CC BY
37
Рис. 1. Треугольное положительное число ин = (т | а | Р) > 0
74) умножение двух нечетких положительных чисел: инюн = (т|а|р)(п|у|5) = (тп|ап + ту|рп + тб), ин > 0, юн > 0, которое легко получается из геометрических построений (рис. 2) (так, для координаты точки К получим тождество: тп + ау = (т — а) х х (п — у) ^ па + ту = 0, аналогично для координаты точки X: тп + рб = (т + р)(п + 5) ^ яр + тб = 0);
75) умножение нечеткого числа ин на скаляр
Хин = Х(т|а|р) = {(Х ^ Ха1Хв)'Х> 0, 1 н [(Xт|Хр|Ха), X < 0.
Определения 2.1—2.3 позволяют реализовать метод обратной матрицы решения полной НСЛУ. Итак, имеем уравнение полной НСЛУ:
Ан*н = (2)
Я(х)
Определение 2.1. Нечеткое число ин = (т|а|р) называется треугольным нечетким числом, если его функция принадлежностей ги (х) имеет вид,
представленный на рис. 1, т. е.
1 - а-1 (т - х), т - а < х < т, а > 0,
1 - р-1 (т - х), т < х < т + Р, Р > 0, 0 иначе.
С помощью определения 2.1 даются определения следующих чисел:
— положительное нечеткое число ин > 0
т — а > 0;
— отрицательное нечеткое число ин < 0
т + р < 0;
— нулевое нечеткое число ин = 0 т = 0, а ф 0,
Р ф 0;
— равенство двух нечетких чисел ин(т|а|р) = = ®н(п|у|5) т = п, а = у, р = 5.
Определение 2.2. Матрица ин = (ину)(пхп) называется нечеткой матрицей, если все ее элементы являются нечеткими числами, т. е. имеют треугольные функции принадлежностей:
ин = (ин//)(пхп) = = (А = (т/,)(пхп)|м = (аР(пХп)^ = (Р/,)(пХп)).
Определение 2.3. Имеют место следующие арифметические операции над нечеткими треугольными числами в соответствии с принципом расширения Заде [1]:
71) сложение: ин(т|а|р) = юн(п|у|5) т = п, а = у, Р = 5;
72) отрицательное нечеткое число: фн = —юн = = —(п|у|5) = (—п|у|5);
73) вычитание: ин — юн = (т|а|р) — (п|у|5) = (т — - п|а + 5|р + у);
где
В„
4 = (А/)(пX п№)(пXп№!)(пX п)) > 0,
(ЬнР ..., Ьнп)Т
(ед^), ..., ад^ > 0,
Хн = (Xн1, ..., хнп)Г = ((хМ^Х ..., (хпЬпкп)Г > В соответствии с правилом у4
Ан Хн = Вн ^
(А у) х, = Ь,, (А у) У , + (М/ х, = А,-,
(А у) % + (Лу) х, = ,
I = 1, п , (3)
откуда получим нечеткое решение полной НСЛУ
(3):
х* = (Ау)-1Ь,; у* = (Ау)-1[А/ - (М/х* ];
4 = (Аг>.)-1[яг. - (Л/х*]; / = Тт . (4)
Рис. 2. Геометрическое представление арифметической операции умножения ин юн = (т | а | Р)(п | у 18) = (тп |(т — а)(п — у)|(т + Р) (п + 8)
Пример 1. Пусть для простоты имеем уравнение (2) в виде полной НСЛУ второго порядка:
Лп = (15|1|4) A12 = (5|2|9) A21 = (10|5|6) Л22 = (251314)
A
Хн1 = (xibiki)
Хн2 = (XzNZl)
Ьн1 = (10|15|25) Ьн2 =(20|30|40)
Необходимо найти решение Хн. Находим элементы уравнения (3):
15 5 10 25
(M) =
(Л,) =
Из выражения (4) находим:
1 2 5 3
(N) =
4 9 6 4
Ь = 10 ; h = 15 ; g = 25
20 30 .40.
x1 0,46 У1 0,62 0,82
_x2_ 0,61 ; y*2_ 0,78 ; w 1,06
Если некоторые элементы нечеткой матрицы Ан или некоторые из компонент нечеткого вектора Вн являются отрицательными нечеткими числами, тогда с учетом свойств ]2 и соотношения (3) и (4) будут также справедливы.
Пример 2. Имеем исходные данные из примера 1, в котором А11 < 0. В соответствии со свойствами ]2 и будем иметь полную НСЛУ в виде:
Лц = (—1514|1) Л12 = (5|2|9) Л21 = (101516) Л22 = (251314)
Л
Хн1 = (^Mta) Хн2 = (XzNZl)
Ьн1 = (10|15|25) Ьн2 =(20|30|40)
Находим элементы уравнения (3):
(Л1)') =
Из выражения (4) находим:
-15 5 ; (M) = 4 2 ; (N) = "19
10 25 5 3 6 4
Ь = 10 ; h = 15 ; g = 25
20 30 .40.
x1 -0,4 У1 -0,7 -0,69
_x2_ 0,8 ; _y2_ .1,2. ; [z2j _ 1,6 _
2.2. Метод размахов [21]
Решение полной НСЛУ (2) ищется в виде (x¿(r) - a¿(r), (x¿(r) + ßi(r)), i = 1, n, где x¿(r), a¿(r),
Рг(г) — неизвестные, подлежащие определению, аг-(г), Рг(г) — размах решения относительно хг(г) [21].
Величины хг(г) находятся из традиционной НСЛУ (2) при г = 1. Ее решение обозначим как х* (г). Уравнение (2) можно представить в виде:
,) = b,
X %(xj - a i)
j = 1
X jj + ßi) = b„ i = 1, n.
j = 1
(5)
Здесь a* (r), ß* (r) — решения уравнения (5), являющиеся нелинейными функциями относительно j) и й. (r):
a* (r) = a¿( xxj, J), а у (r));
ß* (r) = ßi(xj, у), a.. (r)), i, j = im,
где a..(r) и а..(r) — нижняя и верхняя ветви нечет-
—j iJ
кой переменной ану — элемента матрицы Ан.
Размах решений a (r), a+(r) и ß (r), ß+(r) относительно x(r) полной НСЛУ получается как:
a-(r) = min {|a* (r)|}; ß-(r) = min {|ß* (r)|};
r e [0 ;1] r e [0 ;1 ]
a+(r) = max {|a* (r)|}; ß+(r) = max {|ß* (r)|}.
r e [ 0 ;1 ] r e [ 0 ;1]
Нечеткий вектор решения полной НСЛУ (5): x* (r) = [x* (r) - a-(r), x* (r) + ß (r)]; x* (r) = [x* (r) - a+(r), x* (r) + ß+(r)], i = im .
