Методы восстановления энергетических спектров в электронных спектрометрах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 537.534.3:621.384.8

ИЛ. Марциновский

МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ В ЭЛЕКТРОННЫХ СПЕКТРОМЕТРАХ

Проблема восстановления истинного энергетического спектра по данным измерения возникла в электронной спектроскопии давно, но этот вопрос до сих пор проработан явно недостаточно, и на практике часто пользуются старой методикой, не использующей специальную математическую обработку выходных сигналов спектрометра [1, 2]. При этом энергетический спектр обычно ассоциируется с формой регистрируемого тока на детекторе после выходной селектирующей диафрагмы. В данном исследовании развивается общий подход к этой проблеме , а также предлагаются некоторые конкретные методики восстановления спектра.

Далее мы пользуемся безразмерной моделью описания полей и траекторий, которая минимизирует число символов и упрощает математические выкладки и физическую интерпретацию (подробное ее описание приводится в работе [3]). Здесь важно подчеркнуть, что модель формируется за счет перехода от декартовых координат X, У,7и времени / к безразмерным переменным х, у, г их при помощи преобразований

Х=Ь, У = 1у, Z = /zиí = Гх, (1) где /, Т— линейные пространственный и временной масштабы.

Введем также физический потенциал электрического поля:

Ф = Ф0 ф(х, у, г) + Ф,, (2)

гдеф(х,у, г) —безразмерныйпотенциал;Ф0,Ф, — физические постоянные, связывающие его с масштабом изменения потенциала в описываемой системе.

Для частиц с зарядом # и массой т связь компонент скорости в начальный момент времени

задается в виде ***

что позволяет выразить безразмерную кинетическую энергию (она будет играть важную роль в дальнейшем анализе):

ж = ^ + у1 + 4 =_Е_ (4)

2 дФ0 2 дФ0

Таким образом, параметр IV выражает начальную кинетическую энергию частицы Е в долях <?Ф0 характерной потенциальной энергии поля: и = #Ф0 • В данном случае эту величину мы будем рассматривать как энергию развертки.

Вывод основного интегрального соотношения

Перед началом обсуждения собственно алгоритмов восстановления рассмотрим процесс формирования тока на детекторе, так как разные авторы [2,4—8] используют различные подходы к этому вопросу. Традиционно [1] для описания тока используется понятие аппаратной функции Л(Е, и), которую можно определить как зависимость выходного тока энергоанализатора от энергии настройки ¿7при условии, что источник ионов — моноэнергетический [Е = сог^) . Эта зависимость задается в явном виде в форме некоего интегрального соотношения, из которого можно найти точную форму спектра /(£) по экспериментально измеренной функции У (£/). Следует отметить, что аппаратная функция не характеризует анализатор сам по себе, но непременно в связке с типом используемого электронного источника.

В общем случае стационарный источник электронов можно описать плотностью эмиссии

У, которая зависит от координат рождения элект-

ту2

ронов ' и У > кинетической энергии Е = —-—

и углов 0, у, определяющих направление вектора скорости V вылета электронов:

] = Е (',Л,У0, ЪЕ ). (5)

Об энергетическом спектре /(Е) такого интегрального источника можно говорить только в том случае, если /'распадается на множители вида

] = Р = Я ('лДД У)/(Е). (6)

Именно с такими источниками обычно имеют дело в энергоанализе.

Вначале мы рассмотрим плоскую модель движения частиц в поле, полагая, что оно происходит под действием сил с безразмерным потенциалом ф(х,г). Для простоты рассуждений

положим, что

Эф

дх

> 0, тогда для частиц, стар-

х>0

тующих из области начала координат х = г = О, электронные траектории образуют дуги, пересекающие ось г. Здесь мы и расположим селектирующую щель »У и детектор частиц (рис. 1, а). Динамика частиц описывается здесь системой

дт , п йх

х = —х\ _ = 0, -

дх 1т=° йх

дт | йг

% = —А = о, —

д! 1х=0 йх

= х0

х=о (7)

= ¿п =со5 8.

:=0

= £ и=дф (8)

2 и 0

Интегрируя эти уравнения, получим зависимости

х = х(ърАФ), 2 = г()• (9) Полагая х = 0 , находим момент встречи т траектории с осью г, который далее встраиваем в зависимость т^ДИ^) и получаем основную функцию такого абстрактного энергоанализатора:

В ней в неявном виде содержится основная информация о свойствах системы: величине дис-

дР

персии Л = IV-, разрешающей способности

д

\VfAW, качестве фокусировки, светимости и светосиле.

