Метрические оценки потоков в квазиклеточных сетях Текст научной статьи по специальности «Математика»

- © А.О. Аристов, 2015

УДК 519.179.2:001.57

А.О. Аристов

МЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПОТОКОВ В КВАЗИКЛЕТОЧНЫХ СЕТЯХ

Рассмотрены квазиклеточные сети, представляющие собой дискретные структуры, не имеющие сигнатуру и позволяющие в рамках единой структуры моделировать потоковые системы на микро- и макроуровне. Предложены оценки метрических характеристик потоков в квазиклеточных сетях. Рассматривается плотность, пропускная способность, математическое ожидание и дисперсия.

Ключевые слова: квазиклеточная сеть, дискретная структура, моделирование, микромодель, макромодель, метрики, математическое ожидание, дисперсия, плотность.

В математическом и компьютерном моделировании неоднократно рассматриваются работы [1, 2, 3 и др.], посвещенные вопросам моделирования потоков в сетях на макроуровне. В указанных работах рассматривается задача поиска максимального потока через сеть, заданную в виде взвешенного и ориентированного графа. Особое внимание следует уделить понятию пропускной способности. Именно пропускной способностью взвешены вершины и ребра в графах, рассматриваемых в работах [1, 2]. Однако, в них отмечено, что пропускная способность ребра (вершины) фактически обозначает максимальный поток, который может пройти через ребро (вершину).

В ряде работ, связанных с практическими примерами потоков в част-

ности в задачах моделирования транспортных и термодинамических систем [4, 5] под пропускной способностью понимается величина, размерность которой величина потока/время. В вычислительной технике и архитектуре ЭВМ пропускная способность системной оценивается исходя из ее разядно-сти [6]. Аналогичная оценка встречается в задачах транспортировки жидкостей и газов, в которых пропускные способности оцениваются в зависимости от площади сечения трубы [7].

Следует отметить, что на макроуровне величины пропускной способности являются исходными данными. На микроуровне величина пропускной способности оценивается на основе результатов модельных экспериментов и натурных наблюдений.

Рис. 1. Базовый граф и построенная на его основе квазиклеточная сеть

В ряде работ [8, 9, 10 и др.] автором предложен особый тип дискретных структур - квазиклеточные сети. Указанные дискретные структуры не имеют сигнатуру (рис. 1) и позволяют в рамках единой структуры моделировать системы, поведение которых сводится к рассмотрению распространения потоков в различных предметных интерпретациях [8, 9].

Следует отметить дуализм квази-клеточ ных сетей в вопросах моделирования на микро- и макроуровнях в рамках одной дискретной структуры [9, 10]. Исходя из этого, следует уделить внимание проблемам оценки пропускной способности и ряда других характеристик отдельных элементов в квазиклеточных сетях. Рассматривая пропускную способность как максимально возможную величину потока на участке квазиклеточной сети, ее оценка фактически будет сводиться к количеству клеток, из которых состоит участок сети, либо к количеству клеток, на которое разбивается ребро базового графа (см. рис. 1). Действительно, рассмотрим квазиклеточную сеть с бинарным состоянием, синтезированную методом базового графа С = (V, и) [11]:

Q = Q2,..., Qn}

Ч =( хр , Ур ,5

[5 е{0,1} , (1)

Тогда существует множество клеток:

^^), Q^), Q^),...}

, (2)

^ ик

для которых ик является базовым ребром. В случае бинарного состояния, его интуитивно понятным представлением является наличие фишек в клетках, т.е. фактически рассматривается поток циркулирующих фишек. Тогда

наибольшее количество фишек в клетках равно количеству клеток, для которых выполняется условие (3). Тогда если ребро ик инцидентно вершинам V и Уь, то пропускная способность ребра:

Р

(ик )=У(АУ,-)2 +(Ах,.)2 = 2 • Я

>/( Уьь - У а )2 + (ХЬ - ха )2

2 • Я

(3)

В квазиклеточных сетях с небинарным состоянием предполагается, что некоторые параметры, являющиеся компонентами векторов в каждой клетке принимают некоторое наибольшее значение ц, тогда оценка пропускной способности для ребер такой сети примет вид:

Р

(ик) =

У(Ау,. )2 + (Ах, )2 2 • Я

\1(У ь - У а )2 + (х Ь - ха )2

•Ц =

•Ц

2 • Я ' (4)

Единицы измерения указанной величины совпадают с единицами измерения потока. Предполагается, что в фиксированный момент времени, на измеряемом участке (ребре) может находиться поток, величина которого не превышает указанную пропускную способность р(ик) .