2.3. Метод ST-декомпозиции [22]
Метод ST (the symmetric triangular) декомпозиции основан на разложении (декомпозиции) матрицы Ан полной НСЛУ в уравнении (2):
Ан = №
(6)
где £н — симметричная, а Тн — единичная верхнетреугольная матрицы. Соотношение (6) доказывается по индукции в работах [22, 23].
Если в равенстве (2) Ан > 0 и Вн > 0, то имеем положительную полную НСЛУ. Во многих прикладных задачах инженеры имеют некоторую информацию о диапазоне нечетких решений. В этих случаях с фиксированными у > 0 и г > 0 в качестве левой и правой ветвей х исходная задача (2) пре-
n
B
н
n
B
н
образуется в поиск вектора х, который удовлетворяет системе:
Ах = Ь, Мх + Ау = g, ^х + Аг = к.
Представив А = А1 — А2 = ¿Г и выполнив ряд дополнительных условий [22], получим решение системы (2) для Хн:
х = (А1 - А2)-1Ь = Г-^Ь, у = (А 1 - А2 - М(А1 - А2 )-1Ь), г = (А1 - А2)-1(к - N(А1 - А2)-1 Ь).
Пример 3. Имеем удвоенную полную НСЛУ:
(6|5|6) (9|2|8) (6|4|9) (8|5|9)
А*
(ХхЬхкх)
( Х2|У2|^2 )
Ан2
(2|2|1) (3|0|1) (хх |у1| ^1) + ЙН1(23|23|26)
_(1|1|3) (3|3|2) ( Х2 |У2| г2) йН2(25|23|27)
Необходимо найти вектор ХН. В соответствии с выражениями (2), (3)
Лн1 = ((4 )|( Ж )|( 4)); Лн2 = ((4 )|( Ж )|( 4));
(4) = 6 9 6 8 ; (Ж1) = 5 2 4 5 ; (К) = 6 8 .9 9
(4) = 2 3 1 3 ; (Ж2) = 2 0 1 3 ; (К) = 1 1 3 2_
Ь = 24 ; н = 23 ; я = 26
.25. 23 .27.
Применяя 8Т-декомпозицию к матрице (А.) = = (4) - (А2 ), получим
(А.) = (4) - (4 ) =
6 9 2 3 = а11 = 4
6 8 1 3 а21 = 5
^12 "
:
В единичной верхнетреугольной матрице Т = [1 ?12;
0 1] элемент ?12 = (а12 — а21) ап = 0,25, поэтому матрица
£ =
12
а21 а22 - а12^12
4 5
5 3,5
^ £-1 =
-3,5 5/11 5/11 -4/11
В результате получим Хн = (хн1, хн2) :
х = Т-1£-1Ь = (х1 = 3, х2 = 2)т;
у = Т-1£-1(я — ЖТ-1£-1Ь) = (У1 = 1, У2 = 1)Т;
г = Т -1£-1(к — ЖТ-1£-1Ь) = (^ = 4, г2 = 4)т, откуда решение системы:
ХН1 = (х = 3|У1 = 1|г1 = 4); ХН2 = (х2 = 2|У2 = 1|г2 = 4).
2.4. Метод разрезов [24]
Имеем полную НСЛУ типа (2)
АА = Вн
(7)
т
Ьнп)
где Ан = г; 7=1, п, вн = (V
а.. = и( ак1 гк), Ь . = и( | л) — нечеткие элемен-
ну к н/ к
ты, представленные в одной из форм: объединение (и) пар (*•), Гу, гк е [0;1] с Я — функции принадлежностей для к-го разреза [24]. Здесь функции принадлежностей нечетких элементов не обязательно треугольной формы в отличие от методов обратной матрицы, размахов и 8Т-декомпозиции.
Представим систему (7) в виде нечетких правил для разрезов (уровней) ак, к = 1, ..., т:
Я = {Яу}
к = 1
или
Як: если г(а« ) < г и г(Ь ) < г ,
то Аа X = Ва
или
(8)
Здесь «и», «или» — нечеткие логические функции по Заде [1]. В результате получим т традиционных линейных систем относительно ак разрезов для нечетких элементов:
ак : Аа X = Ва ^ Ха* = А^1 Ва , к = 1~т .
к ак ак ак ак ак
Применение оператора дефаззификации к каждой компоненте нечеткого вектора решения х*, полученного из уравнения (8), дает:
dfz( х*) = ^
и( ха.к,,)
г = 1, п , к = 1, т .
Хн
в
н
а
11
Это приводит к решению в виде нечеткого вектора X*, каждая компонента x* которого представляется в виде интервала
x* = (dfz( x*) - аи, dfz( x*) + аот), i = М .
Замечание. При решении полных НСЛУ возникает решение «сильное/слабое», когда функция принадлежностей «отвечает/не отвечает» определению нечеткого числа. Рассмотрим простейший пример, когда dim А^ = (1 х1):
aHx = bH, aH, bH = (3|2|4) — нечеткие числа. Имеем:
а = 0 для левой (left — l) ветви: 1 x = 1 ^ x* = 1;
а = 1 для центра (center — c): 2 x = 3 ^ x* = 1,5;
а = 0 для правой (right — r) ветви: 5 x = 7 ^ ^ x* = 1,4;
Из-за того, что x* < x*, а должно быть x* > x*, что следует из определения нечеткого числа, поэтому нечеткое решение не является нечетким числом. После замены x* = 1,5 получим «слабое» решение полной НСЛУ x* = (1,5|0,5|0).
2.5. Метод четкого решения [19]
Имеем полную НСЛУ:
n _
4А = bh «£ %xj = ^ i = 1«. (9)
j = 1
Здесь, в отличие от предыдущих методов, нечеткие элементы имеют левую и правую ветви функции принадлежности в виде полиномов степени m относительно r е [0; 1] с R1:
m , m ,
(/) : aj(r) = X Уk; (right) : aij (r) = £
Определим замену:
k = 0
k = 0
(left) : Ьг(г) = £ ег./; (right) : bt (r) = £ /^rk,
k = 0 k = 0
i, j = 1, n .
В другой форме уравнение (9) имеет вид:
n _ _
£ CajCr), atj(r))xj = (bi(r), b, (r)), i = 1, n ,
j = 1
или в эквивалентной форме:
£ «jr)xj + £ aij(r)xj = r);
Х> 0
Х <0
X an( r) x + X ajr) x = r); i
= 1, n.
