Методы решения задач управления поведением однородных социальных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

at http://www.itu.int/ITU-T/. 23.Tan K-C. B, Arslan T. Shift-accumulator ALU centric JPEG2000 5/3 lifting based discrete wavelet transform architecture. 7803-7761-3103111. 7.00 02003 IEEE. P. V-161. V-164. 24. Lian C-J., Chen K-F., Chen H-H., Chen L-G. Analysis and architecture design of lifting based DWT and EBCOT for JPEG2000. Proceedings of Technical Papers of 2001 International Symposium on VLSI Technology Systems and Applicarions. 2001. P. 180-183. 25. Simon T., Chandrakasan A.P. An ultra low power adaptive wavelet video encoder with integrated memory // IEEE Journal of Solid-Slate Circuits.Vol. 35, No. 4.2000.10 p.

Поступила в редколлегию 11.03.2006 Хаханова Ирина Витальевна, докторантка кафедры АПВТ ХНУРЭ. Научные интересы: проектирование цифровых систем на кристаллах. Увлечения: английский язык, музыка. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-326. E-mail: [email protected]

УДК 519.6 Н.И. КАЛИТА

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ПОВЕДЕНИЕМ ОДНОРОДНЫХ СОЦИАЛЬНЫХ ГРУПП

Формулируются математические модели задачи управления поведением однородных социальных групп, соответствующие различным способам управления. По постановке эти задачи относятся к классу задач условной нелинейной оптимизации. Рассматриваются случаи задания параметров математических моделей в виде точечных и интервальных значений. Для решений задач предлагаются алгоритмы прямой и обратной прогонки метода динамического программирования, формулируются соответствующие рекуррентные соотношения.

1. Введение

В системах управления социально-экономическими объектами решаются задачи управления не только материальными потоками, но и группами людей. Индивидуум или группа людей выступают в роли лица, принимающего решение (ЛПР), которое имеет свои предпочтения {a¡}i=i"n при выборе единственной альтернативы x0 на заданном множестве

x е X. В [1] на основе теории полезности проведена формализация проблемы управления поведением однородной группы индивидуумов, определены способы управления поведением: 1) изменить предпочтения a¡ (весовые коэффициенты важности объективных частных характеристик альтернатив k¡ (x)); 2) изменить объективные частные характеристики заданной альтернативы k¡ (xз) при неизменных значениях a¡; 3) комбинировать указанные способы. Сформулированы соответствующие задачи управления [2] как задачи распреде-

n

ления ограниченного количества моноресурса R = 2 (гц + r2i), который используется для

i=l

изменения ai и ki(xз)в целях повышения привлекательности заданной альтернативы

P(xз). Зависимости ai = f1i(гц) и ki(x) = f2i(r2i) аппроксимируются логистическими функциями. Предложены математические модели указанных задач.

Цель исследования: существенная экономия времени и материальных затрат при управлении поведением однородных социальных групп за счет использования формальных методов решения задач управления путем изменения предпочтений индивидуумов и частных характеристик альтернатив.

2. Постановка задачи

Задача управления предпочтениями формулируется как минимизация затрат ресурсов для достижения наибольшей привлекательности заданной альтернативы в сравнении с другими альтернативами множества X. С учетом изложенного представим следующую математическую модель задачи управления предпочтениями:

1. Минимизировать ресурсы:

Zru ^ min (1)

i=1 4i

при ограничениях

P(x3) _ Z a0 + dli (rii)rii • kзн + Z_^_k- >

i=i1 + Z dli (rii )rii i j*1 + Z dli (rii )rii J ii

n aj + dii (rii )rii кн + v aj кн _ P(x ) 3 _

> £i + Z dii (rii )rii ^кн + Ji + Zdii (rii )rii кн _ P(Xl)' X3 * X'' V1 =1,N -i' (2)

Z aj + Z a0 +Z dii (rii )гц

M i_i_= i

i + Z dii (rii )rii '

(3)

а0 + ^ (г")Г" > 0 _^_> О (4)

1 + 2 % (Гц )ГЦ ' 1 + 2 (гц )ги

где аО - начальные значения коэффициентов важности частных характеристик до начала управления; а0 - начальные значения коэффициентов важности частных характеристик, в изменение которых ресурсы не вкладываются; кзн и к3 - нормированные значения

объективных частных характеристик заданной и остальных l = 1, N -1 альтернатив;

k ?(x) =

k i (x) - k i HX(x) k i rni(x ) - k i нхМ

\ai

, k i нл (x), k i нх (x) — наихудшее и наилучшее значения i -й ха-

рактеристики на всем множестве X, а 1 - показатель нелинейности; ^ (г^)- производная логистической функции.

