимся режимам полета, либо если удельный расход топлива не зависит от степени дросселирования двигателя, — «особым» режимам управления тягой. Приводится пример численного расчета применительно к случаю полета на постоянной высоте.

Одним из показателей эффективности скоростных самолетов является время, необходимое для достижения заданного рубежа. В связи с этим возникает задача оптимального управления с точки зрения минимума времени полета на заданную дальность. Поскольку же обязательным условием является обеспечение возврата самолета на заданный аэродром, для траекторий возвращения характерной является задача оптимального управления с точки зрения минимума расхода топлива при полете на заданную дальность. Способ построения оптимальных траекторий в таких задачах хорошо изучен и является стандартным.

Для исследования траекторий полета некоторых типов самолетов целесообразным является объединение отмеченных выше задач в одну. Оптимальное решение в таком случае должно обеспечить минимум времени полета до заданной дальности с последующим возвращением самолета в исходную точку. Предельным случаем здесь является, например, полет на максимальный радиус действия при заданном запасе топлива.

1. Постановка задачи. Будем полагать, что краевые условия задачи таковы, что на оптимальных траекториях полета расход топлива на этапе разворота вектора скорости на угол курса, обеспечивающий возвращение самолета в исходную точку, является малым по сравнению

с общими затратами и может быть учтен заранее в виде соответствующей поправки к располагаемому запасу топлива бт. к. В таком случае движение самолета можно рассматривать лишь в вертикальной плоскости (в плоскости развертки), полагая конечную дальность полета вдвое большей промежуточной дальности /*:/к=2/*. С учетом сказанного в рамках энергетического метода |1] воспользуемся следующей системой уравнений движения:

йЕ

М

Р— X (Е, Л)

(Ют

~Л1

■ Рсе(Р, Е, к)

V

<и_

(II

_1_

V

0)

где X = сх 5 — аэродинамическое сопротивление; р(Л)-

ность атмосферы; к, V, I — текущие высота, скорость и дальность полета; се, Р—удельный секундный расход и тяга двигателя; От — израсходованное к данному моменту топливо; Б, О — площадь крыла и вес самолета; ^ — удельная механическая энергия самолета.

Коэффициент аэродинамического сопротивления сх ряющий уравнению поляры

СX ~ СX (^у)>

плот-

удовлетво-

определяется по величине Су из условия связи

р к*

(2)

и является функцией высоты и скорости полета. С учетом соотношения [1]

Е = к + — (3)

2г

управляющими функциями (управлениями) в (1) являются Н (либо V) и Р. Область и допустимых значений /г и Р определяется естественными ограничениями вида

А> 0, М<Мтах(Л), 1 Лпт \Е, А)< Р •< Ртах (Е, Н), /

где М — число Маха.

Задача оптимального управления с точки зрения минимума времени полета на заданную дальность I* с возвращением самолета в исходную точку описывается соотношениями (1) — (4) при следующих краевых условиях и условии в промежуточной точке:

1 = О :Е(О)=Е0) <3Т (0) = 0, / (0) = 0;

*=**:/ (/*) = /*, *• = щщ * (I•), Е (**) = Е* - свободно;

{ л. Р} чи

■ I (У = 4 = 2/*, От (*к) < От.к,

Е (*к) = ЕК, tк — свободно.

(5)

Полагается, что величины Е0, Ек, GT. к, I* заданы так, что задача (5) имеет решение.

В дальнейшем условно будем различать два основных участка искомой экстремали и Ь2, соответствующих достижению промежуточной дальности /*(/ 61[0; /*]) и возвращению в исходную точку (/€{**; 21*)).

В соответствии с общим смыслом задачи (5) участок экстремали Lo будем выбирать из условия минимума расхода топлива на этом участке A Gt2 = Gt (^к) — GT (<*) при фиксированной дальности полета А 12 = 1* (либо максимума А12 при AGT2 = const) и свободном конечном времени.

Примем, что Е* является фиксируемым параметром: £* = fix.

Тогда участок экстремали можно считать оптимальным с точки зрения минимума продолжительности полета до момента выполнения условия Е = Е* — fix при фиксированном значении дальности A/i = Z* и ограниченном расходе топлива AGT

Д GTi (£■*)<GT.к — min A Gt2, (6)

где min A Gt2 — минимальная величина расхода топлива на участке Z-2, реализуемая при заданном значении дальности А 12 — 1*.

