CC BY
12
УДК 628.35:.631.862
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ МНОГООТКЛИКОВЫХ АППРОКСИМИРУЮЩИХ МОДЕЛЕЙ
19 Я
© Г.Е. Дыкусов1, В.Р. Елохин2, Нгуен Ван Дык3
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Аппроксимацией является замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Цель работы состоит в обзоре, анализе методов построения системы многооткликовых аппроксимирующих моделей. Многооткликовость - случай одновременного измерения нескольких величин yj ,j=(1,l)7 позволяющий легко учитывать различные структуры откликов. Ил. 2. Табл. 1. Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: имитационное моделирование; аппроксимация; регрессионный анализ; метод наименьших квадратов.
METHODS TO BUILD MULTIRESPONSE APPROXIMATING MODEL SYSTEM G.E. Dykusov, V.R. Elokhin, Nguyen Van Duc
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
Approximation is replacement of some mathematical objects with others, which are similar in some sense to the original ones. The purpose of this paper is to review and analyze the methо ds fo r b ui Id i ng the syste m of muItirespo n se a pprox i -m ati ng m о d els. M u Iti res po n s e i s t he cas e of s i m u Ita n e о u s m e as u re m e nt of sev e ra I v a ri a bles yj,j=(1,l)~ that makes it easy to consider the different structures of responses. 2 figures. 1 table. 4 sources.
Key words: simulation modeling; approximation; regression analysis; least squares method.
Быстрое и стабильное экономическое развитие всех стран зависит от решения задач, способных устранить многие проблемы: увеличение уровня жизнеобеспечения, снижение бедности и безработицы, повышение благосостояния народа и др. Экономическое развитие Вьетнама - это необходимое условие для того, чтобы Вьетнам к 2020 г. стал промышленной страной.
После исследования экономической системы многих стран можно сказать: для того, чтобы хорошо анализировать и прогнозировать экономическое развитие страны, необходимо построить математическую модель экономики этой страны.
Наиболее перспективным направлением математического моделирования, отвечающим сформулированным выше требованиям как в теоретическом, так и в практическом аспектах, является имитационное моделирование, которое обеспечивает возможности наиболее адекватного отображения процессов функционирования и развития как отдельных экономических подсистем, так и системы в целом.
В настоящее время задача аппроксимации является актуальной темой практически для каждого тех-
нического исследования. Аппроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным [1; 3]. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики или качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых объектов.
Согласно классификации, аппроксимирующие модели могут быть как многооткликовые, так и одноот-кликовые. Многооткликовость - случай одновременного измерения нескольких величин у ¡, } = 1,1, позволяющий легко учитывать различные структуры откликов.
Методы и алгоритмы построения системы одноот-кликовых аппроксимирующих моделей достаточно хорошо разработаны, с ними можно ознакомиться, например, в [1]. Напротив, методы и алгоритмы построения системы многооткликовых аппроксимирующих моделей в настоящее время недостаточно хорошо изучены.
В следующей части будет рассмотрен метод построения многооткликовой аппроксимирующей экономической модели во Вьетнаме. Пример относится к моделированию макроэкономических показателей.
1Дыкусов Геннадий Ефимович, кандидат экономических наук, доцент, директор института экономики, управления и права, зав. кафедрой экономической теории и финансов.
Dykusov Gennady, Candidate of Economics, Associate Professor, Director of the Institute of Economics, Management and Law, Head of the Department of Economic Theory and Finance.
2Елохин Владислав Романович, доктор технических наук, профессор кафедры экономической теории и финансов, тел.: 89834173612, e-mail: [email protected]
Elokhin Vladislav, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Economic Theory and Finance, tel.: 89834173612, e-mail: [email protected]
3Нгуен Ван Дык, аспирант, тел.: 89248312988, e-mail: [email protected] Nguyen Van Duc, Postraduate, tel.: 89248312988, e-mail: [email protected]
Ретроспективные данные за последние 18 лет приведены в таблице.
Многооткликовая модель регрессионного типа имеет уравнения вида [4]:
Уг =Ф, , I = Ш , (1)
хт =(х X ) г \ ш - независимые переменные,
Т
где у. - результаты измерений в
точке X., или зависимые переменные (отклики);
= (2)
заданные функции; е - случайные ошибки, соотносимые со стандартными требованиями:
0, Е [еет ] =ы (X),
е [ее-]=о, г * ], ы(х.)
* о,
(3)
где Е - оператор усреднения; От =(Ох,--,От) -
оценки параметров регрессионного уравнения (неизвестные параметры).
Используя модель в нашей задаче, получим: Х1 -население (тысяча человек); Х2 - инвестиция (миллиард донгов); Х3 - валовая продукция промышленности (миллиард донгов); У1 - валовой внутренний про-дукт(миллиард донгов); У2 - валовое накопление капитала (миллиард донгов).
Из этого получается функция зависимости, как в формуле. При этом за основу дальнейших исследований взята модель
У1 =Л(х1,0) + е1, У2 =Л(х2,в)+е2 .
