CC BY
25
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2012, том 55, №4________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
С.Д.Темурбекова
МИНИМИЗАЦИЯ ТОЧНЫХ КОНСТАНТ В НЕРАВЕНСТВАХ ТИПА ДЖЕКСОНА И ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ
КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В Ь2
Институт математики АН Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 15.02.2012 г.)
В работе решена задача о минимизации констант в неравенствах типа Джексона и вычислены точные значения поперечников некоторых классов функций из
Ключевые слова: гильбертово пространство - неравенства Джексона - наилучшее приближение -поперечники классов функций.
1. Пусть := Й2[0; 2л] - пространство суммируемых с квадратом по Лебегу 2 л - периоди-
ческих функций с конечной нормой
Ь2 [0;2л]
^ і 2л ^
- \\/(*)Ґ & 7Г
\л о
и рядом Фурье
ад
/(х) ~ Ерк с°*(кх+<рк) (Ро=0)-
к=1
Через Х2а) (Й20) = ,а> 0) обозначим множество функций, у которых существует произ-
-“2
г(а) Т Ґ ^(0) _
водная в смысле Вейля /(а’ е ^ (/'( ) = /) . Множество всевозможных тригонометрических поли-
номов порядка < п —1 обозначим ^ Если £и_ :(/(а); х) - частичная сумма порядка п — 1 ряда Фурье производной /(“) (х) , то, как хорошо известно, наилучшее приближение функции /(а) е Ь2 тригонометрическими полиномами (х) е ^и_! равно
гОК П| Ла)
Е„_1 (/ /2 := їпґ /1а) - Г„Л : Т„А € Т2,А =
( ^ ^1/2
НІ /<а) --і( / <а)4 =
Модуль гладкости порядка т > 0 функции /(х) определим равенством
Е к'-ар; ■ (1)
I к =п
Адрес для корреспонденции: Темурбекова София Давронбековна. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. Е-таіІ:і'о/іі'И-83@таі1.ги
2
a.(f;S)2 = sup{Цдтд-І:G<h
= sup <
m
к=G
I (—1)к , f (• + (m — к)h)
V к J
: G<h <S)
Через Qm (f (a);h)2 обозначим среднее значение coP(f(a);t),p > 0 с весом cos—t, кото-
<a).,
—
m, p
2h
рое определяется как
Ц,. p (f m; h)2 =
\ит(f Ia);t)2 Cos — tdt
1/p
h
Г cos — tdt J 2h
(2)
ПУсть W^hHю - класс функций f e L2a), таких, для которых выполняется неравенство
a, p (f,а); h) <®(h),
где (o(h) - заданный модуль непрерывности, то есть полуаддитивная неубывающая на отрезке [0; ж] функция , &>(0) = 0 .
Отметим, что величина (2) была введена в работе Н.И.Черных [1], где вычислена точная константа между наилучшим приближением Еп_Дf) и средним значением tq(fa);t) на отрезке [0; ж / п] с весом sin nt для целых а. В дальнейшем , обобщение и развитие указанной тематики нашло своё отражение в серии работ [2-9], а также многих других авторов.
Легко проверить, что Qm р (f(a); h) ^ ($т (f(a); §), а потому класс WаHю отличается от
класса
W SH • = К (f<al; h) <ffl(h)}
только на постоянное число и шире класса WiTHW■ Величина Qm p(fa;h), как отмечено в [1] во многих вопросах, более естественна для характеристики наилучших приближений функций.
2. Пусть S - единичный шар в L2; M - выпуклое центрально-симметричное подмножество
из L2. Ли ^ L2 - п -мерное подпространство; Лп ^ L2 - подпространство коразмерности п; С: L ^ Л - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства L2 в Ли; С : L ^ Л - непрерывный оператор линейного проектирования пространства L2, на подпростран-
ство Ли, то есть класс операторов A линейного проектирования на Ли таких, что Af = f для f еЛ. Величины
Ьп (^Л) = SUP {sup{^ > 0 : ^Лп+1 С Щ : Лп+! С L2},
dn , L2 ) = inf {sup{f 112 : f e M пЛn } :Лn С L2 } , d„ (M , L2 ) = inf {SUP{ inf{||f - g||} : { e Лn } : f e M} :Лn С L2 } ,
^ (M , L2 ) = inf {inf{ SUP{||f - {12 : f G M} : CL2 С Лn } :Лп С L2 } }
Жп (^,L2) = inf {inf{sUP{||f - {f||2 :f eM{} : {L2 СЛn } :Лn С L2 }
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным, проекционным n -поперечниками в пространстве L2. Так как L2 является гильбертовым пространством, то справедливы следующие соотношения между перечисленными n -поперечниками [10]:
bn (M, l2) < dn (M, l2) < dn (M L2) = \ (M L2) = жп (M, 4). (3)
Прежде чем вычислить вышеперечисленные поперечники, следуя рассуждениям, приведён-
