Методы решения логарифмических неравенств при подготовке школьников к ЕГЭ по математике Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ниегп

issN 2304-120X Вергазова О. Б. Методы решения логарифмических неравенств при подготовке школьников к ЕГЭ по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2017/171010. htm.

научно-методический электронный журнал

ART 171010 УДК 372.851

Вергазова Ольга Бухтияровна,

кандидат философских наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва [email protected]

Методы решения логарифмических неравенств при подготовке школьников

к ЕГЭ по математике

Аннотация. С целью повышения уровня математической подготовки будущих студентов математических и технических специальностей необходимо особое внимание уделять тем вопросам математики, без прочного знания которых невозможно успешное обучение в высшем учебном заведении. В данной статье на примере решения задач по теме «(Логарифмические неравенства» демонстрируется одна из возможностей дифференцированного подхода в подготовке будущих студентов технических или математических вузов, которым предстоит освоить курс высшей математики, в частности математического анализа. Формирование и развитие навыков применения традиционного метода, основанного на монотонности логарифмической функции, и метода рационализации к решению логарифмических неравенств является важной составляющей процесса подготовки старшеклассников к сдаче Единого государственного экзамена по математике профильного уровня. Содержание статьи представляет интерес для учителей, старшеклассников, готовящихся к поступлению в вузы на специальности технического или математического направления.

Ключевые слова: методика преподавания математики, методика решения логарифмических неравенств, метод рационализации, подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Раздел: (01) отдельные вопросы сферы образования.

В процессе подготовки к сдаче Единого государственного экзамена по любому предмету, в частности по математике, помимо знаний, умений, навыков от старшеклассника требуется научиться оптимальным образом использовать время, отведенное на экзамен. Рациональная организация работы с экзаменационным материалом - залог успешной сдачи экзамена.

В связи с этим особое внимание при подготовке к сдаче Единого государственного экзамена по математике профильного уровня уделяется рациональным приемам вычислений и решения математических задач. Например, при изучении темы «Решение логарифмических неравенств» старшеклассникам рекомендуют применять метод рационализации (метод декомпозиции, метод замены множителей). Изучение данного метода решения обычно завершает изучение темы «Логарифмические неравенства», когда сформированы навыки вычисления логарифмов и преобразований выражений с логарифмами, изучены свойства логарифмической функции, рассмотрены основные приемы решения неравенств данного типа. Данный метод представляет особый интерес для старшеклассников, которые готовятся к экзамену профильного уровня и имеют целью поступить в высшие учебные заведения на специальности математического, экономического и технического направлений. Рассмотрим особенности метода рационализации в применении к решению логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма, и его роль в процессе подготовки к экзамену.

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Вергазова О. Б. Методы решения логарифмических неравенств при подготовке школьников к ЕГЭ по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2017/171010. htm.

Метод рационализации заключается в замене неравенств F(x) > 0, F(x) < 0, F(x)> 0, F(x) < 0 на более простые неравенства G(x) > 0, G(x) < 0, G(x)> 0, G(x) < 0 (рациональные) соответственно. Неравенство G(x)v0 равносильно неравенству F(x) v 0 в области определения выражения F(x), где символ v заменяет один из знаков неравенств: >, <, >, < (табл. 1) [1].

Таблица 1

Номер Исходное выражение F(x) Выражение после замены G(x)

1 i°gh(x)/0) ^gh^s'OX где ft(x) Ф 1, ft(x) > 0,/(х) > 0, д(х) > 0 (ft(0 - 1)(/(x) - 5(x))

2 l°gh(x) /СО -1, где й(х) Ф 1, й(х) > 0, f (х) > 0 (ft(0 - 1)(/(x) - ft(O)

3 l°gh(x) /ОХ где й(х) Ф 1, й(х) > 0, f (х) > 0 (ft(0 - 1)(/(x) - 1)

