CC BY
29
УДК 538.91 5, 538.935
Л.Н. Никитина, C.B. Обухов, В.Г. Тютерев
МЕЖДОЛИННОЕ РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА ФОНОНАХ
В КРИСТАЛЛАХ AMIBV
Во многих полупроводниках группы электроны, возбужденные в одном из локальных минимумов (долине) сильным электрическим полем или лазерным импульсом, могут перейти в другую долину с поглощением или испусканием коротковолнового фонона. Этот процесс называют междолинным рассеянием, и он определяет многие оптические и транспортные свойства полупроводников и приборных структур на их основе.
Рассеяние на коротковолновых фононах с произвольной длиной волны для полупроводников группы до настоящего времени, насколько нам известно, систематически исследовалось только методом эмпирического псевдопотенциала и феноменологической модели жестких ионов [1—3].
Успехи последних лет, достигнутые в теории конденсированного состояния, позволяют с единых позиций рассчитывать из первых принципов не только электронные и колебательные состояния кристаллов в отдельности, но также и их взаимодействие.
В данной статье нами предпринято теоретическое исследование вероятностей рассеяния электронов на коротковолновых фононах в группе бинарных полупроводников.
Метод расчета
Наш полностью согласованный расчет из первых принципов основан на методе функционала электронной плотности (ЭРТ) [4,5]. Методика расчета вероятностей рассеяния электронов на колебаниях решетки с произвольной длиной волны разработана авторами [6—8]. Мы используем приближение локальной плотности (ЬО/\) для описания зонной структуры и теорию возмущений функционала плотности в базисе плоских волн (ЭРРТ) [5] для фононных частот и соответствующих возмущений самосогласованного кристаллического потенциала. Никаких феноменологических предположений, касающихся относительного положения минимумов
зоны проводимости, эффективных масс носителей, фононных спектров и вероятностей рассеяния мы не принимали.
В работах [6—8] этот подход применялся к расчету вероятностей электрон-фононного рассеяния в арсениде галлия ваАБ и фосфиде галлия СаР. Рассчитанные из первых принципов вероятности рассеяния на фононах и их зависимость от давления позволили, в частности, объяснить зависимость от температуры и значения гидростатического давления времен жизни экситонов в фосфиде галлия [6] и арсениде галлия [7,8].
Для расчета нами выбраны сохраняющие норму псевдопотенциалы, приведенные в [9]. Самосогласованным образом рассчитывались значения полной энергии кристалла в зависимости от постоянной кристаллической решетки на основе использования пакета программ Езрге88о3.2 [9]. Количество плоских волн, учитываемых в разложении волновых функций, регулируется фактором обрезания Есш кинетической энергии. Сходимость полной энергии в зависимости от фактора обрезания демонстрируется на типичном примере арсенида галлия (рис. 1). Для всех соединений нами принято значение Есш = 45 Ридб. (1 Ридб. = 13,60 эВ).
Равновесная структура находилась подгонкой расчетной кривой зависимости энергии от значений постоянной решетки к уравнению состояния в форме Мурнагана [10].
На рис. 2 в качестве примера приведена зависимость энергии от постоянной решетки для арсенида алюминия А1Аз. Рассчитанные значения равновесной постоянной решетки находятся в весьма хорошем согласии с экспериментом (табл. 1).
Зонные и фононные спектры кристаллов вычислены с использованием Езрге88о3.2 [9] самосогласованным образом при расчетных значениях постоянных решетки табл. 1. На рис. 3 в качестве примера показаны зонная структура и фононный спектр для стибида галлия Са8Ь.
Физика конденсированного состояния,
-24,620 -| -24,625 --24,630 --24,635 --24,640 --24,645 --24,650 --24,655 -
10 20 30 40 50 60 70 Есш, Ридб.
Рис. 1. Сходимость полной энергии кристалла ОаА8 в зависимости от максимального значения
кинетической энергии плоских волн, учитываемых в разложении волновых функций
-16,75-
Е -16,85-
О.
щ
I
со
5 -16,90-1 со
X
с; о
-16,95-17,00-
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
аа, А
Рис. 2. Зависимость полной энергии
от значений постоянной кристаллической решетки для А1А8
А
Таблица 1
Сравнение вычисленных и экспериментальных результатов для кристаллов типа А111 Ву со структурой сфалерита
Соединение Постоянная решетки, А Частота продольных фононов, ТГц
Наш расчет Эксперимент ЬА Ш
Симметрия Наш расчет Эксперимент Симметрия Наш расчет Эксперимент
А1Р 5,401 5,470 Хз 10,504 - X 12,311 -
А1Ав 5,589 5,660 Хз 6,442 6,65 X 11,760 12,08
А15Ь 6,096 6,140 Хз 4,584 4,65 X 10,238 10,22
СаР 5,337 5,450 XI 7,610 7,50 Хз 11,010 11,00
СаАв 5,640 5,653 Хз 6,653 6,89 X 7,159 7,22
СаБЬ 6,057 6,096 Хз 4,788 4,98 X 6,254 6,35
1пР 5,785 5,869 XI 5,724 5,80 Хз 10,35 9,95
1пАв 5,970 6,060 XI 5,399 4,80 Хз 6,266 6,09
ТпБЬ 6,387 6,479 Хз 4,510 4,30 X 4,797 4,75
Примечания. 1. Экспериментальные данные взяты из работы [11].
