Методы решения стереометрических задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

© Бикиева А.Ф.*

Елабужский институт Казанского федерального университета,

г. Елабуга

Актуальность заявленной в статье проблемы обусловлена тем, что при решении стереометрических задач возникают сложности в дополнительных построениях, в результате, полученные геометрические модели являются не всегда верными. Цель статьи заключается в изучении нескольких методов решения стереометрических задач: решив задачу одним способом, другим способом проверить правильность полученного ответа. Ведущим методом в исследовании данной проблемы является метод классификации стереометрических задач, направленный на отбор задач и способов решения.

Ключевые слова стереометрия, задача, методы решения, расстояние, угол.

При решении стереометрических задач на нахождение расстояний и углов обычно используют поэтапно-вычислительный или координатный метод.

Поэтапно-вычислительный метод является наглядным методом. При решении данным методом необходимо схематично построить искомый геометрический объект, что бывает затруднительно сделать, так как необходимо уметь строить дополнительные построения. В этом, конечно же, помогут элементарные знания определений и теорем стереометрии. При решении стереометрических задач, как правило, нет алгоритмов, и выбрать наиболее подходящую к данному случаю теорему из большого количества теорем не просто.

* Студент 5 курса Физико-математического факультета. Научный руководитель: Ганеева А.Р., доцент кафедры Математического анализа, алгебры и геометрии.

К недостаткам использования поэтапно-вычислительного метода можно отнести необходимость: знать большое количество формул из стереометрии и планиметрии. И это может оказаться серьезной проблемой даже для хорошо подготовленных учеников. Если у учащихся хорошее стереометрическое воображение, проблем с дополнительными построениями не возникнет. Остальным школьникам предлагаем отказаться от традиционного геометрического метода и рассмотреть более эффективный метод координат [2, с. 50].

Координатный метод содержит алгоритмизацию в решении стереометрических задач, при котором необходимо ввести систему координат, найти координаты нужных при решении точек, далее составить уравнения прямых, плоскостей и, наконец, найти величину искомого объекта. Данный метод содержит в себе минимум построений и максимум вычислений.

Знание учениками нескольких методов решения задач имеет свои преимущества. Так, решив задачу одним способом, школьник может проверить правильность ответа другим способом. Кроме этого, возможность выбора учащимися разных способов решения задачи способствует развитию вариативного мышления у школьников [2, с. 46].

Стереометрические задачи на нахождение расстояний и углов можно разделить на следующие группы:

- расстояние от точки до прямой;

- расстояние от точки до плоскости;

- расстояние между скрещивающимися прямыми;

- угол между прямыми;

- угол между прямой и плоскостью;

- угол между плоскостями.

Каждая группа задач требует внимания, но в рамках данной статьи остановим свой взгляд на задаче нахождения угла между плоскостями.

В качестве примера рассмотрим задачу и решим ее двумя способами.

Задача. В правильном треугольной призме АВСА1Б1С1 стороны основания равны 5, боковые ребра равны 4, точка В - середина ребра АА1. Найдите угол между плоскостямиА1Б1С1 и СВБ1. Решение. 1 способ.

В,

^ч. /у / ^ч». // / ^чь. / / / ^^ ✓ / / / / / \ я,

у ✓ о

/ 8

К,

Рис. 1. Двугранный угол между сечением и верхним основанием призмы

СDCA1C1=K1, (СВБ1)П(А1Б1С1)=К1Б1 (рис. 1), АА1=4, А1В=АВ=2,

АСАВ = АК1А1В - прямоугольные (А1В=АВ, ААВС=АА1ВК1 - вертикальные).

СА=К1А1=А1Б1=5. Следовательно АА1Б1К1, АБ1ВК1 - равнобедренные. Проведем А1Н1 перпендикулярно к В1К1, где Н1 - середина [Б1К1] и по

теореме о трех перпендикулярах ВН1 ^ Б1К1.

АА1И1В - двугранный угол между плоскостями А1Б1С1 и СВБ1. ZВ1A1K1=120o, Z В1А1Н1 =АКА1Н1 = 60°, АН1В1А1=АН1К1А1 = 30°,

АК1Н1А1 - прямоугольный, К1 А1 = 5 ^ А1 Н1 = —.