В (2) из уравнения полезности заданной альтернативы вычтем уравнения полезностей

остальных xi е X , l = 1, N -1, и, обозначив Akа = k3н - k¡1, Akji = k3JH - k^, получим равносильное условие:

Z (aj + dii (rii )rii) •Akii + Z ajAkji

J_jW_> j

i + Z dii (rii )rii . (5)

i

С учетом того, что Z dii (rii )rii > 0 и Z a0Aki1 + Z ajAkj1 = G1 - некоторое число, 1 = i, N -1, i i j^i

выражение (5) примет вид:

(1+ Z dii (rii )rii )(G 1 + dii (rii )rii Akй) > о . (6)

Задача управления объективными характеристиками альтернатив формулируется следующим образом:

2. Максимизировать привлекательность заданной альтернативы:

Z ai [Aid2i (r2i )r2i + Bi ]ai ^ max, (7)

i=1 r2i

при условии

Zr2i < R, (8)

i=1

1 k 0 (x з) k* (x) где A =-, в = 1 1 нх , k0 (xз)- количественное значение объек-

k 1 нл(х) - k 1 нх(х) k 1 нл (x) - k 1 нх (x) 1

тивной частной характеристики до начала управления.

В общей задаче управления поведением имеющийся моноресурс r используется на изменение предпочтений и на улучшение объективных характеристик заданной альтернативы. С учетом соотношений (4) и (7) сформулируем следующую задачу:

3. Максимизировать привлекательность заданной альтернативы:

n a0 + di; (rij )ri; r 1a.

2 1 +v d (( ) (Г21 )Г21 + B1 ] max (9)

1=11 + 2 d11 (r11 )r11 111,121 (9) 1

при условиях

2(ri1 + r21) < R (10)

1=1

и (3), (4).

Отметим, что задача (1)-(4) является обратной задачей распределения ресурсов задаче (7),(8).

В силу нелинейности целевых функций (7), (9) и ограничений вида (2)-(4), (6) сформулированные задачи распределения ресурсов относятся к классу задач нелинейного программирования, и необходимо обосновать выбор конкретного метода для их решения. Кроме того, в указанных задачах возможны различные способы задания a1 [3]: в виде детерминированных и вероятностных, точечных и интервальных значений.

Таким образом, необходимо разработать методы решения указанных задач для ситуаций, когда весовые коэффициенты a1 заданы в виде точечных количественных значений и в виде интервалов, на которых предпочтения не заданы, т.е. параметры статистических распределений неизвестны.

3. Методы решения задач для различных ситуаций определенности

исходных данных

Ситуация 1. В задачах (1)-(4), (7)-(10) значения весовых коэффициентов a1 заданы как точные количественные значения. Один из подходов к решению задач условной нелинейной оптимизации - свести задачу к задаче без ограничений, например, методом штрафных функций. Введение штрафных функций приводит к росту размерности задачи, особенно в данном случае, когда ограничения заданы в виде неравенств, что требует введения дополнительных переменных. Учитывая специфику рассматриваемых задач, где целевая функция (1) невыпуклая, (7), (9) - нелинейные, а ограничения представлены линейными или нелинейными неравенствами, целесообразно использовать универсальный подход к решению этих задач, основанный на методе динамического программирования [4, 5].

Ситуация 2. Значения предпочтений a0 заданы количественно, но не точно, а в виде

интервалов а0 е [а0 ;а0 ] и предпочтения внутри интервалов неизвестны. Это означает,

¡тш ¡тах

0 * 0

что точное значение a < a- < a- и можно утверждать, что и точное решение задач

imin 1 max

распределения ресурсов г-1 < r- < r® , где г-н , г-в - соответственно нижняя и верхняя граница приближения. Если a0 е [a0 . ;a0 ] - интервальное число, тогда в условии (5) [6, 7]:

[a0 . ;a0 ]-Akü =

1 min i max

a0 Akü;a° Akü

1 min 1 max

a° Ak1l;a° Akü

1 max 1 min

если Akü > 0; если Akü < 0

[a0 . ;a0 ]• Akj, =

j min j max J

a0 Ak ü;a0 Ak ü

j min J jmax J a0 maxAk jl;a0min Ak jl

если Ak ji > 0 :

если Ak ji < 0 .