4 log/(x) КО - log^(x) &СО, где ft(x) > 0, ft(x) Ф 1,/(x) Ф 1, ^(x) Ф 1, /(x) > 0, ^(x) > 0 (f(x) - 1)(5(x) -1) X x(ft(x)-1)(5(x)-/(x))

5 ft(Op(x)- ft(04(x) (ft(x) - 1)(p(x) - q (x))

6 ft(x)P(*) - 1 (ft(x) - 1)(p(x))

7 /(x)PW - 5(X)pW (/(x) - 5(x))p(x)

8 |p(x)|-|q(x)| (p(x) - q (x)) (p(x) + q (x))

9 V/(0 - V^M, /(*) >0, 5(x) > 0 /(x) -5 СО

10 IPCOI - V^M, > 0 p2(x) -^(x)

При знакомстве с методом рационализации старшеклассники уже обладают достаточными знаниями и умениями, чтобы с помощью учителя или самостоятельно доказать любое из приведенных в табл. 1 выражений. Недопустимы рекомендации ВЫУЧИТЬ указанные переходы от выражения Р(х) к О(х) (табл. 1) для применения при решении неравенств на экзамене. Необходимо учить обосновывать рассуждения, с тем чтобы будущие первокурсники были подготовлены к обучению в высшем учебном заведении. Иначе в дальнейшем студенты будут испытывать затруднения при нахождении области определения функции, применении приема логарифмирования, например при вычислении пределов, и т. д.

Докажем первую замену в табл. 1.

Доказательство

Пусть /(х) - #(х) > 0, где Л(х) * 1, Л(х) > 0,/(х) > 0, #(х) > 0.

Тогда ^(х)/(х)> ^(Х)#(х).

Если 0 < Л(х) < 1, то /(х) < д(х), то есть /(х) - $(х) < 0, и справедлива система неравенств

Л(х) - 1 < 0, /(х)- £(х) < 0.

Если Л(х) > 1, то /(х)> $(х), то есть /(х) - $(х) >0, и справедлива система неравенств

Л(х) - 1 > 0, /(х)- #(х) > 0.

Таким образом, выражение(Л(х) - 1)(/(х) - д(х)) будет положительным как для убывающей, так и для возрастающей функции. Следовательно, справедливо неравенство (Л(х) - 1)(/(х) - д(х)) > 0.

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Вергазова О. Б. Методы решения логарифмических неравенств при подготовке школьников к ЕГЭ по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2017/171010. htm.

Обратно, если выполнено неравенство (Л(х) - 1)(/(х) - д(х)) > 0 в области допустимых значений входящих в него переменных, то в этой области неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств

| Л(х) - 1 < 0, | Л(х) - 1 > 0, 1/(х) - #(х) < 0 и 1/(х) - #(х) > 0.

Из каждой системы следует неравенство ^^х)/(х)>^^ $(х), то есть ^ад /(х) - ^(х) > 0.

Аналогично доказываются случаи Р(х) < 0, Р(х) > 0, Р(х) < 0. Приведем примеры решения неравенств методом, основанным на монотонности логарифмической функции, и методом рационализации [2].

Пример 1. Решить неравенство log;

4х+5 6-5х

< -1.

Решение. Область допустимых значений переменных удовлетворяет системе неравенств

'4х + 5

6 - 5х х > 0, х ^ 1;

,-4 < 0,

(1)

х > 0, х ^ 1.

Учитывая область допустимых значений переменных, рассмотрим два случая, когда логарифмическая функция с основанием х является убывающей (0 < х < 1) и возрастающей (х > 1). 1 -й случай

0 < х < 1,

4(* + 5)

-V> 0,

-5(Х-5)

4х + 5 1

^ 6 - 5х х' 0 < х < 1,

х + 5

_4

6

X — 5

<0,

х(4х + 5) - (6 - 5х)

х(6 — 5х) 0 < х < 1,

>0;

х + 5

_4

6

х —

5

<0,

2(х + 3)(х —1)

х(х — -)

v

v

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Вергазова О. Б. Методы решения логарифмических неравенств при подготовке школьников к ЕГЭ по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2017/171010. htm.