Р(р, 9, а+5)

Рис. 1. Определение аппаратной функции энергоанализатора: а — общий вид анализатора: 1— траектории частиц, 2— детектор (Р1Р2), 3— электроды, р— источник, 89 — раствор пучка; б— аппаратная функция

для анализатора типа плоское зеркало,

Щ, 1Ук— границы

соответствующих областей интегрирования; в — объем интегрирования

9

Энергоанализ заключается в том, что через щель »У пропускаются частицы со средним значением Щ) и разбросом АИ^возле него. В силу соотношения (8), меняя Ф0, мы можем приводить на детектор последовательными группами все электроны спектра /(Е) источника с функцией эмиссии ] = Я (р ,6)/ [Е).

А

каемого щелью, линейно нарастает вместе с основной энергией Е. Здесь сразу же обнаруживается свойство практически любых систем такого типа; оно заключается в том, что мы обязаны заранее обрезать интервалы изменения начальных данных на источнике , так как вполне может оказаться, что при любой энергии И^найдется набор начальных данных, гарантирующий пролет через щель. В нашем случае ограничения на стартовые условия имеют вид

0 <р < 5;

<е<е2.

Приведем теперь схему расчета аппаратной функции при заданной функции распределения электронов на эмиттере К[р,6). Построим пространство параметров р,9,Щрис. 1, в). Неравенства (11) «вырезают» в полупространстве IV > 0 прямоугольную трубу. Функция прилета Р(р, 6, ^) должна удовлетворять условиям попадания в щель между г — апг= а + что эквивалентно неравенствам

а<Р(а )<а + Б, (12)

которые задают две граничные поверхности:

\W = a(p, 0, а); \W = $(p, 0,a + S)

(13)

(Н)

Пусть )¥— фиксированная постоянная величина. Потокчастиц, удовлетворяющий условиям (11), создаст на оси г сплошной отрезок Р{ Р2 — пятно засветки. При вариации И^пятно засветки движется как целое и, кроме того, оно может меняться по размерам. Пусть Е в выражении (6) — фиксированная величина, тогда при изменении ¿/энергия И^тоже будет меняться, причем малым значениям ¿7отвечают большие значения ]¥. Рассматриваем эволюцию пятна засветки РХР2 вдоль оси. Наращивая И^от малых значений за счет изменения ¿7, мы добьемся, что при каком-то \¥0 граница пятна засветки Р2 достигнет левого края щели г = а, и пучок начнет «проваливаться» на детектор, создавая ток А(И^).

Если щель достаточно велика по сравнению с

()

тонно, пока точка Рх не «упрется» в левый край щели г = а при IV = Щ > Щ . После этого некоторое время при увеличении () на детекторе будет постоянен, пока точка Р2 не достигнет правого края щели г = а + Б при IV = Щ. Пятно засветки начинает уходить за пределы щели, и ток А(И^) начинает монотонно падать до момента, пока Рх не достигнет точки г = а + 5 при IV = Щ . В результате эпюра тока А(Ц/) принимает вид трапеции с криволинейными боками (рис. 1, б). Построенный график тока А^Ц/) и есть искомая аппаратная функция.

Они вместе с неравенствами (11) «вырезают» в фазовом пространстве источника р, 0, W сложную объемную фигуру, которая в общем случае достаточно широкой щели состоит из центрального прямоугольного бруса и двух криволинейных наростов сверху и снизу (рис. 1, в). Чтобы вычислить аппаратную функцию системы с заданной плотностью Я(р,0) мы должны пересечь фигуру на рис. 1, в плоскостью W = const и при каждом ее положении фиксировать сечение ею допустимой области прилета Х(И^); далее необходимо ее интегрировать по 0 и р. Тогда для A(W) получим выражение

A{W) = \\ R{py0)dpdQ. (14)

Q.{W)

Таким образом, в общем случае ход аппаратной функции всегда разрывной и состоит из трех ненулевых фрагментов:

о,

0<W < Щ; Щ <W <WX,

А

IV, <W<W,

2'

(15)

о,

W2<W <Wk\

w>wk.