В условии (6) Gi - интервальное число, где Gi можно сформировать несколькими способами, взяв:

- наиболее широкий интервал изменения G i е [G iмин; G i Макс ];

- наиболее узкий интервал изменения Gi е [Gimin; Gimax];

- в качестве границ интервала средние оценки минимальных и максимальных значений G, е [G^ ; Gf ]

i L i ми^' i максJ

Условия (3),(4) соответственно примут вид:

Z[a0 . ;a0 ] + Z[a0 . ;a0 ] + Zdu(ru)ru

■ jmin jmax ■ i min i max ■

—-1-1-=и (11)

1+ Z du (гЦ )ru , (11)

i

[a0 . ;a0 ] + du(ru)ru [a0 . ;a0 ]

imin imax_= [01] jmin jmax = [0;1]

1+ Z du (гц )rii L'J, 1+ Z du (гц )rii . (12)

i i

В задаче управления частными характеристиками альтернатив и общей задаче целевые функции (7) и (9) примут вид:

Z[a0 . • (Aid2i (r2i) + Bi)ai;a0 • (Aid2i (r2i) + Bi)ai ] ^ max (13)

i=1 i min i max i^i '

Z([a0 . ;a0 ] + du(ru)Aru) •(Aid2i(r2i) + Bi)ai ^ max (14)

i=1 i min i max ¡щ ,r2i ' v '

Функции в выражениях (11)-(14) являются интервально-значными функциями типа F(ri, ai), так как содержат константы в виде интервалов. Представим каждую из них парой

граничных вещественных функций F(ri, ai) = [f1 (r, ai),fr2 (r, ai)] по правилу [7]:

fr1 (ri, ai) = fr (ri, aimin ) , (15)

f r2 (ri, ai) = fr(ri, ai max) . (16)

Использование таких функций в рассматриваемых оптимизационных задачах позволяет

найти координаты 2n точек: г, = (r^ ,r2,г^;! } , i = 1,п, - нижнюю оценку значения

г; = (r1 ,r2 ,...,rn} и r, = (r1l ,r2l ,...,rlll}, l = n + 1,2n, - его верхнюю оценку в области допустимого множества решений.

Для решения сформулированных задач используются подходы, описанные в ситуации 1. Однако при этом возникают следующие трудности:

n 0 n 0

1) поскольку в общем случае Z a0 ф 1 и Z a0 ф 1, необходимо задавать такие

i=1 i min i=1 i max

0 0 --n 0 n 0

значения a и a, , i = 1,n, чтобы выполнялись условия za0 = 1 и Za0 = 1;

1 min i max i=1 i min i=1 i max

2) на множестве точек r,, l = 1,2n, выбрать единственное решение r0 = (ri0 }i=m. Рассмотрим способы преодоления указанных обстоятельств.

Сформулируем правила задания ai, когда исходная информация задана в виде ai е [a0 a0max ] и предпочтения внутри интервалов неизвестны [8].

Для определения значений r = (rn ,r2J ,...,rlll}, l = l,n, в граничной функции (15) задается

значение a. , а для выбора остальных значений aj, j ф i, j = 1, n -1 используем логичное предположение, что случайные величины ai распределены по закону равной вероятности в интервале [a0 . , a0 ], и математическое ожидание определяется по формуле

i min i max

Ma i = (a0 + a0 )/2

i min i max

Относительно этого значения скорректируем значения a j:

n-1 0

2 Ma j - (1 - a0 j=i j i

_ min

aj = Maj - —-Aaj

n-1

2Aaj j=1

В граничной функции (16) для определения г = {гЦ, г-Вх ,...,гПв}, 1 = п + 1,2п, задаются значения а; тах , и aj определяются как

п-1

2 Ма j - (1 - а;тах )

а; = Ма ; - —---Да;

л л п—1 J

j=l

Выбор единственного решения г0 = {г® , г-,..., г0 } на сформированном множестве допустимых решений целесообразно производить по минимаксному критерию вида [8]:

1

K = min ff Ф1 (ч )ß

r0 Li=i

[ n 0 2 1 ^

где Ф1 (ri) = | 2 (ril - Г; ) г имеет смысл расстояний между точками, ß - адаптационный

параметр, позволяющий регулировать «жесткость» минимаксной схемы. При 1 < ß < 2 реализуется «мягкий» минимакс, гарантирующий решения, близкие к экстремальному. При ß = 3 обеспечивается достаточная «жесткость» минимакса, при которой полученное решение является наиболее устойчивым к вариации границ области допустимых решений.