Применим метод интервалов, получим решение системы: х е (1; 1) (рис. 1).

-5/4'

2-й случай

О 1/2

Рис. 1

х > 1,

х+5

_4

6

X — 5

<0,

1

2(х + 3)(х-1)

х(х - б)

< 0.

Решением последней системы неравенств является пустое множество. Ответ: (2;1).

Отметим, что при решении данного неравенства можно было применить следующий равносильный переход.

Неравенство ^^/(х)< ^^ д(х), где Л(х) > 0,Л(х) Ф 1, /(х) > 0, $(х) > 0, равносильно совокупности двух систем

/(х) > 0, Л(х) > 1; Г/(х) > #(х),

^(х) > 0, 0 < Л(х) < 1.

Рассмотрим решение неравенства с применением методов рационализации. Решение. Область допустимых значений переменных удовлетворяет системе неравенств (1).

Выражение ^^ /(х) - ^^ д(х), где Л(х) > 0, Л(х) Ф 1, /(х) > 0, $(х) > 0, можно заменить выражением (Л(х) - 1)(/(х) - д(х)).

Приведем исходное неравенство к виду ^^ /(х) - $(х) < 0.

4х + 5

—С-1)< 0.

6 — 5х

log*6—S- log-x_1 < 0

(х- 1)(— - i) < 0,

, и >4Х2 + 10Х-6 _ „

(х- 1)4-5+1°ЗГ<0,

ij Л ^Л ^

2 Г2 + 5 Г—3

(х- 1)2* > 0.

V.

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Вергазова О. Б. Методы решения логарифмических неравенств при подготовке школьников к ЕГЭ по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2017/171010. htm.

Таким образом, с учетом области допустимых значений переменных (система (1)), решением исходного неравенства являются все х, удовлетворяющие системе:

х + 5

_4

6

X —

5

< 0,

х > 0, х Ф 1,

2(х-1)(х + 3)(х- 1)

х(х - б)

> 0.

Применим метод интервалов, получим решение системы: х е (1; 1). Ответ: (2;1).

Пример 2 [3]. Решить неравенство ^25-х2 ——— > 1.

16

Решение. Область допустимых значений переменных удовлетворяет системе неравенств

(2)

Г 25-х2 16 25-х2

i6

> 0, Ф 1,

24-2Х-Х'

> 0;

14

-5 < х < 5, х Ф ±3, 1(х + 6)(х-4) < 0.

х е (-5; -3)и(-3; 3)и(3; 4) (рис. 2).

Рис. 2

Отметим, что при всех х е(-3; 3) функция будет возрастающей, при х е (-5; -3)и(3; 4) - убывающей.

Решим неравенство log25-^

24-2х-х . 14

2

> l0g25-,

25-х . 16

2

В случае возрастающей функции получим систему неравенств

-3 < х < 3, !24-2х-х2 25 -х2

14 16

Таким образом, х е (-3; 1) (см. рис. 3).

-3 < х < 3, ; ((х + 17)(х- 1)<0.

2

2

16

16

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Вергазова О. Б. Методы решения логарифмических неравенств при подготовке школьников к ЕГЭ по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2017/171010. htm.

Рис. 3

В случае убывающей функции, при х е (-5; -3)и(3; 4), получим неравенство

24-2х-х2 25 -х2

14 16

после преобразований неравенство примет вид (х + 17)(х - 1) > 0.

777%

17

Рис. 4

Таким образом, х е (3; 4) (рис. 4). Ответ: х е (-3; 1)и(3; 4).

Теперь решим то же неравенство с применением методов рационализации. Решение. Область допустимых значений переменных удовлетворяет системе неравенств (2), решив которую получим, что е (-5; -3)и(-3; 3)и(3; 4).