Указанная задача с условием (6) является более общей по сравнению с рассматривавшимися ранее, например, в работах i[2—4]. Участок экстремали Li в исходной постановке (£* = var) получается при некоторой оптимальной величине Eopt (/*, GT. к), которая соответствует

min t* (Е* — fix), я*

Остановимся на некоторых аспектах, связанных с заданием величин I* и GT. к.

1. Если I* в (5) совпадает с максимальным радиусом действия самолета “max /K(GT. к), то Li и Ь2 являются участками экстремали, реализующей максимум дальности полета l(tK) при фиксированной величине GT(4) (^к, /* —свободны). Следовательно, в общем случае при назначении I* необходимо учитывать ограничение вида

I* < 'y max lK (GT.K). (7)

2. Из результатов работы [3] следует, что при I* =

тах /K(GT.к) может быть указана некоторая „предельная" для GT.K ве-

л

личина Gt.k (зависящая от Е0), при превышении которой оптимальный профиль полета на максимальную дальность I (tK) при свободном конечном времени tK в плоскости Е, h остается практически

Л

неизменным. Экстремали, характеризующиеся параметром GT.K>GT.K, при этом различаются лишь дальностью полета А/крейс на режиме, приближенно аппроксимируемом установившимся (крейсерским) полетом.

В дальнейшем будем полагать, ч^о

3. Если От.к таково, что ограничение (6) оказывается несущественным, т. е. GT.к >- GT.к (/*), где Ст. «(/*)■—расход топлива, реализуемый при отсутствии ограничения на GT (tK), то решение общей задачи реализуется с недорасходованным топливом [GT (г!Р) < GT.K], а участок Lx соответствует минимизации продолжительности полета t (£■*) при I (Е*) — const на режиме максимальной тяги. Следовательно, с учетом (8) наиболее интересным случаям соответствуют неравенства

От.к < GT. к <бт. ,(/•). (9)

2. Условия оптимальности. С целью упрощения анализа структуры оптимального управления воспользуемся допущением о постоянстве веса самолета (G^const). Учитывая, что ограничение на Р в (4) зависит от Е и А, воспользуемся также следующим обозначением:

| Popt при

^min

(Е, А)

Popt ^шах (Е, А),

^opt = | р /£? | ^шах Щ при P0pt Pmax (£, Л), (Ю)

[ ГР I Pmin (E, h) при Popt < Pmin (E, A),

где Popt — оптимальное управление в открытой области значений Р.

В соответствии с Цб] функция Гамильтона Н для участков и Ь2, а также условие «скачка» в промежуточной точке Е — Е* принимают следующий вид:

Е £ [Е0; Е*\ : Н~ = Ц- [Popt - * (Е, Л)] + Ц- Popt X

(И)

>\(Ро$ь Е, А) + -р: ,

Е 6 [Е*] Ек] : Н+ = Ц- [Рор4 - X (Е, А)] + Ц- Рор, се X X (Р0Ри Е, Л) 4- ^ ;

£■=£■*: ДН = Н+ — Н- = ^, Др(==р? —рГ = р(, (12)

где [Аг, — константы.

Сопряженные переменные {рХ1} = {рЕ, ра, р() удовлетворяют системе уравнений:

Н Х‘> Р’ Н)> {*!) = {£, От, *}У (13)

а граничными условиями для (13) являются:

Р?&)-0, Р7№<0. (14)

Оптимальные управления корь и Рорг на участках Ь1 и Ь2 определяются с учетом (10) из условия

н± (Рх1> х1> Рори Аор0 = 8ир Н± {рх1, х0 Р, Л), (15)

{д;А}€£/

>

где Х(, рХ1 соответствуют оптимальной траектории.

В силу независимости от I уравнений движения (1) и ограничений (4), из (1), (11) — (15) следует первый интеграл

Н± [pxl, xlt Popt {Е, Л), Aopt] — const =—/;г. (16)

С учетом принципа взаимности применительно к Ь2 из (13) и (15) устанавливаем следующее:

Ра — const 0, pi — const > 0. (17)

В результате рассмотрения в точке Popt = X (Е, А) предельного

случая для семейства Lu соответствующего ра =0 (GT.K = GT.K), из (11), (13), (14) и (16) следует также:

рГ = const >0. (18)

Введем обозначения

it = C0±> 0, -Et = c±^0, (19)

Pq V Pq

Н± = -- = 4- . ^ [Popt-X(E, h)]+f±, (20)

Ра ® Ра

где pf — const.