2. Частоты продольных фононов получены для точки X.
3. ЬА, ЬО — продольные акустические и оптические колебания.
Для всех кристаллов запрещенная зона в расчете оказывается сильно заниженной, по сравнению с экспериментальной, что является хорошо известным недостатком метода функционала электронной плотности. Типы запрещенной зоны для всех полупроводников АШВУ к настоящему времени надежно установлены [11], наш расчет полностью им соответствует. Крис-
таллы соединений индия и галлия (за исключением его фосфида (см. табл. 1) в нашем расчете являются прямозонными полупроводниками; их запрещенная зона обусловлена энергетическим зазором Г1с-Г15у. Остальные кристаллы, т.е. соединения алюминия и фосфида галлия — не-прямозонные полупроводники, запрещенная зона обусловлена энергетическим зазором
б)
250
Щ 150-
100-
50-
LO
LO __
то \
ТО \то,/
Х> "X ц
/ 7 /та Л / \ Y
у \ \ /ТА L3' ¡Г
- /' х5 - г
Г (4,0,0) X (4,4,0) Г L 01 02
Волновой вектор фонона, 2л/а Плотность состояний, o.e.
Рис. 3. Рассчитанные спектры для кристаллов Оа8Ь: а —зонный, б — фононный
Х[с -Г15у (нумерация неприводимых представлений соответствует выбору начала координат в атоме пятой группы). Полученная топология зон проводимости пол ностью соответствует общепринятым представлениям.
Рассчитанные из первых принципов фонон-ные спектры находятся в согласии с экспериментом и расчетами других авторов [5]. Степень согласия с экспериментом пол ученных фонон-ных частот для интересующей нас точки X в зоне Брилл юэна можно видеть из данных табл. 1.
Рассеяние электрона из точки к в п-й зоне проводимости в точку к' в и'-й зоне с поглощением или испусканием фонона (верхний ил и нижний знак) должно удовлетворять законам сохранения энергии и квазиимпульса:
^'к' 2 Гк ± 'к™ = к ± ч • Здесь ^'
том , где |«,к) и —-
Кон-Шэмовские электронные состояния,
—- возмущение Кон-Шэмовского самосогласованного потенциал а, вызванное данным фононом.
Электрон-фононный матричный эл емент хорошо изучен в металлах [12] в связи с исследованием сверхпроводимости. Необходимая для расчета этого матричного элемента в непроводящих кристалл ах модификация кода программы Е5рге55о3.2 [9] была произведена в [6—8]. Соответствие с принятым в [1—3] определением деформационного потенциала определяется соотношением
D
пк,п'к ±q
2VP*\q
h
(/7,к|д^| п\к ±q)
энергии электрона до и после рассеяния, — частота фонона ветви X с волновым вектором q. Вероятность рассеяния в пренебрежении когерентными процессами записывается в виде:
^ 2я ' . V 2
«k,«'k±q
a
Здесь —фононная функция распределения. Ам пл итуда рассея ния дается матричным элемен-
где р и К—плотность и объем кристалла.
Результаты и обсуждение
Наибольший интерес в полупроводниках группы А1ПВУ представляет рассеяние между Г-минимумом зоны проводимости и боковыми минимумами, расположенными в точках X и Ь зоны Брилл юэна. Расчет из первых прин ципов для переходов из центрального миниму-
Г
мы Х[с, ХЪс проведен в работе [13] методом
4
Физика конденсированного состояния^
Таблица 2
Сравнение расчетных результатов, полученных двумя методами — БЕРТ и ЕР
Соединение Деформационный потенциал, 108 эВ/см
-Ох!
1А Ш 1А Ш
Г)РРТ РР Г)РРТ РР Г)РРТ РР Г)РРТ РР
А1Р 0 0 5,42 5,296 0,520 0,590 0 0
А1Ав 0 0 6,72 6,485 0,210 0,149 0 0
АБЬ 0 0 5,32 5,107 0,240 0,246 0 0
СаР 3,520 3,481 0 0 0 0 0,01 0,103
СаАв 0 0 4,170 4,134 0,470 0,574 0 0
СаБЬ* 1,020 0,000 0,000 3,360 0,000 1,050 3,39 0,000
1пР 3,530 3,265 0 0 0 0 0,18 0,426
1пАв 3,920 3,686 0 0 0 0 0,29 0,484
1пБЬ 0 0 3,210 3,004 0,600 0,595 0 0
Примечания. 1. Деформационные потенциалы рассчитаны для переходов Г1с - Х1с, Х3с в зоне проводимости.
2. ОРРТ — метод теории возмущений функционала плотности в базисе плоских волн, расчеты выполнены нами; РР — метод замороженных фононов, расчеты выполнены в работе 113|.