Или по другой формуле
У1 = 91 1/1 1ОО + 91 2 А 2 00 + • • • 91 т 1 А т 1(*0<
У2 = 9 2 1 /2 1ОО + 92 2А 2(*0 "" 92т2А т 2(*0" (4)
Пусть
Т
где
7](X, 0) = Г1 (X, 0) ,
(5)
X)
П*) = 11АМАМ11 =
А1ОО -АгОО
/т 1(*0 ■ ■ -/т 2 (*0
Здесь ^ . = (X) - непрерывные функции,
X е X, область X - компактная.
Имеет место следующая теорема (доказательство ввиду его громоздкости опускается).
Данные факторов и откликов
Год Х1 Х2 Хз У1 У2
1995 71995,5 72447 112580 228892 62131
1996 73156,7 87394 149432 272036 74117
1997 74306,9 108370 180428,9 313623 88754
1998 75456,3 117134 208676,8 361017 104875
1999 76596,7 131170,9 244137,5 399942 110503
2000 77635,4 151183 317991,2 441646 130827
2001 78685,8 170496 395809,2 481295 150033
2002 79727,4 200145 476350 535762 177983
2003 80902,4 239246 620067,7 613443 217434
2004 82031,7 290927 808958,3 713071 253686
2005 82749,2 343135 988540 914000 298543
2006 83311,2 404712 1199139,5 1061600 358629
2007 84218,5 532093 1466480,1 1246800 493300
2008 85118,7 616735 1903128,1 1616000 589746
2009 86025 708826 2298086,6 1809100 632326
2010 86932,5 830278 2963499,7 2157800 770211
2011 87840 877850 3695091,9 2779900 827032
2012 88772,9 989300 4627733,1 3245400 884160
Теорема, приведенная в [2], для многооткликовой модели типа (4) в случае линейной параметризации при выполнении условий (2), (3) дает возможность построить наилучшие линейные оценки:
(0 = М-1У,
(6)
п
где М= X Г(X )ю.ГТ(X ), г=1
п
У =Х Г(X.)ю.ы-1(xl).
г =1
( )
А1ОО
1 0
А т СО
1 А 1«
0
1 АтОО
ад | 1 0
1 0 Ж*)
(7)
Из нашей задачи получены значения:
Количество наблюдений: п = 18.
Количество коэффициентов уравнения: т1 = 4, т2
= 3.
Количество откликов: l = 2.
Функции А = 1 ,А 2(х) = xla 3(дс) = Х2,/14(х) =
А iM = 1 ,А 2(*) = 7, А зМ = *з,А зМ = о.
(7),(8) =>F (х) =
(8)
(9)
Отсюда получим приведенную форму модели: ^ = - 1 389 74.96 + 4.14Х1 + 0 . 3 6 1 7 ЗХ2 + 0 5 81 82Хз , (11)
У2 = -2 8 58 7. 74 + 8 1 1 56.2 2 ^ + 0.0 0 5 3 258Хз. (12)
xi
Средняя ошибка аппроксимации и отклонение расчетных значений от фактических:
. £"= 1 I yt -уI :Уг.
А = ■
(13) =>А~! = 3 , 5 4%, А"2 = 3 , 1 7 %% .
; * 100%
(13)
График результатов показан на рис. 1, 2. Многооткликовые регрессионные модели являются одним из наиболее естественных инструментов при имитационном экспериментировании над моделями
Рис. 1. График уравнения (11)
После подстановки (9) в (6) получаем
М = (М, ,),}/с= 12 , (10)
= ( ПЛ).
где М, к= X Ц 1<и;- и/К^/М.
^ = Е ^ 1х к=1<и,к¡Ук ¡//ОО ■ В реальных задачах число неизвестных параметров
При использовании представленных методов и средств программирования Matlab получены оценки параметров регрессионного уравнения. Для данной совокупности она имеет вид
"21 "22 -138974.96
-28587.74
13 "14
#23
Рис. 2. График уравнения (12)
сложных экономических систем. Изложим вначале некоторые известные результаты для случая одновременного измерения нескольких выходных величин.
В настоящей статье представлены подходы к решению проблемы построения системы многоотклико-вых аппроксимирующих моделей. Результаты проведенного исследования показали работоспособность разработанной многооткликовой экономической модели и возможность эффективного ее использования в прогнозировании. Небольшой набор переменных параметров модели позволяет гибко перестраивать и изменять ее структурные составляющие в зависимости от экономических условий.
Статья поступила 2.06.2014 г.
4.14 81156.22
0.36173 0.0053258
0581821
Библиографический список
1. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: пер. с англ. В 2 кн. 2 е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика. 1986. Кн. 1. 366 с.; 1987. Кн. 2. 351 с.
2. Елохин В.Р., Елохин И.В., Евтеев В.К. Имитационный метод статистической аппроксимации производственных
систем. Иркутск: Изд-во ИрГСХА, 2009. 146 с.
3. Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. 320 с.
4. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971. 312 с.