Представим исходное неравенство в виде log25-^

24-2х-х . 14

2

1 > 0.

Выражение вида ^^ /(х) - 1 > 0, где Л(х)>0, Л(х) Ф 1, /(х)> 0, можно заменить (Л(х) - 1)(/(х) - Л (х)) > 0.

п ч/ у25—х - \ / 24—2х—х 25—х \ А ^

Перейдем к неравенству (—-— 1)(——---—) > 0, выполним преобразования и получим неравенство

(3) (х - 3)(х + 3)(х - 1)(х + 17)> 0.

Изобразим на числовой прямой область допустимых значений переменных и решение неравенства (3) (рис. 5).

Рис. 5

Ответ: х е (-3; 1)и(3; 4).

Как видно из приведенных примеров, по трудоемкости оба метода - метод, основанный на монотонности логарифмической функции, и метод с применением приемов рационализации - практически не отличаются. И в том и в другом случае от старшеклассника требуется умение проанализировать и применить свойства логарифмической функции (область определения, монотонность). Если формулы рационализации на обобщающих уроках по теме «Логарифмические неравенства» рассматриваются с доказательством перечисленных в табл. 1 выражений, с обоснованием всех рассуждений на каждом этапе решения, с обсуждением всех возможных методов решения той или иной задачи, то такой подход, безусловно, способствует повышению уровня подготовки будущего студента-первокурсника [4-11].

2

16

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Вергазова О. Б. Методы решения логарифмических неравенств при подготовке школьников к ЕГЭ по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2017/171010.htm.

В заключение приведем примеры для самостоятельного решения [12]. 1) logx-i 0,3 > 0;

Х+5

2) 0

3) log2x(x2 - 5х + 6) < 1;

4) logx(x + 1) < logi(2 — х);

X

5) log|x—4|(2x2—9х + 4) > 1.

Ссылки на источники

1. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С3). Методы решения неравенств с одной переменной. - М.: МИЭТ, 2011. - 47 с.

2. Сергеев И. Н., Панферов В. С. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С3. Уравнения и неравенства / под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. - М.: МЦНМО, 2011. - № 24. - С. 25.

3. Там же. - № 25. - С. 26.

4. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Указ. соч.

5. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: в 2 ч. Ч. 1: учеб. для учащихся обще-образоват. учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. - 10-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 399 с.

6. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др. - М.: Просвещение, 2014. - 463 с.: ил.

7. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - М.: Просвещение. 1991. - 416 с.

8. Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. Единый государственный экзамен 2013. Математика: учеб. пособие / А. В. Семенов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко, П. И. Захаров; под ред. И. В. Ященко; Московский Центр непрерывного математического образования. - М.: Интеллект-Центр, 2013. - 80 с.

9. Ященко И. В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2015 году. Базовый и профильный уровни: метод. Указания / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин. - М.: МЦНМО, 2015. - 288 с.

10. Васильева Е. Н., Ольховая Л. С. Математика. Подготовка к ЕГЭ: секреты оценки заданий повышенного и высокого уровней сложностей. Решения и комментарии: учеб.-метод. пособие. - Изд. 2-е, перераб. - Ростов н/Д: Легион, 2014. - 192 с.

11. Кассарина Э. В. Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием. - 11^: Ийр://открыты йурок. рф/% Р1 %81 %Р1 %82%Р0%В0%Р1 %82%й1 %8С%Р0%В8/642973/

12. Сборник задач для поступающих во втузы / под ред. М. И. Сканави. - М.: Высш. шк., 1992. - 528 с.