В таком случае с учетом (16) — (19) будем иметь

ipxl, xit РорЬ Aopt) = inf Н (pxl, Xi, Р, h) — С± > 0. (21)

{P.h}<iU

Объединяя (20) и (21), получим

~ ^ [Popt (Е, Aopt) -Х(Е, А,,,*) ] +/± = С*. (22)

С точностью до обозначений равенство (22) совпадает с функцией Гамильтона, использованной в [3]. Следовательно, при фиксированном значении неотрицательного параметра С0(С~>0, Со =0) качественный анализ, проведенный в [3], а также стандартный способ построения оптимального профиля полета hopi(E) могут быть распространены на каждое из семейств первых (L4) и вторых (L2) участков экстремалей.

3. Качественный анализ семейства экстремалей. Введем, как это сделано в [3], в рассмотрение функцию вида

, (Е, Л, Со) =/(PopU Е, Л, С0) |?opt = х(В< Л) = (23)

Введем также понятие линии установившихся режимов L, разделяющей в плоскости Е, А область режимов разгона {Popt^> X) и область режимов торможения (Popt<^X).

Рассматривая линию L, состоящую из участков Lx и Г2, соответствующих семействам траекторий L^ и Ь2, в каждой точке Z., и

Z2 с учетом (22), (23) будем иметь:

С~( Со) = *, [Е (A), eg, С+ 1с+=0 = Ъ [£ W ], (24)

где cpjSStpl^. есть функции ф,‘ вычисляемые вдоль линий Lt (i =■ 1, 2). 58

В случае неграничной оптимальной тяги построение /Г(с использованием условия оптимальности по Л в точке Popt = X) согласно [3] сводится к определению в плоскости Е, h точек касания линий равных уровней вида <р (Е, h, С0) — const и £ — = const («PftlEzsconst^O). Однако, если воспользоваться условием стационарности ср не по h, а по V, имеющим вид

К ±;9 [Е, h (V), C0]E= const =\±{сеХ)-(с,Х + Со) ±] -0, (25)

oV LOV V jE = const

то для графического определения L достаточно построить функцию q = ceX по V с параметром Е, не прибегая к вычислению f (Е, h, С0). Согласно (25) линии L соответствует геометрическое место точек касания к кривым q (V) лучей, исходящих из точки (О,—С0). В указанных точках касания определяются функции q (V) либо <j> (V, С0), соответствующие L (рис. 1, а).

На режиме граничной тяги способ построения L вытекает непосредственно из равенства

Ргр(Е, h) = X(E, h).

Согласно [3] в плоскости Е, h точкам минимума функции (V, С0) соответствуют особые точки семейства экстремалей типа „сед-

ло“. Так, при С0 = 0, С+=тШ гшп<р2 (1/) седловой особой точке

V

семейства Ь2 соответствует установившийся (крейсерский) режим полета с минимальным километровым расходом топлива. С учетом

(24) и (25) при этом имеем:

Со+с=(-^^) =1п{(-^)_^крейс. (26)

\ V /крейс V \ V //,

В этом случае семейство участков экстремалей в плоскости Е, к практически совпадает с сепаратрисой указанного семейства, построенного при различных значениях С0^. Согласно |[3] при Е*>ЕКрейс сепаратриса расположена в области режимов торможения. Таким образом, в рамках ограничения (9) для семейства Ь2 с учетом (14) неизменно имеем

С+~<РкрейсЕ=Ш , С'о = 0 (27)

\ V /крейс

и, следовательно, система уравнений движения (1) может быть проинтегрирована заранее вдоль Ь2 в заведомо расширенном диапазоне значений оптимизируемого параметра Е*.