ным в [11,с.385], решим задачу о минимизации величины
Xa.,,h,p (4'" , L2, Л„) = sup 1/с : f е L<2a> , f<a) * const J (4)
по всем подпространствам размерности N , то есть вычислим значения точной нижней грани величины (4) по всем подпространствам Лм С L2 размерности N при любых m > 1, a > 0 :
X„amXp (L?), L2) = inf {Za,m,h. p L', L, Лп ) : Л ^ С L }■ (5)
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть h > 0, a, m,p > 0, N = 1,2,3...; 0 <w(h) < 1. Тогда имеет место равенство
Xn,a ,mh,p (L(a) , L) = d„ (Wla,>HL2 )■ (6)
Доказательство: Пусть f e L2a) и a Д f(a), h )2 = P> 0 . Если f (x) = p~la(h) f (x) , то
a ^(f(a),h) = o(h), то есть f eW^Hm . Учитывая положительную однородность функционалов
E (f, ЛN )2 и (при фиксированном h ) Qm (f(a), h)2, будем иметь
Xa,mh,p (L2a) , L2 , ЛN) < sup j E(f , ЛN): f e Wmaa)H‘[. (7)
Переходя к нижним граням по всем подпространствам ^ 42 размерности N в неравенстве (7),
получим
(4а), 4) < ^ (К>н"; 4)- (8)
(а)тт® „ „™аттат1аттт1„ Ш(а)и®
^N5 а , т ,И , р^ 2 ? 2/ N\ т ,И 9 2
С другой стороны, для любой функции / е Ню в силу определения класса Жа*Нт имеем
Е (/Л )
Е (У ;Л N) < п тр (/м; л )25
и так как это верно для каждого подпространства Лм ^ 42 , то мы получим неравенство
^ (Жта Н\ 12) тАр (4а), 42 )•
(9)
Из сопоставления неравенств (8) и (9) сразу следуют соотношения (5) и (6),чем и завершаем доказательство теоремы 1.
Положим в дальнейшем
En (WmaS)H—) = sup j En (f )2 : f e WmSH"}.
Теорема 2. При всех натуральных m > 1 и a> 0, 0 < h <ж/ n, N = 2n -1 или N = 2n
справедливы равенства
г, (Wa h-, ^=e„ (Wm,1 h ")=
f » v/p
_ —(h)
n
r —tt .
cos—dt
J
2h
V G
\ mp
r ^ . nt і —t .
I 2sin— I cos—dt
J 1 h ] 9Й
h
2h
(10)
где ^ (•) - любой из поперечников Ьы (•), dN (•), ^ (•), (•) или жы (•). 5се поперечники реализу-
ются частичными суммами Фурье 8п_ 1 (/; х).
Отметим, что из теоремы 2 в случае р = 2 / т,т е N следует результат работы [6]. Из теоремы 2 вытекает следующее
Следствие. В условиях теоремы 2 при И = ж / п, п е N справедливы равенства
ПпЖ^пН", 4)=^ (жтта'н , 4^)=
H e, (w;—, h •% H(mp+1)1/p •— ф'
2я
n
Поступило 16.02.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черных Н.И. - Матем.заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.
2. Тайков Л.В. - Матем.заметки, 1977, т.22, №4, с.535-542,
3. Тайков Л.В. - Матем.заметки, 1979, т.25, №2, с.217-223,
4. Айнуллоев Н. - Применение функционального анализа в теории приближений. - Калинин: Калининский госуниверситет, 1986, с. 3-10.
5. Шалаев В.В.- Укр.матем.журнал, 1991, т.43, №1, с.125-129.
6. Есмаганбетов М.Г. - Фунд. и прикл. математика, 2001, т.7, №1, с.275-280.
7. Есмаганбетов М.Г. - Матем.заметки, 1999, т.65, №6, с.816-820.
8. Шабозов М.Ш. - Матем.заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.
9. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - Матем.заметки, 2011, т.90, №5, с.767-775.
10. Pinkus A. n - Widths i approximation theory, Springer-Verlad, Berlin, 1985.
11. Корнейчук Н.П.- Точные константы в теории приближений. - М.: Наука, 1987.
С.Д.Темурбекова
МИНИМИЗАТСИЯИ КОНСТАНТАХ,ОИ АНИЦ ДАР НОБАРОБАРИ^ОИ НАМУДИ Ч,ЕКСОН ВА ЦИМАТ^ОИ АНИЦИ ЦУТРИ^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ ФАЗОИ Li
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола масъала оиди минимизонидани константахо дар нобаробарих,ои намуди Ч,ексон х,ал шуда, кимати аники кутр^ои баъзе синфи функсиях,ои фазои L2 х,исоб карда шуда-аст.
Калима^ои калиди: фазои Гилберт - нобаробариуои Цексон - наздиккунии беутарин - цутрщои синфи функсияуо.
S.D.Temurbekova
MINIMIZATION OF EXACT CONSTANTS IN JACKSON INEQUALITY TYPE AND AN EXACT VALUES OF WIDTHS FOR SOME CLASSES OF FUNCTIONS IN L2
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
In this paper was solved the problem on minimization of constants in Jackson inequality type and calculated the exact values of widths in L2 for some classes of functions.
Key words: Gilbert’s space - Jackson inequality - the best approximation - the classes of set offunctions.