Рассмотренная выше оценка потока основана на применении топологических характеристик участка квазиклеточной сети, но не учитывает его динамические характеристики, а также его циркуляцию, наличие турникетов и т.д. Следует также уделить особое внимание оценкам ряда величин, основанным на циркуляции потоков. Фактически, речь идет об экспериментальной оценке указанных величин на основе циркуляции потоков через участок квазиклеточной сети.

Для экспериментальной оценки величин в каждую клетку участка (в т.ч. ребра) введем параметр, являющийся счетчиком потокообразующих состояний. Элементарным примером по-токообразующего состояния является наличие фишки в клетке. Тогда при появлении фишки в клетке, значение счетчика увеличивается. В такой сети клетка имеет вид:

О =( хр, Ур, СР, Бр)

К -I0'1} , (5)

где 5 - состояние клетки, C - счет-

р р

чик единичных состояний (фишек).

Следует отметить, что счетчик фактически является параметром самой клетки, а не микрообъекта, находящегося в ней. Согласно описанному выше, для счетчика справедливо:

Ср (* + 0) = Ср (*) + 1 при Гвр (*) = 0

к (*+0)=1 . (6) На основе счетчиков проводится экспериментальная оценка ряда величин. Для их оценки считаем, что участок квазиклеточной сети имеет начальную клетку (вход) Qвх и конечную (выход) Qвых. Рассмотрим циркуляции потоков через Q в направлении Q , при условии отсутствия на участке генераторов. Установим в Q и Q счет-

11 вх вых

чики Си С . Учитывая специфику

вх вых

циркуляции и структуры участка (например, наличия турникетов), будем рассматривать функции Свх(£)и Свых(^, значения которых формируются в процессе циркуляции, т.е. фактически указанные функции задаются численно и их значения формируются при

моделировании. Тогда функцию вида: у(*) = Свых (*)

П) Свх (*) . (7)

назовем передаточной функцией участка квазиклеточной сети. Оче-

видно, что при первоначальном отсутствии на рассматриваемом участке потокообразующих состояний (фишек):

Сж (*)< Свых (*) ,

I (Т ) = ■

(8)

поскольку циркуляция потока через указанный участок занимает некоторое время т, т.е.:

Свх (*) = Свьк (* + т) . (9)

Тогда величина потока за время Т является значением счетчика на выходе с участка Свых(Т). Интенсивность потока за указанное время определяется как:

С (Т)

ВЫХ V '

~Т . (10)

Следует отметить, что 1(Т) является дискретной величиной, определенной при Т = 0, 0, 20,... .

Другой характеристикой участка квазиклеточной сети является плотность. Плотность показывает распределение потокообразующего состояния (фишек) в пространстве. Существует несколько подходов к оценке плотности потоков в квазиклеточных сетях. В случае рассмотрения ребер плотность распределения имеет размерность величины 1/Ь, т.е распределение единиц потока на единицах длины. Такая плотность характерна для клеток, синтезированных на ребрах базового графа. Пусть имеем клетки, не являющиеся генераторами, синтезированные на ребре базового графа:

О, =( ^)' У (ик)' С,и), 5(ик Я

^к)

-I0,1}

)- ик и = (У у)

На указанном ребре графа установим счетчики О и О . Тогда вели-

вх вых

чина потока, находящегося на ребре в момент времени t вычисляется по формуле:

)(() = Си)(,)- с(ик>(,) , (12)

тогда линейная плотность потока на ребре определяется как:

Лик) (.)

рик (1: ) Л_(И =

р6 (t) ¿К)

С"к )(t)- С"к )(t)

_ ВХ V / ВЫХ V '

^(уЬ-^^+^-х^ . (13)

Аналогичным образом вычисляются плотности потоков для других элементов квазиклеточных сетей, в частности вкраплений клеточных автоматов, имеющая размерность поверхностной плотности 1/Ь2; а также пространственный вариант вкраплений клеточных автоматов, для потоков в которых характерна объемная плотность 1/Ь3.