Рассмотрим теперь геометрическое место седловых особых точек для семейства Ь2, положение которых на плоскости Е, к зависит от параметра Со". Без нарушения общности будем полагать

С использованием обозначения qva=—r(CeX) уравнение линии L

Е (0) £крейс> Ех <С ^крейс д_

dV

(25) преобразуем к виду

\4v — <Р {Е, V, Со) ]я=const = 0,

откуда по аналогии с (26) с учетом (24) получим условие, определяющее седловую особую точку на Ьс

(Яос)у =min

я

min f(V, Со )£=const j = «Рос » (28)

Я + С0 ~ причем Сос =-------- --- = срос •

Из (28) следует графический способ нахождения линии установившихся режимов Loc (геометрического места седловых особых точек семейства Lt), заключающийся в построении огибающей снизу ^ос(^) Для кривых вида q {V)e=const, построенных в плоскости V, q при £'>£’крейс (рис. 1, а). Если же функцию q (V) заведомо вычислять вдоль линий Lu соответствующих различным значениям параметра Со", то вместо (28) будем иметь

(,tfoc)v = (^i С0 )c^“=const ==сРос • (29)

В этом случае линии Loc соответствует огибающая снизу qx(V) для кривых вида q (l/)c~=const > построенных в плоскости V, q (рис. 1, б).

Видно, что одной из предельных точек линии 1ос является точка, соответствующая Со—Со = 0. В то же время при С<Г-»-+оо минимуму ^(1/) соответствует точка на /.ос, характеризующаяся условиями

А 1 -1

Ра~ 0, -----= тіп —

и ^ос V

Р^ = Х.

Следовательно, в рамках ограничения (9) другая предельная особая точка на Ьос совпадает с особой точкой семейства экстремалей, соответствующих решению задачи о минимуме времени полета при фиксированной дальности и свободном расходе топлива, реализуемых на режиме максимальной тяги.

Экстремаль Ьи проходящая через указанную особую точку Б, является сепаратрисой Ь0 соответствующего семейства экстремалей и подобно Ь2 может быть построена заранее методом, описанным в '[3].

Преобразуем условие (29) к виду, позволяющему перейти от Со к параметру, имеющему физический смысл. Применительно к Ьі представим выражение (22) в следующем виде:

~ — [РоРі - X (Е, Лорі) ] + [Рор1 (Кь Е, Л) ] + Є (V) - С+ = О,

0 Ра у

где с(1/) = С0_-^ + (С+-С-).

Исходя из определения функции е(У), получаем для константы Со" следующее выражение:

С~ =- V* (С+ - С~) > 0, (30)

где У*= К|е(Ю=0.

Ниже в разделе 4 будет показано, что Е* = ЕІрі(У*).

Если Ьу проходит через особую точку, то

С-(Со-) = Со^(Со“). (31)

С учетом (27) и (29) из (30) и (31) следует:

С° =(4-) — (?ос)„- (32)

V* \ У )крейс

Согласно же (29) на Ьос имеем

(Яос)у Уос - Яос = Со . (33)

Исключая из (32), (33) параметр Со" приходим к следующему соотношению:

(4-)крейс + йоМ^ос - V*). (34)

В соответствии с графичесщй интерпретацией условия (34) особой точке Еос, Уос на Ь\ при заданном значении V* соответствует точка касания кривой д0С(У) и луча с начальными коорди-

61

натами У*,

т) - V*

^ V /креис

(см. рис. 1). При этом имеем Ккрейс<

< 1/ос, ^ос==^ос(^). Величина Л ос определяется с помощью зависимости Е— Е^іУос, Аос), вычисляемой вдоль линии £ос. Рис. 1, б поясняет также графический способ определения V* по величине Уос, соответствующей заданному параметру Со.

В результате задача оптимального управления при фиксированных значениях I* и йт,к в рамках ограничений (7) и (9) фактически сводится к однопараметрической с параметром V*. Физически этот факт соответствует тому, что одно из краевых условий (например, 1к — 21*) выполняется за счет формального регулирования продолжительностей установившихся режимов полета на Ьі и Ь2, в то время как другое краевое условие (ограничение по расходу) выполняется за счет оптимального подбора параметра У* = У*(СГ).

Покажем, что если се не зависит от Р, то Ьос является линией оптимальных «особых» режимов управления тягой. На «особом» режиме имеем

Я=РЕ-^- + Расе „с- (35)

Исключая из (11) и (35) с учетом (16) величину рЕ, получим условие, эквивалентное использованию в (11) равенства Р = Х(Е, к):

Ро(Хсе)0с + Р[~ ^ ос = Р* • (36)

Условиями оптимальности по Уос на установившемся «особом» режиме согласно (36) являются:

(йЛ = -т-

Ра

шах (р qoc + pi Voc + р±) = min {qoc + ^oc + ~) = 0.

voc voc p° Po'

(37)

Вытекающее из (19), (36), (37) условие (<70с)і/К)с—' <7ос = С(Г совпадает с уравнением линии /,ос (33).