(10)
f Xj, X, > 0, X. = Xj - X,- , X,- = Г j 10, X,< 0,
X- = Г -xj xj < 0,
j 10, Xj > 0,
в результате которой, очевидно, что х/ > 0, х/" > 0, и тогда уравнение (10) будет иметь вид:
n n
X aj(r)Xj- X aj( r)x/ = r);
j=i j=i
n n _ _
X ajr)Xj - X aj Фу" = r); i = 1, n,
j = 1 j = 1
или в матричной форме:
Sx = D,
где
D = (e /)T, e = (ею, ..., eim, en0, ..., enm), f = ^^ ..., f1m, fn0, ..., fnm),
(11)
x (xi, ..., xm ), x (xi , ..., Xm), S
C-C D -D
C =
c10 ... c11 m ... cn10 ... cn1m
D =
_c1 n .. . c1nm .. . cnn0 .. .c • ^nnm
d110 . .. d11m . .. dn10 . .. dn 1 m
d1nn . .. d11m . .. dnn0 . .. dnnm
> 0
xJ < 0
Анализ размерностей показывает, что число уравнений в системе (11) больше, чем число неизвестных, поэтому для ее решения применяется традиционный метод наименьших квадратов (МНК):
min 11 Sx - DI E (STS)x = STD, |STS| * 0.
x 2n
Здесь очевидно, что
STS =
L = CTC + DTD; M = CTD + DTC. Пример 4. Задана полная НСЛУ второго порядка:
(-1 + 2r, 4 - 2r)xj + (-2 + 3r, 3 - 2 r)x2 = = (-8 + 13 r, 17 - 10 r),
(1 + r, 4 - r)xj + (2r, 5 - 2r)x2 = (2 + 8r, 23 - 8r).
L -M ; STD = C D e
-M L -C -D
а
Находим компоненты уравнения (11):
1 = c110 + С
12 _ "
с111'
: С,
С210
+ c
211'
а
22
: С
220
+ С
221 '
-1 + 2 r; -2 + 3 r; 1 + r; 0 + 2r;
^ C =
110 -1 c210 1
111 2 c211 1
120 -2 c220 0
121 3 c221 2
11
12
21
22
4 - 2 r 3 - 2 r
' ^ D =
4 4
-2 -1
-8 + 13 r; 2 + 8r;
^ e =
4- r; 3 5
5 - 2 r; -2 -2_
-8
= 13 . b1 = 17 - 10 r;
2 ; b2 = 23 - 8 r;
8
^ f =
17 -10 23 -8
В результате получается полная НСЛУ с элементами £, Л Четкое решение: (£г£)х = £ГД X = (х' х' ')г, поэтому х1 = х1 — х1' = 2; х2 = х2 — х2' = 3.
Аналогичным способом решается полная НСЛУ для параболического (т = 2) или линейного представления нечетких элементов системы.
3. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛНЫХ НСЛУ
3.1. Оценивание параметров модели по нечетким случайным данным
Одна из актуальных задач управления заключается в обработке данных в целях идентификации параметров модели. Рассмотрим применение МНК для обработки гибридных данных. Эти данные появляются в случае, когда неопределенность представляется в виде двух компонент: одна — случайная, а другая — неопределенная. Такое представление возникает, если ошибка измерений трактуется как случайная составляющая, а неточность модели — как некоторая нечеткость. Применение МНК для получения оценок по гибридным данным приводит к появлению полной НСЛУ и необходимости ее решения.
Пусть нечеткие случайные данные унг, г = 1, т, связаны между собой линейной моделью
Ун(0 = I хш./ш(0 + ¿н(0, t е [0, Г] с Я1,(12)
/ = 1
где ен(^ — нечеткая случайная переменная с симметричной плотностью вероятностей и нечеткими параметрами: Еен(^ = 0н, = ^ I. Здесь I —
2
четкая единичная матрица, стн — заданная нечеткая константа, Е и Б — операторы математичес-
кого ожидания и дисперсии соответственно. Нечеткость eH(t) задается с помощью функции принадлежностей r(eH), которая для простоты имеет
треугольную форму. Функции /Нг(0, i = 1, n, — заданный нечеткий базис модели (12), xHi, i = 1, n — неизвестные нечеткие параметры модели, подлежащие определению по m нечетким случайным измерениям:
YH = (Ун(?1), ..., Ун(У)Т = (Ун1, ..., Унт)Т,
которые получены при условии, что m > n, т. е. число измерений m больше числа неизвестных параметров n модели (12). В отличие от задачи оценивания [5], в которой полагалось, что базисные функции являются четкими переменными, в постановке (12) базисные функции являются нечеткими переменными.
Нечеткий вектор оценок в модели (12) находится из условия:
min ен = min 11YH - FHXh||E ,
хн H хн m
где FH = (/H(j))(mX n) — прямоугольная матрица из нечетких элементов, что приводит к необходимости решения полной НСЛУ
4А =
(13)
где 4 = (aW = (/и/,/х„), ',j = 1 n - квадратная матрица, (/., /и,) — скалярное произведение нечетких базисных функций, которое будет определено далее, 5Н = (^ = (/^ ^ ^ = (f^ 7H))T - вектор нечетких переменных.
В НСЛУ (13) используются следующие определения теории нечетких множеств [5].
Определение 3.1. Нечеткая функция фн(х) определяется как нечеткое отображение фн: R1 ^ E1 = = {r(x)}, где E1 — нечеткое множество, в виде совокупности функций принадлежностей r е [0; 1] с R1. Это соотношение параметризуется относительно r:
Фн(х) = ф(х, r) = (ф (х, r), ф (х, r)|r е [0; 1],
где ф (х, r) — нижняя, а ф (х, r) — верхняя ветви нечеткой функции соответственно.
Определение 3.2. Пусть имеется нечеткое отображение (фн(х), юн(х)), определенное выше. Для каждого разбиения Р = (х0, ..., хп) е [a, b] и
d(u, v) = sup{max[|u(r) — v(r)|, |U(r) — v(r)|]} до-
r
п
пускается представление Rp = ^ фн(^/)(х/ — х/ - 1),
i = 1
b
b
2
V^ е [x, - j, xj\, i = 1, n, A = max|x;. — xt_x|, i = 1, n ,
тогда нечеткий интеграл b
[9H(x)dx = lim R (14)
J A ^ 0 F
a
где операция lim определяется в метрике Хаус-дорффа:
d(u, v) = sup {max[|u(r) - v(r)|, | U (r) - V (r)|\}.
r e [0;1]
Если фн(х) непрерывна в метрике d и интеграл (14) существует, то имеют место соотношения:
|ф(х, r) dx = J ф(х, r) dx; |ф(x, r) dx = J ф(x, r) dx,
где Jф(x, r) dx и Jф(x, r) dx — нижний и верхний не-
четкие интегралы, а ф(х, г) и ф(х, г) — нижняя и
верхняя подынтегральные нечеткие функции.