Поскольку, как мы установили,

А=А {W ) = А

V

(16)

полный ток через щель, очевидно, можно записать в виде интеграла

J{u) =И uV ^

(17)

Однако специфика аппаратной функции такова, что она обращается в нуль на крыльях 0<^<^0и IV > Щ, следовательно, интегрирование имеет смысл только на интервале Щ, < Ж < Щ. Из условий

0 и и

(18)

т = н§)/{E)dE.

(19)

В общем случае, когда А имеет разное представление на трех фрагментах своей трапеции, интеграл представится суммой вида

Т (ЕЛ Ли)= р. JJ К{E)dE +

W.JU

П'\и

WM

+ Л J f(E)dE + |Л2 -]/(E)dE. (20)

WJU

¡■V,и 4

x = zctg6-An-т—

2W cos 6

(21)

С учетом движения в дрейфовом пространстве диапазон энергий частиц на детекторе при заданном угле вылета и поле в анализаторе определяется из неравенств

Щ<Ц^<1Ук, (22)

где

Фп

при каждом фиксированном ¿/можно вычислить соответствующие значения Е0 и Ек, определяющие концы интегрирования в (17); в результате интеграл приобретает форму

W0(Q ) = [z,-Actge]

Jo

2sin2e

Ф

wk(e) = [z2-hc tge]—

о

e

(23)

Полный ток на детектор при заданной межэлектродной разности потенциалов равен интегралу функции распределения по углу и энергии:

ЬЩи

/(и)=| | /((24)

е, \уаи

Чтобы выделить в данном выражении ядро (аппаратную функцию) в явном виде, нужно выделить часть, связанную с геометрией системы и источника. С этой целью найдем для начала зависимость 9(И/):

е,<е<е2, 012 =шсйпи{2\ (25)

Полученное выражение относится к уравнениям Вольтерра 1-го рода в силу того, что пределы интегрирования переменные. Методы решения интегральных уравнений, разработанные без учета специфики порождающей их проблемы, чаще всего отличаются неудовлетворительной точностью решения, поэтому далее исследуется несколько подходов к решению уравнения (20) для конкретных анализирующих систем.

Восстановление спектра с помощью деконволюции

Чтобы продемонстрировать возможности техник восстановления спектра, мы будем использовать простую модель плоского зеркала. Будем пользоваться той же схемой анализатора, что и на рис. 1, а, но источник частиц и детектор считаем вынесеннными с оси г. Динамика частиц в области с ненулевым потенциалом описывается при помощи системы, аналогичной (7); тогда траектория движения в анализаторе определяется в виде

%2="

J_

3 Ь

X +

а\г -66-3

+

1,2

a,=func(z,), a2=func(z2); (26)

Х =

-а^-Ш + Э

27 (а4-а262-10а26 + 2а2 + + 863 + 1262+66 +l)

(27)

Здесь и — вещественный корень уравнения

62а3-2а6а2 + (а2 + 26 + 1) а-2а = 0; (28)

«I и «2 соответствуют границам детектора гх и г2, величина а включает зависимость от положения точки прилета на детектор, Ь — энергетический параметр:

а = ф, b = 2W/h.

(29)

Теперь интегральное выражение для тока запишем в виде

/(£/ )= | | р(в)8(Е))МЕ, (30)

или

где

И-'Д/

(Е

J(u) = íк йПЕ)UdE>

(31)

К

и

= J p(Q)dQ

* (%)

Р2 . .

/(у) =]К\у-р )р (ер )Л/р. (32) Р,

Данное уравнение является интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода типа свертки. Особенности взаимодействия анализирующей системы с частицами, а также зависимость тока от углового распределения здесь сосредоточены в ядре К'. На рис. 2 представлены зависимости формы ядра интегрального уравнения (32) от 59. Видно, что результаты расчета для модели плоского зеркала отлично согласуются с нашими предыдущими рассуждениями.

При моделировании мы использовали функцию распределения в виде

Итак, мы получили связь спектра и измеряемого тока при помощи аппаратной функции (19) для плоского зеркала. Теперь введем переменные Е = е^,и = еи, с ними уравнение (31) приводится к виду

р{Е) = кх ехр

+ к2 ехр

га, -Ел

м ;

г а2-Ел2

(33)

о)

W, о. е.

в, = 0,35 рад 02 = 0,75 рад л", = 1,035 м х, = 1,055 м

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 а> РаД

б)

К, о. е.