Отметим, наконец, что если траектория полета в плоскости Е, к является фиксированной, то величины <7крейс и Укрейс, а также значения <7ос и Уос, определяемые из (34), следует вычислять вдоль заданной траектории, поскольку понятие линии Ьос в этом случае исчезает в силу единственности величины <7 = се X I е=С0П8ь Аналогично, если граничные значения высоты полета к(Е) пересекаются с линией Ьос, то, начиная с момента их пересечения, величины qoc и Уос следует вычислять вдоль соответствующего ограничения.

4. Построение оптимального профиля полета. Стандартная процедура нахождения оптимальных значений к и Р на участках Ьі и состоит в минимизации по к и Р величины

сеР1У+в±(У)-С+ — \Р-Х\

Е-const

где £+(!/) = 0, е-(У) = (С+-С-).(і--£).

В частности, для неграничных значений Рopt имеем д ІсеР\ се РоріІУ + ^ (У)~С+

Л v I

дР\ V I \Р0

£=const

Видно, что V* есть то значение V, при котором на кривой E(V, h) = const оптимальные значения тяги и P^pt совпадают. Оптимальный профиль полета hopt(E) либо l/opt(Z:) находится в результате минимизации по h либо по V величины

р±/5 ,_‘ePoPt/V+^(V)-C+

* Opt)—

£=const

I Ро^-Х I

что эквивалентно построению огибающей снизу для кривых Е [РорД^-)» £]й = сопв1 Либо Е \Роръ(Ь\ •

Из рассмотрения уравнения огибающей вида /-1-(Яор1) = О

или

-*-.[У\Р0ц-Х\]= [V 1 />ор,_^| ]± _ !

^r[cePopt + (e±-C+) V]± [ег Popt + (г± - С+) V]* F±(P0pt)

следует, что если С~фС+, то при любом значении V имеем ^7-KPopt + (е - С+) I/]- ф [ceP0vi - С+ V} + .

Следовательно, при С~ ф С+~ 0 на линии стыка вида Е* (V, h) — const оптимальные значения l/^t(£*) и l^pt^*) не совпадают и в соответствии с энергетическим методом необходим теоретически мгновенный переход по линии Е* = const с участка экстремали Z.t на участок L2. Величине V* при этом соответствует выполнение условий

F+ <FoPt)E=E. = (Рорх, z)E=E*, е (V)E=E. = о.

В силу непрерывности переменной рЕ/ра необходимым условием для перехода от к L2 является выполнение равенства (рис. 2, а)

minF± [Popt (V)]E=E„ = mm F~ [Popt(V), e (V)]E^Ft,

что эквивалентно пересечению огибающих снизу.. к кривым ^+[Popt(£)],=const И F~ [Popt (£•), 2]l/=const, соответствующих участкам Lx и L2 (рис. 2, б). Последнее, в частности, указывает графический способ определения величины E*(V*).

Резюмируя результаты проведенного анализа, приведем краткую схему практического решения задачи:

— строится геометрическое место особых точек Eod(Voc) (линия

-^ос) И ОПредеЛЯЮТСЯ Значения £"крейс» ^крейс) *?крейс> Ткрейс В COOT-

ветствующей предельной точке;

£

— назначается величина у* >' 1/крейс и, исходя из (34), определяются значения £0С(У*), V0C(V*), goc(V*), Со" (У*) (см. рис. 1);

V *=ronst

----- t =«

— строятся оптимальные профили полета hopt(E) для участков Lx и L2 с использованием стандартной процедуры, при этом в соответствии с (27) и (28) принимается:

С" = ?хрейс, С~= ?ос (V*) = , s- (V) = (С+ - С") (1 - -£■) ;

Кос \ У J

— определяется величина Е* (V*) (см. рис. 2,6);

—- интегрируются уравнения движения (1) вдоль Lu L2 при даль-

ностях полета на особом и крейсерском режимах А/ос = А/Крейс = 0 (в L2 включается также участок Е* — const);

— варьированием продолжительности полета на каждом из оптимальных установившихся режимов ((pKpejic=const и <poc = const) для различных значений /* при условии 1К = 21* вычисляются функции вида Ст. к(I*), линейно зависящие от /* при Мос>0:

д°т. к

Укрейс + Toe — Const.