К полученным задачам, где а; заданы в виде точечных значений, применим метод динамического программирования.

Для определенности будем полагать, что использование ресурсов R должно происходить некоторыми фиксированными величинами Ar , так что R = s • Ar . Такого типа задачи по своей природе являются комбинаторными, поскольку необходимо перебрать все разбиения R на n групп, причем из целых чисел Ar . Традиционно подобные задачи решаются методом динамического программирования [9, 10].

Этот метод реализуется алгоритмами прямой или обратной прогонки, которые приводят к одному и тому же решению. В общем случае алгоритм обратной прогонки может быть более эффективным с вычислительной точки зрения. Поскольку алгоритмы для задач (1)-(3) схожи, условно обозначим r1; и r2; через r;.

Разобьем задачу на i = 1,n этапов. Варианты решения на этапе ; описываются количеством ресурсов r; = t; Ar, вложенных в изменение а; или k; (xз). Состояние Е ri на ; -м

i

этапе выражает суммарное количество ресурсов, вложенных на этапах 1,2,..., i в алгоритме прямой прогонки или n,n - 1,...i в алгоритме обратной прогонки. Это определение

п

выражает тот факт, что ограничение на ресурсы 2 г; < R является единственным, связы-

1=1

вающим п этапов вместе.

Прямая задача распределения ресурсов. Используем алгоритм обратной прогонки. В этом алгоритме предполагается, что к последнему ; -му этапу нераспределенным осталось количество ресурсов Si = 1п Дг, где 1п = 1 или 1п = s. В таком алгоритме оптимизация выполняется за два прохода, и во втором проходе из условных оптимальных решений на каждом этапе выбираются наилучшие, дающие в сумме оптимальное решение. Результаты расчетов для этапов, начиная с последнего, т.е. 1п, заносим в табл. 1, в табл. 2 представлены результаты последних двух этапов.

Таблица 1

; = п 1п Дг Рп(х з,1п Дг) ; = п-1 1п -1Дг Рп-1 (х з,12 Дг)

1п = 1 Дг Рп( хз, Дг) 1п-1 = 1 Дг Рп-1 (хз, Дг)

1п = 2 2 Дг Рп(хз, 2Дг) 1п-1 = 2 2 Дг Рп-1 (х з, 2Дг)

1п = s R Рп(х з,R) 1п-1 = s Рп-1 (х- 1п-1Дг)

Таблица 2

; = 2 12 Дг Р2(хз,12Дг ) ; = 1 11Дг Р1 (х з,11Дг)

12 = 1 Дг Р2 (х з, Дг) 11 = 1

12 = 2 2 Д-2 Р2 (х з, 2Дг) 11 = 2

12 = 8 R - Э2 Р2 (х3,R - Э2 ) 11 = 8 31 Р1 (х )

В результате последовательной оптимизации этапов п, (п -1),..., 2 и 1 получаем полный список всех рекомендаций по оптимальному управлению t; Дг и безусловный оптимальный выигрыш на первом этапе Р1 (хз,31). Безусловный оптимальный выигрыш Р (хз^) и оптимальное распределение ресурсов t; Дг , 1 = 1,п находится обратным ходом по полной табл. 1. Следует отметить, что в задаче управления предпочтениями, прежде чем вычислять Рх(хз, t;Дг), необходимо откорректировать кортеж предпочтений согласно (3) и (4). Условный оптимальный выигрыш на х -м этапе находится по принципу оптимальности:

Р ^) = тах {Р; (1; Дг) + р+1 ^ - 1; Дг)

Обратная задача распределения ресурсов. Используем алгоритм прямой прогонки. Разобьем задачу на т этапов, т = 1,М, м = . Варианты решения на этапе т описываются как изменение привлекательности заданной альтернативы ДРц (х з,г;) (формула (2)), где г; = 11 Дг - количество ресурсов, вложенных в изменение ьго параметра. Состоянием

Р; (хз, г;) на т -м этапе является новое значение привлекательности заданной альтернативы.