Определение 3.3. Скалярное произведение (фн(х), юн(х)) нечетких функций фн(х), юн(х) задается в виде:
(Фн(х), ®н(х)) =
ь (ь
|фн(х)юн(х)^х = I |ф(х, г)ю(х, г)^х,
Jф(x, r)ro(x, r)dx|r е [0; 1]
непрерывный случай;
n ( n
X Фн(xt)®н(xf) = X ф(x/' r)®(x„ r),
i = 1 v i = 1
X ф(x/, r)©(x/, r),|r е [0; 1] | —
i = 1
. дискретный случай.
Определение 3.4. Нечеткие функции фн(х), юн(х) называются ортогональными, что обозначается фн(х) 1 юн(х), если выполняются соотношения:
ь
г , w J 0, Фн(x) Ф ©h(X) ,
J фн^^н^ = j 1 О
п I 1,
н
, иначе
о
Jф (x, r)ro(x, r)dx, Jф (x, r) ю (x, r)dx I |rе [0; 1\
= J 0, ф ф ю, ф Ф ю;
11, иначе
(непрерывный случай);
X фнЦКЦ) = I",фн(x"'H(x>■ О
i = 1 [ 1, иначе
О
X ф (x/, r)®(x,', r), X ф (x,-, r) ю (x,, r),
v i = 1 i = 1
|r е [0; 1\ I = J ^ ф ф ^ ф ф ю; (дискретный случай).
Л, иначе Пример 5. Имеем модель типа (12):
Ун(0 = *н1/н1« = 1н + Хй/йО + ен« = = Хн11н + *н2?н + ен('); ? 6 [0, 7] С
где /н1(?) = 1н, /н2(') = ?н — нечеткие базисные функции. В моменты времени ? = ?1,..., известны составляющие нечеткого случайного вектора измерений = (ун1, ..., Унт)Т. Нечеткие базисные функции заданы в виде:
/н1(0 = 1н = (/ (', г) = Г1, / (?, г) = (2 - г)1|г 6 [0, 1]);
/н2« = 'н = (/2 (', Г) = П, /2(?, Г) = (2 - Г)?|Г 6 [0, 1]).
Найдем в этих условиях нечеткие элементы а^, г, ] = 1, 2 матрицы Ан. В результате получим:
А = анП = (71713 7) аН12 = (0,5 Г2|0,5 Г2| 1,5 Г2)
_ ан21 = ан12 ан22 = ( г3/3|г3/3|г3) _
Вычисления нечетких компонент, г = 1, 2 вектора Вн с учетом дискретной формы скалярного произведения дают:
т
Ьн1 = (/нl(0, ^н) = I /н!(')Ун, = I = 1
т
= £ (Г1, (2 - г)1)(ут,|Уа,|Ур,) =
I = 1
( т т т |
= I I I (У«,' + Уа,')| I О7™ + Ур,) I ;
V I = 1 I = 1 I = 1 )
Ьн2 = С/н2(^>, Yh) = Z /н2(')Ун, = i = 1
m
= 2 К, (2 - r)t;)(ym,lya«lyß«) =
i = 1
m m m
= I 2 ^J 2 + yj + yßi)J •
mv
i = 1 i = 1
В результате получим:
AÄ = bh «
о
(T|T|3T) (0,5 T2|0,5 T2| 1,5 T2) (0,5 T2|0,5 T2| 1,5 T2) (T3/3| T3/3| T3)
- -
Хн1
_xh2
mm
2 Ут,\ 2 (ymi + yai)| 2 (Утг' + У$д i = 1 i = 1 i = 1
mm
2 ^mi 2 'i&mi + Уаi)| 2 '<<Ут<' + Ур^ .i = 1 i = 1 i = 1
n
n
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
b
b
a
a
Нечеткое решение системы может быть найдено методом обратной матрицы (п. 2.1) или по методу четкого решения (п. 2.4).
3.2. Нечеткая ортогонализация Грама — Шмидта
Метод Грама — Шмидта решения системы линейных уравнений является наименее вычислительно затратным из известных рекуррентных и нерекуррентных методов, поскольку эти затраты пропорциональны удвоенному квадрату числа операций. Этот метод применяется для решения многих прикладных задач. Конструирование нечеткой ортогонализации состоит в расширении традиционной процедуры на ее нечеткий аналог.
Определение 3.5. Набор из нечетких функций сн1/н1(0 + ... + сн«/н«(0 * 0н называется линейно независимым, если существуют нечеткие числа сн/ е Е1, для которых нечеткая линейная комбинация Сн/нДО + ... + Сн„/н„(0 * 0н, где операция умножения нечетких переменных с треугольными функциями принадлежностей была определена ранее. В противном случае эти нечеткие уравнения называются линейно зависимыми, если хотя бы для
°дног° сн/ е Е1 * Сн/н1(0 + ... + </0 = 0н. ♦
Пусть имеем исходные 4«), ..., 4«) линейно независимые нечеткие базисные функции. Необходимо построить систему нечетких ортогональных базисных функций фн1(^), ..., Фни(0, которые являлись бы линейной комбинацией заданной системы исходных функций.
Процесс конструирования строится индуктивно. Первые две нечеткие ортогональные функции Фн1(0, Фн2(0 определяются таким образом:
Фн1(0 - /н1(0; Фн2(0 - /н2(^) + анп/н^ (15) где ан11 находится из условия Фн1(0 1 Фн2(t):
(Фн1«, Фн20) = /н1«), /н2«) + ан1^/н1« = 0,
откуда, с учетом свойств нечеткого скалярного произведения, получим для определения ан11 полную НСЛУ первого порядка:
(/н^ /н1(0)Он11 = -(/Hl(t), /на«)).
Ее решение:
ани = -/н^/й«))//^, /н10), а нечеткая функция Фн2(0 1 Фн1(0
Фн2(t) = /н2(t) + анп/н1«).
Далее полагается
Фн3(t) = Лз^ + ^21-^1+ ^^О,
где ан21, ан22 находятся из условий ортогональности Фн3(0 1 Фн2(t) и фн1(/) 1 Фн2(t), и которые после замены (15) будут иметь вид:
(Фн1(^ Фнз(0) = /н1( 0 = (/н^ Фнз(t)) = 0;
(фн2(t), Фн3(t)) 0 = /Н2(0 + =
= (/н2(Фнз(0) + ани/ц«) = 0. Это соотношение приводится к виду:
(Фн3(0, /н2(t) + ан1/н1(0 1/н1(0 = Фн1(^) =
= (/,20, ФнзО) + анц(Фн1(^), ФнзО)= 0,
которое, так как фн1(*) 1 фн3(t) = 0 дает ((/н1(0, Фн3(t))) = 0. Поэтому в результате получим:
/н2«), ФнзО) = 0; /н1«), ФнзО) = 0.