Следующей разновидностью плотности является так называемая траек-ториальная плотность, характерная для участков квазиклеточных сетей вида:

Q = ^1, Q2,..., Qn} ^ =( хр , Ур ,5)

Q(m) С Q

Q(m)={Q1(1n), Q1(2m),..., QÍГ)}

Хк - Хк+1) +(Ук - У к+1) ^ 4 • Я2

Я_

>/(хк - х, )2 +(Ук - У) )2 > 4 •Я к = Я, ¡2,..., ¡т ) ф ¡2,..., т -1 ) ф к

(14)

криволинейный участок квазиклеточной сети, для которого можно определить вход и выход. Для такого участка неприменима линейная плотность в виде (13), ввиду его нелинейной конфигурации. Длина такого участка фактически складывается из клеток, в каждой из которых содержится 2 отрезка траектории длиной каждый. Согласно условию (14) на участке содержится некоторое количество клеток Qk™) , тогда его длина вычисляется по формуле:

6 ' = £ 2 • Я

к=]'1,]'2,.. , (15)

отсюда траекториальная плотность вычисляется по формуле:

р^(0=

(t)

6

с(хик}(t)- сщ)(t)

£ 2 • Я

(Q( т))

(ик ),

Фактически условие (14) задает

. (16)

Стоит отметить, что траекториаль-ная плотность имеет размерность величины 1/Ь, совпадающую с линейной плотностью.

Рассмотренные выше величины плотностей предполагают, размерности в единицах, связанных с пространственными координатами. Такие величины целесообразно использовать в тех случаях, когда квазиклеточные сети используются для моделирования и оцифровки объектов в непрерывных пространствах с заданными топологическими координатами.

Рассмотрим еще один способ оценки плотности потоков в квазиклеточных сетях, основанный на применении не пространственных координат, а структуры квазиклеточной сети. Пусть имеем квазиклеточную сеть, с бинарным состонием и счетчиками, заданную согласно (5). Тогда в

множестве Q выделим два подмножества Q(0) и Q(1):

О(0)и 0(1) = о О(0)п о(1)=0

е О(0) при Б1 = 0

е 0(1) при Б, = 1 . (17)

Мощности указанных множеств соответственно P(Q{0)) и P(Q(1)) . Фактически, указанные множества определяют численность клеток, занятых фишками (находящимися в потокообразующем состоянии). Тогда введем величину, характеризующую долю свободных клеток от общего числа клеток сети (участка сети). Назовем такую величину клеточной плотностью:

Р к =

P (Q(1))

P (Q(0)) + P (Q(1))

(18)

В формуле (18) используются мощности как для сети целиком, так и для отдельных ее участков, в зависимости от требуемых значений клеточной плотности.

Выше также рассматривалась пропускная способность ребер квазиклеточной сети. Следует отметить, что фактически предлагаемые оценки пропускной способности (3) и (4) учиты-

вали только топологические свойства квазиклеточной сети. Особое внимание следует уделить вопросам экспериментальной оценки пропускной способности. Наиболее важным отличием экспериментальной оценки является учет циркуляции в квазиклеточных сетях. Следует отметить, что возможно ситуация, при которой циркуляция производится не по всем клеткам участка квазиклеточной сети. Так, для клеток, синтезированных на ребре базового графа:

Q(uk ^^), Q^), Q(uk) '■■■} Q¡ =(^), ) , c(Uk) ^)

5,и) - {0,1}

Q^)- Uk , (19)

при наличии циркуляции по клеткам ребра, в некоторый момент времени каждая клетка окажется в потокобра-зующем состоянии:

V, 3* : С(Uk)(*)> 0 . (20)

Однако для участков сложной конфигурации, при наличии задержек и т. п. найдутся клетки, через которые не будет осуществляться циркуляция:

: С (*) = 0 . (21)

Рис. 2. Пример участка квазиклеточной сети с клетками, не используемыми при циркуляции

Типичный пример участка, отвечающего условию (20) приведен на рис. 2. На представленном участке осуществляется циркуляция фишек от левого края к правому. Клетки, через которые осуществляется циркуляция обозначены на рис. 2.

Фактически, представленный участок эквивалентен множеству клеток, сформированных на ребре базового графа. Однако следует отметить, что возможны значительно более сложные структуры участков, на которых при циркуляции выполняется (21). Представленная ситуация является элементарным примером, в котором считается, что циркуляция осуществляется без временных задержек. При этом, независимо от типа циркуляции в квазиклеточной сети:

Q = ^1, Q2,..., Qn} Ф =( х,, У,-, с,, 5)

5

К)

{о,1}

(22)

экспериментальным путем устанавливается множество клеток:

ГО'С о

е о' при Бt: С ()> 0 . (23) Тогда мощность полученного множества можно считать пропускной способностью (количеством элементов, одновременно находящихся на

участке):

,(«■) =

Р^)= Р(Q') .