Далее описанная процедура повторяется для других значений V*. Семейство прямых GT.K(l*) позволяет указать оптимальные значения V* для заданных на множествах (7), (9) параметров I* и От. к (рис. 3, а). Исходя из зависимостей вида *шт (GT. K)r=const, получаемых при этом, могут быть указаны также значения ^min, соответствующие заданным параметрам I* и GT. к (рис. 3, б). Характер расположения экстремалей демонстрируется на рис. 4. Заметим, что поскольку pf — 0, из рассмотрения условий трансверсальности вида

[(р? —РТ) Ы* —Ptbt'min]£=£«= 0, \Pt№f+PaWi.*]E=E=Q

Рис. 3

Рис. 4

акЦ^РейГЬс^г^

[О тк)

!,ч и .*• ~ ч \

I у *=!/* р£чК ’ 2

I&1ос~МлРе'йсжО \агсЬ9 2%РеиГага#2С'

41

^тьп

—о- ^„-дг^.д;

5 • особые точки на Ьг

^Сепаратриса Ь0 семейства экстремалей тала Ш

1-1 [Ьк)=тах1 £Т (tl()=const, tl^-cдo^oднo П~Ь] рассматриваемой задачи

Ш-t„=min,l{tl^)=constl&{tl!)-cSoSoд/l^) (Рор1 =Ртах)

, V А1 К рейс

“ос

1 _ М2 = 1*

* ; 1 b^\E*=Cв7lSt Ь

.«Ученые записки» № 5

с учетом (19), (26), (30) следует:

1 д .» 1 ___ д .

I/ d/* ^min О. к), 2С”^ К* к ^min ( * От. к),

~яг< [^min (I*, От. «)]l/*=const ~ = . „ = COIlSt 0,

*'■« <?крейс + ^ос(^)

dG (V* Р) /-

2С+ = inf -...- = inf [<ркрейс + ?ос (V*)] = 2?крейс.

у ol* V*

Указанные условия дополняют качественную картину расположения семейства функций От. к) и GT.K(V*, /*) с параметра-

ми I* и V* соответственно, вычисляемых на экстремалях при Д/ос > 0 (см. рис. 3).

5. Пример. Рассмотрим полет на постоянной высоте. Структуру оптимального управления будем определять в предположении, что се не зависит от Р и G — const. Оказывается, что в этом случае достаточно иметь зависимости t(V), l(V), GT(F), соответствующие этапу разгона самолета на режиме P = Pmах(У) и этапу торможения на режиме Р — Лпш(V), получаемые в результате интегрирования системы уравнений движения (1). «Склеивание» участков Lt и Lz осуществляется с учетом балансов дальности полета и расходуемого топлива, достигаемых за счет варьирования параметра V* и продолжительностей полета на «особом», а также крейсерском режимах.

В силу ухудшения аэродинамических характеристик в диапазоне околозвуковых скоростей на участке Lx при некоторых значениях I* «особый» режим при V* = const оказывается не единственным (Voci¥= ФУос2).

Кривые вида /*(<ш!п) при варьировании GT. к сливаются в общую ветвь, которая соответствует случаю несущественного ограничения по расходу топлива (GT, к>бт. к). При этом реализуются малые значения I* (рис. 5). Величины Voc и V* уменьшаются с ростом I*

и при /* = ymax/j(GT.„) одновременно совпадают с 1^=1^крейс

(рис. 6). Характерно, что два „особых" режимд реализуются в определенном диапазоне дальностей I* при V* = const. В указанном диапазоне /* (1/ос 2) < /* </*(1/ос i) зависимость г* = г*(/*) является линейной, что облегчает ее построение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Остославский И. В., Стражева И. В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1969.

2. Bryson А. Е., D е s a i М. N., Hoffman W. С. The energy-state approximation in performance optimization of supersonic air craft. — AIAA Paper, 1968, N 877.

3. Илларионов В. Ф., П а ш и н ц e в В. Т. Качественный анализ семейства оптимальных траекторий в задаче полета самолета на максимальную дальность, — Труды ЦАГИ, 1974, вып. 1591.

4. Ф едоров Л. П. Определение оптимального режима работы двигателей при выборе наивыгоднейшей траектории набора высоты самолета.— Труды ЦАГИ, 1969, вып. 1132.

5. Понтрягин JI. С., Болтянский В. Г., Гамкрели д-з е Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Физматгиз, 1961.

Рукопись поступила 17/111 1983 г.