Olga Vergazova,

Candidate of Philosophical Sciences, Associate Professor, Moscow N.E. Bauman State Technical University, Moscow [email protected]

Methods of logarithmic inequalities solving in students' training for the Unified State Exam in mathematics Abstract. With the aim of mathematical training level raising among future students of mathematical and technical professions, we need to pay special attention to those math questions without solid knowledge of which successful learning in a University is impossible. In this article, on examples of solving tasks on the topic "Logarithmic inequalities", the author shows the possibility of differentiated approach to the training of future students of technical or mathematical higher schools who will have to learn a course of higher mathematics, particularly mathematical analysis. The development of skills using the traditional method based on the mon-otonicity of the logarithmic function, and a rationalization method to solving logarithmic inequalities is an important part of high school students training for passing the Unified State Examination in mathematics on advanced level. The content of the article may be interesting to teachers and students who want to enter Universities to study technical or mathematical areas.

Key words: methods of teaching mathematics, methods of logarithmic inequalities solving, method of rationalization, training for the USE in mathematics (advanced level). References

1. Korjanov, A. G. & Prokofev, A. A. (2011). Matematika EGJe 2011 (tipovye zadanija S3). Metodyreshenija neravenstv s odnoj peremennoj, MIJeT, Moscow, 47 p. (in Russian).

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Вергазова О. Б. Методы решения логарифмических неравенств при подготовке школьников к ЕГЭ по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2017/171010. htm.

2. Sergeev, I. N. & Panferov, V. S. (2011). EGJe 2011. Matematika. Zadacha S3. Uravnenija ineravenstva, MCNMO, Moscow, № 24, p. 25 (in Russian).

3. Ibid., № 25, p. 26.

4. Korjanov, A. G. & Prokofev, A. A. (2011). Op. cit.

5. Mordkovich, A. G. (2009). Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 10-11 klassy: v 2 ch. Ch. 1: ucheb. dlja uchashhihsja obshheobrazovat. uchrezhdenij (bazovyj uroven), 10-e izd., ster., Mnemozina, Moscow, 399 p.: il. (in Russian).

6. Alimov, Sh. A., Koljagin, Ju. M., Tkachjova, M. V. et al. (2014). Matematika: algebra i nachala matematicheskogo analiza, geometrija. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 10-11 klassy: ucheb. dlja obshheobrazovat. organizacij: bazovyj i uglubl. urovni, Prosveshhenie, Moscow, 463 p.: il. (in Russian).

7. Kramor V. S. Povtorjaem i sistematiziruem shkol'nyj kurs algebry i nachal analiza, Moscow Pro-svesh-henie. 1991, 416 p. (in Russian).

8. Jashhenko, I. V. (ed.) (2013). Optimal'nyj bank zadanij dlja podgotovki uchashhihsja. Edinyj gosudar-stvennyj jekzamen 2013. Matematika: ucheb. posobie, Moskovskij Centr nepreryvnogo matematicheskogo obrazovanija, Intellekt-Centr, Moscow, 80 p. (in Russian).

9. Jashhenko, I. V. et al. (2015). Podgotovka k EGJe po matematike v 2015 godu. Bazovyj iprofil'nyj urovni: metod. ukazanija, MCNMO, Moscow, 288 p. (in Russian).

10. Vasil'eva, E. N. & Ol'hovaja, L. S. (2014). Matematika. Podgotovka k EGJe: sekrety ocenki zadanij povy-shennogo i vysokogo urovnej slozhnostej. Reshenija i kommentarii: ucheb.-metod. posobie, Izd. 2-e, pererab., Legion, Rostov n/D, 192 p. (in Russian).

11. Kassarina, Je. V. Metod racionalizacii pri reshenii logarifmicheskih neravenstv s peremennym osnovaniem. Available at: http://otkrytyjurok.rf/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/642973/ (in Russian).

12. Skanavi, M. I. (ed. (1992). Sbornik zadach dlja postupajushhih vo vtuzy, Vyssh. shk., Moscow, 528 p. (in Russian).

Рекомендовано к публикации:

Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 01.08.17 Получена положительная рецензия Received a positive review 13.08.17

Принята к публикации Accepted for publication 13.08.17 Опубликована Published 16.08.17

© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2017 © Вергазова О. Б., 2017

www.e-koncept.ru