замороженных фононов. Таким образом, для этой группы переходов мы имеем возможность сравнить наши результаты с самосогласованным расчетом, проведенным независимым методом (табл. 2).
В соответствии с правилами отбора [14] рассеяние электронов между минимумами Г[ и Х{ происходит на фононах с симметрией Хх, которые при принятом нами выборе начала координат соответствуют колебаниям только атомов третьей группы. Рассеяние Г,-Х3 происходит на фононах с симметрией Х3, которые соответствуют смещениям только атомов пятой группы. Поэтому для рассеяния на Х-фононах деформационные потенциалы можно ассоциировать со смещениями катионов и анионов по отдельности. Кристалл Са8Ь (помечен в табл. 2. звездочкой) имеет в нашем расчете ту особенность, что для него представления Х1с, Х3с в электронном спектре по энергиям имеют порядок, обратный по сравнению с другими материалами. С учетом того, что в этом кристалле фонон Х1 — это фактически ЬО-колебание легкого иона галлия, а фонон Х3 — ЬА-колебание тяжелого иона сурьмы, здесь, следует сравнивать и Бхх\
полученные в нашем расчете (см. табл. 2), соответственно с и /)г„ полученными в работе [13].
Как видно из табл. 2, оба самосогласованных метода дают близкие значения деформационных потенциалов.
Приведенные в литературе экспериментальные значения констант электрон-фононного взаимодействия обладают большим разбросом [15]. Это связано с тем, что электрон-фононные процессы в кристаллах сочетаются с многими другими каналами рассеяния и не могут быть однозначно отделены от них при обработке различных экспериментов.
Предлагаемый нами метод расчета констант электрон-фононного взаимодействия из первых принципов предоставляет возможность обеспечить надежные исходные данные, относящиеся к этому механизму рассеяния в бинарных полупроводниках, а это позволит улучшить качество подгонки модельных параметров, например, в расчетах методом Монте-Карло [16], для остальных рассеивающих каналов.
Работа выполнена при поддержке грантов Президента РФ № НШ-871.2008.2, РФФИ № 08-02-00640-а и Рособразования № 1.2.007 01695.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Zollner S., Garriga М., Kireher J. et al. Temperature dependence of the dielectric function and the interband critical-point parameters of GaP//Phys. Rev. B. 1993. Vol. 48. P. 7915-7929.
2. Гриняев C.H., Караваев Г.Ф, Тютерев В.Г. Расчет параметров междолинного рассеяния на фо-нонах в полупроводниковых кристаллах А3В3// ФТТ. 1989. Т.'23. С. 1458-1451.
3. Гриняев С.Н., Караваев Г.Ф, Тютерев В.Г. и др. Псевдопотенциальный расчет междолинных потенциалов рассеяния // ФТТ. 1988. Т. 30. С. 2753-2756.
4. Hohenberg P., kohn W. inhomogeneous electron gas // Phys. Rev. B. 1964. Vol. 136. P. 864-871.
5. Baroni S., de Gironcoli S., Corso A.D. et al. Phonons and related crystal properties from density-functional perturbation theory // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 515-562.
6. Sjakste J., Tyuterev V., Vast N. lntervalley scattering in semiconductors: ab initio calculation of the effective parameters for Monte-Carlo simulations // Appl. Phys. A. 2007. Vol. 86. P. 301-307.
7. Sjakste J., Tyuterev V., Vast N. Ab initio study of Г-Х intervalley scattering in GaAs under pressure // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 74. P. 235216-1-7.
8. Sjakste J., Vast N., Tyuterev V.G. Ab initio method for the electron-phonon scattering times in semiconductors: application to GaAs and GaP // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99. P. 236405-1-4.
9. Baroni S. et al // http://www.pwscf.org
10. Tyuterev V.G., Vast N. Murnaghan's equation of state for the electronic ground state energy // Comp. Mat. Science. 2006. Vol. 38. P. 350-353.
11. Landolt-Bornstein. Numerical data and functional relationships in science and technology. New Series. Berlin; Heidelberg; New-York; Tokyo: Springer—Verlag, 1987. Vol. 22a. 451 p.
12. Calandra M., Vast N., Mauri F. Superconductivity from doping boron icosahedra // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 69. P. 224505-1-5.
13. Wang J.Q., Gu Z.Q., U M.F. et al. lntervalley P-X deformation potentials in 111-V zinc-blende semiconductors by ab initio pseudopotential calculations// Phys. Rev. B. 1992. Vol. 46. P. 1235812364.
14. Birman J.L., Lax M., Loudon R. intervalley-scattering selection rules in ill—V semiconductors // Phys. Rev. 1966. Vol. 145, P. 620-622.
15. Prinnila M., Kivinen P., Savin A. et al. Inter-valley-scattering-induced electron-phonon energy relaxation in many-valley semiconductors at low temperatures // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 206 602-1-4.
16. Jaeoboni C., Reggiani L. The Monte-Carlo method for the solution of charge transport in semiconductors with applications to covalent materials // Rev. Mod. Phys. 1983. Vol. 55. P. 645-705.