(24)

Следует также отметить, что поскольку пропускная способность обозначает максимальный поток за единицу времени [8], то для получения экспериментальных оценок на вход следует также подавать максимальный поток, т.е. :

[Свх (t + 0) = Свх ^)+8

IV* : 5ВХ (t) = 8

где 8 - максимальная величина потока (значение фазовой переменной пото-кообразующего состояния), входящая каждый момент времени. Для бинарных сетей с потокообразующим состоянием, представляемым в виде фишки 8 = 1. Выше отмечалось, что поток на участке квазиклеточной сети, не содержащем генераторы:

t ) = С Х>( t)- сВ!Х}( t) . (26)

Учитывая условие (25) нетрудно видеть, что для экспериментальной оценки пропускной способности потока квазиклеточной сети следует зафиксировать величину выходного потока С^Х (Т) , прошедшего через участок сети за время Т при условии регулярной подачи на вход максимального потока (25). Тогда экспериментальная оценка пропускной способности:

С^') (т)

ВЫХ V '

~Т . (27)

Таким образом, (27) представляет собой экспериментальную оценку пропускной способности, произвольного участка квазиклеточной сети, не содержащего генераторы. В отличие от ранее приведенных оценок (3), (4), (24), предлагаемая оценка проводится на основе данных о циркуляции и не зависит от того, является ли циркуляция на участке равномерной.

Следует отметить, что в случае прохождения потока через участки с несколькими входами или выходами, входные и выходные потоки вычисляются как суммарные потоки через входы и выходы соответственно. Тогда для участка с несколькими входами и выходами, величины входных и выходных потоков за время t в формулах (25), (26) и (27) имеют вид:

Р^ЧТ ) = ■

с(Ц] (t ) = £ с£')( t) сЫ( t ) = £ сО> (t)

(28) (29)

Таким образом, рассмотрены характеристики квазиклеточных сетей. Указанные характеристики позволяют проводить оценку циркуляции в квазиклеточных сетях как экспериментальным путем, так и на основе их топологической стрктуры. Следует отметить, что в работе рассмотрены характеристики элементов квазиклеточных сетей с неизменными входными и выходными потоками (9). Потоки с непостоянной величиной рассматриваются в работе [12] и сводятся к элементам, рассмотренным выше. Кроме того, в отличие от потоков в сетях, рассмотренных в [2] потоки в квазиклеточных сетях моделируются на микро- и макроуровне в рамках одной структуры, где рассматриваемые характеристики являются параметрами макроуровня и проведение модельных экспериментов с квазикле-

точными сетями позволяет получить численное задание указанных параметров.

Отдельно стоит отметить, что ряд характеристик и величин зависит от времени и требует выбора единицы и масштаба времени. Учитывая особенности течения модельного времени *т = т -9 в квазиклеточных сетях, фактически речь идет о дискретном времени. Однако при 0^0 модельное время сколь угодно приближается к непрерывному. Несмотря на это, многие величины, зависящие от времени, остаются дискретными и моделирование квазиклеточных сетей позволяет получать значения этих дискретных величин, которые фактически заданы в численном виде, пригодном для дальнейшей обработки (например интерполяции) с целью доопределения и получения непрерывных функций.

1. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. - М.: Физматлит, 1999. - 544 с.

2. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978. -432 с.

3. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях - М.: Мир, 1966. - 277 с.

4. Буслаев А.П., Лебедев А.А., Яшина М.В. Моделирование потоков на графах. Теоретические и вычислительные аспекты. Учебное пособие. Гриф УМО Прикладной математики и управления качеством. - М.: МАДИ, 2011. - 105 с.

5. Медведев Ю.Г. Многочастичная кле-точно-автоматная модель потока жидкости FHP-MP // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2009. -№ 1. - С. 33-40.

6. Аветисян Д.О., Аветисян Р.Д. Теоретические основы информатики. - М.: РГГУ, 1997. - 167 с.

_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

7. ЛандсбергГ.С. Элементарный учебник физики Т. 1 - 2009. - М.: АОЗТ «Шрайк», 1995. - 607 с.