а, = 0,5 рад

0,4-

0,2

а2 = 0,505 рад

Q0L

0,565 рад

6,06

6,08

6,10 6,12

е, ДжхЮ'

0,004

0,008

е, ДжхЮ'

и, в

Рис. 2. Восстановление энергетического спектра в плоском конденсаторе; а — область интегрирования в пространстве (0, W) при фиксированных координатах детектора z¡ и z2; 6— профили ядра К сверточного уравнения при разных углах раствора пучка частиц 80; в — пример восстановления энергетического спектра с помощью алгоритма Голда при рп< 1,3- 1(Г2, ах = 0,3825, а2 = 0,38274;

1 — зависимость нормированного тока детектора от разности потенциалов между пластинами анализатора; 2— модельный спектр р(е), точки — восстановленное распределение по энергиям

поскольку типичным электронный спектр представляет собой набор пиков Гауссова типа, имеющих различное положение на энергетической шкале.

Здесь размерность матрицы К п — 2000; количество итераций /= 1,0 • 105; минимальный угол вылета 6, = 0,5 рад; максимальный угол вылета 62 = 0,55 рад; распределение по углу р(9) = 1 координаты детектора х, = 1,006; х2 = 1,007 потенциал Ф0 = 1,0; а, = 0,3825; а2 = 0,3831 1,0; ¿2= 0,4; с, = с2 = 1,0-10^4.

Для решения (31) относительно е(Е) можно использовать один из распространенных методов деконволюции [9, 10]. На рис. 2, в представлен результат восстановления функции распределения с помощью алгоритма Голда. Мы можем констатировать, что разрешающая способность модельного прибора повысилась. Проведенная математическая обработка позволила извлечь из исходного тока дополнительную информацию о структуре пика. Данный результат получен при точности восстановления на уровне ря <1,0 -10 . Повышение разрешающей способности в данной конфигурации и при уровне точности восстановления ри <1,3-10"2 составляет кЕх/ кЕ2=5,19. В зависимости от конкретных технических характеристик системы и особенностей снимаемого спектра, повышение разрешающей способности может быть еще более значительным.

Восстановление спектра методами разложения по базису

Один из подходов к решению интегрального уравнения (20) состоит в разложении входящих в него функциональных зависимостей в ряды и вычислении соответствующих коэффициентов. На простом примере рассмотрим, как это может быть реализовано. Мы предполагаем, что поведение функциональных зависимостей тока и распределения по энергии в области интересующих нас значений потенциала развертки и энергий частиц позволяет произвести такое разложение; свойства ядра интегрального уравнения были рассмотрены выше.

Будем каждый из трех участков ядра (20), представленных на рис. 1, б, аппроксимировать полиномом 3-й степени:

1 1 12 1^.2 2 22 23.

а0+а,х + а2х +а3х ,а0+а, х + а2х + аъх ,

al + а,3х + а2х2 + а|х3, (34)

а функцию распределения возьмем f(E) = = const, и следовательно, при разложении ее в ряд он будет содержать всего одну константу /;0.

Далее для краткости будем рассматривать только первый интеграл из суммы (20). Исполь-

Е тт

зуя вместохиу соответственно — и и, получаем

подынтегральное выражение в виде

1 1Е [ Е2 ап + а, — + а-, —^ + о-о 1 ц 2^2

Jl.

V

(35)

и после интегрирования

b(iU

+ с:

= Ь$ик +с . (36)

Верхний индекс 1 в коэффициенте к1 означает, что он относится к первому интегралу, входящему в сумму (20). Целиком правая часть может быть записана в виде

Ь^и[кх + к2 + к3) + с. (37)

Левая часть (ток) также может быть разложена в ряд вида а0 + аху , и тогда, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях ¿7, мы получаем простую, хорошо обусловленную систему линейных уравнений:

а = с'

а, =60 +к2+к3).

(38)

Из этого выражения легко найти коэффициенты Ь (в данном случае он один).

Проведем небольшой анализ полученных результатов. В данном выводе мы произвольным

образом обрывали ряды апх", итут и Ьт_{гт~{, выбирая пит удобным для нас образом. Возникает вопрос о состоянии системы, когда эти числа окажутся достаточно большими. Как мы выяснили ранее (см. рис. 1, б), ядро (20) носит явно немонотонный характер, но отдельные его участки прекрасно аппроксимируются полино-

мами, а при определенном выборе условий средняя часть вообще окажется константой. Поскольку точки разрыва можно вычислить, это означает, что ядро интегрального уравнения с большой точностью аппроксимируется полиномами невысоких степеней.