Эти соотношения с учетом формулы (16) приводят к полной НСЛУ второго порядка относительно ан21 и ан22:
ан21(/н1( 0, /н1( 0) + ан22(/н2( 0, /н1( 0) =
= -/нз( 0, /н1( 0), ан21(/н1( 0, /н2( 0) + ан22(/н2( 0, /н1( 0) =
= -(/нз( 0, /н2( 0),
где, очевидно, определитель не равен нулю и ан21 и ан22 есть решение системы. На п-м шаге полагается
Ф (0 = / (о + а / ,(0 + ... + а / ,(0
■'ни4 7 нлКн^ нии-'ни — 7
и далее а , г = 1, п, находятся из полной НСЛУ п-го порядка.
Пример 6. Опираясь на процесс ортогонализации, построим нечеткие базисные функции Фн1(0 1 Фн2(0 для исходных базисных функций /н1(') = 1н, /н2(') = 'н, ' 6 [0, Т]:
/н1(0 = 1н = (/1 (', Г) = г1,
/1 (?, г) = (2 — г)1|г 6 [0; 1]) = (1|1|3),
/н2« = 'н = (/2 (', Г) = /2 (', г) = (2 — г)/|г 6 [0; 1]) = (№').
Имеем
Фн1(?) = /н1(?) = 1н; Фн2(?) = /н2(?) + «нl/нl(0,
С/н1(?^/н1(?)) = |/н1(?)/н1(?)^? = 0
= И /1 (', г)/1 (', |/1 (?, г)/1 (?, /)А]. ^ 0 0 1 Полученную полную НСЛУ первого порядка решаем методом обратной матрицы (п. 2.1). Для этого преобразуем ее к стандартной форме. Имеем:
(/hi(0/H1«) = J/Hl(t^/Hl(t>dt =
0
J /i (t, r) / (t, r)dt, J / (t, r)/ (t, r)dt
J(r1)(r1)dt, J (2 - r)1(2 - r)1dt
00
= (r2^, (2 - r)2T) = (T|T|3T);
(/н1«/н2«) = J/Hi(t)/H2(t)dt =
J /1 (t, r) /2 (t, r)dt, J / (t, r)/2 (t, r)dt
= I Jr2tdt - 0,5ТJr2dt, J(2 - r)(2 - r)tdt ■
|(г1)(г?)Л, | (2 - г)1(2 - I = ■ 0 0 1 = (0,5г2Г2, 0,5(2 - г)2^) = (0,5Г2|0,5 72|1/5 72). Таким образом, полная НСЛУ первого порядка для определения (А11 = Г |М11 = Г |#11 = 37) ан11 = -(Ь1 =
= 0,5 Т2|й1 = 0,5 72|£1 = 1,57й) в стандартной форме имеет вид:
(А11 = 7|М11 = ^11 = 37) «н11 =
= -(¿1 = 0,57^1 = 0,5 72| £ = 1,5 72), откуда по методу обратной матрицы получим:
«ш = -(х1 = А1 Ь1|у1 = А-} (А1 - М^)^ = = А11 (£1 - N11X1) = -(*! = 0,5 Гу = 0|^1 = 0) = -0,57. В результате функция
Фн2« = /нй(') + ан1^./н1(?) = ?н - 0,5 Т1н,
а нечеткие функции Фн1(?) и Фн2(?) образуют ортогональный нечеткий базис, для которого справедливо соотношение (фн1(?), Фн2(?)) = 0. Действительно, имеем:
|Фн1(?)Фнй(?)^? = } 1н(?н - 0,5Т1н)^? = 00
= ) 1н?нЛ - ]0,5Т\1нЛ = I ) 1(/)<(/)Л -0 0 ^ 0 т т_ _ т_ _
- 0,5Т11(г)1(г)Л, 11 (г) ' (г)Л - 0,5Т11 (г) 1 (г)Л
0 0 0
- 0,5Т|(2 - I = (0, 0).
0 1 Это означает, что Фн1(?) 1 Фн2('). Замечание. Изложенная теория решения полных нечетких систем справедлива для случая, когда нечеткие переменные положительные. В случае, когда появляются нечеткие отрицательные переменные, нетрудно модифицировать рассмотренные алгоритмы с учетом, что при ц е выполняется соотношение:
Ц^н =
(Ц/з1 ц/21 Ц/I), Ц< 0.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Отмечено, что в теории нечетких множеств одно из важных научных и прикладных направлений заключается в решении задач нечеткого математического анализа. Указано, что при их решении возникает проблема решения нечетких систем линейных уравнений. Для них приведена общая классификация и для одного из классов рассмотрены основные методы решения полных НСЛУ: обратной матрицы, размаха, 8Т-декомпозиции, разрезов, четких решений. Отмечено, что в некоторых случаях возникают «сильные/слабые» решения полных НСЛУ.
Сформулированы и решены задачи, при рассмотрении которых возникают полные НСЛУ: оценивание параметров по методу наименьших квадратов нечеткой модели и нечеткая ортогонали-зация Грама — Шмидта. Их решения иллюстрируются на примерах нечеткой регрессионной модели с нечеткими базисными функциями в виде нечеткой единицы и нечеткой линейной зависимости.
В части 2 будут изложены методы решения неполных нечетких систем линейных уравнений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления / Под общ. ред. К.А. Пупкова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. — 743 c. [Metody robastnogo, nejro-nechetkogo i adaptivnogo upravleniya / Pod obsh. red. K.A. Pupkova. — Moscow: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2001. — 743 s. (In Russian)]
2. Мочалов И.А., Хрисат М.С., Шихаб Еддин М.Я. Нечеткие
дифференциальные уравнения в задачах управления.
Часть 1 // Информационные технологии. — 2015. — Т. 21,
№ 3. — С. 171—178. [Mochalov, I.A., Hrisat, M.S., Shihab Ed-
din, M.Ya. Fuzzy Diferential Equations in Control. Part I //
Informacionnye tehnologii. — 2015. — T. 21, No. 3. — P. 171—178.]
0
0
0
0
0
0
0
0
3. Мочалов И.А., Хрисат М.С., Шихаб Еддин М.Я. Нечеткие дифференциальные уравнения в задачах управления. Часть 2 // Информационные технологии. — 2015. — Т. 21. — № 4. — С. 243—250. [Mochalov, I.A., Hrisat, M.S., Shihab Eddin, M.Ya. Fuzzy Differential Equations in Control. Part II // Informacionnye tehnologii. — 2015. — T. 21, No. 4. — P. 243—250.]