5 А В 4

АН1А1В - прямоугольный, А1Н1 = -, А1В = 2 ^ tgZA1Я1В = —1— = -.

2 А1Н1 5

2 способ. Метод координат.

Введем систему координат (рис. 2). Начало координат в точке С; прямая, проходящая через точку С перпендикулярная плоскости СВВ\— ось х, прямая ВС - ось у, прямая СС1 - ось г.

Рис. 2. Система координат для данной призмы

Ах

5л/э 5

4

2 ' 2

В!(0,5,4), С1(0,0,4), С(0,0,0), Б

^з 5 ;

2 2

Уравнение плоскости А1В1С1 имеет вид: г=4. п1 = (0,0,1). Пусть ах+Ъу+сг+д=0 - уравнение плоскости СБВ1. Подставляя в него координаты точек С,Б, В1 получим: ё = 0 (для точки С) ,

5л/3 5.

-а + — Ь + 2с + ё = 0 (для точки Б) , 5Ь + 4с + ё = 0(для точки Д ) ,

ё = 0, 5>/з а + 5Ь + 4с = 0, 5Ь + 4с = 0,

ё = 0, а = 0,

ь = -,

5

4с

--у + а = 0

5

Уравнение плоскости СБВ1 примет вид (СБД ): 4 у - 5z = 0, щ =(0,4, - 5).

СОБ р = СОБ Z(щ , Щ ) = |

_|0 • 0 + 0 • 4 + 1-(- 5)_ 5

л/16 + 25 441'

Б1Пр

= БШ Z(Й1,Щ2) = д/1 - СОБ2 р = ../1--=

25 4

41 л/41'

\<£р =

Бтр _ 4 СОБ( 5

4

Ответ: агС^—.

При решении задачи первым способом можно было увидеть, что величины углов, образованных сечением плоскостью В1СБ верхнего и нижнего оснований равны (рис. 3).

5

с

щ • щ

Щ • Щ2

Рис. 3. Двугранные углы, образованные сечением, а также верхним и нижним основаниями призмы

Следовательно, решим задачу, используя нижнее основание призмы.

Рис. 4. Двугранный угол между сечением и нижним основанием призмы

Пусть BDCAB=K, (CDB1)^(ABC)=CK (рис. 4),

AA1=4, AD=AD=2,

AKAD = ABjAjD - прямоугольные, т.к. AXD=AD, ZADK=ZA1DB1 - вертикальные.

AK=A\B\=AC=5. Следовательно AACK, ACDK- равнобедренные.

Проведем АН перпендикулярно к CK, где Н - середина [CK] и по теореме о трех перпендикулярах DHACK.

ZAHD - искомый угол между плоскостями ABC и CDB\.

ZCAK=120°, ZKAH =ZCAH = 60°, ZHKA = ZHCA = 30°,

AAHK - прямоугольный, KA = 5 ^ АН = —.

5 AD 4

AHAD - прямоугольный, АН =-, AD = 2 ^ tgZAHD = —.

Знание нескольких методов в решении стереометрических задач дает возможность проверить правильность ответа. Уметь видеть пространствен-

ные объекты, проводить дополнительные построения, анализировать, иметь пространственное воображение добавляет в процесс решения не только стандартные моменты, но и креативные штрихи исследования геометрических объектов.

Список литературы:

1. Атанасян Л.С. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. - М.: Просвещение, 2009. - 255 с.

2. Танеева А.Р. Способы решения задач единого государственного экзамена по математике на нахождение угла между плоскостями / А.Р. Танеева // XVIII международная заочная научно-практическая конференция «Инновации в науке». - Новосибирск: изд-во СибАК, 2013. - С. 45-53.

3. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 5-8 / А.Н. Корняков, А.А. Прокофьев. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012. - 100 с.

ОРГАНИЗАЦИЯ И ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВОГО ВОСПИТАНИЯ СУВОРОВЦЕВ (НА ПРИМЕРЕ 11 КЛАССА)

© Зубов В.В.*, Воронцова Е.М.*

Уссурийское суворовское военной училище Министерства обороны Российской Федерации, г. Уссурийск

В статье рассматриваются вопросы организации и осуществления гражданско-правового воспитания с воспитанниками суворовского военного училища. Приведена тематика классных часов для суворовцев

* Воспитатель.

* Педагог-организатор.