Сложнее обстоит дело с током. Типичный ток, снимаемый на детекторе, представляет собой последовательность пиков, различных по форме, размерам и положению, но все же более или менее близких к Гауссовым. Небольшой участок такой последовательности тоже может быть довольно хорошо аппроксимирован полиномами, но весь спектр целиком разложить по такому базису проблематично. Здесь может оказаться полезным переход к кусочно-непрерывной аппроксимации, например сплайнами.

В любом случае система (38) является строго диагональной, а число уравнений соответствует степени аппроксимирующего ток полинома. Даже значительное увеличение числа уравнений (рост степени полинома) не окажет большого влияния на точность получаемых результатов.

Мы не приводим здесь полный вывод уравнений для произвольных пит ввиду его громоздкости; ограничимся только конечным результатом:

— , + , L P+l Р

и система полностью имеет вид: «о = с'

h = bo (*о + *о+*о);

(39)

ат ~Ьт-\ (ук{т-\ + ^т-1 + к,

(40)

Таким образом, мы рассмотрели общий подход к определению связи между током на детекторе энергоанализатора и истинным энергетическим спектром. Такая зависимость, как известно, носит интегральный характер, поэтому для определения спектра нужно решать соответствующее интегральное уравнение. В результате получена удобная форма этого выражения, позволяющая строить методики определения истинной формы спектра и повышения разрешающей способности индивидуально для широкого класса анализирующих приборов. В качестве примеров таких методик представлен метод деконволюции и метод разложения по базису, также приведены некоторые результаты восстановления, демонстрирующие положительный результат их применения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Афанасьев, В.П. Электростатические энергоанализаторы для пучков заряженных частиц |Текст|: / В.П. Афанасьев, С.Я. Явор,— М.: Наука, 1978,- С. 224.

2. Жабрев, Г.И. Восстановление истинного энергетического распределения частиц, прошедших через спектрометр с известной аппаратной функцией |Текст| / Г.И. Жабрев, С.К. Жданов // ЖТФ.- 1979,- Т. 49,- № 11,- С. 2450-2454.

3. Голиков, Ю.К. Теория синтеза электростатических энергоанализаторов [Текст]: / Ю.К. Голиков, Н.К. Краснова,— СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2010,- 409 с.

4. Коротких, В.Л. Улучшение энергетического разрешения фотоэлектронных спектров программной коррекцией на аппаратную функцию [Текст] / В.Л. Коротких, Г.Л. Косарев, А.Б. Ормонт, А.В Коротких // ПТЭ,- 1994,- № 6,- С. 88-95.

5. Горелик, В.А. Восстановление формы спектра без изменения аппаратной функции анализатора |Текст] / В.А. Горелик, А.В Яковенко // ЖТФ,- 1997. - Т. 67. - № 1. - С. 110-114.

6. Курнаев, В.А. Влияние аппаратных функций электростатических и магнитных анализаторов на обработку экспериментальных результатов |Текст| / В.А. Курнаев, В.А. Урусов // ЖТФ. - 1997. -Т. 67. - № 6. - С. 86-91.

7. Курнаев, В.А. Восстановление энергетических спектров для спектрометров с предварительным замедлением из диафрагм с круглыми отверстиями |Текст| / В.А. Курнаев, В.А. Урусов // Письма в ЖТФ. - 2010,- Т. 36. - № 10. - С. 24-31.

8. Шевченко, С.И. Метод вычисления аппаратной функции аксиальных электростатических энергоанализаторов [Текст] / С.И. Шевченко // Научное приборостроение. — 2010,— Т. 20. — №2. - С. 73-81.

9. Morhac, М. Multidimentional FFT based positive definite Gold deconvolution algorithm [Text] / M. Morhac, V. Matousek // J. Electr. Eng.— 2005.— Vol. 56,- P. 141-145.

10. Carasso, A.S. Linear and nonlinear image deblurring: a documented study |Text| / AS. Carasso // J. Numer. Anal.- 1999,- Vol. 36,- lss. 6,- P. 1659.