8. Аристов А.О. Потоки в квазиклеточных сетях // Устойчивое инновационное развитие: проектирование и управление. -Электрон. журн. - 2013. - № 3(20). -С. 36-41. - Режим доступа: ЫИр://шшш. rypravlenie.ru.

9. Аристов А.О. Теория квазиклеточных сетей: научная монография. - М.: МИСиС, 2014. - 188 с.

10. Аристов А.О. Квазиклеточные сети. Синтез и циркуляция // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2013. -№ 2. - С. 125-131.

11. Аристов А.О. Методы синтеза квазиклеточных сетей // Научный вестник МГГУ. -2013. - № 9 (42). - С. 16-21.

12. Аристов А.О. Об элементах квазиклеточных сетей // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2013. - № 11. -С. 322-332. ЕШЗ

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ_

Аристов Антон Олегович доцент, e-mail: [email protected], МГИ НИТУ «МИСиС».

UDC 519.179.2:001.57

METRICS OF NETWORK FLOWS IN QUASI CELLULAR NETWORKS

Aristov A.O., Assistant Professor, e-mail: [email protected],

Moscow Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS».

There are considered quasi cellular nets. This is discrete structures without signature. It may be used for flow-based systems simulations on micro- and macro- levels in single model. It considered metrics of flows in quasi cellular networks, such as density, capacity, average value and dispersion.

Key words: Quasi cellular net, discrete structure, simulation, micro model, macro model, average value, dispersion, density.

REFERENCES

1. Gorbatov V.A. Fundamental'nye osnovy diskretnoi matematiki (Fundamentals of discrete mathematics), Moscow, Fizmatlit, 1999, 544 p.

2. Kristofides N. Teoriya grafov. Algoritmicheskii podkhod (Theory of graphs. Algorithm approach), Moscow, Mir, 1978, 432 p.

3. Ford L.R., Falkerson D.R. Potoki v setyakh (Flows in networks), Moscow, Mir, 1966, 277 p.

4. Buslaev A.P., Lebedev A.A., Yashina M.V. Modelirovanie potokov na grafakh. Teoreticheskie i vychislitel'nye aspekty. Uchebnoe posobie (Graph-based modeling of flows. Theoretical and computational aspects. Educational aid), Moscow, MADI, 2011, 105 p.

5. Medvedev Yu.G. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaya tekh-nika i informatika, 2009, no 1, pp. 33-40.

6. Avetisyan D.O., Avetisyan R.D. Teoreticheskie osnovy informatiki (Foundations of information science), Moscow, RGGU, 1997, 167 p.

7. Landsberg G.S. Elementarnyi uchebnik fiziki, T. 1 (Physics. Elementary textbook, vol. 1), Moscow, AOZT «Shraik», 1995, 607 p.

8. Aristov A.O. Ustoichivoe innovatsionnoe razvitie: proektirovanie i upravlenie, 2013, no 3(20), pp. 3641, available at: http://www.rypravlenie.ru.

9. Aristov A.O. Teoriya kvazikletochnykh setei: nauchnaya monografiya (Quasicellular network theory: Monograph), Moscow, MISiS, 2014, 188 p.

10. Aristov A.O. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten', 2013, no 2, pp. 125-131.

11. Aristov A.O. Nauchnyi vestnik MGGU, 2013, no 9 (42), pp. 16-21.

12. Aristov A.O. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten', 2013, no 11, pp. 322-332.

A

_ РУКОПИСИ,

ДЕПОНИРОВАННЫЕ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «ГОРНАЯ КНИГА»

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ КОЛОНКОВЫХ ТРУБ,

ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ БУРЕНИЯ СКВАЖИН БОЛЬШОГО ДИАМЕТРА ПРИ МАЛООТХОДНОЙ ТЕХНОЛОГИИ ДОБЫЧИ ПРИРОДНОГО КАМНЯ

(№ 1040/01-15 от 19.09.14, 7 с.)

Кондратенко Валерий Ерофеевич - кандидат технических наук, доцент, Девятьярова Виктория Викторовна - доцент, e-mail: [email protected], НИТУ «МИСиС».

THE STRENGTH CALCULATION FOR CORE BARRELS, WHICH ARE USED

FOR LARGE-DIAMETER DRILLING IN LOW-WASTE PRODUCTION OF NATURAL STONES

Kondratenko V.E., Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, Devyatyarova V.V., Assistant Professor, e-mail: [email protected], National University of Science and Technology «MISiS».