4. Мочалов И.А., Хрисат М.С., Шихаб Еддин М.Я. Нечеткие уравнения в частных производных в задачах управления // Информационные технологии. — 2015. — Т. 21, № 8. — С. 563—569. [Mochalov, I.A., Hrisat, M.S., Shihab Eddin, M.Ya. Nechetkie uravneniya v chastnyh proizvodnyh v zadachah up-ravleniya // Informacionnye tehnologii. — 2015. — T. 21, No. 8. — S. 563—569.]
5. Мочалов И.А, Хрисат М.С. Оценивание параметров модели по нечетким случайным данным // Информационные технологии. — 2014. — Т. 20, № 2. — С. 14—22. [Mochalov, I.A., Hrisat, M.S. Estimation Parameter Model Using Fuzzy Random Data // Informacionnye tehnologii. — 2014. — T. 20, No. 2. —P. 14—22.]
6. Деменков Н.П., Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткое преобразование Лапласа в задачах нечеткого математического моделирования. Ч. 1. Нечеткое математическое моделирование // Информационные технологии. — 2017. — Т. 23, № 4. — С. 251—257. [Demenkov, N.P, Mikrin, E.A., Mochalov, I.A. Fuzzy Transformation of Laplace in Tasks of Fuzzy Mathematical Modelling. Part 1 // Informacionnye tehnologii. — 2017. — T. 23, No. 4. — P. 251—257.]
7. Деменков Н.П., Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткое преобразование Лапласа в задачах нечеткого математического моделирования. Ч. 2. Нечеткое управление // Информационные технологии. — 2017. — Т. 23, № 5. — С. 362—369. [Demenkov, N.P, Mikrin, E.A., Mochalov, I.A. Fuzzy Transformation of Laplace in Tasks of Fuzzy Mathematical Modelling. Part II // Informacionnye tehnologii. — 2017. — T. 23, No. 5. — P. 362—369.]
8. Park, J.Y., Jeong, J.U. On the existence and uniquness of solutions of fuzzy Volterra — Fredholm integral equation // Fuzzy Sets and Systems. — 2000. — Vol. 115. — P. 425—431.
9. Jahantigh, M, Allahviranloo, T., and Otadi, M. Numerical solution of fuzzy integral equatins // Applied Mathematical Sciences. — 2008. — Vol. 2, No. 1. — P. 33—46.
10. Jafarian A., Measoomy Nia, S., Tavan, S., and Banifazel, M. Solving linear Fredholm fuzzy integral equations systems by Taylor expension method // Applied Mathematical Sciences. — 2012. — Vol. 6, No. 83. — P. 4103—4117.
11. Jafarian, A., Measoomy Nia, S., and Tavan, S. A numerical scheme to solve fuzzy linear Volterra integral equations systems // Journal of Applied Mathematics. — 2012, art/ID 216923. — 17. P. — doi:10.1155/2012/216923.
12. Barkhordary, M, Kiani, N.A., Bozorgmanesh, A.R. A method for solving fuzzy Fredholm integral equations of the second kind // International Journal Open Problems Computer Science Mathematics. — 2008. — Vol. 1, No. 2, September 2008. — S. 149—159.
13. Mohammad Keyanpour, Taherch Akbarian. Using sine function // The Journal of Mathematics and Sciences. — 2014. — Vol. 3, No. 4. — P. 422—431.
14. Salahshour, S, Khezerloo, M, Hajighasemi, S., Khorasany, M. Solving fuzzy integral equations of the second kind by fuzzy Laplace transform method // International Journal Industrial Mathematics. — 2012. — Vol. 4, No. 1. — P. 21—29.
15. Деменков Н.П., Мочалов И.А. Нечеткая интерполяция // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. — 2012. — № 2. — DOI: http://dx.doi.org/. — № ФС77 30569/308732. — URL: http://technomag.bmstu.ru/ doc/308732.html [Demenkov, N.P., Mochalov, I.A. Nechetkaya interpolyaciya // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. — 2012. — No. 2. (In Russian)]
16. Деменков Н.П., Мочалов И.А. Нечеткие сплайны // Вестник Московского гос. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение», ISSN 0236-3933. — 2012. — № 2 (87) — С. 48—59. [Demenkov, N.P., Mochalov, I.A. Nechetkie splajny // Vestnik Moskovskogo gos. tehn. un-ta im. N.E. Baumana. Ser. «Priborostroenie». — 2012. — No. 2 (87). — S. 48—59. (In Russian)]
17. Деменков Н.П, Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткие двухточечные краевые задачи в тематическом моделировании и в управлении. Ч. 1. Нечеткое математическое моделирование // Проблемы управления. — 2018. — № 1. — С. 30—36. [Demenkov, N.P., Mikrin, E.A., Mochalov, I.A. Fuzzy two-point boundary value problems in mathematical modeling and control. Part 1. Fuzzy mathematical modeling / Problemy upravleniya. — 2018. — No. 1. — P. 30—36.]
18. Деменков Н.П, Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткие двухточечные краевые задачи в математическом моделировании и в управлении. Ч. 2. Нечеткое управление // Проблемы управления, 2018. — № 2 — С. 31—39. [Demenkov, N.P, Mikrin, E.A., Mochalov, I.A. Fuzzy two-point boundary value problems in mathematical modeling and control. Part 2. Fuzzy control // Problemy upravleniya. — 2018. — No. 2. — P. 31—39.]
19. Majid Amirfakhrian. Numerical solution of a system of polynomial parametric form fuzzy linear equations // Chapter 24 from the book Ferroelectriсs, Dr. Indrani Coondoo (ed.), published by InTech, ISBN: 978-953-307-439-9. — 2010. — P. 433—450. — URL: www: intechopen.com.
20. Muruganandam, S., Razak Abdul, K. Matrix inversion method of solving fully fuzzy linear systems with triangular fuzzy numbers // International Journal of Computer Applications (0975 8887). — 2013. — Vol. 65, No. 4, March 2013. — P. 9—11. — DOI: 10.5120/10911-5843.
21. Allahviranloo, T., Salahshour, S., Homayoun-nejad, M., Baleanu, D. General solutions of fully fuzzy linear systems // Hindawi Publishing Corporation. Abstract and Applied Analyses. — 2013. — Vol. 2013, article ID 5932749, 9 p. DOI: 10.1155/2013/59327.
22. Mosleh, M, Otadi, M, Abbasbandy, S. Solution of fully fuzzy linear systems by ST method // Journal of Applied Mathematics. Islamic Azad University of Lahijan. — 2011. — Vol. 8, No. 1 (28). — P. 23—31.