1. На первом этапе будем вкладывать часть ресурсов Дг поочередно в ьй параметр. Расчеты ДРИ (хз, Дг;) и новых кортежей предпочтений отобразим в табл. 3. Если все ДРц (хз, Дг;) < 0, из них выбираем наибольшее, и считаем оптимальный выигрыш как Дг;. 28

На втором этапе вкладываем 2Дг; ресурсов и вычисляем ДР^(xз,2Дг;). По наибольше-

му значению ДР^(xз,2Дг;) определяем такое 2Дг;, которое учитывается в ¿Дг; .

i=1

Таблица 3

m = 1 Дг кортеж ан ДРи (xз, Дг) m = 2 2 Дг кортеж a f ДР1; (хз, 2Дг)

a1 (a1, a2 ,...аП) ДРц(хз, Дг) a 1 (а1, а2 ,...аП) ДР11 (хз, 2Дг)

а2 (а2, а2 ,...аП) ДР12 (хз, Дг) а2 (а?, а2 ,...аП) ДР12 (хз, 2Дг)

a n (ДЬ а 2 ,...а п) ДР1п(хз, Дг ) а п (а1, а2 , . аn ) ДР1п(хз, 2Дг)

Если на текущем этапе ДРН > 0, то процесс распределения ресурсов закончен, а найден-

ное ¿¿Дг; есть оптимальное решение. В противном случае условие (2) не выполняется, i=1

следовательно, переходим к распределению следующего количества ресурсов 3Дг;, 4Дг; и т.д. до МДг;.

Рекуррентное уравнение алгоритма прямой прогонки имеет вид: S; = min{S;-1 +1;Дг;} .

r;eR

4. Выводы

Научная новизна: впервые рассмотрены математические модели задач управления поведением индивидуумов, сформулированных как задачи распределения ограниченного количества моноресурса, в которых предпочтения индивидуумов могут быть заданы как точные количественные оценки или в виде интервалов. Использование методов интервальных вычислений позволяет разбить каждую из исходных оптимизационных задач сп параметрами на 2п подзадач и сформировать результат в виде интервала, что дает дополнительную информацию лицу, принимающему решение. Нелинейные оптимизационные задачи предложено решить методом динамического программирования, разработаны алгоритмы прямой и обратной прогонки с учетом специфики задач и их ограничений.

Практическая значимость: существенное уменьшение времени и материальных затрат при управлении поведением однородных социальных групп за счет применения математических моделей соответствующих задач и методов их решения, которые могут быть использованы в системах поддержки принятия решений в различных предметных областях (социальной сфере, маркетинге, менеджменте) для автоматизации процессов принятия решений в управленческой деятельности.

Список литературы: 1. Петров Э.Г., Калита Н.И. Формализация проблемы управления поведением социальной группы //Шсник Ч1Т1. 1999. N°4. С. 45-49. 2. Петров Э.Г., Калита Н.И. Модели управления поведением индивидуумов однородной социальной группы в стационарных условиях // Вестник ХНТУ. 2005. N° 1(21). С.73-77. 3. Петров Э.Г., Калита Н.И. Методы оценивания вектора предпочтений индивидуумов // Проблемы бионики. 2003. Вып.58. С.27-35. 4. ТахаХ.А. Введение в исследование операций.: Пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильямс». 2001.912 с. 5. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 410 с. 6. Назаренко Т.И., Марченко Л.В. Введение в интервальные методы вычислительной математики. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1982. 108 с. 7. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981. 198 с. 8. Овезгельдыев А.О., ПетровЭ.Г., ПетровК.Э. Синтез и идентификация моделей многофакторного оценивания и оптимизации. Киев: Наук. думка, 2002. 163 с. 9. Кофман А., Фор Р. Займемся исследованием операций. М.: Мир, 1966. 279 с. 10. Гурин Л.С., Дымарский Я.С., Меркулов А.Д. Задачи и методы оптимального распределения ресурсов. М.: Сов. радио, 1968. 462 с.

Поступила в редколлегию 13.03.2006 Калита Надежда Ивановна, ассистент кафедры системотехники ХНУРЭ. Научные интересы: управление социально-экономическими системами, теория принятия решений. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-10-06, e-mail: [email protected].