23. Golub, G.H., Yuan, J.Y. Symmetric-triangular decomposition and its applications — Part I: Theorems and algorithms, BIT Numerical Mathematics, 42, 2002, P. 814—822. DOI: 10.1023/ A:1021904604693.
24. Минаев Ю.Н., Филимонова О.Ю., Бенамеур Л. Методы и алгоритмы идентификации и прогнозирования в условиях неопределенности в нейросетевом логическом базисе. — М.: Горячая линия — Телеком, 2003. — 205 с. [Minaev, Yu.N., Filimonova, O.Yu., Benameur, L. Metody i algoritmy identi-fikacii i prognozirovaniya v usloviyah neopredelennosti v nejro-setevom logicheskom bazise. — Moscow: Goryachaya liniya — Telekom, 2003. — 205 s. (In Russian)]
Статья представлена к публикации руководителем РРС В.Ю. Столбовым.
Поступила 27.12.2018, после доработки 28.02.2019.
Принята к публикации 4.04.2019.
Деменков Николай Петрович — канд. техн. наук, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, И [email protected], Микрин Евгений Анатольевич — академик РАН, ПАО «РКК «Энергия» им. С.П. Королева»; Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, И [email protected], Мочалов Иван Александрович — д-р техн. наук, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, И [email protected].
I_ОБЗОРЫ_
METHODS OF SOLVING FUZZY SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS.
Part 1. Fully Systems
N.P. Demenkov1^ E.A. Mikrin2,1, I.A. Mochalov1
1 2
'Bauman Moscow State Technical University, 2S.P. Korolev Rocket and Space Corporation «Energia»
Abstract. It is noted that fuzzy systems of linear equations (FSLE) arise when solving fuzzy initial problems, fuzzy partial differential equations of the first order; when processing hybrid data in stochastic systems by the method of least squares or of maximum likelihood estimation; when using the fuzzy Laplace transform to solve fuzzy differential equations of high order; when using the approximate methods of solving fuzzy integral Fredholm-Volterra equations of the 2nd kind; when fuzzy interpolation and fuzzy splines are applied to data processing; when solving fuzzy optimal control problems. The basic methods of solving complete FSLE are considered: inverse matrix, span and ST decomposition, in which fuzzy elements have triangular membership function; cuts, in which membership functions of fuzzy elements are not necessarily triangular; crisp solutions, in which left and right branches of the membership function of fuzzy elements are in the polynomial form. The application of the methods is illustrated by computational examples. Using the least squares method for the model with fuzzy basis functions and the method of fuzzy GramSchmidt orthogonalization, the problems are formulated and solved of fuzzy estimation, in which complete FSLE appear. To illustrate the solution of these problems, two fuzzy basic functions are considered: a fuzzy unit and a fuzzy linear dependence.
Keywords: complete fuzzy system of linear equations, fuzzy methods of solving complete fuzzy systems, fuzzy estimation, fuzzy orthogonalization.
ИНФОРМАЦИОННОЕ ПИСЬМО
о присуждении премии имени академика В.С. Кулебакина в области авиационной и космической электроэнергетики для молодых ученых
Научный семинар по проблемам авиационно-космической электроэнергетики имени академика В.С. Кулебакина и Ассоциация выпускников и сотрудников ВВИА имени профессора Н.Е. Жуковского содействия сохранению исторического и научного наследия ВВИА имени профессора Н.Е. Жуковского объявляет о приеме документов на присуждение премии имени академика В.С. Кулебакина в области авиационной и космической электроэнергетики для молодых ученых (научные работники, научно-педагогические работники, студенты, аспиранты, а также специалисты различных отраслей экономики, социальной сферы, оборонной промышленности в возрасте до 25 лет). Премия присуждается:
— за результаты научных исследований, внесших значительный вклад в развитие авиационной и космической электроэнергетики (Научные исследования);
— за разработку образцов новой техники и прогрессивных технологий, обеспечивающих инновационное развитие авиационной и космической электроэнергетики (Разработки).
Прием документов осуществляется до 30 сентября 2019 г. Премиальный фонд на 2019 год составляет 100 000 руб.
Вручение премии — 30 октября 2019 г. на заседании, посвященном дню рождения академика В.С. Кулебакина, в торжественной обстановке.
В Бюро Научного семинара по адресу 125167, Москва, 4-я улица 8 Марта, д. 6 А, Ассоциация выпускников и сотрудников ВВИА имени профессора Н.Е. Жуковского направляются:
• письменное представление доктора или кандидата наук;
• описание научного исследования или разработки (объем не более 30 страниц, шрифт 12 пт. Times New Roman, интервал 1 пт.);
• копия первой страницы паспорта кандидата;
• согласие на обработку персональных данных.
Скан-копии всех документов направляются на электронный адрес [email protected]. Подробная информация и положение о премии размещены на сайте http://элавиа.рф/seminar/
УДК 681.51;621.3.002.5;621.039.6;533.95
DOI: http://doi.Org/10.25728/pu.2019.4.2
УПРАВЛЕНИЕ ПЛАЗМОЙ В ТОКАМАКАХ Ч. 3.2. Моделирование и реализация систем управления плазмой в ITER и конструкции DEMO1
Ю.В. Митришкин, Н.М. Карцев, А.Е. Коньков, М.И. Патров
Аннотация. Представлены экспериментальная отработка сценариев для ITER на токама-ках DIII-D (США) и WEST (Франция), подходы в моделировании и реализации систем управления плазмой в ITER, подготовка системы управления плазмой в ITER к пуску и эксплуатации. Показаны известные в Европе дорожные карты разработки и создания первой термоядерной электростанции DEMO (последующего шага после ITER), которые указывают два направления разработки DEMO: (i) на традиционных токамаках с относительно большим аспектным отношением и (ii) сферических токамаках модульного типа, позволяющих заметно сократить время создания DEMO и получить конкурентоспособную дешевую электроэнергию. Приведены основные тенденции в разработке поло-идальных систем DEMO, а также показана начальная версия системы управления вертикальным положением плазмы в DEMO.
Ключевые слова: токамак, плазма, магнитное управление плазмой, ITER, конструкции DEMO.
ВВЕДЕНИЕ
В первой части [1] обзора рассматривались то-камаки с плазмой в их магнитном поле совместно с диагностикой и управляющими устройствами как объекты управления. Во второй части [2] представлены системы для магнитного управления положением, током и формой плазмы, а также ре-зистивными пристеночными модами в действующих токамаках. В части 3.1 [3] показаны системы магнитного управления плазмой для ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor — Интернациональный Термоядерный Экспериментальный Реактор — ИТЭР). Системы включают в себя оригинальные технические решения систем управления положением, током и формой плазмы для двух версий ITER — ITER-1 и ITER-2, в том числе предложенные и выполненные в ИПУ РАН. Отмечено, что в ITER-1 положение и форма плазмы управлялись всеми PF-обмотками и робастны-ми Д^-регуляторами, а для снижения пиков мощности управления при подавлении малых срывов применялся дополнительный нелинейный контур
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ, грант № 17-19-01022 (§ 1-4) и РФФИ, грант № 17-08-00293 (§ 5).
управления. В ITER-2 из-за уменьшения большого радиуса установки с 8,1 до 6,2 м для вертикальной стабилизации плазмы применялся специальный контур управления с относительно быстрым исполнительным устройством, подключенным к обмоткам PF2-PF5. Но при этом область управляемости плазмой по вертикали получилась катастрофически малой масштаба 3—4 см при малом радиусе ITER-2, равным 2 м. Для увеличения области управляемости в проекте ITER-2 в вакуумную камеру токамака были введены дополнительные катушки горизонтального поля, что позволили увеличить область управляемости примерно на порядок. Моделированием было показано, что наилучший результат по подавлению вертикальной неустойчивости плазмы достигается при комбинации внешних и внутренних катушек полоидального поля.
В § 1 настоящей части обзора рассматриваются экспериментальная отработка сценариев для ITER-2 на двух действующих токамаках DIII-D и WEST. На DIII-D отрабатывались все 4 запланированных сценария ITER-2 с масштабным коэффициентом 3,7, а на токамаке WEST будет исследоваться вольфрамовая диверторная пластина для ITER-2 с длительностью разряда 1000 с. В § 2 приводятся сведения об алгоритме разработки систем управления плазмой в ITER-2, о программно-вычислительной платформе, о стенде реального вре-
мени для реализации алгоритмов управления плазмой, об информационно-управляющей системе ITER-2 CODAC (Control, Data Access and Communication), о схеме интерфейсов взаимодействия систем управления плазмой с CODAC, о симуля-торе систем управления плазмой, о развиваемом программном пакете IMAS: The ITER Integrated Modelling & Analysis Suite (Интегрированный программный пакет для моделирования и анализа в ITER). В § 3 перечисляются мероприятия, проводимые по подготовке системы управления плазмой в ITER-2 к пуску и эксплуатации. Двум дорожным картам создания DEMO — первой термоядерной электростанции на токамаках-реакторах посвящен § 4. Первая дорожная карта показывает путь создания DEMO на традиционных токама-ках с относительно большим аспектным отношением 3—4, а вторая дорожная карта указывает перспективу более быстрого создания DEMO на сферических токамаках модульного типа с аспектным отношением 1,5—1,7 и с более дешевой электроэнергией. Завершается данная часть кратким обзором (§ 5) проектируемых конструкций DEMO и сведениями о предварительной системе управления вертикальным положением плазмы в DEMO для одной из приведенных конструкций.
1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ОТРАБОТКА СЦЕНАРИЕВ ДЛЯ ITER-2
Международный консорциум ITER придает особое значение отработке сценариев для ITER не только на плазмофизических кодах методом численного моделирования [1, п. 4.2.1, 4.2.2], но и в экспериментах на действующих токамаках еще до пуска ITER и вывода его на номинальные режимы работы. Четыре эксплуатационных сценария ITER отрабатывались на токамаке DIII-D [4] в масштабированном виде. Уникальные свойства этой работы заключаются в том, что параметры плазмы отражали существенные свойства сценариев ITER и ожидаемые рабочие характеристики, например, сечение плазмы и аспектное отношение в разрядах DIII-D соответствуют проекту ITER с коэффициентом уменьшения 3,7 (рис. 1.1, см. вклейку). Ключевые аспекты всех четырех сценариев, такие как PN и Д,8, были успешно имитированы на DIII-D, обеспечивая улучшенную и унифицированную физическую базу для транспорта и устойчивого моделирования так же, как и для экстраполяции на ITER рабочих режимов. (Величина PN = paB^/I^ является нормализованной величиной в, где a — малый радиус, BT — индукция тороидального поля, Ip — ток плазмы, в = (p)/(B /2ц0) — отношение газокинетического давления плазмы к давлению внешнего магнитного поля, (p) — усредненное дав-
Тг —
E 2P
ление плазмы, B — средняя величина полного поля; H = тЕ/ т| — коэффициент удержания, где тЕ —
L т
время удержания, тЕ — время удержания в L-моде,
3 з
_ — J + Te)d x, где P — полная входная
мощность, n — плотность плазмы, Т. и T — ионная и электронная температуры) [5]. Пример такого разряда для базового сценария ITER приведен на рис. 4.1, б. Во всех четырех сценариях нормализованное качество управления совпадало или близко достигало требуемое, чтобы реализовать физические и технологические цели ITER, а отображения разрядов DIII-D согласовывались с ITER, достигая его цели при генерации термоядерной мощности не менее 400 МВт и Q > 10, где Q = Pout/Pn — отношение выходной мощности термоядерного синтеза Poui к введенной мощности Pin. Эти исследования также связаны с многими ключевыми физическими моментами, относящимися к проекту ITER, включая L-H переход через порог мощности, уровень краевых локализованных мод, масштабирование параметров на пологой фазе разряда, влияние тиринг-мод на удержание и срывы, ограничение на ß и требуемые возможности системы управления плазмой. Примером непосредственного влияния на проект ITER данной работы служит модификация физических требований к набору обмоток полоидального поля при токе плазмы 15 МА, основанная на наблюдениях, что внутренняя индуктивность в основном сценарии изменяется до уровня, который лежит за пределами оригинальной спецификации ITER.
Наиболее близкие сценарии ITER в эксперименте предполагается получить на токамаке WEST (W for tungsten Environment in Steady state Toka-mak), который представляет собой модернизацию токамака Tora Supra (Франция, г. Кадараш), у которого круглое поперечное сечение. В токамаке WEST внутри круглой вакуумной камеры установлены обмотки полоидального магнитного поля, дающие возможность получить диверторную конфигурацию плазмы (рис. 1.2). Основное назначение токамака WEST — исследовать вольфрамовую диверторную пластину для ITER на длительных плазменных разрядах по сценариям ITER, которые будут создаваться благодаря сверхпроводящим обмоткам токамака WEST. Параметры токамака WEST: ток плазмы I = 1 МА, тороидальное поле BT = 3,7 Т, большой радиус R = 2,5 м, малый радиус а = 0,5 м, аспектное отношение A = 5—6, вытяну-тость k = 1,3—1,8, треугольность 8 = 0,5—0,6, время разряда при токе плазмы 0,8 МА iflattop = 1000 c.
Первая плазма была получена на токамаке WEST в декабре 2016 г. с новой системой управ-
